專項(xiàng)21-認(rèn)識(shí)一元二次方程-重難點(diǎn)題型

認(rèn)識(shí)一元二次方程-重難點(diǎn)題型【知識(shí)點(diǎn)1一元二次方程的概念】只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.【題型1判斷一元二次方程的個(gè)數(shù)】【例1】（昭陽區(qū)期末）下列方程中，一元二次方程共有（）①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x2?1x=4；④x2﹣3x＝4；⑤xA．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式1-1】（揚(yáng)州期末）下列方程中，一元二次方程共有（）個(gè)．①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2+bx+c＝0；③2x2+3x﹣5＝0；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2+y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-2】（倉山區(qū)校級月考）下列關(guān)于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+2x?4＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-3】（茌平區(qū)期末）下面關(guān)于x的方程中：①ax2+bx+c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1；③x2+1x+5＝0；④x2+5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥A．1 B．2 C．3 D．4【題型2利用一元二次方程的概念求字母的值】【例2】（昌圖縣期末）已知（m﹣1）x|m+1|+2mx+4＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值是．【變式2-1】（鐵鋒區(qū)期末）若關(guān)于x的方程（a﹣1）xa2+1?7x+3＝0是一元二次方程，則a＝【變式2-2】（揚(yáng)州期末）已知關(guān)于x的方程(a?3)x2+a?1x=3為一元二次方程，則【變式2-3】（新都區(qū)校級月考）關(guān)于x的方程（m2﹣4）x2+（m﹣2）x﹣2＝0，當(dāng)m滿足時(shí)，方程為一元二次方程，當(dāng)m滿足時(shí)，方程為一元一次方程．【知識(shí)點(diǎn)2一元二次方程的一般形式】一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)，a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；【題型3一元二次方程的一般形式】【例3】（拱墅區(qū)校級期中）方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化為一般形式是；其中二次項(xiàng)系數(shù)是．【變式3-1】（烏蘇市月考）將一元二次方程13x（x﹣2）＝5化為二次項(xiàng)系數(shù)為“1”的一般形式是，其中二次項(xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是【變式3-2】（渝北區(qū)校級月考）若關(guān)于x的一元二次方程（a+12）x2﹣（4a2﹣1）x+1＝0的一次項(xiàng)系數(shù)為0，則a的值為【變式3-3】（南崗區(qū)校級月考）閱讀理解：定義：如果關(guān)于x的方程a1x2+b1x+c1=0（a1≠0，a1、b1、c1是常數(shù)）與a2x2+b2x+c2=0（a2≠0，a2、b2、c2是常數(shù)），其中方程中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個(gè)方程互為“對稱方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“對稱方程”，這樣思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根據(jù)a1+a2＝0，b請用以上方法解決下面問題：（1）填空：寫出方程x2﹣4x+3＝0的“對稱方程”是．（2）若關(guān)于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0與﹣5x2﹣x＝1互為“對稱方程”，求（m+n）2的值．【知識(shí)點(diǎn)3一元二次方程的解】能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．【題型4利用一元二次方程的解求字母的值】【例4】（黃岡月考）關(guān)于x的方程3x2﹣2（3m﹣1）x+2m＝15有一個(gè)根為﹣2，則m的值等于（）A．2 B．?12 C．﹣2 【變式4-1】（蘭州期末）若2+3是方程x2﹣4x+c＝0的一個(gè)根，cA．2?3 B．2+3 C．﹣1【變式4-2】（東城區(qū)期中）若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一個(gè)根為0，則a的值為（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．±2【變式4-3】（柯橋區(qū)月考）若t是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一個(gè)根，設(shè)P＝1﹣ac，Q＝（at+1）2，則P與Q的大小關(guān)系正確的是（）A．P＜Q B．P＝Q C．P＞Q D．不確定【題型5利用一元二次方程的解求代數(shù)式的值】【例5】（招遠(yuǎn)市期中）已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，則代數(shù)式1+6m﹣2m2的值為（）A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3【變式5-1】（阜陽月考）若a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式2?1aA．﹣2 B．﹣1 C．1 D．5【變式5-2】（平邑縣期末）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一個(gè)根，則﹣a3+2a+2020的值為（）A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣2019【變式5-3】（麥積區(qū)期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一個(gè)根，則a2A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【題型6賦值法求一元二次方程的定根】【例6】（余杭區(qū)月考）若a﹣b+c＝0，則一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．無法確定【變式6-1】（唐山月考）關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2020＝0滿足a+b＝2020，則方程必有一根為（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．無法確定【變式6-2】（蕭山區(qū)期中）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根為x＝2021，則一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根為（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【變式6-3】（瑤海區(qū)期中）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），滿足3a﹣b+13c＝0，則方程必有一根為【題型7根據(jù)面積問題列一元二次方程】【例7】（官渡區(qū)期末）《生物多樣性公約》第十五次締約方大會(huì)（COP15）將于2021年5月17日至30日在云南省昆明市舉辦、昆明某景觀園林公司為迎接大會(huì)召開，計(jì)劃在一個(gè)長為32m，寬為20m的矩形場地ABCD（如圖所示）上修建三條同樣寬的道路，使其中兩條與AB平行、另一條與AD平行，其余部分種草坪，若使每一塊草坪的面積為95m2，求道路的寬度、若設(shè)道路的寬度為xm，則x滿足的方程為（）A．（32﹣x）（20﹣x）＝95 B．（32﹣2x）（20﹣x）＝95 C．（32﹣x）（20﹣x）＝95×6 D．（32﹣2x）（20﹣x）＝95×6【變式7-1】（鹿城區(qū)校級期中）在長為30m，寬為20m的長方形田地中開辟三條入口寬度相等的道路，已知剩余田地的面積為468m2，求道路的寬度設(shè)道路的寬度為x（m），則可列方程（）A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468 C．30×20﹣2?30x﹣20x＝468 D．（30﹣x）（20﹣x）＝468【變式7-2】（甌海區(qū)期中）如圖，在一塊長方形草地上修建兩條互相垂直且寬度相同的平行四邊形通道，其中∠KHB＝60°，已知AB＝20米，BC＝30米，四塊草地總面積為503m2，設(shè)GH為x米，則可列方程為（）A．（20﹣x）（30﹣x）＝503 B．(20?3C．20x+30x﹣x2＝97 D．20x+30x?【變式7-3】（蜀山區(qū)校級期中）如圖，將邊長為12的正方形紙片，沿兩邊各剪去一個(gè)一邊長為x的長方形，剩余的部分面積為64，則根據(jù)題意可列出方程為．（方程化為一般式）【題型8根據(jù)實(shí)際問題列一元二次方程】【例8】（甌海區(qū)期中）某市大力推進(jìn)義務(wù)教育均衡發(fā)展，加強(qiáng)學(xué)校標(biāo)準(zhǔn)化建設(shè)，計(jì)劃用三年時(shí)間對全市學(xué)校的設(shè)施和設(shè)備進(jìn)行全面改造，2019年投入10億元，若每年的增長率相同，預(yù)計(jì)2021年投資14.4億元，設(shè)年平均增長率為x，則由題意可列方程．【變式8-1】（長興縣月考）2021年元旦，某班同學(xué)之間為了相互鼓勵(lì)，每兩人之間進(jìn)行一次擊掌，共擊掌595次．設(shè)全班有x名同學(xué)，則可列方程為．【變式8-2】（西湖區(qū)校級期中）某快遞公司今年一月份完成投遞的快遞總件數(shù)為10萬件，二月份、三月份每月投遞的件數(shù)逐月增加，第一季度總投遞件數(shù)為33.1萬件，問：二、三月份平均每月的增長率是多少？設(shè)平均每月增長的百分率為x，根據(jù)題意得方程（）A．10（1+x）2＝33.1 B．10（1+x）+10（1+x）2＝33.1 C．10+10（1+x）2＝33.1 D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.1【變式8-3】（海淀區(qū)校級期中）《九章算術(shù)》內(nèi)容豐富，與實(shí)際生活聯(lián)系緊密，在書上講述了這樣一個(gè)問題“今有垣高一丈．倚木于垣，上與垣齊．引木卻行一尺，其木至地．問木長幾何？”其內(nèi)容可以表述為：“有一面墻，高1丈．將一根木桿斜靠在墻上，使木桿的上端與墻的上端對齊，下端落在地面上．如果使木桿下端從此時(shí)的位置向遠(yuǎn)離墻的方向移動(dòng)1尺，則木桿上端恰好沿著墻滑落到地面上．問木桿長多少尺？”（說明：1丈＝10尺）設(shè)木桿長x尺，依題意，下列方程正確的是（）A．102+（x﹣1）2＝x2 B．（x+1）2＝x2+102 C．x2＝（x﹣1）2+12 D．（x+1）2＝x2+12

認(rèn)識(shí)一元二次方程-重難點(diǎn)題型（解析版）【知識(shí)點(diǎn)1一元二次方程的概念】只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.【題型1判斷一元二次方程的個(gè)數(shù)】【例1】（昭陽區(qū)期末）下列方程中，一元二次方程共有（）①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x2?1x=4；④x2﹣3x＝4；⑤xA．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個(gè)未知數(shù)．由這四個(gè)條件對四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證．【解答】解：①3x2+x＝20，④x2﹣3x＝4，⑤x2?x②2x2﹣3xy+4＝0中含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程；③x2?1綜上所述，一元二次方程共有3個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．【變式1-1】（揚(yáng)州期末）下列方程中，一元二次方程共有（）個(gè)．①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2+bx+c＝0；③2x2+3x﹣5＝0；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2+y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝A．1 B．2 C．3 D．4【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個(gè)未知數(shù)．由這四個(gè)條件對四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證．【解答】解：①x2﹣2x﹣1＝0，符合一元二次方程的定義，是一元二次方程；②ax2+bx+c＝0，沒有二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)條件，不符合一元二次方程的定義，不是一元二次方程；③2x2+④﹣x2＝0，符合一元二次方程的定義，是一元二次方程；⑤（x﹣1）2+y2＝2，方程含有兩個(gè)未知數(shù)，不符合一元二次方程的定義，不是一元二次方程；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2，方程整理后，未知數(shù)的最高次數(shù)是1，不符合一元二次方程的定義，不是一元二次方程．綜上所述，一元二次方程共有2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．【變式1-2】（倉山區(qū)校級月考）下列關(guān)于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+2x?4＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行解答即可．【解答】解：①ax2+bx+c＝0，當(dāng)a＝0時(shí)，該方程不是一元二次方程；②x2+2③2x2﹣3x+1＝0符合一元二次方程的定義；④x2﹣2+x3＝0的最高次數(shù)是3，屬于一元三次方程；綜上所述，其中一元二次方程的個(gè)數(shù)是1個(gè)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．【變式1-3】（茌平區(qū)期末）下面關(guān)于x的方程中：①ax2+bx+c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1；③x2+1x+5＝0；④x2+5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)一元二次方程的定義即可解答．【解答】解：關(guān)于x的方程中：①ax2+bx+c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1；③x2+1x+5＝0；④x2+5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．【題型2利用一元二次方程的概念求字母的值】【例2】（昌圖縣期末）已知（m﹣1）x|m+1|+2mx+4＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值是．【分析】直接利用一元二次方程的定義分析得出答案．【解答】解：∵（m﹣1）x|m+1|+2mx+4＝0是關(guān)于x的一元二次方程，∴|m+1|＝2，m﹣1≠0，解得：m＝﹣3，故答案為：﹣3．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，正確把握次數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（鐵鋒區(qū)期末）若關(guān)于x的方程（a﹣1）xa2+1?7x+3＝0是一元二次方程，則a＝【分析】利用一元二次方程的定義判斷即可．【解答】解：∵關(guān)于x的方程（a﹣1）xa2+1?∴a2+1＝2且a﹣1≠0，解得：a＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（揚(yáng)州期末）已知關(guān)于x的方程(a?3)x2+a?1x=3為一元二次方程，則【分析】如果方程是一元二次方程，那么a﹣3≠0，同時(shí)a?1有意義，a≥1，可以確定a的取值范圍．【解答】解：∵方程是一元二次方程，∴a﹣3≠0，得a≠3，又∵二次根式a?1有意義，∴a﹣1≥0，得a≥1，∴a≥1且a≠3．故本題的答案是a≥1且a≠3．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的定義，要求二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，同時(shí)要滿足二次根式有意義的條件，然后確定a的取值范圍．【變式2-3】（新都區(qū)校級月考）關(guān)于x的方程（m2﹣4）x2+（m﹣2）x﹣2＝0，當(dāng)m滿足時(shí)，方程為一元二次方程，當(dāng)m滿足時(shí)，方程為一元一次方程．【分析】利用一元二次方程定義和一元一次方程定義進(jìn)行解答即可．【解答】解：由題意得：m2﹣4≠0，解得：m≠±2，由題意得：m2﹣4＝0，且m﹣2≠0，解得：m＝﹣2，故答案為：m≠±2；m＝﹣2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程和一元一次方程定義，關(guān)鍵是掌握一元二次方程的定義和一元一次方程定義．【知識(shí)點(diǎn)2一元二次方程的一般形式】一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)，a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；【題型3一元二次方程的一般形式】【例3】（拱墅區(qū)校級期中）方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化為一般形式是；其中二次項(xiàng)系數(shù)是．【分析】一元二次方程的一般式：ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）．a(chǎn)x2叫二次項(xiàng)，a叫二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫一次項(xiàng)，b叫一次項(xiàng)系數(shù)；c叫常數(shù)項(xiàng)．把方程（3x+2）（2x﹣3）＝5先去括號，再移項(xiàng)，最后合并即可．【解答】解：（3x+2）（2x﹣3）＝5，去括號：6x2﹣9x+4x﹣6＝5，移項(xiàng)：6x2﹣9x+4x﹣6﹣5＝0，合并同類項(xiàng)：6x2﹣5x﹣11＝0．故一般形式為：6x2﹣5x﹣11＝0，二次項(xiàng)系數(shù)為：6．故答案為：6x2﹣5x﹣11＝0；6．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的一般形式，通過去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，可以得到一元二次方程的一般形式，寫出二次項(xiàng)系數(shù)．【變式3-1】（烏蘇市月考）將一元二次方程13x（x﹣2）＝5化為二次項(xiàng)系數(shù)為“1”的一般形式是，其中二次項(xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是【分析】首先把方程化成一般式，然后再確定二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)．【解答】解：13x（x13x2?2x2﹣2x﹣15＝0，二次項(xiàng)系數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)是﹣2，常數(shù)項(xiàng)是﹣15，故答案為：x2﹣2x﹣15＝0；1；﹣2；﹣15．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關(guān)鍵是掌握任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．【變式3-2】（渝北區(qū)校級月考）若關(guān)于x的一元二次方程（a+12）x2﹣（4a2﹣1）x+1＝0的一次項(xiàng)系數(shù)為0，則a的值為【分析】利用一元二次方程定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：由題意得：﹣（4a2﹣1）＝0，且a+1解得：a=1故答案為：12【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程，關(guān)鍵是掌握只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．【變式3-3】（南崗區(qū)校級月考）閱讀理解：定義：如果關(guān)于x的方程a1x2+b1x+c1=0（a1≠0，a1、b1、c1是常數(shù)）與a2x2+b2x+c2=0（a2≠0，a2、b2、c2是常數(shù)），其中方程中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個(gè)方程互為“對稱方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“對稱方程”，這樣思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根據(jù)a1+a2＝0，b請用以上方法解決下面問題：（1）填空：寫出方程x2﹣4x+3＝0的“對稱方程”是．（2）若關(guān)于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0與﹣5x2﹣x＝1互為“對稱方程”，求（m+n）2的值．【分析】（1）根據(jù)對稱方程的定義可得答案；（2）由題意得m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，再解即可．【解答】解：（1）由題意得：方程x2﹣4x+3＝0的“對稱方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0，故答案為：﹣x2﹣4x﹣3＝0；（2）由﹣5x2﹣x＝1，移項(xiàng)可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0，∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0與﹣5x2﹣x﹣1＝0為對稱方程，∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，解得：m＝0，n＝﹣1，∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，答：（m+n）2的值是1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關(guān)鍵是正確理解題意，理解對稱方程的定義．【知識(shí)點(diǎn)3一元二次方程的解】能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．【題型4利用一元二次方程的解求字母的值】【例4】（黃岡月考）關(guān)于x的方程3x2﹣2（3m﹣1）x+2m＝15有一個(gè)根為﹣2，則m的值等于（）A．2 B．?12 C．﹣2 【分析】把x＝﹣2代入原方程得3×4﹣2（3m﹣1）×（﹣2）+2m＝15，然后解關(guān)于m的方程即可．【解答】解：把x＝﹣2代入方程3x2﹣2（3m﹣1）x+2m＝15得3×4﹣2（3m﹣1）×（﹣2）+2m＝15，解得m=1故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．【變式4-1】（蘭州期末）若2+3是方程x2﹣4x+c＝0的一個(gè)根，cA．2?3 B．2+3 C．﹣1【分析】直接把2+3【解答】解：∵2+3是方程x2﹣4x+c∴（2+3）2﹣4（2+3）+解得：c＝1．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的解，正確解方程是解題關(guān)鍵．【變式4-2】（東城區(qū)期中）若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一個(gè)根為0，則a的值為（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．±2【分析】把x＝0代入方程計(jì)算，檢驗(yàn)即可求出a的值．【解答】解：把x＝0代入方程得：a2﹣4＝0，（a﹣2）（a+2）＝0，可得a﹣2＝0或a+2＝0，解得：a＝2或a＝﹣2，當(dāng)a＝2時(shí)，a﹣2＝0，此時(shí)方程不是一元二次方程，舍去；則a的值為﹣2．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定義，熟練掌握解一元二次方程的方法是解本題的關(guān)鍵．【變式4-3】（柯橋區(qū)月考）若t是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一個(gè)根，設(shè)P＝1﹣ac，Q＝（at+1）2，則P與Q的大小關(guān)系正確的是（）A．P＜Q B．P＝Q C．P＞Q D．不確定【分析】利用一元二次方程根的定義得到at2+2t+c＝0，則c＝﹣at2﹣2t，把c＝﹣at2﹣2t代入P＝1﹣ac中得到P＝（at+1）2，從而得到P與Q的大小關(guān)系．【解答】解：∵t是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一個(gè)根，∴at2+2t+c＝0，∴c＝﹣at2﹣2t，∵P＝1﹣ac＝1﹣a（﹣at2﹣2t）＝a2t2+2at+1＝（at+1）2，而Q＝（at+1）2，∴P＝Q．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．【題型5利用一元二次方程的解求代數(shù)式的值】【例5】（招遠(yuǎn)市期中）已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，則代數(shù)式1+6m﹣2m2的值為（）A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3【分析】根據(jù)m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，可以求得所求代數(shù)式的值，本題得以解決．【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，∴m2﹣3m﹣2＝0，∴m2﹣3m＝2，∴1+6m﹣2m2＝1﹣2（m2﹣3m）＝1﹣2×2＝1﹣4＝﹣3，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出代數(shù)式的值．【變式5-1】（阜陽月考）若a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式2?1aA．﹣2 B．﹣1 C．1 D．5【分析】利用一元二次方程解的定義得到a2﹣3a+1＝0，兩邊除以a得到a+1【解答】解：∵a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一個(gè)根，∴a2﹣3a+1＝0，∵a≠0，∴a﹣3+1a=0，即∴2?1a?a＝2﹣（故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．【變式5-2】（平邑縣期末）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一個(gè)根，則﹣a3+2a+2020的值為（）A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣2019【分析】先把a(bǔ)代入對已知進(jìn)行變形，再利用整體代入法求解．【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一個(gè)根，∴a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣1＝a，﹣a2+a＝﹣1，∴﹣a3+2a+2020＝﹣a（a2﹣1）+a+2020＝﹣a2+a+2020＝2019．故選：C．【點(diǎn)睛】考查了一元二次方程的解的知識(shí)，解題關(guān)鍵是把a(bǔ)的值代入原方程，從中獲取代數(shù)式a2﹣1的值，然后利用“整體代入法”求代數(shù)式的值．【變式5-3】（麥積區(qū)期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一個(gè)根，則a2A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【分析】由a是方程x2﹣2010x+1＝0的一個(gè)根，將x＝a代入方程，得到關(guān)于a的等式，變形后代入所求式子中計(jì)算，即可求出值．【解答】解：∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一個(gè)根，∴a2﹣2020a+1＝0，即a2+1＝2020a，a2＝2020a﹣1，則a2?2019a+2020a2+1=2020a﹣1﹣2019a故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．【題型6賦值法求一元二次方程的定根】【例6】（余杭區(qū)月考）若a﹣b+c＝0，則一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．無法確定【分析】由a﹣b+c＝0可知把x換成1成立，則可求得答案．【解答】解：∵a﹣b+c＝0，∴a×12﹣b×1+c＝0，∴方程ax2﹣bx+c＝0必有一根為1，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解，掌握方程的解使方程左右兩邊相等是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（唐山月考）關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2020＝0滿足a+b＝2020，則方程必有一根為（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．無法確定【分析】由于x＝﹣1時(shí)有a+b＝2020，于是可判斷此方程必有一根為﹣1．【解答】解：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，a+b﹣2020＝0，則a+b＝2020，所以若a+b＝2020，則此方程必有一根為﹣1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．【變式6-2】（蕭山區(qū)期中）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根為x＝2021，則一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根為（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【分析】對于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，設(shè)t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一個(gè)根為t＝2021得到x﹣1＝2021，從而可判斷一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根為x＝2022．【解答】解：對于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2即a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，設(shè)t＝x﹣1，所以at2+bt+2＝0，而關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根為x＝2021，所以at2+bt+2＝0有一個(gè)根為t＝2021，則x﹣1＝2021，解得x＝2022，所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根為x＝2022．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．【變式6-3】（瑤海區(qū)期中）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），滿足3a﹣b+13c＝0，則方程必有一根為【分析】把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得9a﹣3b+c＝0，即可得出答案．【解答】解：當(dāng)把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得出9a﹣3b+c＝0，即3a﹣b+13即方程一定有一個(gè)根為x＝﹣3，故答案是：x＝﹣3．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的應(yīng)用．能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．【題型7根據(jù)面積問題列一元二次方程】【例7】（官渡區(qū)期末）《生物多樣性公約》第十五次締約方大會(huì)（COP15）將于2021年5月17日至30日在云南省昆明市舉辦、昆明某景觀園林公司為迎接大會(huì)召開，計(jì)劃在一個(gè)長為32m，寬為20m的矩形場地ABCD（如圖所示）上修建三條同樣寬的道路，使其中兩條與AB平行、另一條與AD平行，其余部分種草坪，若使每一塊草坪的面積為95m2，求道路的寬度、若設(shè)道路的寬度為xm，則x滿足的方程為（）A．（32﹣x）（20﹣x）＝95 B．（32﹣2x）（20﹣x）＝95 C．（32﹣x）（20﹣x）＝95×6 D．（32﹣2x）（20﹣x）＝95×6【分析】設(shè)道路的寬度為xm，則六塊草坪可合成長（32﹣2x）m，寬（20﹣x）m的矩形，根據(jù)矩形的面積計(jì)算公式，結(jié)合每一塊草坪的面積為95m2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：設(shè)道路的寬度為xm，則六塊草坪可合成長（32﹣2x）m，寬（20﹣x）m的矩形，依題意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝95×6．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（鹿城區(qū)校級期中）在長為30m，寬為20m的長方形田地中開辟三條入口寬度相等的道路，已知剩余田地的面積為468m2，求道路的寬度設(shè)道路的寬度為x（m），則可列方程（）A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468 C．30×20﹣2?30x﹣20x＝468 D．（30﹣x）（20﹣x）＝468【分析】根據(jù)余田的面積為468列出方程即可．【解答】解：設(shè)入口的寬度為xm，由題意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝468．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程．【變式7-2】（甌海區(qū)期中）如圖，在一塊長方形草地上修建兩條互相垂直且寬度相同的平行四邊形通道，其中∠KHB＝60°，已知AB＝20米，BC＝30米，四塊草地總面積為503m2，設(shè)GH為x米，則可列方程為（）A．（20﹣x）（30﹣x）＝503 B．(20?3C．20x+30x﹣x2＝97 D．20x+30x?【分析】設(shè)GH為x米，根據(jù)矩形和平行四邊形的面積公式，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：過H作HM⊥LG于M，∵∠KHB＝60°，LG⊥KH，∴∠HGM＝∠KHB＝60°，∵∠HMG＝90°，∴HM=32∵長方形的面積＝20×30＝600（cm）2，∴四塊草地總面積為503m2，∴通道的面積為：20x+30x?34x故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（蜀山區(qū)校級期中）如圖，將邊長為12的正方形紙片，沿兩邊各剪去一個(gè)一邊長為x的長方形，剩余的部分面積為64，則根據(jù)題意可列出方程為．（方程化為一般式）【分析】如果設(shè)剪去的邊長為x，那么根據(jù)題容易列出方程為122﹣（12x×2﹣x2）＝64．【解答】解：設(shè)剪去的邊長為x，那么根據(jù)題容易列出方程為122﹣（12x×2﹣x2）＝64，化為一般形式為：x2﹣24x+80＝0，故答案為：x2﹣24x+80＝0．【點(diǎn)睛】考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的表示出有關(guān)線段的長，難度不大．【題型8根據(jù)實(shí)際問題列一元二次方程】【