人教B版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)1.2.3充分條件、必要條件課件

1.2.3充分條件、必要條件【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.通過(guò)對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系.2.通過(guò)對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系.3.通過(guò)對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系．教

材

要

點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一充分條件與必要條件一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過(guò)推理可以得出q.這時(shí)，我們就說(shuō)，由p可以推出q，記作p?q，并且說(shuō)，p是q的充分條件，q是p的必要條件．狀元隨筆如果“若p，則q”為假命題，那么由條件p不能推出結(jié)論q，記作p

q．此時(shí)，我們就說(shuō)p不是q的充分條件，q不是p的必要條件．知識(shí)點(diǎn)二充要條件如果“若p，則q”和“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，就記作p?q.此時(shí)，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說(shuō)p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱(chēng)為充要條件．顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件．

狀元隨筆p與q互為充要條件時(shí)，也稱(chēng)“p等價(jià)于q”“q當(dāng)且僅當(dāng)p”等．基

礎(chǔ)

自

測(cè)1.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，則“a＝3”是“A?B”的________條件．答案：充分解析：因?yàn)锳＝{1，a}，B＝{1，2，3}，A?B，所以a∈B且a≠1，所以a＝2或3，所以“a＝3”是“A?B”的充分條件．2．設(shè)p：x＜3，q：－1＜x＜3，則p是q成立的(

)A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件答案：C解析：因?yàn)?－1，3)

(－∞，3)，所以p是q成立的必要不充分條件．

答案：C

4．用符號(hào)“?”與“”填空：(1)x2＞1________x＞1；(2)a，b都是偶數(shù)________a＋b是偶數(shù)．?解析：(1)命題“若x2>1，則x>1”是假命題，故x2>1x>1.(2)命題“若a，b都是偶數(shù)，則a＋b是偶數(shù)”是真命題，故a，b都是偶數(shù)?a＋b是偶數(shù)．題型1充分條件、必要條件、充要條件的判斷例1(1)判斷下列各題中，p是否是q的充分條件，q是否是p的必要條件：①p：x∈Z，q：x∈R；②p：x是長(zhǎng)方形；q：x是正方形．【解析】

(1)①因?yàn)檎麛?shù)都是有理數(shù)，從而一定也是實(shí)數(shù)，即p?q，因此p是q的充分條件，q是p的必要條件．②因?yàn)殚L(zhǎng)方形不一定是正方形，即p

q，因此p不是q的充分條件，q不是p的必要條件．狀元隨筆p?q由充分條件的定義來(lái)判斷．p?q由必要條件的定義來(lái)判斷．(2)下列各題中，p是q的什么條件(“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”)?①p：x≠0，q：x＋|x|>0.②p：a>0，q：關(guān)于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解．③p：ab>0，a，b∈R，q：|a＋b|＝|a|＋|b|.④p：c＝0，q：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．

③當(dāng)ab>0時(shí)，|a＋b|＝|a|＋|b|成立，所以p?q；因?yàn)閍＝0時(shí)，也有|a＋b|＝|a|＋|b|，所以q

p，所以p是q的充分不必要條件．④當(dāng)c＝0時(shí)，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；當(dāng)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，0＝a×02＋b×0＋c，所以c＝0，所以p?q，所以p是q的充要條件．方法歸納充分條件、必要條件、充要條件的判斷方法1．定義法(1)分清命題的條件和結(jié)論：分清哪個(gè)是條件，哪個(gè)是結(jié)論．(2)找推式：判斷“p?q”及“q?p”的真假．(3)根據(jù)推式及條件得出結(jié)論．①若p?q成立，則p是q的充分條件，同時(shí)q是p的必要條件；②若q?p成立，則p是q的必要條件，同時(shí)q是p的充分條件；③若二者都成立，則p與q互為充要條件．2．等價(jià)轉(zhuǎn)化法：將命題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)與之等價(jià)的且便于判斷真假的命題．3．集合法：寫(xiě)出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷．4．傳遞法：若問(wèn)題中出現(xiàn)若干個(gè)條件和結(jié)論，應(yīng)根據(jù)條件畫(huà)出相應(yīng)的推式圖，根據(jù)圖中推式的傳遞性進(jìn)行判斷．5．特殊值法：對(duì)于選擇題，可以取一些特殊值或特殊情況，用來(lái)說(shuō)明由條件(結(jié)論)不能推出結(jié)論(條件)，但是這種方法不適用于證明題．跟蹤訓(xùn)練1

用充分條件、必要條件填空：(1)x>3是x>5的________；(2)x∈N是x∈Q的________；(3)|x|<2是x<2的________；(4)“我是中國(guó)人”是“我是山東人”的________．必要條件充分條件充分條件必要條件解析：(1)∵(5，＋∞)?(3，＋∞)，∴x>3是x>5的必要條件．(2)x∈N是x∈Q的充分條件．(3)∵(－2，2)?(－∞，2)，∴|x|<2是x<2的充分條件．(4)∵{山東人}?{中國(guó)人}，∴“我是中國(guó)人”是“我是山東人”的必要條件．狀元隨筆題型2用集合觀點(diǎn)解充分條件、必要條件問(wèn)題[數(shù)學(xué)運(yùn)算]例2(1)(多選)[2024·湖北省武漢市一中月考]下列選項(xiàng)中，是x∈(0，2)的必要不充分條件的有(

)A．x∈(0，2)B．x∈[－1，＋∞)C．x∈(0，1)D．x∈(0，3)【答案】

BD【解析】

(1)顯然選項(xiàng)A為充要條件．因?yàn)?0，2)

[－1，＋∞)，(0，2)

(0，3)，所以“x∈[－1，＋∞)(或x∈(0，3))”是“x∈(0，2)”的一個(gè)必要不充分條件．易知C不正確．(2)已知p：{x|－1<x<3}，q：{x|－1<x<m＋1}，若q是p的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【答案】(2，＋∞)【解析】由題意，p：{x|－1<x<3}，q：{x|－1<x<m＋1}，因?yàn)閝是p的必要不充分條件，則m＋1>3，解得m>2，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(2，＋∞)．方法歸納(1)從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．(2)根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件求參數(shù)的取值范圍時(shí)，主要根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件與集合間的關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的兩個(gè)集合之間的包含關(guān)系，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)進(jìn)行求解．跟蹤訓(xùn)練2

(1)設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足a<x<4a(a>0)，q：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足2<x≤5.若q是p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

a≤96≤a≤9

題型3充要條件的證明[邏輯推理]例3證明：a＝b是a2＋b2＝2ab的充要條件．【證明】

方法一先證充分性．因?yàn)閍＝b，所以a2＋b2＝a2＋a2＝2a2，又2ab＝2a2，所以a2＋b2＝2ab.再證必要性，因?yàn)閍2＋b2＝2ab，所以a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b.綜上可知，a＝b是a2＋b2＝2ab的充要條件．方法二因?yàn)閍＝b?a－b＝0?(a－b)2＝0?a2＋b2－2ab＝0?a2＋b2＝2ab，所以a＝b是a2＋b2＝2ab的充要條件．方法歸納充要條件的證明策略(1)要證明一個(gè)條件p是q的充要條件，需要從充分性和必要性?xún)蓚€(gè)方向進(jìn)行，即證明兩個(gè)命題“若p，則q”為真且“若q，則p”為真．(2)在證明的過(guò)程中也可以轉(zhuǎn)化為集合的思想來(lái)證明，證明p與q的解集是相同的，證明前必須分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些條件推證到哪些結(jié)論.提醒：證明時(shí)一定要注意，分清充分性與必要性的證明方向．跟蹤訓(xùn)練3

求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.證明：先證必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1，∴x＝1滿(mǎn)足方程ax2＋bx＋c＝0，則a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.再證充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1.因此，關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.能

力

提

升

練1.(多選)下列說(shuō)法正確的是(

)A．設(shè)a>0，b∈R則“a>b”是“a>|b|”的必要不充分條件B．“c<0”是“二次方程x2＋bx＋c＝0(b，c∈R)有兩個(gè)不等實(shí)根”的充分不必要條件C．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，則“A>B”是“a>b”的充要條件D．設(shè)平面四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)分別為AC，BD，則“四邊形ABCD為矩形”是“AC＝BD”的既不充分也不必要條件答案：ABC解析：對(duì)于A，設(shè)a>0，b∈R，則由a>b不一定得到a>|b|，如a＝1，b＝－2，反之，由a>|b|，可得－a<b<a，即a>b，則“a>b”是“a>|b|”的必要不充分條件，故A正確；對(duì)于B，若c<0，則Δ＝b2－4c>0，可得二次方程x2＋bx＋c＝0(b，c∈R)有兩個(gè)不等實(shí)根；反之，若二次方程x2＋bx＋c＝0(b，c∈R)有兩個(gè)不等實(shí)根，則Δ＝b2－4c>0，即b2>4c，不一定有c<0，∴“c<0”是“二次方程x2＋bx＋c＝0(b，c∈R)有兩個(gè)不等實(shí)根”的充分不必要條件，故B正確；對(duì)于C，△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，則A>B，a>b，即“A>B”是“a>b”的充要條件，故C正確；對(duì)于D，設(shè)平面四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)分別為AC，BD，則由四邊形ABCD為矩形，可得AC＝BD，反之，由AC＝BD，不一定得到四邊形ABCD為矩形，也可能是等腰梯形，∴“四邊形ABCD為矩形”是“AC＝BD”的充分不必要條件，故D錯(cuò)誤．故選ABC.2．指出下列各題中p是q的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選一個(gè)作答)．(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形全等；(3)p：a＞b，q：a＋c＞b＋c.解析：(1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)·(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要條件．(2)兩個(gè)三角形相似

兩個(gè)三角形全等，但兩個(gè)三角形全等?兩個(gè)三角形相似，故p是q的必要不充分條件．(3)a>b?a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c?a>b，故p是q的充要條件．一、選擇題(單選每小題5分，多選每小題6分，共27分)1．(5分)設(shè)集合A＝{x|0≤x＜3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的(

)A．充分條件B．必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：D解析：因?yàn)榧螦＝{x|0≤x＜3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，則由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”也得不到“m∈A”．2．(5分)一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的一個(gè)充分不必要條件是(

)A．a(chǎn)<0B．a(chǎn)>0C．a(chǎn)<－1D．a(chǎn)>1答案：C

3．(5分)[2024·山東省聊城市月考]唐代詩(shī)人杜牧的七絕唐詩(shī)《偶題》傳誦至今，“道在人間或可傳，小還輕變已多年．今來(lái)海上升高望，不到蓬萊不是仙”，由此推斷，后一句中“是仙”是“到蓬萊”的(

)A．必要條件B．充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：B解析：由已知：由“是仙”可以推出“到過(guò)蓬萊”，而“到過(guò)蓬萊”不一定推出“是仙”，所以“是仙”是“到蓬萊”的充分不必要條件，故選B.4．(6分)(多選)下列選項(xiàng)中，是a≥b的充分不必要條件的是(

)A．a(chǎn)>bB．a(chǎn)>0>bC．|a|≥|b|D．a(chǎn)＝b＝0答案：ABD5．(6分)(多選)對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題中正確的是(

)A．“a＝b”是“ac＝