福建省廈門市2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考 數(shù)學(xué)試卷含答案

福建省廈門市2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．22．若直線經(jīng)過兩點(diǎn)、且的傾斜角為，則的值為（

）A． B． C． D．3．“”是“直線與直線互相垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中表示直線與，正確的是（

）A． B．C． D．5．設(shè)是單位正交基底，已知，若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．6．過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

）A． B．C．或 D．或7．如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．8．已知點(diǎn)，，若過點(diǎn)的直線與線段相交，則該直線斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．（多選題）下列說法中，正確的有（

）A．已知直線：，始終過定點(diǎn)B．直線在軸上的截距是C．直線的傾斜角為30°D．過點(diǎn)并且傾斜角為90°的直線方程10．關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（

）A．若，則向量，的夾角是銳角B．空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面C．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面D．若分別表示空間兩向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不共面11．在長(zhǎng)方體中，，以為原點(diǎn)，以分別為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列說法正確的是（

）A．B．平面的一個(gè)法向量為C．異面直線與所成角的余弦值為D．平面與平面夾角的余弦值為三、填空題（本大題共3小題）12．若l1與l2的斜率k1，k2是關(guān)于k的方程的兩根，若l1⊥l2，則b=；若l1l2，則b=.13．已知，直線過原點(diǎn)且平行于，則A到的距離為.14．如圖，長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，則的最大值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn).(1)求點(diǎn)P坐標(biāo)；(2)若直線垂直于，求直線的方程；(3)若直線與經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線平行，求直線的方程.16．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）中，分別為，的中點(diǎn)，設(shè)，，.(1)用，，分別表示向量，；(2)求異面直線與所成角的余弦值.17．已知直線過點(diǎn)，且與軸、軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，求直線的方程；(2)當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求直線的方程.18．如圖，棱長(zhǎng)為的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)．(1)求證：直線與平面平行；(2)求直線與平面的距離；(3)求直線與平面所成角的正弦值.19．如圖，在四棱錐中，，，四邊形是菱形，，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且.(1)證明：平面；(2)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求面PAB法向量和平面ACE的法向量；(3)是否存在實(shí)數(shù)，使得平面與平面的夾角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案1．【答案】C【分析】直接利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C2．【答案】D【分析】根據(jù)斜率的定義以及斜率公式可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，解之即可.【詳解】由斜率的定義可得，即，解得.故選：D.3．【答案】C【解析】利用兩直線垂直時(shí)它們的一般方程的系數(shù)間的關(guān)系可求的值.【詳解】若直線與直線互相垂直，則，解得.所以“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件，選C.4．【答案】D【分析】結(jié)合一次函數(shù)參數(shù)的幾何意義判斷即可【詳解】過坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的傾斜角為45°，A，B選項(xiàng)中圖象不合題意；對(duì)于選項(xiàng)C，過坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則直線在y軸上的截距應(yīng)該大于零，選項(xiàng)中圖象不合題意；對(duì)于選項(xiàng)D，過坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則直線在y軸上的截距應(yīng)該小于零，選項(xiàng)中圖象符合題意．故選：D5．【答案】A【詳解】因?yàn)?，向量在基底下的坐?biāo)為，所以，所以向量在基底下的坐標(biāo)是.故選：A6．【答案】D【分析】分直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況討論，結(jié)合直線的截距式即可得解.【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)在兩坐標(biāo)軸上的截距都為，滿足題意，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的斜率為，所以直線方程為，即，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，解得，所以直線方程為，故所求直線方程為或.故D項(xiàng)正確.故選D.7．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，，進(jìn)而求出線線角的向量公式即可求出結(jié)果.【詳解】如圖所示，以D為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，則.所以，因?yàn)?，所?故選C.

8．【答案】B【分析】首先求出直線,的斜率，然后結(jié)合圖象即可寫出答案．【詳解】記為點(diǎn)，直線的斜率，直線的斜率，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且與線段相交，所以結(jié)合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是．故選B．9．【答案】ABD【分析】代入驗(yàn)證可判定A;根據(jù)縱截距的定義可判定B；根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系可以判定C；根據(jù)傾斜角為90°的直線斜率不存在，方程為的形式，進(jìn)而可以判定D.【詳解】∵,可知A正確；由直線的斜截式方程可知，B正確；由方程可得直線的斜率為，可知傾斜角為60°，故C錯(cuò)誤；根據(jù)傾斜角為90°的直線斜率不存在，方程為的形式，再根據(jù)經(jīng)過點(diǎn)(5,4),∴直線的方程為，故D正確.故選：ABD.10．【答案】BC【分析】根據(jù)空間向量共面定理即可判斷B；根據(jù)，得到，即可判斷A；根據(jù)判斷四點(diǎn)共面即可判斷C；根據(jù)異面直線的平行線即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：若，則，則向量，的夾角可以為0不是銳角,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：根據(jù)空間向量共面定理知，空間中三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面，故B正確.對(duì)于C：因?yàn)?，且，所以四點(diǎn)共面,故C正確.對(duì)于D：分別表示空間兩向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量是異面直線的平行線可以共面，故D錯(cuò)誤.故選BC.11．【答案】BD【詳解】由題意可得選項(xiàng)A：，，即不成立；選項(xiàng)B：設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由，則所以，取，得.選項(xiàng)C：，所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.選項(xiàng)D：由上可得平面的一個(gè)法向量為，又平面的法向量為，則，所以兩個(gè)平面夾角的余弦值為，則D正確.故選：BD12．【答案】2【詳解】當(dāng)l1⊥l2時(shí)，，得b=2.當(dāng)l1l2時(shí)，k1=k2，，得.故答案為：2，.13．【答案】/【詳解】由題，又直線的方向向量可取，則，則A到的距離為距離為：.故答案為：14．【答案】3【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得關(guān)于的函數(shù)，再求解函數(shù)最值即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取最大值，最大值為3.故答案為：3.【思路導(dǎo)引】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，得到各點(diǎn)坐標(biāo)，假設(shè)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.15．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）聯(lián)立，解得，故；（2）直線垂直于，故設(shè)直線方程為，將代入得，，解得，故直線方程為；（3），故直線的斜率為，直線的方程為，化為一般式方程為.16．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）因?yàn)榉謩e為，的中點(diǎn)，設(shè)，，，所以，；（2）由題意可得，，則，由（1）知，，所以，，，所以，所以異面直線AM與所成角的余弦值為.17．【答案】(1)；(2)或【詳解】（1）設(shè)直線的方程為，且由，得，由直線過點(diǎn)，得，解得，所以直線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，且直線不經(jīng)過原點(diǎn)，由題意知，，，解得或，所以直線的方程為或.18．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）由圖可得：，，，，，，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，可得，即可取，有，故，又平面，故直線與平面平行；（2）由直線與平面平行，故直線與平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相同，設(shè)到平面的距離為，有，則，即直線與平面的距離為；（3），設(shè)直線與平面所成角，所以，即直線與平面所成角的正弦值為.19．【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析(3)存在，【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所?因?yàn)槠矫妫?/p>