人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步講義

第10課銳角三角函數(shù)

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)

1.結(jié)合圖形理解記憶銳角三角函數(shù)定義；

2.會(huì)推算30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，并熟練準(zhǔn)確的記住特殊角的三角函數(shù)值；

3.理解并能熟練運(yùn)用“同角三角函數(shù)的關(guān)系”及“銳角三角函數(shù)值隨角度變化的規(guī)律”.

般‘知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)01銳角三角函數(shù)的概念

如圖所示，在Rt^ABC中，NC=90°,NA所對(duì)的邊BC記為a,叫做NA的,也叫做NB

的,NB所對(duì)的邊AC記為b,叫做NB的,也是NA的,直角C所對(duì)的邊AB

記為c,叫做.

銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做NA的正弦，記作.

銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做/A的余弦，記作.,艮L.

銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做NA的正切，記作.,即二

同理;;,

要點(diǎn)詮釋:

(1)正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線段

的比值.角的度數(shù)確定時(shí)，其比值角的度數(shù)變化時(shí)，比值也隨之.

(2)sinA,cosA,tanA分別是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)符號(hào)，是一個(gè)整體，不能寫成他?/,COS?4,

tari?A,不能理解成sin與NA,cos與NA,tan與NA的乘積.書寫時(shí)習(xí)慣上省略NA的角的記

號(hào)“N”，但對(duì)三個(gè)大寫字母表示成的角(如NAEF),其正切應(yīng)寫成“tan/AEF”,不能寫成

"tanAEF"；另外,(sin⑷?、(8必尸、:常寫成/、C0S3J4'tan2A-

(3)任何一個(gè)銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值，不因這個(gè)角不在某個(gè)三角形中而不存在.

(4)由銳角三角函數(shù)的定義知：

當(dāng)角度在0°<NA<90°間變化時(shí)，

知識(shí)點(diǎn)02特殊角的三角函數(shù)值

利用三角函數(shù)的定義，可求出30。、45。、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下:

銳角asinacosatana

30°___

45°___

60°___

要點(diǎn)詮釋：

(1)通過該表可以方便地知道30。、45。、60。角的各三角函數(shù)值，它的另一個(gè)應(yīng)用就是：如果知道了

..近

511)&=-----

一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個(gè)銳角的度數(shù)，例如：若2,則銳角.

⑵仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會(huì)發(fā)現(xiàn)：

更亡迫

sin30°、sm45\sm60?的值依次為2、2、2,而cos30°、cos45°、cos60°的值的順

序正好相反，tan30°、tan45\tan60°的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為:

①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而；

②余弦值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而.

知識(shí)點(diǎn)02銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系

如圖所示，在Rt^ABC中，ZC=90°.AA

(1)互余關(guān)系：________,________；/

(2)平方關(guān)系：；/

(3)倒數(shù)關(guān)系：或tanH=」一；/---c

tan8

(4)商數(shù)關(guān)系：.

要點(diǎn)詮釋：

銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導(dǎo)得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計(jì)算中，計(jì)算時(shí)

巧用這些關(guān)系式可使運(yùn)算簡(jiǎn)便.

I二能力拓展

考法01銳角三角函數(shù)值的求解策略

【典例1】如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，則/ABC的正切值是（

C.逅D.1

52

【即學(xué)即練1】在RtAABC中，zC=90°,若a=3,b=4,則0=，

sinA=，cosA=,sinB=，8sB=

考法02特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算

【典例2］求下列各式的值：

(1)6tan230°-?sin60°-2sin45°；

(2)&sin60°-4cos230o+sin45°?tan60°；

(3)sin600+tan60°-________,______

COS260°2cos450+tan60°

【即學(xué)即練2】在RtMBC中，/C=90°,若NA=45°,則/B=,

sinA=，cosA=，sinB=，cosB=

BC

考法03銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系

【典例3］已知AABC中的/A與/B滿足(1-tanA)2+|sinB-立|=0

2

(1)試判斷△ABC的形狀.

(2)求(1+sinA)2-24cosB-(3+tanC)°的值.

考法04銳角三角函數(shù)的拓展探究與應(yīng)用

【典例4】如圖所示，AB是。。的直徑，且AB=10,CD是。0的弦，AD與BC相交于點(diǎn)P,

若弦CD=6,試求cos/APC的值.

【典例5】通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比值相互唯一確定,

因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化.類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系.我們定義：

等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)(sad).如圖1①，在4ABC中，AB=AC,頂角A的正對(duì)記作sadA,

這時(shí)sadA=3g=+.容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的

腰AB

正對(duì)定義，解下列問題：

(1)sad60°=.

(2)對(duì)于0VAV180。，NA的正對(duì)值sadA的取值范圍是.

3

(3)如圖1②，已知sinA=1，其中NA為銳角，試求sadA的值.

AB.

B

①

圖1

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.如圖，在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,AD_LBC于點(diǎn)D,則下列結(jié)論不正確的是()

D.sinB毛

C

，叫筆ACAU

2.如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，則NABC的正切值是()

A.2B.2疾C.近D.1

552

3.已知銳角a滿足sin25°=cosa,則a=()

A.25°B.55°C.65°D.75°

4.如圖所示，直徑為10的。A經(jīng)過點(diǎn)C(0,5)和點(diǎn)0(0,0),B是y軸右側(cè)。A優(yōu)弧上一點(diǎn)，則N0BC的余

弦值為(

1

A.-

2

y.

5.如圖，在△ABC中，ZA=120°，AB=4,AC=2,則sinB的值是（）

6.在Rt^ABC中，ZC=90°,若將各邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來的2倍，則/A的正弦值（）

A.擴(kuò)大2倍B.縮小2倍C.擴(kuò)大4倍D.不變

7.如圖所示是教學(xué)用具直角三角板，邊AC=30cm,NC=90°,tanZBAC=—,則邊BC的長(zhǎng)為（）

3

A.30^/3cmB.20^/3cmC.cmD.5^/3cm

8.如圖所示，在Rt^ABC中，NACB=90°，CD±AB,垂足為D,若AC=JLBC=2,則sin/ACD的值為

)

2752

A.叵B.」一c此D.-

3323

題組B能力提升練

9.如圖，點(diǎn)A(3,t)在第一象限，0A與x軸所夾的銳角為a,tana=W,則t的值是

10.用不等號(hào)連接下面的式子.

(1)cos50°cos20°(2)tanl8°tan21°

V2\2

11.在AABC中，若sinA一-cosB=0,/A、NB都是銳角，則/C的度數(shù)為

2

7

12.如圖所示，AABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，則sinA=

13.已知：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P是直線CD上一點(diǎn)，若DP=1,則tan/BPC的值是.

第12題

14.如果方程爐―4x+3=0的兩個(gè)根分別是RtZkABC的兩條邊，AABC的最小角為A,那么tanA的值為

15.如圖所示，^ABC的內(nèi)心在y軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,2),直線AC的解析式為

y=-x-\,則tanA的值是.

2

16.若a為銳角，且cosCI=二鏟，則m的取值范圍是.

題組C培優(yōu)拔尖練

17.如圖所示，AABC中，D為AB的中點(diǎn)，DC±AC,且/BCD=30°,

求NCDA