第4章 圖形的相似（6類壓軸題專練）

第4章圖形的相似（壓軸題專練）題型01：相似三角形的解答證明題1．在△ABC中，F(xiàn)為邊AB上一點．

(1)如圖1，若AC2=AF?AB(2)若G為CF的中點，AC=4，①如圖2，若∠FBG=∠ACF，AB=5，求BF的長；②如圖3，若∠ABC=30°，∠A=∠BGF=45°，直接寫出BF的長．2．已知：在△ABC中，BA=BC，點E是AC的中點，F(xiàn)是直線BC上一點，連接EF，將△EFC沿著EF折疊，點C的對應(yīng)點為D，連接AD．

(1)如圖1，若點D在線段AB上，求證：EF∥(2)如圖2，DF與AB交于點M，連接，若∠DAF=∠EAF，求證：點M是AB的中點；(3)如圖3，點F在CB延長線上，DF與AB交于點M，EF交AB于點N，若，DE=EN=3，求MF?MA3．在△ABC中，AB=AC，在△DEC中，DE=DC，且∠BAC=

(1)如圖1，當(dāng)α=60°時，連接AD，請直接寫出線段AD和線段的數(shù)量關(guān)系；(2)當(dāng)α=60°時，△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，∠EBD=30°時，試猜想線段BD,BC,BE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)當(dāng)α=90°時，△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置，∠EBD=45°時，請直接寫出線段BD,BC,BE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．4．某校組織數(shù)學(xué)興趣探究活動，愛思考的小實同學(xué)在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時發(fā)現(xiàn)，兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．如圖1、圖2、圖3中，、是△ABC的中線，AF⊥BE于點P，像△ABC這樣的三角形均稱為“中垂三角形”．

【特例探究】(1)如圖1，當(dāng)∠PAB=45°，AB=62時，如圖2，當(dāng)∠PAB=30°，AB=4時，AC=______，BC=______；【歸納證明】(2)請你觀察（1）中的計算結(jié)果，猜想AB2、BC2、【拓展證明】(3)如圖4，在△ABC中，AB=43，BC=25，D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點，連結(jié)DE并延長至G，使得，連結(jié)BG，當(dāng)BG⊥AC于點M時，求GF題型02：相似三角形在特殊平行四邊形中的應(yīng)用5．已知四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=2．

(1)如圖1，P是BD上一點，連接AP并延長，交BC的延長線于點E，交CD于點F，若CE=4，①求CF的長；②求PF的長；(2)如圖2，M是AD的中點，連接BM，過點M作MN⊥BM交BC的延長線于點N，點Q在BC上，連接MQ，分別過點B，N作直線MQ的垂線，垂足分別為G，H，若BG=1，求GH的長；(3)如圖3，J為AB上一點，L為BC上一點，BJ=BL，分別過點J，L作BC，AB的平行線，兩條直線交于點K，將四邊形BJKL繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，如圖4，直線交直線DK于點R，求AJDK的值及∠ARD6．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點，將△AEB沿翻折到△BEF處，延長EF交CD邊于G點，求證：△BFG≌△（2）探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，且AD=8，AB=6，將△AEB沿翻折到△BEF處，延長EF交BC邊于G點，延長交CD邊于點，且FH=CH，求FG的長．（3）拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB=6，E為CD邊上的三等分點，∠D=60°．將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線EF交BC于點P，求PC的長．

7．綜合與實踐

(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，諸葛小組將正方形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使點B落在正方形內(nèi)部的點M處，折痕為AE，再將紙片沿過點A的直線折疊，使AD與AM重合，折痕為，請寫出圖中的一個45°角；(2)【拓展探究】如圖2，孔明小組繼續(xù)將正方形紙片沿EF繼續(xù)折疊，點C的對應(yīng)點恰好落在折痕AE上的點N處，連接NF交AM于點P．①∠AEF=②若AB=3，求線段PM(3)【遷移應(yīng)用】如圖3，在矩形ABCD，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，將矩形ABCD沿AE，折疊，點B落在點M處，點D落在點G處，點A，M，G恰好在同一直線上，若點F為CD的三等分點，，，請直接寫出線段的長．8．在矩形ABCD中，點E是射線BC上一動點，連接AE，過點B作BF⊥AC于點G，交直線CD于點F．

(1)當(dāng)矩形ABCD是正方形時，以點F為直角頂點在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，連接EH．如圖1，則線段AE與EH之間的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(2)如圖2，若點E在線段BC上，以點F為直角頂點在矩形ABCD的外部作直角三角形CFH，且FHFCABBC=m，連接EH．判斷線段AE與(3)如圖3，若點E在線段BC的延長線上，F(xiàn)在線段CD的延長線上，且FH=62，F(xiàn)D:FC=1:4，M是BH中點，連接GM，BG=22，求題型03：相似三角形與平面直角坐標(biāo)系9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+203過點A5,0，C2,a，與y軸交于點B．點D，E分別為線段OB，

(1)求k和a的值；(2)當(dāng)∠AEC與△CDE中的一個角相等時，求線段OD的長；(3)如圖2，連接交CD于點，將點B繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至點B'，若點B'到x軸的距離恰好等于OD的長，求△BDH的面積．10．如圖1，已知直線l1：y=kx+4交x軸于A(4,0)，交y軸于

(1)直接寫出k的值為_________；B點坐標(biāo)為_________；(2)如圖2，過C(?2,0)點的直線l2:y=12x+n與AB交于點P，點Q為射線PA上一動點，若點Q到直線CP的距離為2(3)如圖3，已知點M(?1,0)，點N(5m,3m+2)為直線AB右側(cè)一點，且滿足∠OBM=∠ABN11．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點A在x軸的正半軸上．如圖2，將正方形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，AB交直線y=x于點E，BC交y軸于點F．

(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠COF為多少度時，OE=OF；（直接寫出結(jié)果，不要求寫解答過程）(2)若點A4，3①求FC的長；②連接對角線AC交直線y=x于點N，求FN的長；(3)如圖3，對角線AC交y軸于點M，交直線y=x于點N，連接FN．將△OFN與△OCF的面積分別記為與，設(shè)S=S1?S2，AN=n，求S12．如圖所示，直線y=?34x+b與x軸相交于點A4,0，與y軸相交于點B，將△AOB沿著y軸折疊，使點A落在x(1)求點C的坐標(biāo)；(2)設(shè)點P為線段CA上的一個動點，點P與點A、C不重合，連接PB，以點P為端點作射線PM交AB于點M，使∠BPM=①求證：△PBC②是否存在點P使△PBM為直角三角形?若存在，請求出點P題型04：動點問題13．探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，D是AB邊上一點，且ADBD=1n（n為正整數(shù)），E是AC邊上的動點，過點D作

【初步感知】(1)如圖1，當(dāng)n=1時，興趣小組探究得出結(jié)論：AE+BF=2【深入探究】(2)①如圖2，當(dāng)n=2，且點F在線段BC上時，試探究線段AE，BF，AB之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段AE，BF，AB之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）【拓展運用】(3)如圖3，連接EF，設(shè)EF的中點為M．若AB=22，求點E從點A運動到點C的過程中，點M運動的路徑長（用含n14．某托管服務(wù)數(shù)學(xué)興趣小組針對如下問題進(jìn)行探究，在等邊△ABC中，AB=2，點D在射線BC上運動，連接AD，以AD為一邊在AD右側(cè)作等邊△ADE

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖（1），當(dāng)點D在線段BC上運動時(不與點B重合),連接CE．則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是___________；直線BA與CE的位置關(guān)系是___________；(2)【拓展延伸】如圖（2），當(dāng)點D在線段BC的延長線上運動時，直線AD，CE相交于點M，請?zhí)骄俊鱉AE的面積與△MDC(3)【問題解決】當(dāng)點D在射線BC上運動時(點D不與點B,C重合)，直線AD，CE相交于點M，若△MCD的面積是32，請求出線段BD15．綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形與垂直”為主題開展數(shù)學(xué)活動．(1)操作判斷如圖1，正方形紙片ABCD，在邊BC上任意取一點E，連接AE，過點B作BF⊥AE于點G，與邊CD交于點F．根據(jù)以上操作，請直接寫出圖1中線段AE與線段的關(guān)系．

(2)遷移探究小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：如圖2，在矩形紙片ABCD中，AB:AD=m:n，在邊BC上任意取一點E，連接AE，過點B作BF⊥AE于點G，與邊CD交于點F，請求出線段AE與的關(guān)系，并說明理由．

(3)拓展應(yīng)用如圖3，已知正方形紙片ABCD的邊長為2，動點E由點A向終點D做勻速運動，動點F由點D向終點C做勻速運動，動點E、F同時開始運動，且速度相同，連接、，交于點G，連接GD，則線段GD長度的最小值為______，點G的運動軌跡的長為______．（直接寫出答案不必說明理由）

題型05：動態(tài)幾何16．綜合與實踐綜合與實踐課上，數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展教學(xué)活動．【操作判斷】

如圖①，在矩形ABCD中，，點M，P分別在邊AB，AD上（均不與端點重合）且AP=nAM，以AP和AM為鄰邊作矩形AMNP，連接AN，CN．（1）如圖②，當(dāng)n=1時，BM與PD的數(shù)量關(guān)系為，CN與PD的數(shù)量關(guān)系為．【遷移探究】（2）如圖③，當(dāng)n=3時，天天先將矩形AMNP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，再連接PD，則CN與PD之間的數(shù)量關(guān)系是．【拓展應(yīng)用】（3）在（2）的條件下，已知AD=6，AP=3，當(dāng)矩形AMNP旋轉(zhuǎn)至C，N，M三點共線時，求線段CN的長．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABOC的兩直角邊分別在坐標(biāo)軸的正半軸上，分別取的中點D,E，連接，已知OB=4．

(1)求證：AE=AD．(2)求△AED(3)將△AED沿ED翻折，使得A落在點F處，連接．若點P在x軸正半軸上（異于點D），點Q在y軸上，要使得以點A,P,Q，為頂點的三角形與△AEF相似，求點P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．18．如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D在△ABC內(nèi)部，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE．

(1)直接寫出線段BD與CE的關(guān)系為________；(2)如圖2，連接DE，當(dāng)B，D，E三點共線時，作AH⊥DC于點交于點G，求AGCD的值；(3)在（2）的條件下，設(shè)AC與交于點F，若CF=kAF，直接寫出的值．（用含k的式子表示）題型06：最值、定值問題19．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到△A'BC'，其中點A，C

(1)如圖1，當(dāng)點A'落在AC的延長線上時，求A(2)如圖2，當(dāng)點C'落在AB的延長線上時，連接CC'，交A'B(3)如圖3，連接AA'，CC'，直線CC'交AA'于點D，點E為20．（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，正方形BEFG與正方形ABCD的頂B重合，、BG分別在BC、BA邊上，連接DF，則有：①DFAG②直線DF與直線AG所夾的銳角等于______度；（2）理解運用將圖1中的正方形BEFG繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，連接DF、AG，①如圖2，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，若D、F、G三點在同一直線上，且過AB邊的中點O，BE=4，直接寫出AB的長等于______；（3）拓展延伸如圖4，點P是正方形ABCD的AB邊上一動點（不與A、B重合），連接PC，沿PC將△PBC翻折到△PEC位置，連接DE并延長，與CP的延長線交于點F，連接，若AB=4PB，則DE

21．某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：

【觀察與猜想】(1)如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD上的兩點，連接DE，CF，若DE⊥CF，則DECF(2)如圖2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，E是AD上的一點，連接CE，BD，若，則的值為___________；【類比探究】(3)如圖3，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，E為AB上一點，連接DE，過C作DE的垂線交ED的延長線于G，交AD的延長線于F，求證：；【拓展延伸】(4)如圖4，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AD=15，將△ABD沿BD翻折，A落在C處，得到△CBD，F(xiàn)為線段AD上一動點，連接CF，作DE⊥CF，交AB于E，垂足為G，連接AG．若，則AG的最小值為___________．

第4章圖形的相似（壓軸題專練）題型01：相似三角形的解答證明題1．在△ABC中，F(xiàn)為邊AB上一點．

(1)如圖1，若AC2=AF?AB(2)若G為CF的中點，AC=4，①如圖2，若∠FBG=∠ACF，AB=5，求BF的長；②如圖3，若∠ABC=30°，∠A=∠BGF=45°，直接寫出BF的長．【答案】(1)見解析(2)①3；②BF=2【分析】（1）根據(jù)已知條件得出ACAF=AB（2）①解法1：延長FB到點D，使，連結(jié)DC，設(shè)：BF=x，則BD=x，AD=5+x，AF=5?x，證明△ACF∽△ADC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，解方程，即可求解；①解法2：取FA中點D，連結(jié)DG，設(shè)：AD=DF=x，則BD=5?x，證明△DGF∽△②解法1：延長FB到點D，使，連結(jié)DC，過點C作CE⊥AB于點E，證明△DCF∽△DAC，得出DC2=AD?DF，在Rt△DEC中，DC2=DE2+EC2，則AD?DF=DE2+EC2，建立方程，解方程，即可求解；②解法2：過點C作CE⊥AB【解析】（1）∵AC2∵∠A=∴△ACF（2）

①解法1：延長FB到點D，使，連結(jié)DC設(shè)：BF=x，則BD=x，AD=5+x，AF=5?x∵G為CF的中點，B為DF的中點，∴BG是的中位線，∴∴∠∵∠∴∠∵∠∴ACAD=45+x解得：x1=3，∴

①解法2：取FA中點D，連結(jié)DG設(shè)：AD=DF=x，則BD=5?x∵G為CF的中點，D為AF的中點∴DG是△FAC∴DG∥AC，且DG=∴∵∠∴∠∵∠∴DGBD=25?x解得：x1=1，∴AD=DF=1∴②解法1：延長FB到點D，使，連結(jié)DC，過點C作CE⊥AB于點E，

設(shè)：BF=BD=x，∵中，∠A=45°，∴AE=CE=∵Rt△BEC∴BE=∴ED=BD+BE=x+2∴AD=ED+AE=x+2∵G為CF的中點，B為DF的中點∴BG是的中位線，∴BG∴∠∵∠∴∠∵∠∴△DCAD=∴D∵在Rt△DEC中，∴即2x解得：x1=210∴②解法2：過點C作CE⊥AB于點E，在AE上取點D，使CD=CF，

設(shè)：BF=x，∵中，∠A=45°，∴AE=CE=∵Rt△BEC∴BE=∴EF=BE?BF=2∵CD=CF，CE⊥∴DE=EF=2∴AD=AE?DE=2∵在Rt△DEC中，∴CF=CD=∵G為CF的中點，∴FG=∵CD=CF，∠CFD=∴180°?∠CFD=180°?∠CDF，即∠∵∠∴△DCAD=∴DC26解得：x1=210∴【點睛】本題主要考查三角形的綜合性題目，包括相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中點的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，熟練掌握運用這些知識點是解題關(guān)鍵．2．已知：在△ABC中，BA=BC，點E是AC的中點，F(xiàn)是直線BC上一點，連接EF，將△EFC沿著EF折疊，點C的對應(yīng)點為D，連接AD．

(1)如圖1，若點D在線段AB上，求證：EF∥(2)如圖2，DF與AB交于點M，連接，若∠DAF=∠EAF，求證：點M是AB的中點；(3)如圖3，點F在CB延長線上，DF與AB交于點M，EF交AB于點N，若，DE=EN=3，求MF?MA【答案】(1)見解析(2)見解析(3)MF【分析】（1）連接CD，由折疊性質(zhì)得到DC⊥EF，DE=EC，由中點性質(zhì)得到AE=EC=DE，推出點A、D、C三點在以AC為直徑的圓上，∠ADC=90°（2）根據(jù)平行線性質(zhì)得到，根據(jù)∠DAF=∠EAF，得到∠AFE=∠EAF，推出EF=AE=CE，得到點A、F、C三點在以AC為直徑的圓上，∠AFC=∠AFB=90°，設(shè)∠C=∠BAC=α，得到∠EFC=∠DFE=α，推出∠B=∠MFB=180°?2α，推出∠MAF＝∠（3）連接EM、DN，設(shè)∠C＝α，根據(jù)DE=EN=3，結(jié)合折疊與中點性質(zhì)，得到AE=EN=3，推出∠BAC=∠ANE=α，根據(jù)三角形外角性質(zhì)以及折疊性質(zhì)，得到∠FED=∠FEC=2α，根據(jù)等邊對等角，得到∠NDE=∠DNE，根據(jù)∠FDE=∠ANE，推出∠MDN=∠MND，得到MD=MN，推出△MDE≌△MNE，得到∠NEM=∠MED=α，推出∠NEM=∠MNE=α，得到△MEN∽△BAC，得到MNBC=NEAC=12，推出，根據(jù)【解析】（1）證明：連接CD，

由折疊可知，DC⊥EF，DE=EC，∵點E是AC的中點，∴AE=EC=DE，∴點A、D、C三點在以AC為直徑的圓上，∴∠ADC=90°，即DC⊥∴EF∥（2）證明：由（1）知EF∥∴，∵∠DAF=∴∠AFE=∴EF=AE=CE，∴點A、F、C三點在以AC為直徑的圓上，

∴∠AFC=設(shè)∠C=∴∠EFC=∴∠B=∴90°?∠即∠MAF=∴，即點M是AB的中點；（3）解：連接EM、DN，

設(shè)，∵DE=EN=3，，∴AE=EN=3，∴∠BAC=∴∠FED=∵DE=EN，∴∠NDE=∵∠FDE=∴∠MDN=∴MD=MN，∵EM=EM，

∴△MDE∴∠NEM=∴∠NEM=∴△MEN∴MNBC∵，∴，同理△AME∴MAME∴MF?【點睛】本題主要考查了等腰三角形，翻折，勾股定理，相似三角形，圓周角，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理推論，是解決問題的關(guān)鍵．3．在△ABC中，AB=AC，在△DEC中，DE=DC，且∠BAC=

(1)如圖1，當(dāng)α=60°時，連接AD，請直接寫出線段AD和線段的數(shù)量關(guān)系；(2)當(dāng)α=60°時，△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，∠EBD=30°時，試猜想線段BD,BC,BE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)當(dāng)α=90°時，△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置，∠EBD=45°時，請直接寫出線段BD,BC,BE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)AD=BE(2)BC(3)B【分析】（1）根據(jù)條件證明△ACD（2）連接AD，根據(jù)第（1）問△ACD≌△BCE(SAS)和∠ADB+∠DAB+∠DBA=180°，∠ACB+∠CAD+∠CBD+∠DAB+∠DBA=180°可得（3）連接AD，根據(jù)條件證明△ACD∽△BCE，同（2）可證∠DAB+【解析】（1）解：AD=BE，∵AB=AC，DE=DC，∠BAC=∴△ABC,∴∠ACB=∴∠ACD=∴△ACD∴AD=BE；（2）解：BC連接AD，如圖，

由（1）得，△ACD∴∠CAD=∵∠EBD=∴∠CAD+∵∠ADB+∠DAB+∠DBA=180°，∠ACB+∴∠∴∠ADB=90°∴AB∵AB=BC,AD=BE，∴BC（3）解：BC連接AD，如圖，

∵△ABC,∴∠ACB=∴BCAC∴△ACD∴BEAD∴∠CAD=∵∠CBE+∴∠CAD+同第（2）問可證：∠ADB=90°∴AB∵AB=2∴12∴BC【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．4．某校組織數(shù)學(xué)興趣探究活動，愛思考的小實同學(xué)在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時發(fā)現(xiàn)，兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”。如圖1、圖2、圖3中，、是△ABC的中線，AF⊥BE于點P，像△ABC這樣的三角形均稱為“中垂三角形”．

【特例探究】(1)如圖1，當(dāng)∠PAB=45°，AB=62時，如圖2，當(dāng)∠PAB=30°，AB=4時，AC=______，BC=______；【歸納證明】(2)請你觀察（1）中的計算結(jié)果，猜想AB2、BC2、【拓展證明】(3)如圖4，在△ABC中，AB=43，BC=25，D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點，連結(jié)DE并延長至G，使得，連結(jié)BG，當(dāng)BG⊥AC于點M時，求GF【答案】(1)65，65，213(2)AB2、BC2、(3)【分析】（1）如圖1，連接EF，證△PEF∽△PBA，得12PB，12PA，從而得，進(jìn)而根據(jù)勾股定理即可求解AC、BC的長，同理可得當(dāng)∠PAB=30°，AB=4時，AC、BC（2）設(shè)PF=m，PE=n則AP=2m，PB=2n，由勾股定理得2m2+2n2=A（3）如圖4，連接，EF，過點F作FN∥BG交于點N，F(xiàn)G與AC交于點Q，證四邊形EFCG是平行四邊形，得Q是FG的中點，△FCG是中垂三角形，從而根據(jù)即可求解．【解析】（1）解：∵AF∴∠∵∠PAB=45°，AB=62∴AP=PB=6如圖1，連接EF，

∵AF，是△ABC的中線，∴EF是△ABC∴EF∥AB且EF=1∴△PEF∴PE∴12PB，12∴PE=PF=3由勾股定理得：AE=BF=A∴AC=BC=2AE=6如圖2，∵∠PAB=30°，AB=4，AF⊥∴BP=12AB=2∵AF、是△ABC的中線，∴同理可得：PE=12PB=1由勾股定理得：AE=PBF=P∴AC=2AE=213，BC=2BF=2故答案為：65，65，213（2）解：猜想：AB2、BC2、證明：如圖3，設(shè)PF=m，PE=n則AP=2m，PB=2n，在Rt△APB中，在Rt△APE中，在Rt△BPF中，由①得：m2+n2=；（3）解：如圖4，連接，EF，過點F作FN∥BG交于點N，F(xiàn)G與AC交于點Q，

∵FN∥BG，BG⊥∴FN是BC的中點，∴N是的中點，、E分別是AB、AC的中點，∴DE=FC，DE∥∵ED=EG，，∴四邊形EFCG是平行四邊形，是FG的中點，∴△∵AB=43，BC=2∴CG=EF=BD=23，由（2）中結(jié)論可知：，即5×5=（23∴【點睛】本題主要考查了勾股定理、平行四邊形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)以及中點定義，熟練掌握勾股定理及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型02：相似三角形在特殊平行四邊形中的應(yīng)用5．已知四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=2．

(1)如圖1，P是BD上一點，連接AP并延長，交BC的延長線于點E，交CD于點F，若CE=4，①求CF的長；②求PF的長；(2)如圖2，M是AD的中點，連接BM，過點M作MN⊥BM交BC的延長線于點N，點Q在BC上，連接MQ，分別過點B，N作直線MQ的垂線，垂足分別為G，H，若BG=1，求GH的長；(3)如圖3，J為AB上一點，L為BC上一點，BJ=BL，分別過點J，L作BC，AB的平行線，兩條直線交于點K，將四邊形BJKL繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，如圖4，直線交直線DK于點R，求AJDK的值及∠ARD【答案】(1)①43；②7(2)6?(3)AJDK=【分析】（1）①利用菱形和相似三角形的性質(zhì)求解即可；②作AI⊥BC，利用勾股定理求得AI，AE，再利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；（2）作BS⊥AD，NT⊥（3）連接AC、BD交于點O，連接BK，LJ交于點O'【解析】（1）解：①四邊形ABCD是菱形∴CF∥AB，AB=BC=2∴△∴CF∵BE=BC+CE=6∴CF2=4②作AI⊥

∵∠∴∠BAI=30°，BI=∴AI=AB∴AE=由題意可得：AD∴△APD∽△EPB，△∴APEP=∴AP=14PF=AF?AP=7（2）作BS⊥AD，NT⊥

則四邊形BNTS為矩形，則∠∴AS=12∵M(jìn)為AD的中點，∴AM=DM=∴SM=2，BM=∵∴∠∴∠∴∠∴△∴SBMT=MN=212∵BG⊥MG，NH∴∠∴∠BMG+∠NMH=∠BMG+∠GBM=90°，GM=∴∠∴△∴BMMN=解得MH=∴GH=（3）連接AC、BD交于點O，連接BK，LJ交于點O'，設(shè)交BD于W，

∵四邊形ABCD是菱形，BJ=BL∴四邊形JBLK是菱形，BD=2BO，AC⊥BD，∠∴BK=2O'B，∴AB=2OA，，O'B=3∴OBAB=∴BDAB=∴BK∵∠DBK=∠DBJ+∠JBK=∠DBJ+30°，∠∴∠∴△∴AJDK=在△WAB和△WDR中，∠BAJ=∠BDK，∠AWB=∴∠【點睛】此題考查了菱形的判定與性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)，作出輔助線，構(gòu)造出“手拉手”模型．6．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點，將△AEB沿翻折到△BEF處，延長EF交CD邊于G點，求證：△BFG≌△（2）探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，且AD=8，AB=6，將△AEB沿翻折到△BEF處，延長EF交BC邊于G點，延長交CD邊于點，且FH=CH，求FG的長．（3）拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB=6，E為CD邊上的三等分點，∠D=60°．將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線EF交BC于點P，求PC的長．

【答案】（1）見解析；（2）74；（3）CP的長為32或【分析】（1）先證明∠BFG=90°=∠C，AB=BC=BF，結(jié)合公共邊從而可得結(jié)論；（2）延長BH，AD交于Q，如圖：設(shè)FH=HC=x，則BH=BF+FH=6+x，由，可得x=73，證明△（3）分兩種情況討論：當(dāng)時，延長FE交AD于Q，過Q作QH⊥CD于，如圖：設(shè)DQ=x，，則AQ=6?x，證明△CPE∽△DQE，可得CP=2x，再證明AQAF=QEEF，即6?x6=y2①，由，可得(2?12x)2+(32x)2=y2②，聯(lián)立①②可解得x=34，可得答案；當(dāng)時，延長FE交AD延長線于Q'，過Q'作Q【解析】（1）證明：∵將△AEB沿翻折到△BEF處，四邊形ABCD∴AB=BF，∠，，BG=BG，∴Rt（2）解：延長BH，AD交于Q，如圖：

設(shè)FH=HC=x，則BH=BF+FH=6+x，在Rt△BCH中，，解得x=7，，，∴△BFGBFBC=BGBH，，（3）（Ⅰ）當(dāng)時，延長FE交AD于Q，過Q作QH⊥CD于，如圖：

設(shè)DQ=x，，則AQ=6?x，∵CP∥∴△∴，，∵△ADE沿AE翻折得到△，AF=AD=6，∠QAE=∠∴AE是△∴E到AQ，的距離相等，設(shè)這個距離為，∴S△AQAF=QEEF，即∵∠，，，在Rt△HQE中，②，聯(lián)立①②可解得x=3；（Ⅱ）當(dāng)時，延長FE交AD延長線于Q'，過Q'作Q'H'⊥

設(shè)DQ'=x'同理，同理可得：，即6+x'由得：，可解得x'同理可得：DQ，綜上所述，CP的長為32或6【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，矩形，菱形，正方形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．7．綜合與實踐

(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，諸葛小組將正方形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使點B落在正方形內(nèi)部的點M處，折痕為AE，再將紙片沿過點A的直線折疊，使AD與AM重合，折痕為，請寫出圖中的一個45°角；(2)【拓展探究】如圖2，孔明小組繼續(xù)將正方形紙片沿EF繼續(xù)折疊，點C的對應(yīng)點恰好落在折痕AE上的點N處，連接NF交AM于點P．①∠AEF=②若AB=3，求線段PM(3)【遷移應(yīng)用】如圖3，在矩形ABCD，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，將矩形ABCD沿AE，折疊，點B落在點M處，點D落在點G處，點A，M，G恰好在同一直線上，若點F為CD的三等分點，，，請直接寫出線段的長．【答案】(1)∠EAF(2)①60；②(3)2或97【分析】（1）由ABCD是正方形，得出∠C=∠BAD=90°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得:∠（2）①由ABCD是正方形，得∠B=∠C=90°，由折疊的性質(zhì)得:∠NFE=∠CFE，∠ENF=∠C=90°，∠AFD=∠AFM，則∠ANF=180°?90°=90°，由(1)得:②由①可知，∠AEF=30°，則有∠BAE=∠（3）先添加輔助線，然后分兩種情形：當(dāng)DF=2CF，當(dāng)CF=2DF，分別求解即可．【解析】（1）結(jié)論:∠EAF=45°，理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C=由折疊的性質(zhì)得:∠BAE=∠MAE∴∠MAE+∴∠（2）①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=由折疊的性質(zhì)得:∠NFE=∠CFE，∠∴∠ANF=180°?90°=90°，由(1)得:∠∴△ANF∴∠AFN=45°∴∠AFD=∴245°+∴∠NFE=∴∠AEF=90°?30°=60°故答案為：60；②∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∵∠AEB=60°∴∠BAE=∵AB=BC=3∴，AF=2，EN=EC=3?1∴AN=AE?EN=2?3在Rt△ANP中，∴AP=23∴PM=AM?AP=AD?AP=3（3）如圖3中，在AD上取一點J，使得AJ=AB，過點J作于點T，交于點K，連接EK，

當(dāng)DF=2CF時，CF=1，DF=2，∵JK∥∴△AJK∴AJAD∴JK2∴JK=6由(1)可知EK=BE+JK，設(shè)BE=x，則EK=x+65，ET=3?x，在Rt△EKT中，由勾股定理得：即：x+652∴BE=9當(dāng)CF=2DF時,同法可得BE=2，綜上所述，滿足條件的的值為：2或97．【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識，熟練掌握正方形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)，證出∠EAF=45°8．在矩形ABCD中，點E是射線BC上一動點，連接AE，過點B作BF⊥AC于點G，交直線CD于點F．

(1)當(dāng)矩形ABCD是正方形時，以點F為直角頂點在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，連接EH．如圖1，則線段AE與EH之間的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(2)如圖2，若點E在線段BC上，以點F為直角頂點在矩形ABCD的外部作直角三角形CFH，且FHFCABBC=m，連接EH．判斷線段AE與(3)如圖3，若點E在線段BC的延長線上，F(xiàn)在線段CD的延長線上，且FH=62，F(xiàn)D:FC=1:4，M是BH中點，連接GM，BG=22，求【答案】(1)AE=EH，AE(2)AE⊥EH，(3)GM=【分析】（1）證明△ABE≌BCF，從而得出BE=CF,AE=BF（2）證明△ABE∽△BCF，從而ABBC=BECF=（3）取的中點N，作CT⊥MN于T，證明△ABG∽△BFC，從而BFAB=BCAG=CFBG，從而得到BF=32,BC=2【解析】（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC,∴∠∵BF∴∠，∴∠BAE=，∴BE=CF,AE=BF∵△∴CF=FH,∴FH=BE,∴FH∴四邊形BEHF是平行四邊形，∴BF∴AE故答案為：AE=EH，AE⊥（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠∴∠∵BF∴∠，∴∠BAE=∴△ABBC=∵△CFH是直角三角形，ABBC∴∠∴FH=BE,∴FH∴四邊形BEHF是平行四邊形，∴BF∴AE（3）∵BF∴∠∴AB=取的中點N，作GT⊥MN于T∵四邊形ABCD是矩形，∴∠∴∠BCD=∠AGB=90°，∠BFC=∴BFAB=∵FD:FC=6:4∴FD=1,FC=3∴BF∴BF=6∴BN=∴NG=BG?BN=2∵M(jìn)是BH的中點，∴MN=∴∠∵∠∴△NTBC=∴NT∴NT=∴TM=MN?NT=3∴GM=

【點睛】本題考查了正方形，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形中位線定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造三角形的中位線．題型03：相似三角形與平面直角坐標(biāo)系9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+203過點A5,0，C2,a，與y軸交于點B．點D，E分別為線段OB，

(1)求k和a的值；(2)當(dāng)∠AEC與△CDE中的一個角相等時，求線段OD的長；(3)如圖2，連接交CD于點，將點B繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至點B'，若點B'到x軸的距離恰好等于OD的長，求△BDH的面積．【答案】(1)k=?43(2)OD=2或OD=4?2(3)S=【分析】（1）將A5,0代入y=kx+203求出k的值，得出一次函數(shù)解析式，將代入y=?4（2）分三種情況：當(dāng)∠AEC=∠DCE時，當(dāng)∠AEC=∠CDE時，當(dāng)∠AEC=（3）連接B'H，B'D，過點作HN⊥B'D于點N，HM⊥BD于點M，證明△BMH≌△B'NHAAS，得出MH=HN，證明四邊形MDNH為正方形，得出∠HDM=∠HDN=45°，證明△DOE為等腰直角三角形，得出OD=OE=2，求出OB=203，得出BD=OB?OD=20【解析】（1）解：將A5,0代入y=kx+解得k=?4將代入y=?43x+20（2）解：①當(dāng)∠AEC=∠DCE時，點E與點O重合，舍去②當(dāng)∠AEC=∠CDE時，此時CE⊥OA，過點C作CF⊥BD于點F，

∵C2,4∴OE=CF=2，OF=4，∵CD⊥∴∠CDE=90°∴∠CFD=∴∠FDC+∴∠FDC=∴△CDF∴CFDF設(shè)OD=x，則FD=4?x，即24?x解得：x1經(jīng)檢驗是原方程的解，∴OD=2；③當(dāng)∠AEC=∠DEC時，作CG⊥OA于點G

∵平分∠DEG，CD⊥ED，CG⊥EA∴CD=CG=4，∵DF=C∴OD=OF?DF=4?23綜上分析可知，OD=2或OD=4?23（3）解：連接B'H，B'D，過點作HN⊥B'D于點

由題意可得，B'根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，B'H⊥BH且∴∠BH∴∠BHM+∴∠MBH=∵HM⊥BD，B'∴MH∥∴∠MH∴∠MBH=∴△BMH∴MH=HN，∵∠HMD=∴四邊形MDNH為矩形，∵M(jìn)H=HN，∴四邊形MDNH為正方形，∴∠HDM=∵∠CDE=90°∴∠NDE=90°?45°=45°∴∠ODE=90°?45°=45°∴△DOE∴OD=OE=2，把x=0代入y=kx+203得：∴OB=20∴BD=OB?OD=20設(shè)MH=MD=m，則BM=14∵∠BMH=∴MH∥∴BMBO即143解得m=14∴S=14【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，三角形相似的判定和性質(zhì)，求一次函數(shù)的函數(shù)值，解題關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，畫出相應(yīng)的圖形，作出輔助線，注意進(jìn)行分類討論．10．如圖1，已知直線l1：y=kx+4交x軸于A(4,0)，交y軸于

(1)直接寫出k的值為_________；B點坐標(biāo)為_________；(2)如圖2，過C(?2,0)點的直線l2:y=12x+n與AB交于點P，點Q為射線PA上一動點，若點Q到直線CP的距離為2(3)如圖3，已知點M(?1,0)，點N(5m,3m+2)為直線AB右側(cè)一點，且滿足∠OBM=∠ABN【答案】(1)?1,(2)t=(3)N【分析】（1）待定系數(shù)法求出k的值，進(jìn)而求出B點坐標(biāo)即可；（2）待定系數(shù)法求出直線l2的解析式，進(jìn)而求出P點坐標(biāo)，過點P作軸于點E，過點Q作QN⊥CP于點N，QM⊥x軸交CP于點M，證明△PEC∽△MNQ，得到QMCP（3）在x軸上取一點P1,0，連接BP，過點P作BP⊥PQ，交BN于點Q，過點Q作QR⊥x于點，先證明PB=PQ，進(jìn)而得到△BOP≌△PRQ，求出Q點坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線BQ的解析式，將N點坐標(biāo)代入求解即可．【解析】（1）解：∵直線l1：y=kx+4交x軸于∴，∴k=?1，∴y=?x+4，當(dāng)x=0時，y=4，∴B0,4故答案為：?1,0,4（2）∵過C(?2,0)點的直線l2:y=12x+n∴0=1∴n=1，∴y=1聯(lián)立y=12x+1∴P2,2過點P作軸于點E，則：PE=2，∵C(?2,0)，∴OC=2，∴CE=4,CP=4∵點Q為射線PA上一動點，點Q到直線CP的距離為25，Q的橫坐標(biāo)為t

則：Qt,?t+4過點Q作QN⊥CP于點N，QM⊥x軸交CP于點M，則：Mt,12t+1，QN=25∴∠M=∠CPE，QM=1∵∠QNM=∴△PEC∴QMCP=QN解得：t=16（3）在x軸上取一點P1,0，連接BP，過點P作BP⊥PQ，交BN于點Q，過點Q作QR⊥x

則：∠BOP=∴∠PBO=∵A4,0∴OA=OB=4，∴∠OBA=∵M(jìn)?1,0∴OM=OP=1，∵BO⊥∴，∴∠OBP=∴∠OBP+即：∠PBQ=∴∠PBQ=∴PB=PQ，又∠BOP=∠QRP=90°，∠PBO=∴△BOP∴PR=OB=4，RQ=OP=1，∴OR=5，∴Q5,1設(shè)直線BQ的解析式為：，則：1=5a+bb=4，解得：a=?∴y=?3∵N(5m,3m+2)在直線BQ上，∴3m+2=?3∴，∴N5【點睛】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，同時考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，本題的綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于壓軸題，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想，通過添加輔助線證明三角形全等和相似．11．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點A在x軸的正半軸上．如圖2，將正方形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，AB交直線y=x于點E，BC交y軸于點F．

(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠COF為多少度時，OE=OF；（直接寫出結(jié)果，不要求寫解答過程）(2)若點A4，3①求FC的長；②連接對角線AC交直線y=x于點N，求FN的長；(3)如圖3，對角線AC交y軸于點M，交直線y=x于點N，連接FN．將△OFN與△OCF的面積分別記為與，設(shè)S=S1?S2，AN=n，求S【答案】(1)22.5°(2)①154

②(3)S=【分析】（1）在x軸正半軸任取一點P，根據(jù)題意可知∠COF=∠AOP=α，∠EOP=45°，可證得Rt△OCF≌（2）如圖所示，過點A作x軸的垂線，交x軸于點G，過點C作x軸的垂線，交x軸于點M，過點N作y軸的垂線，交y軸于點T．①可證得△COF∽△AOG，得到CFAG=COOG即可求得答案．②先證得△MCO≌△GOA，即可求得點C的坐標(biāo)，采用待定系數(shù)法，即可求得直線（3）連接OB，BN，證得△FOB∽△NOA，得到BF=2AN=2n，設(shè)正方形OABC的邊長為m，可得的表達(dá)式，證明△FON∽△BOA，可得△ONF【解析】（1）如圖所示，在x軸正半軸任取一點P．

根據(jù)題意可知∠COF=∠AOP=α，∠EOP=45°在Rt△OCF和OC=OA∴Rt△∴∠COF=∴∠EOP=∴α=22.5°．∴∠COF=22.5°（2）如圖所示，過點A作x軸的垂線，交x軸于點G，過點C作x軸的垂線，交x軸于點M，過點N作y軸的垂線，交y軸于點T．

①根據(jù)題意可知，OG=4，AG=3，∴AO=O根據(jù)題意可知，AO=CO=5，∠COF=∠AOG=α，∠FCO=∴△COF∴CFAG∴CF=5②∵△COF∴OFAO∴OF=5根據(jù)題意可知∠CMO=∠OGA=90°，OC=OA．∵∠MCO+∠MOC=90°，∠MOC+∴∠MCO=在△MCO和△GOA∠∴△MCO∴CM=OG=4，OM=AG=3．∴所以，點C的坐標(biāo)為?3,4．設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+bk≠0因為y=kx+bk≠0的圖象經(jīng)過點A，C4k+b=3?3k+b=4解得k=?1所以，直線AC的函數(shù)解析式為y=?1根據(jù)題意可知，y=?17x+257x=?1解得x=25∴點N的坐標(biāo)為258∴NT=OT=25∴FT=OF?OT=25∴FN=F（3）如圖所示，連接OB，BN．

∵OB=OA2∴OB=O∴OAOB∵∠EOF=∠FOB+∠BON=45°，∠AOB=∴∠FOB=又∠FBO=∴△FOB∴ANBF∴BF=2設(shè)正方形OABC的邊長為m，則CF=BC?BF=m?2∴S2∵△FOB∴ONOF又∠FON=∴△FON∴∠ONF=又∠FON=45°∴△ONF∴ON=NF．∴OF=O∴ON=2∴S1∴S=S∴S=1【點睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系、圖形的旋轉(zhuǎn)、一次函數(shù)、相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)，能根據(jù)題意構(gòu)建輔助線是解題的關(guān)鍵．12．如圖所示，直線y=?34x+b與x軸相交于點A4,0，與y軸相交于點B，將△AOB沿著y軸折疊，使點A落在x

(1)求點C的坐標(biāo)；(2)設(shè)點P為線段CA上的一個動點，點P與點A、C不重合，連接PB，以點P為端點作射線PM交AB于點M，使∠BPM=①求證：△PBC②是否存在點P使△PBM為直角三角形?若存在，請求出點P【答案】(1)C(2)①見解析；②存在，點P有兩個P1?【分析】（1）根據(jù)A與C關(guān)于y軸對稱，據(jù)此即可確定C的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)點C與點A關(guān)于y軸對稱，即可得到BC=BA，則∠BCP=∠MAP，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可證得∠PMA=∠BPC，從而證得兩個三角形相似；②首先求得B的坐標(biāo)，當(dāng)∠PBM=90°時，則有△BPO∽△ABO，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可求得PO的長，求得當(dāng)∠PMB=90°時，則∠PMA=90°時，BP⊥AC，則此時點P與點O重合．則P的坐標(biāo)可以求得．【解析】（1）解：∵A4,0，且點C與點A關(guān)于y∴C?4,0（2）①證明：∵∠BPM=∠BAC，且∠PMA=∠BPM+∠PBM，∠BPC=∠BAC+∠PBM，∴∠PMA=∠BPC，又∵點C與點A關(guān)于y軸對稱，且∠BPM=∠BAC，∴∠BCP=∠MAP，∴△PBC∽②解：存在．由題意：A4,0，B0,3，當(dāng)∠PBM=90°時，則有△BPO∽∴POBO=BO∴PO=94，即：當(dāng)∠PMB=90°時，則∠PMA=90°，∴∠PAM+∠MPA=90°，∵∠BPM=∠BAC，∴∠BPM+∠APM=90°，∴BP⊥AC，∵過點B只有一條直線與AC垂直，∴此時點P與點O重合，即：符合條件的點P2的坐標(biāo)為：P∴使△PBM為直角三角形的點P有兩個P1?9【點睛】本題是屬于一次函數(shù)綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題是解題關(guān)鍵．題型04：動點問題13．探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，D是AB邊上一點，且ADBD=1n（n為正整數(shù)），E是AC邊上的動點，過點D作

【初步感知】(1)如圖1，當(dāng)n=1時，興趣小組探究得出結(jié)論：AE+BF=2【深入探究】(2)①如圖2，當(dāng)n=2，且點F在線段BC上時，試探究線段AE，BF，AB之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段AE，BF，AB之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）【拓展運用】(3)如圖3，連接EF，設(shè)EF的中點為M．若AB=22，求點E從點A運動到點C的過程中，點M運動的路徑長（用含n【答案】(1)見解析(2)①AE+12BF=23AB，證明過程略；②當(dāng)點F在射線BC上時，AE+(3)n【分析】（1）連接CD，當(dāng)n=1時，ADBD=1，即AD=BD，證明AD=CD，從而得到（2）①過BD的中點G作BC的平行線，交DF于點J，交AC于點H，當(dāng)n=2時，AD=DG，根據(jù)GH∥BC，可得△AHG是等腰直角三角形，JG=12FB，根據(jù)（1）中結(jié)論可得AE+JG=22②分類討論，即當(dāng)點F在射線BC上時；當(dāng)點F在CB延長線上時，畫出圖形，根據(jù)①中的原理即可解答；（3）如圖，當(dāng)E1與A重合時，取E1F1的中點M1，當(dāng)E2與C重合時，取E2F2的中點M2，可得【解析】（1）證明：如圖，連接CD，

當(dāng)n=1時，ADBD=1，即∵∠C=90°,AC=BC，∴∠A=∠B=45°，CD⊥AB，∠FCD=1∴CD=AD，AB=2BC，即∵DE⊥FD，∴∠ADE+∠EDC=∠FDC+∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDF在△ADE與△CDF中，∠ADE=∠CDFDA=DC∴△ADE≌△CDFASA∴AE=CF，∴BC=CF+BF=AE+BF=2（2）①AE+證明：如圖，過BD的中點G作BC的平行線，交DF于點J，交AC于點H，

當(dāng)n=2時，ADDB=1∵G是DB的中點，∴AD=DG，AG=2∵HG∥∴∠AHG=∠C=90°，∠HGA=∠B=45°，∵∠A=45°，∴△AHG是等腰直角三角形，且△DJG∽△DBF，∴JG根據(jù)（1）中的結(jié)論可得AE+JG=2∴AE+JG=AE+1故線段AE，BF，②解：當(dāng)點F在射線BC上時，如圖，在DB上取一點G使得AD=DG，過G作BC的平行線，交DF于點J，交AC于點H，

同①，可得AE+JG=2∵ADBD=∴DGBD=同①可得JGFB∴AE+JG=AE+1即線段AE，BF，當(dāng)點F在CB延長線上時，如圖，在DB上取一點G使得AD=DG，過G作BC的平行線，交DF于點J，交AC于點H，連接HD

同（1）中原理，可證明△DHE≌△DGJASA可得AE?GJ=2∵ADBD=∴DGBD=同①可得JGFB∴AE?JG=AE?即線段AE，BF，綜上所述，當(dāng)點F在射線BC上時，AE+1nBF=2n+1AB；當(dāng)點（3）解：如圖，當(dāng)E1與A重合時，取E1F1的中點M1，當(dāng)E2與C重合時，取E2

如圖，以點D為原點，DF1為y軸，DB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，過點E2作AB的垂線段，交AB于點G，過點F2作AB的垂線段，交

∵AB=22∴AD=22n+1∴E∵∠F∴F∴F∵M(jìn)1是∴M∵GB=GC=1∴DG=DB?BG=?∴E根據(jù)（2）中的結(jié)論AE∴BF∴BH=F∴DH=DB+BH=2∴F∴M∴M【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確地畫出圖形，作出輔助線，找對邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14．某托管服務(wù)數(shù)學(xué)興趣小組針對如下問題進(jìn)行探究，在等邊△ABC中，AB=2，點D在射線BC上運動，連接AD，以AD為一邊在AD右側(cè)作等邊△ADE

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖（1），當(dāng)點D在線段BC上運動時(不與點B重合),連接CE．則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是___________；直線BA與CE的位置關(guān)系是___________；(2)【拓展延伸】如圖（2），當(dāng)點D在線段BC的延長線上運動時，直線AD，CE相交于點M，請?zhí)骄俊鱉AE的面積與△MDC(3)【問題解決】當(dāng)點D在射線BC上運動時(點D不與點B,C重合)，直線AD，CE相交于點M，若△MCD的面積是32，請求出線段BD【答案】(1)BD=CE，BA(2)S(3)1或4【分析】（1）證△ABD≌△ACESAS，得BD=CE，∠B=∠ACE，再證∠BAC=∠ACE，則BA（2）證△ABD≌△ACESAS，得，再證S△（3）由（1）（2）可知△ABD≌△ACESAS，BD=CE，BA∥CE，S△MAE?S△MDC=3，則S△MAE=332，則ME=3，再證△MDC∽△ADB，得CD?AB=BD?CM，設(shè)CD=x當(dāng)點D【解析】（1）解：∵△ABC和△ADE∴AB=AC，∴∠即∠BAD=∴△∴BD=CE，∴∠∴BA故答案為：BD=CE，BA∥（2）解：S△∵△ABC和△ADE∴AB=AC，∴∠即∠BAD=∴△∴S∵S∴S（3）解：由（1）（2）可知，無論點D在線段BC上還是在線段BC的延長線上，都有△ABD≌△ACESAS，BD=CE，BA∵S∴S∵BA∴△MAE的邊ME上的高=△ABC的邊AB上的高=3∴ME=3∵BA∴△∴CD∴CD設(shè)CD=x，①當(dāng)點D在線段BC上時，如圖，

則BD=2?x，CE=ME?CM=3?CM，∵BD=CE∴2?x=3?CM∴CM=x+1∴2x=整理得：x2解得：x1∴BD=2?x=1②當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖，

則BD=2+x，CE=ME+CM=3+CM，∵BD=CE∴2+x=3+CM∴CM=x?1∴2x=整理得：，解得：x1∴BD=2+x=4綜上所述，線段BD的長為1或4．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、三角形面積、一元二次方程的解法以及分類討論等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．15．綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形與垂直”為主題開展數(shù)學(xué)活動．(1)操作判斷如圖1，正方形紙片ABCD，在邊BC上任意取一點E，連接AE，過點B作BF⊥AE于點G，與邊CD交于點F．根據(jù)以上操作，請直接寫出圖1中線段AE與線段的關(guān)系．

(2)遷移探究小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：如圖2，在矩形紙片ABCD中，AB:AD=m:n，在邊BC上任意取一點E，連接AE，過點B作BF⊥AE于點G，與邊CD交于點F，請求出線段AE與的關(guān)系，并說明理由．

(3)拓展應(yīng)用如圖3，已知正方形紙片ABCD的邊長為2，動點E由點A向終點D做勻速運動，動點F由點D向終點C做勻速運動，動點E、F同時開始運動，且速度相同，連接、，交于點G，連接GD，則線段GD長度的最小值為______，點G的運動軌跡的長為______．（直接寫出答案不必說明理由）

【答案】(1)AE=BF(2)AEBF(3)5?1；【分析】（1）由四邊形ABCD是正方形，得∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，進(jìn)一步可得∠BAE=∠FBC，所以△ABE?△BCF，結(jié)論得證AE=BF．（2）由四邊形ABCD是矩形，得∠ABC=∠BCF=90°，AD=BC，進(jìn)一步可證∠BAE=∠FBC，所以△ABE～△BCF，于是AEBF=AB（3）取AB的中點M，連接DM，GM，，由（1）可得Rt△ABE?Rt△DAF，可證∠AGB=90°，；Rt△ADM中，勾股定理求得MD=5；由GD≥MD?MG得GD的最小值是5?1；由∠AGB=90°，知A、G、B三點共圓，所以點G在以點M為圓心，在以半徑為1的14【解析】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC又AE⊥∴∠AGB=90°∴∠BAE+∴∠BAE=在△ABE和△BCF∵AB=BC，∠BAE=∠FBC，∠∴△ABE∴AE=BF．（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCF=90°，AD=BC，又AE⊥∴∠AGB=90°∴∠BAE+∴∠BAE=∴△ABE∴AEBF∵，∴AEBF（3）如圖，取AB的中點M，連接DM，GM，

由題意知，，由（1）可得Rt△∴∠∵∠∴∠ABE+∴∠AGB=180°?(∵M(jìn)是AB的中點，AB=2，∴，在Rt△ADM中，在△MGD∵，∴GD的最小值是5?1∵∠AGB=90°∴A、G、B三點共圓，∴點G在以點M為圓心，在以半徑為1的14∴點G的運動軌跡的長為：2π÷4=π故答案為：5?1；【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線性質(zhì)，兩點之間線段最短；合理添設(shè)輔助線，借助圖中合適的定點運用兩點之間線段最短是解題的關(guān)鍵．題型05：動態(tài)幾何16．綜合與實踐綜合與實踐課上，數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展教學(xué)活動．【操作判斷】

如圖①，在矩形ABCD中，，點M，P分別在邊AB，AD上（均不與端點重合）且AP=nAM，以AP和AM為鄰邊作矩形AMNP，連接AN，CN．（1）如圖②，當(dāng)n=1時，BM與PD的數(shù)量關(guān)系為，CN與PD的數(shù)量關(guān)系為．【遷移探究】（2）如圖③，當(dāng)n=3時，天天先將矩形AMNP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，再連接PD，則CN與PD之間的數(shù)量關(guān)系是．【拓展應(yīng)用】（3）在（2）的條件下，已知AD=6，AP=3，當(dāng)矩形AMNP旋轉(zhuǎn)至C，N，M三點共線時，求線段CN的長．【答案】（1）BM=PD，CN=2PD；（2）CN=103PD；（3）線段【分析】（1）當(dāng)n=1時，AD=AB，AP=AM，則AD?AP=AB?AM，所以BM=PD，再證明A，N，C三點在同一條直線上，由勾股定理得AC=2AD，AN=2（2）先證明△ADC～△APN，得∠DAC=∠PAN，ADAP=ACAN，則∠DAP=∠CAN，ADACCNPD=AC（3）分兩種情況，一是C，N，M三點共線，且點N在線段CM上，由勾股定理求得CM=AC2?AM2=39，則CN=CM?MN=39?3；二是C，N，【解析】解：（1）當(dāng)n=1時，AD=AB，AP=AM，∴AD?AP=AB?AM∴BM=PD∵四邊形ABCD和四邊形AMNP都是正方形，∴AD=CD，AP=NP，∠D=，∠PAN=∠∴∠∴A，N，C三點在同一條直線上，∵AC2=A∴AC=2AD，∴CN=AC?AN=故答案為：BM=PD，CN=2（2）發(fā)生變化，CN=10理由：如圖3，連接AC，當(dāng)n=3時，則AD=3AB=3CD，AP=3AM=3NP，

∴CD∴CD∵∠∴△∴∠DAC=∠PAN，ADAP∴∠DAC?∠PAC=∠PAN?∠PAC，ADAC∴∠∴△∵AC=∴CN∴CN=（3）∵AD=6，AP=3，∴MN=AP=3，CD=13AD=13如圖4，C，N，M三點共線，且點N在線段CM上，

∵∠M=90°∴CM=∴CN=CM?MN=如圖5，C，N，M三點共線，且點N在線段CM的延長線上，

∵∠AMC=180°?∴CM=∴綜上所述，線段CN的長是39?3或39【點睛】本題重點考查矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、數(shù)形結(jié)合與分類討論思想的運用等知識與方法，本題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地作出所需要的輔助線是解題關(guān)鍵．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABOC的兩直角邊分別在坐標(biāo)軸的正半軸上，分別取的中點D,E，連接，已知OB=4．

(1)求證：AE=AD．(2)求△AED(3)將△AED沿ED翻折，使得A落在點F處，連接．若點P在x軸正半軸上（異于點D），點Q在y軸上，要使得以點A,P,Q，為頂點的三角形與△AEF相似，求點P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．【答案】(1)見解析(2)6(3)存在，點P的坐標(biāo)為6,0或12,0或289,0【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出AC=AB=OC=OB,∠ACE=∠ABD=90°，再根據(jù)中點的定義，得出CE=BD，再根據(jù)“邊角邊”，得出△CAE（2）連接DE，根據(jù)（1）可知△CAE≌△ABD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出S△（3）分兩種情況：點Q在x軸的上方時和點Q在x軸的下方時，進(jìn)行討論解答即可．【解析】（1）證明：∵四邊形ABOC是正方形，，∵E,D分別是的中點，∴CE=BD∴△；（2）解：如圖，連接DE，

由（1）可知：△CAE，又∵OE=2，OD=2，∴，．（3）解：存在，理由如下：設(shè)交DE于K，

垂直平分AF,AE=AD，垂直平分ED，∵OE=OD=2∴O在ED的垂直平分線上，即O在上且，，，，，①點Q在x軸的上方，有圖2，圖3兩種情形：如圖2中，過點A作AH⊥PQ于，過點作HN⊥x軸于N，交AC于M，設(shè)．

，，，，∴HN是△PQO，，，，，，，，∴t=1，∴P如圖3中，過點作軸于I，過點P作PN⊥x軸交IH于N，延長BA交IN于M．

同法可證：，，設(shè)，，，是△OPQ的中位線，，，，∴t=2，．②點Q在x軸的下方時，有圖4，圖5兩種情形：如圖4中，，過點作于M，過D點P作于N．

∵M(jìn)H是△QAC，同法可得：，，，，設(shè)，則MQ=3t，，，∴t=，∴點P的坐標(biāo)為289如圖5中，，過點作HM⊥x軸于M交AC于I，過點Q作于N．

，同法可得：，，則，設(shè)PM=t，則，，，，．綜上所述，滿足條件的點P的坐標(biāo)為6,0或12,0或289,0或【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、中位線的判定與性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理，并運用分類討論思想進(jìn)行解答．18．如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D在△ABC內(nèi)部，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE．

(1)直接寫出線段BD與CE的關(guān)系為________；(2)如圖2，連接DE，當(dāng)B，D，E三點共線時，作AH⊥DC于點交于點G，求AGCD的值；(3)在（2）的條件下，設(shè)AC與交于點F，若CF=kAF，直接寫出的值．（用含k的式子表示）【答案】(1)BD=CE，BD(2)AG(3)EG【分析】（1）利用SAS證△BAD≌△CAE，得到BD=CE，∠ABD=∠ACE，結(jié)合∠ACB+∠ABD+∠DBC=90°，證∠BCE+∠DBC=90°，即可得BD⊥（2）過點A作AP⊥DE于點P，證△PAG∽△EDC，AP=DP=EP，根據(jù)AGCD（3）設(shè)AP=DP=EP=2a，則AE=2AP=22a，證△EFC∽△PFA，結(jié)合CF=kAF，△PAG∽△EDC，相似比為1:2，用含a、k的代數(shù)式表示EG、【解析】（1）∵∠BAC=90°，線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，∴∠BAC=∠DAE=90°，AD=AE，∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠BAD=在△BAD和△CAEAB=AC∠∴△∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，又∵∠ACB+∴∠ACB+∠ACE+∠DBC=90°，即∠BCE+，故答案為：BD=CE，BD（2）如下圖，過點A作AP⊥DE于點P，D，E三點共線，AH⊥DC，由（1）得BD⊥CE∴BE∠APG=∵∠∴∠∴△∵線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，∴△又∵AP∴∠∴AP=DP=EP∴（3）如下圖，過點A作AP⊥DE于點P

∵由（2）過程得△PAG∽△EDC，相似比為1:2，AP=DP=EP，∠DEC=90°∴設(shè)AP=DP=EP=2a，則AE=2∵∠DEC=∠FPA=90°，∠EFC=∠PFA，CF=kAF，∴△CEAP∴CE=kAP=2ka∴GP=∴EG=GP+EP=ka+2a∴【點睛】本題考查了全等三角形判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握、靈活運用知識點證明是解題的關(guān)鍵．題型06：最值、定值問題19．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到△A'BC'，其中點A，C

(1)如圖1，當(dāng)點A'落在AC的延長線上時，求A(2)如圖2，當(dāng)點C'落在AB的延長線上時，連接CC'，交A'B(3)如圖3，連接AA'，CC'，直線CC'交AA'于點D，點E為【答案】(1)8(2)BM=(3)存在，最小值為1【分析】（1）由勾股定理得，AC=AB2?BC2=4，由題意知，由旋轉(zhuǎn)可知，A'B=AB，則是等腰三角形，由點（2）如圖1，過C作CE∥A'B交AB于E，過C作CD⊥AB于D，由旋轉(zhuǎn)可知，∠A'BC'=∠ABC，BC'=BC=3，由CE∥A'B，可得∠CEB=∠A'BC'=∠ABC（3）如圖2，過A作AP∥A'C'交C'D的延長線于P，連接A'C，由旋轉(zhuǎn)可知，BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=90°，AC=A'C'，則∠BCC'=∠BC'C，由∠ACP=180°?∠ACB?∠BCC'=90°?∠BCC'，∠A'C'D=∠A【解析】（1）解：∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3由勾股定理得，AC=A由題意知，由旋轉(zhuǎn)可知，A'∴是等腰三角形，∵點A'落在AC的延長線上，∠∴AA∴AA（2）解：如圖1，過C作CE∥A'B交AB于E，過C作CD

由旋轉(zhuǎn)可知，∠A'B∵CE∥∴∠CEB=∴CE=BC=3，∵CD⊥∴BD=DE，∵，∴12×4×3=1由勾股定理得，DE=C∴BE=2DE=185，∵CE∥∴△B∴BMCE=BC'（3）解：DE存在最小值1，理由如下：如圖2，過A作AP∥A'C'交C'

由旋轉(zhuǎn)可知，∴BC=BC∴∠BC∵∠ACP=