北京市海淀區(qū) 2024−2025學年高二上學期10月月考數(shù)學試卷含答案

2024?2025學年高二上學期10月月考數(shù)學試卷一、單選題（本大題共10小題）1．已知，，且，則（

）A． B． C．6 D．12．直線的傾斜角是（

）A．45° B．135° C．120° D．90°3．已知空間向量，，則（

）A． B． C．1 D．24．在空間直角坐標系中，點P(1，2，-3)關于坐標平面xOy的對稱點為（

）A．(-1，-2，3) B．(-1，-2，-3) C．(-1，2，-3) D．(1，2，3)5．若，，且，則（

）A．， B．，C．， D．，6．如圖，在正方體中，為CD的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．7．在棱長為1的正方體中，為的中點，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．8．如圖，空間四邊形OABC中，，點M是OA的中點，點N在BC上，且，設，則x，y，z的值為（

）A． B． C． D．9．已知在棱長均為的正三棱柱中，點為的中點，若在棱上存在一點，使得平面，則的長度為（

）A． B． C． D．10．如圖，在正方體中，點E是側面內的一個動點，若點E滿足，則點E的軌跡為（

）A．圓 B．半圓 C．直線 D．線段二、填空題（本大題共5小題）11．已知向量，則．12．已知點的中點坐標為．13．如圖，以長方體的頂點為坐標原點，過的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，若的坐標為，則的坐標為14．正四棱錐所有棱長均為2，則側面與底面所成二面角的正切值為．15．棱長為1的正方體中，若點為線段上的動點（不含端點），則下列結論正確的是.①平面平面②四面體的體積是定值③可能是鈍角三角形④直線與AB所成的角可能為三、解答題（本大題共4小題）16．在長方體中，，點在AB上，且．(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)求點到平面的距離．17．如圖，已知直三棱柱中，若為AB的中點.

(1)求異面直線與所成角的余弦值(2)求二面角的余弦值．18．如圖，在四棱錐中，平面為正三角形，分別為棱PD，PB的中點.(1)如圖，O為棱AD的中點，以為坐標原點建立空間直角坐標系，是否合理？請說明理由；(2)求證：平面PCD；(3)求平面AEF與平面PAD夾角的余弦值．19．如圖，在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD為菱形，且，點為棱DP的中點.(1)在棱BC上是否存在一點，使得∥平面PAN？如果存在，確定點N的位置，如果不存在，請并說明理由；(2)若二面角的余弦值為時，求棱DP的長度，并求點A到平面BCM的距離．

參考答案1．【答案】A【詳解】由可得，解得，故選：A2．【答案】B【詳解】由得，故斜率為則傾斜角為135°，故選：B3．【答案】D【詳解】∵，，則，∴.故選：D.4．【答案】D【詳解】在空間直角坐標系中，兩點關于坐標平面xOy對稱，則這兩點的橫坐標、縱坐標都不變，它們的豎坐標互為相反數(shù)，所以點P(1，2，-3)關于坐標平面xOy的對稱點為(1，2，3).故選：D5．【答案】B【詳解】由題意，向量，，因為，可得，即，解得.故選：B.6．【答案】C【詳解】設正方體的棱長為2，如圖所示建立空間直角坐標系，則，可得，且平面的法向量，可得，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：C．7．【答案】C【詳解】建立空間直角坐標系，如圖，則，，，所以，，所以在上的投影為，所以點到直線的距離.故選：C.8．【答案】C【詳解】依題意，所以.故選：C.9．【答案】B【詳解】如圖，設點為的中點，取的中點，連接，，

則，又平面，平面，∴平面，易知，故平面與平面是同一個平面，∴平面，此時，故選：B10．【答案】B【詳解】如圖，設與交點為，取中點，連接，是中點，，而平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，則，，則，所以，設正方體棱條為a，則，顯然，所以，在正方形內點到點的距離為，其軌跡是以為圓心的半圓，故選：B．11．【答案】【詳解】因為，則，所以.故答案為：.12．【答案】【詳解】由題意可得：的中點坐標為，即.故答案為：.13．【答案】【詳解】如圖所示，以長方體的頂點為坐標原點，過的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，因為的坐標為，所以,所以.14．【答案】【詳解】對于正四棱錐，

設，可知為的中點，取的中點，連接，，可得平面，平面，則，且，∥，因為，可得，可知二面角的平面角為，因為正四棱錐的所有棱長均為2，則，，可得，所以側面與底面所成二面角的正切值為.故答案為：.15．【答案】①②③【詳解】在正方體中，為線段上的動點（不含端點），對于①：因為平面，即平面，且平面，所以平面平面，故①正確；對于②：連接，

因為且，即為平行四邊形，則，即，平面，平面，可得平面，可知四面體的底面是確定的，高也是定值，其體積為定值，所以四面體的體積是定值，故②正確；對于③：因為正方體的棱長為1，所以，若是上靠近的一個四等分點，則，所以，此時，因為，此時為鈍角，是鈍角三角形，故③正確；對于④：過點作，交于，正方體中平面，則平面，平面，，直線與所成的角為，設，則，有，，中，，而，故④錯誤.故答案為：①②③.16．【答案】(1)(2)2【詳解】（1）以為坐標原點，分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，

則，可得，設平面的法向量為，則，令，則，可得，可得，所以直線與平面所成角的正弦值.（2）由（1）可得：，所以到平面的距離為.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為平面，且，如圖，以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，

則，可得，則，所以異面直線與所成角的余弦值為.（2）由（1）可得：，設平面的法向量，則，令，則，可得，且平面的法向量，可得，由圖形可知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.18．【答案】(1)合理，理由見詳解(2)證明見詳解(3)【詳解】（1）合理，理由如下：由題意可知：∥，且，可知為平行四邊形，可得∥，因為平面，可得平面，且平面，可得，又因為為正三角形，且O為棱AD的中點，則，即兩兩垂直，所以可以以為坐標原點建立空間直角坐標系.（2）由（1）中空間直角坐標系可得：，則，可得，即，且，平面PCD，所以平面PCD.（3）由（2）可知：，，設平面AEF的法向量為，則，令，則，可得，且平面PAD的法向量為，可得，所以平面AEF與平面PAD夾角的余弦值.19．【答案】(1)存在，點為的中點(2)；點A到平面BCM的距離為2【詳解】（1）取的中點，連接，因為分別為的中點，則∥，且平面PAN，平面PAN，可得∥平面PAN，又因為∥平面PAN，，平面，可得平面∥平面PAN，且平面平面，平面平面，可得∥，由題意可知：∥，則為平行四邊形，可得，即點為的中點，所以棱BC上是存在一點，使得∥平面