2025年高考數學總復習：概率、統(tǒng)計與其他知識的交匯問題

第九節(jié)概率、統(tǒng)計與其他知識的交匯問題

考試要求：1.會求概率、統(tǒng)計與不等式的綜合問題.

2.會求概率、統(tǒng)計與函數的綜合問題.

3.會求概率、統(tǒng)計與數列的綜合問題.

核心考點提升“四能”

考點一概率、統(tǒng)計與不等式的綜合問題

【例1】(2024?長沙模擬)甲、乙兩名運動員進行乒乓球比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負

者得。分，平局雙方均得0分，比賽一直進行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方

贏得比賽.已知每局比賽中，甲獲勝的概率為a,乙獲勝的概率為￡,兩人平局的概率為y(a

+￡+>=1,a>0,￡>0,y20),且每局比賽結果相互獨立.

(1)若。=；,或二，丫二，求甲運動員恰好在第4局比賽后贏得比賽的概率；

(2)當y=0時，若比賽最多進行5局，求比賽結束時比賽局數X的分布列及期望E(X)的最大

值.

解：(1)記事件A為“每局比賽甲獲勝”，

記事件8為“每局比賽乙獲勝”，

記事件C為“每局比賽甲、乙兩人平局”，

則P(A)=a=pP(B)=0=；,尸(C)=7=，.

記“進行4局比賽后甲運動員贏得比賽”為事件Z),

則事件。包括事件A2A4,BAAA,ACCA,CACA,CCAA這5種情況，

所以P(D)=P(ABAA)+P(BAAA)+P(ACCA)+P(CACA)+P(CCA4)

=2P(B)P(A)P(A)P(A)+3P(C)尸(C>P(A)P⑷

=2XiX?3+3X0X@=^

(2)若y=0,此時每局比賽結果僅有“甲獲勝”和“乙獲勝”，則a+￡=l,

此時X的所有可能取值為2,4,5,

可得P(X=2)=P(A4)+P(BB)=a2+y?2,

P(X=4)=P(ABAA)+P(BAAA)+P(ABBB)+P(BABB)=Q邢+2哂=2a隊"+y?2),

P(X=5)=P(ABAB)+P(ABBA)+P(BABA)+P(BAAB)=(r/32+ct2^2+a?■優(yōu)+(r/32=4?2^2,

則X的分布列為

X245

砂)

P2(4+.24屋加

則E(X)=2*+夕2)+4*2儂(a?+步)+5X4a2,2=4o?■世-卜4磔+2.

因為a+P=122而,

所以儂w(,當且僅當a=D=；時等號成立，則磔e(o,；),

此時E(X)=4a2/+4磔+2=(2磔+1)2+1W(2X：+1『+1=9，

故E(X)的最大值為半

>反思感悟

概率、統(tǒng)計與不等式有關的綜合問題的解法

(1)根據概率的性質、均值、方差公式等得出關于概率p的表達式或不等式.

(2)通過不等式知識解不等式或利用基本不等式求最值.

多維訓練.

某工廠A,8兩條相互獨立的生產線生產同款產品，在產量一樣的情況下，通過日常監(jiān)控得

知，A,8生產線生產的產品為合格品的概率分別為p和2P—l(0.5WpWl).

(1)從A,8生產線上各抽檢一件產品，若至少有一件合格品的概率不低于99.5%,求p的最

小值po;

(2)假設不合格的產品均可通過返工修復變?yōu)楹细衿?，?1)中確定的po作為p的值.己知4

B生產線的不合格品返工修復后，每件產品可分別挽回損失5元和3元，若從兩條生產線上

各隨機抽檢1000件產品，以返工修復后挽回損失的平均數為判斷依據，估計哪條生產線挽

回的損失較多？

解：(1)至少有一件合格品的概率為1—(1—p)[l—(2p—=2(1—pF.令1—2(1—

p)220.995,解得0.955pWL05.又0.5WpWl,所以0.95WpWl,故p的最小值po=O.95.

(2)由(1)可知，A,2生產線上產品為合格品的概率分別為0.95和0.9,

所以A,B生產線上產品不是合格品的概率分別為0.05和0」.

故從A生產線上抽檢的1000件產品中，不合格產品大約有1000X0.05=50(件)，返工修復

后，可挽回損失50X5=250(元)，

從8生產線上抽檢的1000件產品中，不合格產品大約有1000X0.1=100(件),返工修復后，

可挽回損失100X3=300(元)，

因為250<300,所以8生產線挽回的損失較多.

考點二概率、統(tǒng)計與函數的綜合問題

【例2】(2024.濟寧模擬)某校數學組老師為了解學生數學學科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織

本校8000名學生進行針對性檢測(檢測分為初試和復試)，并隨機抽取了100名學生的初試

成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.

頻率/組距

0.030

0.024

0.020

0.004

O35455565758595初試成績/分

⑴根據頻率分布直方圖，求樣本平均數的估計值.

(2)若所有學生的初試成績X近似服從正態(tài)分布其中〃為樣本平均數的估計值，。仁14.

初試成績不低于90分的學生才能參加復試，試估計能參加復試的人數.

⑶復試共三道題，規(guī)定：全部答對獲得一等獎，答對兩道題獲得二等獎，答對一道題獲得

三等獎，全部答錯不獲獎.已知某學生進入了復試，他在復試中前兩道題答對的概率均為〃，

第三道題答對的概率為4若他獲得一等獎的概率為］設他獲得二等獎的概率為P,求尸的

O

最小值.

附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N(〃，o2),則crWXW〃+cr)七0.6827,PQL

+2。)心0.9545,尸(/，一3c<XW〃+3(7)~0.9973.

解：(1)樣本平均數的估計值為10(40X0.010+50X0.020+60X0.030+70X0.024+80X0.012

+90X0.004)=62.所以樣本平均數的估計值為62.

(2)因為學生的初試成績X近似服從正態(tài)分布Na,/),其中〃=62,(7^14.

所以〃+2o■弋62+2X14=90.

所以尸(X>90)=尸(X2〃+2(7)W(l—0.9545)=0.02275.

所以估計能參加復試的人數為0.02275X8000=182.

(3)由該學生獲得一等獎的概率為:，可得a2b="

oo

則P=<22(1~b)+a(l—a)b+(l—a)ab=a2+2ab—^=a+；-:.

84a8

2

令尸=/(。)=/+也一(，0<a<l,則/(a)=2a8a3—1(2a1)(4a+2a+1)

4/4a2

當OVaV(時,廣(a)V0;當時，/,(a)>0.

所以/(a)在區(qū)間(0,上是單調遞減，在區(qū)間G，1)上是單調遞增.

所以/⑷mm=/&=：+K=*

所以尸的最小值為之

8

〉反思感悟

概率、統(tǒng)計與函數有關的綜合問題的解法

在概率與統(tǒng)計的問題中，決策的工具是樣本的數字特征或有關概率.決策方案的最佳選擇是

將概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作為最佳方案，解題時通常先結合概率、方差、

均值的公式列出函數表達式，再利用函數的性質(單調性、最值等)求解.

多維訓練B

在2024年春節(jié)期間，甲公司和乙公司在某購物平臺上同時開啟了打折促銷，直播帶年貨活

動，甲公司和乙公司所售商品類似，存在競爭關系.

(I)現對某時間段10。名觀看直播后選擇這兩個公司直播間購物的情況進行調查，得到如下

數據：

單位：名

用戶年齡段選擇甲直播間購物選擇乙直播間購物合計

19―24歲4050

25?34歲30

合計

是否有99.9%的把握認為選擇哪家直播間購物與用戶的年齡有關？

(2)若小李連續(xù)兩天每天選擇在甲、乙其中一個直播間進行購物，第一天等可能地從甲、乙

兩家中選一家直播間購物，如果第一天去甲直播間購物，那么第二天去甲直播間購物的概率

為0.7；如果第一天去乙直播間購物，那么第二天去甲直播間購物的概率為0.8,求小李第二

天去乙直播間購物的概率.

(3)元旦期間，甲直播間進行“秒殺”活動，假設直播間每人下單成功的概率均為p(0<p<

1),每人下單成功與否互不影響，若從直播間中隨機抽取5人，記5人中恰有2人下單成功

的概率為/g)，求/⑺)的最大值點po.

解：⑴列聯(lián)表如下：

單位：名

用戶年齡段選擇甲直播間購物選擇乙直播間購物合計

19?24歲401050

25?34歲203050

合計6040100

)

由表中數據可得/=100X(40X30-20X10=50>w§28,

“50x50x60x403

故有99.9%的把握認為選擇哪家直播間購物與用戶的年齡有關.

(2)由題設，事件小李第二天去乙直播間包括第一天去甲直播間，第二天去乙直播間和第一

天去乙直播間，第二天去乙直播間兩種情況，

所以小李第二天去乙直播間購物的概率尸=0.5X(1-0.7)+0.5X(1-0.8)=0.25.

(3)由題可設5人中下單成功的人數為X,則X?(5,p),

所以/(?)=C力2(1—p)3=1002(]一必3,令g。=p2(1一夕)3=p2―303+3P4—05,

所以g'(p)=p(2—9p-\-12p2—5/J3),

令人(0)=2—9〃+12/2—5/,

所以〃3=-9+24p-15p2=—i5(p-J+§

所以"⑦)在(0,§上單調遞增，在6，1)上單調遞減，

又〃。=砥1)=0,

故在(0,J上，h'(p)<0,〃⑦)單調遞減；在G，1)上，h'(p)>0,〃0)單調遞增;

由M1)=O,/z(l)=O,得在(0,9上，h(p)>0,即g9)>0,

在(|,1)上，h⑼<0,即g'(p)V0,所以g。在(0,§上單調遞增，

在(I，1)上單調遞減，即f(p)在(0,§上單調遞增，在G，1)上單調遞減，

所以/S)max—f(§,即po=巳

考點三概率、統(tǒng)計與數列的綜合問題

【例3】(2024?大連模擬)國學小組有編號為1,2,3,…，〃的〃名同學，現在有兩道選擇

題，每人答對第一題的概率為：，答對第二題的概率為;，每名同學的答題過程都是相互獨立

的，比賽規(guī)則如下：①按編號由小到大的順序依次進行，第1號同學開始第1輪出賽，先答

第一題；②若第i(i=l,2,3,〃一1)號同學未答對第一題，則第i輪比賽失敗，由第i

+1號同學繼續(xù)比賽；③若第i(i=l,2,3,…，a—1)號同學答對第一題，則再答第二題,

若該生答對第二題，則比賽在第i輪結束；若該生未答對第二題，則第i輪比賽失敗，由第

i+1號同學繼續(xù)答第二題，且以后比賽的同學不答第一題；④若比賽進行到了第”輪，則不

管第”號同學答題正確與否，比賽結束.

⑴令隨機變量X.表示〃名同學在第X"輪比賽結束，當w=3時，求隨機變量X3的分布列.

(2)若把比賽規(guī)則③改為：若第i(i=l,2,3,…，力-1)號同學未答對第二題，則第i輪比賽

失敗，第i+1號同學重新從第一題開始作答.令隨機變量匕表示"名同學在第匕輪比賽結

束.

①求隨機變量匕("GN*,〃》2)的分布列；

②證明：E(匕)單調遞增，且小于3.

(1)解：根據題意可知X3的所有可能取值為1,2,3,

211

又尸(X3=l)三X；=g,

c\211,1215n/"1157

尸(X3=2)=-X-X-+-X-X-=—,P(X3=3)=1————=—,

、,32233218、,31818

所以X3的分布列為

X3123

157

p

31818

（2）①解：根據題意知匕=1,2,n,

每位同學兩題都答對的概率為P=：x；=；,

所以答題失敗的概率均為1—=

所以Y產kQWkWn—l,時，P(Y"=k)=?4

當Yn=n時，P（y?=/i）=

所以匕的分布列為

Yn123???n~1n

121(1)xl

p—X-???(l)F

333第

②證明：由①知E(匕)=>(1>'%dN*,心2),

?=1

￡（y“+D—E（y"）="G）ix；+（〃+D（1）"—〃（1）”'=Q＞o,故戊匕）單調遞增；

由上得E（匕）三，

故￡（匕）=￡（㈤+四⑸一三匕）］+囹%）一￡（匕）］+…+因匕）一E（匕-1）］,

所以戊匕）三+（J+（1+…+ET="叫2X（曠＜3,

I3

故耳匕）＜￡（匕）＜￡（均）＜線為）（匕）＜3.

〉反思感悟

概率、統(tǒng)計與數列有關的綜合問題的解法

一是認真審題，判斷隨機變量的所有可能取值，并注意相互獨立事件的概率與互斥事件的概

率的區(qū)別，求出隨機變量取各個值時的概率，從而列出隨機變量的分布列；二是將概率的參

數表達式與數列的遞推式相結合，可得數列的通項公式，此種解法新穎獨特.

多維訓練

（2024?威海模擬）全民健身是全體人民增強體魄、健康生活的基礎和保障，為了研究杭州市民

健身的情況，某調研小組隨機抽取了100名市民進行調研，得到如下數據：

每周健身次數1次2次3次4次5次6次及6次以上

男4653428

女7587617

⑴如果認為每周健身4次及以上為“喜歡健身”，請列出2X2歹!聯(lián)表，并根據小概率值a

=0.05的獨立性檢驗，判斷喜歡健身與性別是否有關聯(lián).

（2）假設杭州市民小紅第一次去健身房A健身的概率為看去健身房8健身的概率為《，從第

二次起，若前一次去健身房A,則此次不去A的概率為士若前一次去健身房8,則此次仍

不去A的概率為;.記第n次去健身房A健身的概率為P?,則第10次去哪一個健身房健身的

概率更大？

7_

附：,n(ad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+J)*

a0.100.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

Xa

解：⑴依題意，2X2列聯(lián)表如下:

單位：人

性別喜歡健身不喜歡健身合計

男351550

女302050

合計6535100

零假設為Ho：喜歡健身與性別無關.根據列聯(lián)表中的數據，經計算得到/=

理警等祟?仁1.O99<3.841=WO5,根據小概率值a=0.05的獨立性檢驗，沒有充分證據

DUXDVXOJXJV

推斷Ho不成立，因此也可以認為Ho成立，即認為喜歡健身與性別無關.

(2)依題意，尸1=看9，當W22時，P.=P,L1X；-2+(1—P“T)X：n=(1Pi+｝?

則P"_*=3(尸1號),

所以數列｛p“一s｝是首項為p一1=5-公比為5的等比數列,

匕二61n861

所以Pn——=——X------,P-.---X--------,

111112n-1n111112"-1

所以尸1。=?一泳卷.乂一卷戶.

所以第10次去A健身房健身的概率更大.

課時質量評價（六十九）

1.（2024?煙臺模擬）某籃球隊為提高隊員訓練的積極性，進行小組投籃游戲.游戲規(guī)則如下：

每個小組由兩名隊員組成，每個小組的兩名隊員在每輪游戲中分別投籃兩次，投進的次數之

和不少于3次的稱為“神投小組”.已知隊員甲與隊員乙組成一個小組，甲、乙兩名隊員投

進籃球的概率分別為“，P2.

（1）若P=l求他們在第一輪游戲獲得“神投小組”稱號的概率.

（2）已知0i+p2=g,貝!I：

①夕，）2取何值時能使得甲、乙兩名隊員在一輪游戲中獲得“神投小組”稱號的概率最大？

并求出此時的最大概率；

②在第①問的前提下，若甲、乙兩名隊員想要獲得297次“神投小組”的稱號，則他們平均

要進行多少輪游戲？

解：(1)每小組投進的次數之和不少于3次的稱為"神投小組"，

則可能的情況有：①甲投中一次，乙投中兩次；②甲投中兩次，乙投中一次；③甲投中兩次，

乙投中兩次.

12

因為Pi=5,2=?

所以他們在第一輪游戲獲得“神投小組”稱號的概率為

⑵①由題意得他們在一輪游戲中獲得“神投小組”稱號的概率

尸=C；X01義(1—R)xp：+p：XC；XP2X(1—P2)+pjXp：

=2Plp2m+。2)—2Plp2(pi+。2)—3P憂,

因為pi+°2=*所以尸=/

又OWpiWl,OW.Wl,貝

令〃z=piP2=_p；+*=—W+卷則me,，1］，

4"P—f(?0=~m—3m=~3(jn—,

所以—3加2在［；,上單調遞增，則Pmax=f⑥=裝，

3

此時PI=P2=M

②他們小組在〃輪游戲中獲得“神投小組”稱號的次數。滿足。?3(〃，怒)，

所以np=291,則〃=票=625,

625

所以平均要進行625輪游戲.

2.某公司在一種傳染病毒的檢測試劑品上加大了研發(fā)投入，其研發(fā)的檢驗試劑品a分為兩

類不同劑型四和a2.現對其進行兩次檢測，第一次檢測時兩類試劑四和合格的概率分別

為打耳，第二次檢測時兩類試劑期和恁合格的概率分別為押沁知兩次檢測過程相互獨立，

兩次檢測均合格，試劑品a才算合格.

(1)設經過兩次檢測后兩類試劑ai和a2合格的種類數為X,求X的分布列和數學期望；

(2)若地區(qū)排查期間，一戶4口之家被確認為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)

護人員要對其家庭成員逐一使用試劑品a進行檢測，如果有一人檢測呈陽性，則檢測結束,

并確定該家庭為“感染高危戶”.設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為p(O<p<l)且相

互獨立，該家庭至少檢測了3個人才確定為“感染高危戶”的概率為了⑦)，若當p=po時,

f(p)最大,求po的值.

解：⑴試劑內合格的概率為;XW，

試劑Q2合格的概率為\x|=|.

由題意知X的所有可能取值為0,1,2.

則P(x=o)=(1一|)x(1-1)=P(X=1)=(1一|)x|+1x(1-1)=￡,P(X=2)Wx|=

p則X的分布列為

X012

6136

P

252525

數學期望E(X)=0XA+1X￡+2X,=1.

(2)檢測3人確定“感染高危戶”的概率為(1一020，

檢測4人確定“感染高危戶”的概率為(1—ppp,

則/(?)=(1—P)2p+(1—P)3P=(1—?)2P(2—。).

令x=l-p,因為OVpVl,所以OVxVl,

原函數可化為g(x)=f(l—f)(O<x〈l).

因為X2(l-x2)J*+(："I=

當且僅當/=].—%2,即x=日時，等號成立.

此時p=l—9，所以po=l—

3.(2024?濟南模擬)某市為提升中學生的環(huán)境保護意識，舉辦了一次“環(huán)境保護知識競賽”，

分預賽和復賽兩個環(huán)節(jié)，預賽成績排名前三百名的學生參加復賽.已知共有12000名學生

參加了預賽，現從參加預賽的全體學生中隨機地抽取100人的預賽成績作為樣本，得到如圖

所示的頻率分布直方圖.

(1)規(guī)定預賽成績不低于80分為優(yōu)良，若從上述樣本中預賽成績不低于60分的學生中隨機

地抽取2人，求至少有1人預賽成績優(yōu)良的概率，并求預賽成績優(yōu)良的人數的數學期望.

(2)由頻率分布直方圖可認為該市全體參加預賽學生的預賽成績Z服從正態(tài)分布N5,片)，

其中〃可近似為樣本中的100名學生預賽成績的平均值(同一組數據用該組區(qū)間的中點值代

替)，且(?=362,已知小明的預賽成績?yōu)?1分，利用該正態(tài)分布，估計小明是否有資格參

加復賽？

(3)復賽規(guī)則如下：①每人的復賽初始分均為100分；②參賽學生可在開始答題前自行決定

答題數量”，每一題都需要“花”掉(即減去)一定分數來獲取答題資格，規(guī)定答第上題時“花”

掉的分數為0.2網左=1,2,…，?)；③每答對一題加2分，答錯既不加分也不減分；④答完

w題后參賽學生的最終分數即為復賽成績.已知參加復賽的學生甲答對每道題的概率均為0.8,

且每題答對與否都相互獨立.若學生甲期望獲得最佳的復賽成績，則他的答題數量〃應為多

少？

附：若Z?N@,<r),則<rWZ《〃+(7)-0.6827,尸5—2(7WZW〃+2(7)勺0.9545,P(ju~

3ZZW〃+3c)Q0.9973；V362^19.

解：⑴預賽成績在［60,80)范圍內的樣本量為0.0125X20X100=25,

預賽成績在［80,100)范圍內的樣本量為0.0075X20X100=15,

設抽取的2人中預賽成績優(yōu)良的人數為X,則X的可能取值為0,1,2,

C25c1"2525C27

又P(X=0)=W=A，P(X=1)=3=||,p(x=2)=詈=3

"oMoDN'-?40

則X的分布列為

X012

5257

P__

135252

故E(X)=0xV+lx^+2x(=：?

(2)//=x=(10X0.005+30X0.01+50X0.015+70X0.0125+90X0.0075)X20=53,

『=362,則17Pl9,所以Z?N(53,362),

故尸(Z291)=尸(ZN4+2Q=#1一加一2cVZV〃+2c)產0.02275,

故全市參加預賽的學生中，成績不低于91分的有120000X0.02275=273(人)，

因為273V300,故小明有資格參加復賽.

(3)設學生甲答對的題目數為3復賽成績?yōu)樨皠t］?2(",0.8),故E?=0.8w,

r=100-0.2(l+2+3H-----F〃)+2(f,

故E(y)=100—0.2(1+2+3H-----M+2E?=—，2+弓+100=一《("一p+筆

因為“GN*,所以答題數量為7或8時，學生甲可獲得最佳的復賽成績.

4.現如今國家大力提倡養(yǎng)老社會化、市場化，老年公寓是其養(yǎng)老措施中的一種，能夠滿足

老年人的高質量、多樣化、專業(yè)化生活及療養(yǎng)需求.某老年公寓負責人為了能給老年人提供

更加良好的服務，現對所入住的120名老年人征集意見，該公寓老年人的入住房間類型情況

如下表所示.

入住房間的類型單人間雙人間三人間

人數366024

(1)若按入住房間的類型采用分層隨機抽樣的方法從這120名老年人中隨機抽取1