工程數(shù)學(xué) - 第三章 導(dǎo)數(shù)與微分

工程數(shù)學(xué)主

編

馬玉

高琰

盧靜導(dǎo)數(shù)與微分第三章目錄導(dǎo)數(shù)的概念01初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)02高階導(dǎo)數(shù)03隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)04CONTENTS行業(yè)PPT模板/hangye/05函數(shù)的微分微分中值定理0607洛必達(dá)法則函數(shù)的單調(diào)性與極值0809函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)10MATLAB中導(dǎo)數(shù)的計算導(dǎo)數(shù)的概念0101一、兩個經(jīng)典問題(一)切線斜率問題

已知曲線方程為y=f(x),試求出過曲線上點(diǎn)M(x0,y0)處的切線斜率.如圖3-1所示,建立直角坐標(biāo)系,在曲線y=f(x)上取鄰近于M(x0,y0)的點(diǎn)N(x0+Δx,y0+Δy),過M,N兩點(diǎn)的直線MN稱為曲線y=f(x)的割線.當(dāng)Δx→0時,點(diǎn)N沿著曲線y=f(x)趨向于點(diǎn)M,割線MN繞點(diǎn)M轉(zhuǎn)動并趨向于極限位置直線MT,直線MT稱為曲線y=f(x)在點(diǎn)M的切線,割線MN的傾角為φ,切線MT的傾角為α,割線MN的斜率kMN為01

(二)變速直線運(yùn)動的瞬時速度問題

已知物體做變速直線運(yùn)動,位移方程為s=s(t),要確定該物體在時刻t0的運(yùn)動速度v(to).可取鄰近于時刻t0的時刻t=t0+Δt,在Δt時間內(nèi),物體走過的路程為物體運(yùn)動的平均速度為

若時間間隔較短,比值可用來說明動點(diǎn)在時刻t0的近似速度.顯然,Δt越小,近似程度越高.令Δt→0,平均速度v的極限就是動點(diǎn)在時刻t0的速度極限值v(t0)稱為動點(diǎn)在時刻t0的(瞬時)速度.01二、導(dǎo)數(shù)的定義

由以上分析知,瞬時速度問題和切線斜率問題可以抽象出一個統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式:

這就得出了導(dǎo)數(shù)的概念.

定義3.1.1設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0的某一鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)x在x0處有增量Δx時,相應(yīng)的函數(shù)有增量

如果極限存在,則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),此極限值為y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù),記作即01三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

定理3.1.2如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù).證若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處有導(dǎo)數(shù)f′(x0),則

其中,函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).故可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù),但是反之不成立.

例如例3.1.3,函數(shù)f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo),但是在x=0處連續(xù).故連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo).01四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

由切線問題的討論知(見圖3-1),函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)在幾何上表示曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0,f(x0))處的切線的斜率,即曲線在點(diǎn)M(x0,f(x0))處的切線方程為曲線在點(diǎn)M(x0,f(x0))處的法線方程為(1)如果f′(x0)=∞,則曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0,f(x0))處有垂直于x軸的切線x=x0;(2)如果f′(x0)=0,則曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0,f(x0))處有平行于x軸的切線y=f(x0)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)02一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則02由上節(jié)導(dǎo)數(shù)的定義可以得出導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則.定理3.2.1設(shè)函數(shù)f(x),g(x)都在x處可導(dǎo),則有注意:定理3.2.1中的(1)和(2)能推廣到任意有限個導(dǎo)函數(shù)的情形.例如,三個函數(shù)u(x),v(x),w(x)進(jìn)行導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算的情況為二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則02

定理3.2.2如果函數(shù)x=f(y)在區(qū)間[a,b]內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f(y)≠0,則它的反函數(shù)y=f-1(x)在區(qū)間[c,d]={xx=f(y),y∈[a,b]}內(nèi)可導(dǎo),且三、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式02綜合前面所學(xué),我們有如下基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)0303

定義3.3.1如果函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y′=f′(x)仍為x的可導(dǎo)函數(shù),則y′=f′(x)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù),記作,即

依此類推,可知二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為n階導(dǎo)數(shù),分別記作

函數(shù)f(x)在某點(diǎn)x0處的二階導(dǎo)數(shù),記作第四節(jié)隱函數(shù)和由參數(shù)方程

所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)0404一、隱函數(shù)求導(dǎo)的方法

設(shè)F(x,y)=0確定了一個一元隱函數(shù)y=y(x),將y=y(x)代入F(x,y)=0,得u=F[x,y(x)]=0,則

在恒等式F[x,y(x)]≡0兩邊對x求導(dǎo),當(dāng)遇到y(tǒng)的函數(shù)f(y)時,需要求若

記z=f(y),則

將求出的這些導(dǎo)數(shù)代入方程中,得到關(guān)于的代數(shù)方程,從中解得即為所求.二、對數(shù)求導(dǎo)法04

先在方程兩邊取對數(shù),再對所得式兩邊分別求導(dǎo)即可.冪指函數(shù)y=uv(u>0),如果u=u(x),v=v(x)都可導(dǎo),那么也可以用對數(shù)求導(dǎo)法求出冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

解法一先在兩邊取對數(shù),得lny=v·lnu.兩邊對x求導(dǎo),注意y,u,v是x的函數(shù),得

解法二將y=uv,(u>0)化為y=evlnu,則一般形式的冪指函數(shù),可以用對數(shù)求導(dǎo)法來求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù).三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)04參數(shù)方程,表示y與x間的函數(shù)關(guān)系如果函數(shù)x=φ(t)具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)t=φ-1(x),且反函數(shù)能與函數(shù)y=ψ(t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù),函數(shù)x=φ(t),y=ψ(t)可導(dǎo),則根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與反函數(shù)的求導(dǎo)法則,得即第五節(jié)函數(shù)的微分0505一、微分的定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義,如果函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)可以表示為

其中A是不依賴Δx的常數(shù),那么稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處是可微的,AΔx稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0相對于自變量增量Δx的微分,記作dy,即dy=AΔx.

函數(shù)在點(diǎn)x0可微的充分必要條件是函數(shù)在x0可導(dǎo),并且dy=f′(x0)Δx,Δy=dy+o(α),稱dy是Δy的線性主部.05

因為dy=f′(x0)Δx是Δx的線性函數(shù),所以在f′(x0)≠0的條件下,就說dy是Δy的線性主部,Δy≈dy.自變量x的微分,記作dx,即dx=Δx.函數(shù)y=f(x)在x0處的微分記為dy=f′(x0)dx.

函數(shù)y=f(x)在x處的微分記為dy=f′(x)dx.從而有

,函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx的商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù),所以導(dǎo)數(shù)又叫微商.05

設(shè)函數(shù)y=f(x)在x處可微,函數(shù)y=f(x)的圖形是一條曲線,M(x0,y0)是曲線y=f(x)的一點(diǎn),Δy是曲線y=f(x)的點(diǎn)M(x0,y0)的縱坐標(biāo)的增量.N(x0+Δx,y0+Δy)是鄰近M的一點(diǎn),dy是曲線在M(x0,y0)的切線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量,當(dāng)Δx很小時,Δy-

dy比dy的值小得多,Δy≈dy,因此用切線段MP近似代替曲線段MN,如圖3-3所示.二、微分的幾何意義05三、基本初等函數(shù)的微分公式05四、微分的四則運(yùn)算法則由微分的定義可以得到微分的四則運(yùn)算法則:(1)d[f(x)±g(x)]=df(x)±dg(x)=[f′(x)±g′(x)]dx;(2)d[f(x)·g(x)]=g(x)df(x)+f(x)dg(x)=[f′(x)g(x)+f(x)g′(x)]dx,特別地,d[Cf(x)]=Cd[f(x)]=Cf′(x)dx;05五、復(fù)合函數(shù)的微分法則設(shè)y=f(u)及u=g(x)都可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的微分

dy=yx′dx=f′(u)g′(x)dx而g′(x)dx=du,因此,復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的微分公式還寫成

dy=f′(u)du,或dy=yu′du無論u是自變量還是另一個變量的可微函數(shù),微分形式dy=f′(u)du都保持不變,稱為微分形式不變性.05六、微分在近似計算中的應(yīng)用

在工程計算中,經(jīng)常會遇到一些復(fù)雜的計算公式,利用微分能將一些復(fù)雜的計算公式用簡單的近似公式代替.

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)≠0,則有Δy≈dy=f′(x0)Δx.即或05六、微分在近似計算中的應(yīng)用

在工程計算中,經(jīng)常會遇到一些復(fù)雜的計算公式,利用微分能將一些復(fù)雜的計算公式用簡單的近似公式代替.

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)≠0,則有Δy≈dy=f′(x0)Δx.即或

在式(3.5.2)中,令Δx=x-x0,那么式(3.5.2)就寫成05

如果f′(x0)與f(x0)都容易計算,那么就能利用式(3.5.1)近似計算Δy,用式(3.5.2)近似計算f(x0+Δx),用式(3.5.3)近似計算f(x).此近似計算的實質(zhì)就是用x的線性函數(shù)f(x0)+f′(x0)(x-x0)近似表達(dá)函數(shù)f(x).其幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處附近的切線段近似等于該曲線在點(diǎn)(x0,f(x0))處附近的曲線段.

在式(3.5.3)中,令x0=0,得f(x)≈f(0)+f′(0)x(|x|很小).由此得幾個在工程上常用的近似公式:第六節(jié)微分中值定理0606一、羅爾定理

定理3.6.1(費(fèi)馬引理)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義,并且在x0處可導(dǎo),如果對任意x∈U(x0),有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),那么f′(x0)=0.

定理3.6.2(羅爾定理)如果函數(shù)y=f(x)滿足:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);(3)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等,即f(a)=f(b).

那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ(a<ξ<b),使得f′(ξ)=0.幾何意義:如果在兩端高度相同的連續(xù)曲線y=f(x)上,除端點(diǎn)外,處處具有不垂直于x軸的切線,那么曲線上至少存在一點(diǎn)C,使曲線在點(diǎn)C處的切線平行于x軸,如圖3-4所示.注意:羅爾定理的三個條件缺一不可,否則結(jié)論不真.06二、拉格朗日中值定理定理3.6.3(拉格朗日中值定理)如果函數(shù)y=f(x)滿足:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ(a<ξ<b),使得等式

f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立.我們把上式改寫成來研究定理的幾何意義.幾何意義:如果在連續(xù)曲線y=f(x)上,除端點(diǎn)外,處處具有不垂直于x軸的切線,那么曲線上至少存在一點(diǎn)C,使曲線在點(diǎn)C處的切線平行于AB,如圖3-5所示.f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)稱為拉格朗日中值公式.這個公式對于f(b)<f(a)也成立.作為拉格朗日中值定理的應(yīng)用,有如下推論.06推論如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零,那么f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù).證在區(qū)間I上任取兩點(diǎn)x1,x2(x1<x2),應(yīng)用拉格朗日中值定理,得由f′(ξ)=0,得f(x2)-f(x1)=0,即f(x1)=f(x2).因為x1,x2是I上任意兩點(diǎn),所以上面的等式表明f(x)在I上的函數(shù)值總是相等的,這就是說,f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù).第七節(jié)洛必達(dá)法則0707

07

07

07二、其他類型的未定式

第八節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值0808一、函數(shù)單調(diào)性的判定法

如圖3-6所示,如果函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)增加(減少),那么它的圖形是一條沿x軸正向上升(下降)的曲線.這時曲線的各點(diǎn)處的切線斜率是非負(fù)的(是非正的),即y′=f′(x)≥0[y′=f′(x)≤0].由此可見,函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號有著密切的關(guān)系.08反過來,能否用導(dǎo)數(shù)的符號來判定函數(shù)的單調(diào)性呢?定理3.8.1(函數(shù)單調(diào)性的判定法)設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).(1)如果在(a,b)內(nèi)f′(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)增加;(2)如果在(a,b)內(nèi)f′(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)減少.注意:判定法中的閉區(qū)間可換成其他各種區(qū)間08二、函數(shù)的極值及其求法(一)極值的定義

定義3.8.1設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,x0∈(a,b).如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)<f(x0),則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值,x0稱為函數(shù)的極大值點(diǎn);如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)>f(x0),則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值,x0稱為函數(shù)的極小值點(diǎn).下面通過圖3-7所示的函數(shù)圖像來理解08

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,函數(shù)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點(diǎn).

函數(shù)的極大值和極小值是函數(shù)的局部性質(zhì).如果f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值,那也只是就x0附近的一個局部范圍來說,f(x0)是最大的,就f(x)的整個定義域來說,f(x0)不一定是最大的.極小值的局部性質(zhì)也是類似的.08(二)極值與水平切線的關(guān)系

在可導(dǎo)函數(shù)取得極值處,曲線上的切線是水平的.但曲線上有水平切線的地方,函數(shù)不一定取得極值.

定理3.8.2(必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),且在x0處取得極值,那么這個函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)為零,即f′(x0)=0.

定義3.8.2使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),即方程f′(x0)=0的實根,稱為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn).

就是說:可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必定是函數(shù)的駐點(diǎn).但反過來,函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn),如函數(shù)f(x)=x3在x=0處的情況.08三、極值的充分條件定理3.8.3(第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0連續(xù),且在x0的某去心鄰域(x0-δ,x0)∪(x0,x0+δ)內(nèi)可導(dǎo).(1)如果在(x0-δ,x0)內(nèi)f′(x)>0,在(x0,x0+δ)內(nèi)f′(x)<0,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值(見圖3-8);(2)如果在(x0-δ,x0)內(nèi)f′(x)<0,在(x0,x0+δ)內(nèi)f′(x)>0,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值(見圖3-9);(3)如果在(x0-δ,x0)及(x0,x0+δ)內(nèi)f′(x)的符號相同,那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值(見圖3-10).08定理3.8.3也可簡單地這樣說:當(dāng)x在x0的鄰近漸增地經(jīng)過x0時,如果f′(x)的符號由正變負(fù),那么f(x)在x0處取得極大值;如果f′(x)的符號由負(fù)變正,那么f(x)在x0處取得極小值;如果f′(x)的符號并不改變,那么f(x)在x0處沒有極值.確定極值點(diǎn)和極值的步驟:(1)求出函數(shù)的定義域;(2)求出導(dǎo)數(shù)f′(x);(3)求出f(x)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn);(4)列表判斷,考察f′(x)的符號在每個駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn)的左右鄰近處的情況,以便確定該點(diǎn)是否是極值點(diǎn).如果是極值點(diǎn),則要按定理3.8.3確定對應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值;(5)確定函數(shù)的所有極值點(diǎn)和極值.08定理3.8.4(第二充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f′(x0)=0,f″(x0)≠0,那么(1)當(dāng)f″(x0)<0時,函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;(2)當(dāng)f″(x0)>0時,函數(shù)f(x)在x0處取得極小值.定理3.8.4表明,如果函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x0處的二階導(dǎo)數(shù)f″(x0)≠0,那么x0一定是極值點(diǎn),并且可以通過二階導(dǎo)數(shù)f″(x0)的符號來判定f(x0)是極大值還是極小值.但如果f″(x0)=0,則定理3.8.4就不適用.第九節(jié)函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)09