2024-2025學(xué)年廣東省汕頭市育能實驗學(xué)校高三（上）第二次段考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省汕頭市育能實驗學(xué)校高三（上）第二次段考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|2x?1|≤3}，B={x∈N|x2?4x≤0}，則A∩B=A.(0,2) B.[0,2] C.{0,1,2} D.{1,2}2.給出下列四個結(jié)論：

①“a>2”是“a>5”的充分不必要條件；

②若命題p：?x≥0，2x=3，則?p：?x<0，2x≠3；

③若x∈R，則x2≠4是x≠2的充分不必要條件；

④若命題q：對于任意x∈R，x2+2x?a>0A.1個 B.2個 C.3個 D.4個3.已知向量a=(0,1)，b=(2,x)，若b⊥(b?4A.2 B.1 C.?1 D.?24.設(shè)有下面四個命題，其中假命題為(

)A.若復(fù)數(shù)z滿足|z|2=z2，則z∈R

B.若i為虛數(shù)單位，則i+i2+i3+?+i2025=i

C.若復(fù)數(shù)z1，5.已知向量a=(3,?1)，|b|=1，若|a?2A.π6 B.π3 C.2π36.在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量W(單位：平方米)的計算公式是W=(長+4)×(寬+4).在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10000平方米，每平方米收費1元，請估算平整完這塊場地所需的最少費用(單位：元)是(

)A.10000 B.10480 C.10816 D.108187.定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若f(1)=0，f′(x)>f(x)，則不等式f(x)>0的解集為(

)A.(0,+) B.(1,+∞) C.(0,1) D.(0,1)∪(1,+∞)8.若函數(shù)f(x)=alnx+3x?x既有極大值也有極小值，則實數(shù)a的取值范圍為A.(0,23) B.(?∞,?23)∪(2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知a>0，b>0，則下列結(jié)論正確的是(

)A.若a>b，則ac2>bc2

B.若1a>1b，則a<b

C.若a+b=2，則1a10.如圖，在底面為等邊三角形的直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=2，BB1=2，DA.A1B//平面ADC1

B.AD⊥C1D

C.異面直線AC與DE所成角的余弦值為1011.已知函數(shù)f(x)=ex?2ax，a∈R，則下列結(jié)論中正確的有A.f(x)必有唯一極值點

B.若a=12，則f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增

C.若a=12，對?x∈[0,+∞)有f(x)≥kx恒成立，則k≤1

D.若存在x三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z，滿足|z|=5，z在復(fù)平面中的第一象限，且實部為3，則z?為______13.若曲線y=ex在點(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+1)+a的切線，則a=14.如圖所示，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，點M是四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=(x2+ax+b)ex的圖象在點(0,f(0))處的切線方程為2x+y?1=0．

(1)求a、b的值；

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(3)求函數(shù)y=f(x)16.(本小題15分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ACB=90°，CB=1，CA=3，AA1=6，M為側(cè)棱CC1上一點，AM⊥BA1．

(1)求證：17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=x(ex?ax2).

(1)若曲線y=f(x)在x=?1處的切線與y軸垂直，求y=f(x)的極值．

(2)若f(x)在18.(本小題17分)

如圖，AD//BC且AD=2BC，AD⊥CD，EG//AD且EG=AD，CD//FG且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG=2．

(1)證明：AG⊥EC；

(2)在線段BE上是否存在一點P，使得直線DP與平面ABE所成的角的正弦值為255，若存在，求出P19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=e2x+(a?2)ex?ax．

(1)當(dāng)a=2時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(2)參考答案1.C

2.B

3.A

4.D

5.C

6.C

7.B

8.D

9.BD

10.ABD

11.BD

12.3?4i

13.1

14.31015.解：(1)易知f(0)=1，

解得b=1，

可得f′(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+1)ex=[x2+(a+2)x+a+1]ex，

因為f′(0)=a+1=?2，

所以a=?3；

(2)由(1)知f′(x)=(x2?x?2)ex=(x+1)(x?2)ex，

因為ex>0恒成立，

當(dāng)x<?1時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)?1<x<2時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>2時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=?1時，f(x)取得極大值，極大值f(?1)=5e；

當(dāng)x=2時，f(x)取得極小值，極小值f(2)=?e2；

(3)由(2)16.解：(1)證明：在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，

∵BC?平面ABC，∴BC⊥AA1，

又∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，

∵AC∩AA1=A，AC?平面AA1C1C，AA1?平面AA1C1C，

∴BC⊥平面AA1C1C，

∵AM?平面AA1C1C，∴AM⊥BC．

∵AM⊥A1B，A1B∩BC=B，A1B、BC?平面A1BC，

∴AM⊥平面A1BC；

(2)以點C為坐標(biāo)原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系C?xyz，

則A(3,0,0)，A1(3,0,6)，B(0,1,0)，

設(shè)點M(0,0,z1)，則AM=(?3,0,z17.解：(1)f′(x)=ex?ax2+x(ex?2ax)=ex+xex?3ax2，

所以f′(?1)=?3a，因為曲線y=f(x)在x=?1處的切線與y軸垂直，

所以f′(?1)=?3a=0，解得a=0，

所以f(x)=xex，f′(x)=(x+1)ex，

當(dāng)x∈(?∞,?1)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(?1,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

所以f(x)在x=?1處取得極小值為f(?1)=?1e，無極大值．

(2)若f(x)=x(ex?ax2)在(0,+∞)只有一個零點，即函數(shù)g(x)=ex?ax2在(0,+∞)只有一個零點，

即方程ex?ax2=0在(0,+∞)只有一個根，即a=exx2在(0,+∞)只有一個根，

即函數(shù)y=a與?(x)=exx218.解：(1)證明：∵EG/?/AD且EG=AD，∴四邊形ADGE為平行四邊形，

∵AD=DG，∴四邊形ADGE為菱形，∴AG⊥DE．

∵DG⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴DG⊥CD，

∵AD⊥CD，DG，AD?平面ADGE，DG∩AD=D，∴CD⊥平面ADGE，

∵AG?平面ADGE，∴CD⊥AG，

∵AG⊥DE，DE，CD?平面CDE，DE∩CD=D，∴AG⊥平面CDE，

∵CE?平面CDE，∴AG⊥EC．

(2)由DG⊥平面ABCD，DA，DC?平面ABCD，則DG⊥DA，DG⊥DC，

以D為原點，分別以DA，DC，DG的方向為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，

E(2,0,2)，F(xiàn)(0,1,2)，G(0,0,2)，N(1,0,2)，

所以AB=(?1,2,0)，AE=(0,0,2)，

設(shè)平面ABE的法向量為n=(x,y,z)，

則n?AB=?x+2y=0n?AE=2z=0，取n=(2,1,0)，

假設(shè)線段BE上存在點P，使得直線DP與平面ABE所成的角的正弦值為255．

設(shè)EP=λEB=(?λ,2λ,?2λ)(0≤λ≤1)，DP=DE+EP=(2?λ,2λ,2?2λ)，

則直線DP與平面ABE所成的角的正弦值為：

|19.解：(1)當(dāng)a=2時，則f(x)=e2x?2x，f′(x)=2e2x?2，

可得f(1)=e2?2，f′(1)=2e2?2，

即切點坐標(biāo)為(1,e2?2)，切線斜率為k=2e2?2，

所以切線方程為y?(e2?2)=(2e2?2)(x?1)，即(2e2?2)x?y?e2=0．

(2)由題意可知：f(x)的定義域為R，且f′(x)=2e2x+(a?2)ex?a=(2ex+a)(ex?1)，

(i)若a≥0，則2ex+a>0，

令f′(x)>0，解得x>0；令f′(x)<0，解得x<0；

可知f(x)在(?∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(0,