2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練含解析新人教A版選修2-3

PAGE“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)[A組學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]1．在(a＋b)n的二項(xiàng)綻開(kāi)式中，與第k項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相同的項(xiàng)是()A．第n－k項(xiàng) B．第n－k－1項(xiàng)C．第n－k＋1項(xiàng) D．第n－k＋2項(xiàng)解析：第k項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是Ceq\o\al(k－1,n)，由于Ceq\o\al(k－1,n)＝Ceq\o\al(n－k＋1,n)，故第n－k＋2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Ceq\o\al(n－k＋1,n).答案：D2．設(shè)二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)＋\f(1,x)))n的綻開(kāi)式中第5項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，那么這個(gè)綻開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是()A．第9項(xiàng) B．第8項(xiàng)C．第9項(xiàng)和第10項(xiàng) D．第8項(xiàng)和第9項(xiàng)解析：因?yàn)榫`開(kāi)式的第5項(xiàng)為T(mén)5＝Ceq\o\al(4,n)xeq\f(n－4,3)－4，所以令eq\f(n－4,3)－4＝0，解得n＝16，所以綻開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第9項(xiàng)．答案：A3．(x－y)7的綻開(kāi)式中，系數(shù)的肯定值最大的項(xiàng)是()A．第4項(xiàng) B．第4、5項(xiàng)C．第5項(xiàng) D．第3、4項(xiàng)解析：(x－y)n的綻開(kāi)式有n＋1項(xiàng)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．而(x－y)7的綻開(kāi)式中，系數(shù)的肯定值最大的項(xiàng)是中間兩項(xiàng)，即第4、5項(xiàng)．答案：B4．(1＋x)2n＋1的綻開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)所在的項(xiàng)數(shù)是()A．n，n＋1 B．n－1，nC．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3解析：2n＋1為奇數(shù)，綻開(kāi)式中中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，分別為第eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2n＋1－1,2)＋1))項(xiàng)，第eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2n＋1＋1,2)＋1))項(xiàng)，即第(n＋1)項(xiàng)與第(n＋2)項(xiàng)．故選C.答案：C5．設(shè)(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，則a0＋a1＋a2＋…＋a11的值為()A．－2 B．－1C．1 D．2解析：令x＝－1，則原式化為[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.答案：A6．若(x＋3y)n的綻開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和等于(7a＋b)10的綻開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和，則n解析：(7a＋b)10的綻開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(1,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝210，令(x＋3y)n中x＝y(tǒng)＝1，則由題設(shè)知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.答案：57．在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)6的綻開(kāi)式中，x2的系數(shù)為_(kāi)_______．解析：(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)6的綻開(kāi)式中x2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,6)＝35.答案：358．設(shè)(3x－2)6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，則eq\f(a1＋a3＋a5,a0＋a2＋a4＋a6)＝________.解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1，令x＝0，得a0－a1＋a2＋…＋a6＝64，兩式相減，得2(a1＋a3＋a5)＝－63，兩式相加，得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65，故eq\f(a1＋a3＋a5,a0＋a2＋a4＋a6)＝－eq\f(63,65).答案：－eq\f(63,65)9．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，求log2(a1＋a3＋…＋a11)的值．解析：令x＝－1，∴28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.令x＝－3，∴0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，∴a1＋a3＋…＋a11＝27，∴l(xiāng)og2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.10．楊輝三角是楊輝的一項(xiàng)重要探討成果，它的很多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，楊輝三角中隱藏了很多美麗的規(guī)律，如圖是一個(gè)11階楊輝三角：(1)求第20行中從左到右的第4個(gè)數(shù)；(2)求n階(包括0階)楊輝三角的全部數(shù)的和；(3)在第2斜列中，前5個(gè)數(shù)依次為1,3,6,10,15；第3斜列中，第5個(gè)數(shù)為35.明顯，1＋3＋6＋10＋15＝35.事實(shí)上，一般地有這樣的結(jié)論：第m－1斜列中(從右上到左下)前k個(gè)數(shù)之和，肯定等于第m斜列中第k個(gè)數(shù)．試用含有m，k(m，k∈N*)的數(shù)字公式表示上述結(jié)論，并賜予證明．解析：(1)Ceq\o\al(3,20)＝1140.(2)1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1.(3)Ceq\o\al(m－1,m－1)＋Ceq\o\al(m－1,m)＋…＋Ceq\o\al(m－1,m＋k－2)＝Ceq\o\al(m,m＋k－1).證明：左邊＝Ceq\o\al(m,m)＋Ceq\o\al(m－1,m)＋…＋Ceq\o\al(m－1,m＋k－2)＝Ceq\o\al(m,m＋1)＋Ceq\o\al(m－1,m＋1)＋…＋Ceq\o\al(m－1,m＋k－2)＝…＝Ceq\o\al(m,m＋k－2)＋Ceq\o\al(m－1,m＋k－2)＝Ceq\o\al(m,m＋k－1)＝右邊．[B組實(shí)力提升]11．設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m綻開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1綻開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b.若13a＝7bA．5 B．6C．7 D．8解析：由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，二項(xiàng)式(x＋y)2m的綻開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值有一項(xiàng)，即Ceq\o\al(m,2m)＝a，二項(xiàng)式(x＋y)2m＋1的綻開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值有兩項(xiàng)，即Ceq\o\al(m,2m＋1)＝Ceq\o\al(m＋1,2m＋1)＝b，因此13Ceq\o\al(m,2m)＝7Ceq\o\al(m,2m＋1)，所以13·eq\f(2m！,m！m！)＝7·eq\f(2m＋1！,m！m＋1！)，所以m＝6.答案：B12．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))n綻開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則綻開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______．解析：∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))n綻開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n，∴2n＝64，∴n＝6.∴Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))r＝Ceq\o\al(r,6)x6－2r.由6－2r＝0得r＝3，∴其常數(shù)項(xiàng)為T(mén)3＋1＝Ceq\o\al(3,6)＝20.答案：2013．已知(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，則a0＋a2＋a4＋a6＝________.解析：在所給的等式中，令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27，①再令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝(－4)7，②把①②相加可得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝27＋(－4)7，所以a0＋a2＋a4＋a6＝－8128.答案：－812814．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的綻開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和比(a＋b)2n的綻開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和小120，求第一個(gè)綻開(kāi)式中的第3項(xiàng)．解析：因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的綻開(kāi)式中的偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2n－1，而(a＋b)2n的綻開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為22n－1，所以有2n－1＝22n－1－120，解得n＝4，故第一個(gè)綻開(kāi)式中第3項(xiàng)為T(mén)3＝Ceq\o\al(2,4)(eq\r(x))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))2＝6eq\r(3,x).15．在(2x－3y)9的綻開(kāi)式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和；(2)各項(xiàng)系數(shù)之和；(3)全部奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和；(4)各項(xiàng)系數(shù)肯定值之和．解析：設(shè)(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和為Ceq\o\al(0,9)＋Ceq\o\al(1,9)＋Ceq\o\al(2,9)＋…＋Ceq\o\al(9,9)＝29.(2)令x＝1，y＝1，得各項(xiàng)系數(shù)之和a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝59，又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，兩式相加得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝eq