福建省寧德市2024-2025學年高三上學期期中聯(lián)考數(shù)學試卷含答案

福建省寧德市2024-2025學年高三上學期期中聯(lián)考數(shù)學試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．某一物質在特殊環(huán)境下的溫度變化滿足：（為時間，單位為為特殊環(huán)境溫度，為該物質在特殊環(huán)境下的初始溫度，為該物質在特殊環(huán)境下冷卻后的溫度），假設一開始該物質初始溫度為100℃，特殊環(huán)境溫度是20℃，則經(jīng)過15min，該物質的溫度最接近（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．54℃ B．52℃ C．50℃ D．48℃3．在中，已知是關于的方程的兩個實根，則角的大小為（

）A． B． C． D．4．對任意實數(shù),“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．6．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．7．已知，則（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)，若對任意的，都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題9．已知三次函數(shù)的圖象如圖，則下列說法正確的是（

）

A． B．C． D．的解集為10．已知函數(shù)，則（

）A．與的圖象有相同的對稱中心B．與的圖象關于軸對稱C．與的圖象關于軸對稱D．的解集為11．已知函數(shù)的定義域為，且，若，則（

）A． B．關于中心對稱C． D．函數(shù)有最大值三、填空題12．已知復數(shù)滿足，則．13．已知，則的最小值為．14．已知，若函數(shù)恰有三個零點，則的取值范圍為．四、解答題15．已知函數(shù)為上的奇函數(shù)．(1)求；(2)若函數(shù)，討論的極值．16．在銳角中，內角的對邊分別為，且.(1)求角A的大??；(2)若，點是線段的中點，求線段長的取值范圍．17．在三棱錐中，底面，，，，分別為的中點，為線段上一點．(1)求證：平面；(2)若平面底面且，求二面角的正弦值．18．已知函數(shù)，其中是實數(shù)．(1)若，求的單調區(qū)間；(2)若函數(shù)在定義域上是單調函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(3)若恒成立，求的最小值．19．已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為，且函數(shù)圖象過點．(1)若函數(shù)是偶函數(shù)，求的最小值；(2)令，記函數(shù)在上的零點從小到大依次為，求的值；(3)設函數(shù)，如果對于定義域D內的任意實數(shù)，對于給定的非零常數(shù)，總存在非零常數(shù)T，恒有成立，則稱函數(shù)是D上的“級周期函數(shù)”，周期為T．請?zhí)骄渴欠翊嬖诜橇銓崝?shù)，使函數(shù)是R上的周期為T的T級周期函數(shù)，并證明你的結論．參考答案：題號12345678910答案ACDCCDBDACDABD題號11答案BD1．A【分析】通過解不等式求出的元素，進而利用集合的交集運算即可求解.【詳解】不等式的解集等價于不等式組的解集，即，得，又，解得，于是，，則.故選：A2．C【分析】由題意得到，進而求解即可.【詳解】由初始溫度為100℃，特殊環(huán)境溫度是20℃，時間15min代入題中式子得：，即，即.故選：C.3．D【分析】利用韋達定理結合兩角和的正切公式求出的值，根據(jù)誘導公式得出，即可求得C角的值.【詳解】由題意，，所以，由，故，又，所以.故選：D4．C【分析】我們需要先求出在上的取值范圍，再根據(jù)充分必要條件的定義來判斷.【詳解】對于函數(shù)，根據(jù)均值不等式（當且僅當時取等號），則.當即時取等號，但是，所以判斷充分性:若，因為時，那么，所以充分性成立.判斷必要性:若，當時，顯然，所以必要性成立.所以“”是“”的充要條件.故選：C.5．C【分析】利用函數(shù)的奇偶性和特殊函數(shù)值驗證求解.【詳解】函數(shù)的定義域為，，則函數(shù)為奇函數(shù)，排除選項和；當時，函數(shù)值為，取，排除選項,故選：.6．D【分析】由導數(shù)確定函數(shù)的單調性，然后確定，利用此性質化簡不等式為形式，再由單調性求解．【詳解】由已知，當且僅當時等號成立，所以是上的增函數(shù)，又，所以不等式化為，所以，解得或．故選：D．7．B【分析】利用計算即可.【詳解】令，則，顯然時，時，所以在0,+∞上單調遞增，在0,1上單調遞減，在1,+∞上單調遞增，所以（時取得等號），（時取得等號），故，即.故選：B8．D【分析】利用同構分離參數(shù)，構造函數(shù)證明得出即可計算參數(shù)范圍.【詳解】，即，令，顯然時，時，即在0,+∞上單調遞增，在上單調遞減，所以，則，又，當且僅當時，等號成立．．故選：D．【點睛】思路點睛：對于指對結合的復雜函數(shù)，有時利用同構思想處理比較方便，通過常用的函數(shù)放縮計算參數(shù)范圍即可.9．ACD【分析】設，分析可知的極值點為、，以及為奇函數(shù)，可求得，，根據(jù)函數(shù)的單調性可得出，逐項分析可得出合適的選項.【詳解】由圖可知，三次函數(shù)為奇函數(shù)，且的極值點為、，設，則，可得，由奇函數(shù)的定義可得f?x=?fx所以，可得，則，由題意可得，可得，則，由圖可知，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為?1,1，故不等式的解集為?1,1，所以，對于A選項，由題意可知，，由導數(shù)的定義可得，故A正確；對于B選項，，，由，，所以，故B錯誤；對于C選項，，所以，故C正確；對于D選項，由，可得，解得或，因此，不等式的解集為，故D正確.故選：ACD10．ABD【分析】根據(jù)誘導公式先得出，再利用三角函數(shù)的圖象與性質一一判定選項即可.【詳解】，即與的圖象關于軸對稱，令，且有相同的對稱中心，故A、B正確，C錯誤；由不等式，令，故D正確.故選：ABD11．BD【分析】利用賦值法及抽象函數(shù)的性質一一判定即可.【詳解】令，則，又，故A錯誤；令，則，又，，再令，的圖象關于中心對稱，故B正確；由B得，當時，，故C錯誤；由B得，在時取到最大值，故D正確．【點睛】方法點睛：對于抽象問題利用賦值法是常用方法，結合B的結論確定函數(shù)解析式即可判定C、D.12．1【分析】利用復數(shù)的除法運算，共軛復數(shù)的定義及模長公式計算即可.【詳解】由，則.故答案為：113．；【分析】湊配出積的定值，再由基本不等式得最小值．【詳解】因為，，所以，當且僅當，即時等號成立，故答案為：．14．【分析】先通過導數(shù)研究的單調性與最值，結合換元法將問題化為的零點問題，根據(jù)導數(shù)的幾何意義計算參數(shù)即可.【詳解】設，則，，得，當單調遞增，當單調遞減，當時，函數(shù)取得最大值1，如圖1，畫出函數(shù)的圖象，由，即，則恒過點，如圖，畫出函數(shù)的圖象，設過點的切線與相切于點，則，得，即切點，所以切線方程為，如圖2，則與有2個交點，，如圖可知，若函數(shù)恰有三個零點，則，，則，所以，綜上可知，．故答案為：【點睛】思路點睛：對于復合函數(shù)的零點問題，通常利用換元法與數(shù)形結合的思想.15．(1)(2)極大值為；無極小值.【分析】（1）由，解得，再代入檢驗即可；（2）利用導數(shù)求解即可.【詳解】（1）因為函數(shù)為R上的奇函數(shù)，由，此時，則，所以為奇函數(shù)．所以；（2）由（1）得：定義域為R，，由，得；由，得，在上單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得極大值，極大值；無極小值.16．(1)；(2).【分析】（1）先由正余弦定理得，接著切化弦得，從而求得即可得解.（2）先由余弦定理得，接著由平方得，由正弦定理邊化角結合三角恒等變換公式計算化簡得，再結合角B的取值范圍即可求解.【詳解】（1）因為，所以由正余弦定理得，又，所以，又是銳角三角形，所以，所以，所以，又，所以.（2）由余弦定理可得，即，又，所以，又由正弦定理可得，所以，，所以，由題意得解得，則，所以，所以，所以，所以線段長的取值范圍為.17．(1)證明見解析(2)．【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法求二面角.【詳解】（1）解法一：連接交與點，則，，，故，從而，從而，底面，底面，∴，又，平面，故平面解法二：連接，由分別為，的中點，所以，，又因為，，，所以，故，從而，∵底面，底面，∴，又，平面，故平面（2）因為，故以點為坐標原點，所在直線分別為軸，過點作垂直于平面的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，,,,,，則，，,因為平面底面，且，則平面，則,易得平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，則，可得，令可得，設二面角為，則，故二面角的正弦值為．18．(1)在單調遞增，單調遞減；(2)(3)．【分析】（1）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性計算即可；（2）根據(jù)函數(shù)單調分類討論確定導函數(shù)的符號，利用二次求導確定導函數(shù)的單調性及最值即可；（3）取特殊值先得到，再構造函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調性與最值證明成立即可.【詳解】（1）當時，，則，易知單調遞減，且時，，所以令f′x>0，解得，令f′所以在單調遞增，0,+∞單調遞減；（2）函數(shù)的圖象是連續(xù)的，且在定義域上是單調函數(shù)，在定義域內恒成立，或，在定義域內恒成立．令，顯然在為負，為正，所以在單調遞減，單調遞增，①若在定義域內恒成立，只需，即，②若在定義域內恒成立，時，，故該情況無解．綜上：；（3）若恒成立，則，當時，，即，下證成立，由得，恒成立，即，易知在上分別單調遞增、單調遞減，又記，要滿足題意需零點相同，即，解得，即只需證恒成立，，由（2）得在上單調遞減，在上單調遞增，又在上為正，在上為負，在上為負，在上單調遞增，在上單調遞減，，即恒成立，最小值為．【點睛】思路點睛：第三問根據(jù)不等式恒成立選擇特殊值得出，之后驗證滿足題意，利用消元思想將雙變量問題轉化為單變量問題，借助因式分解及函數(shù)單調性確定a的值，最后利用導數(shù)研究函數(shù)單調性與最值計算即可.19．(1)．(2)(3)存在，證明見解析【分析】（1）利用三角函數(shù)的周期性及過點坐標先確定，再根據(jù)奇偶性計算參數(shù)即可；（2）結合（1）的結論轉化零點個數(shù)為函數(shù)交點問題，根據(jù)三角函數(shù)的圖象與對稱性計算即可；（3）根據(jù)定義得出恒成立，利用三角函數(shù)的有界性得出，分類討論時構造函數(shù)，根據(jù)零點存在性定理判定其零點唯一，得出，再討論時，通過指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的性質與圖象排除即可.【詳解】（1）圖象的相鄰的兩條對稱軸間的距離為的最小正周期為，，又的圖象過點．，因為函數(shù)是偶函數(shù)，．的最小值．（2）由可得，，設，由與圖象可知在共有8個交點．，，同理，．（3）假設存在非零實數(shù)，使得函數(shù)是上的周期為的級周期函數(shù)