2024年人教版七年級數(shù)學(xué)上冊專項復(fù)習(xí)：有理數(shù)的乘除法【十大題型】解析版

專題2.2有理數(shù)的乘除法【十大題型】

【人教版2024]

A題型梳理

【題型1利用有理數(shù)的乘法辨別符號】...........................................................2

【題型2利用有理數(shù)乘法運算律進(jìn)行巧算】......................................................2

【題型3倒數(shù)、絕對值、相反數(shù)的綜合求值】....................................................3

【題型4有理數(shù)乘法的實際應(yīng)用】..............................................................3

【題型5有理數(shù)的混合運算】...................................................................4

【題型6有理數(shù)四則運算的實際應(yīng)用】...........................................................5

【題型7利用倒數(shù)法求解有理數(shù)的除法】........................................................6

【題型8化簡分?jǐn)?shù)】...........................................................................7

【題型9與有理數(shù)乘除有關(guān)的新定義問題】......................................................7

【題型10有理數(shù)四則運算中的分類討論思想的運用】.............................................8

?舉一反三

知識點1：有理數(shù)的乘法

1.有理數(shù)的乘法

有理數(shù)乘法法則：(下列法則中6為正有理數(shù)，c為任意有理數(shù))

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，積的絕對值兩乘數(shù)的絕對值的積。任何數(shù)同0相乘，都得0。

即：(+a)x(+Z>)=ab；(―a)x(—=ab；ax(-b)=-ab；；(-a)xb=-ab；；0xc=0。

有理數(shù)乘法的運算步驟：先確定積的符號，再確定積的絕對值。

多個有理數(shù)相乘：幾個不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積

為負(fù)數(shù)，即“奇負(fù)偶正”。幾個數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0,那么積等于0。

多個有理數(shù)相乘的運算步驟：先用上面的方法確定符號，再將各乘數(shù)的絕對值相乘作為積的絕對值。

2.有理數(shù)乘法運算律

乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位置，積不變。即：ab=ba。

乘法結(jié)合律：一般地，有理數(shù)乘法中，三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積不變。

gp：abc-^ab)c-a(Jbc)o

乘法分配律：一般地，有理數(shù)乘法中，一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別與這兩個數(shù)相乘，再

把積相加。即：a(b+c)=ab+aco

【題型1利用有理數(shù)的乘法辨別符號】

【例1】（23-24七年級?浙江紹興?階段練習(xí)）4個有理數(shù)相乘,積的符號是負(fù)號，則這4個有理數(shù)中，負(fù)數(shù)

有（）

A.1個或3個B.1個或2個C.2個或4個D.3個或4個

【變式1-11（23-24七年級?安徽合肥?階段練習(xí)）若a—b<0,ab>0,那么這兩個數(shù)（）

A.都是正數(shù)B.都是負(fù)數(shù)C.一正一負(fù)D.符號不能確定

【變式1-2】（23-24七年級?重慶江津?階段練習(xí)）已知a>b>c,且a+b+c=0,那么乘積ac的值一定是

)

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.0D.不能確定

【變式1-3】（23-24七年級?安徽宣城?期末）如圖，A,5兩點在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是mb,下列式子成

立的是（)

B

—1b0

A.ab>0B.a+6>0C.(a—1)(Z?-1)>0D.(a+l)(b-1)>0

【題型2利用有理數(shù)乘法運算律進(jìn)行巧算】

[例2](23-24七年級?全國?假期作業(yè))計算：(一1X2)X(VX勺X(-|X$X(-：X》X…X(-黑X

ZL3344NUNN

2023、/20222024、

痂)x(_^x布).

【變式2-1］（23-24七年級?全國?課后作業(yè)）計算15,x2最簡便的方法是（）

77c11077

A.15+-')X-B.16X—C.—X—D.10+X——

7.161671616

【變式2-2］（23-24七年級?全國?隨堂練習(xí)）用簡便方法計算:

(1)(-7.5)x(+25)x(-0.04)；

(2)(-4^)X1.25X(-8).

【變式2-3］（23-24七年級?江蘇鹽城?階段練習(xí)）用簡便方法計算:

(1)19^X(-9)；

1o

(2)0.618x97+3x0,618.

知識點2：倒數(shù)

1）倒數(shù)的概念：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。

2）倒數(shù)的性質(zhì)：（1）倒數(shù)是成對出現(xiàn)的，單獨一個數(shù)不能稱為倒數(shù)。（2）0沒有倒數(shù)。（3）互為倒數(shù)的

兩個數(shù)的乘積一定是1,即。，方互為倒數(shù)，則ax6=l；反之亦然.

3）求一個非零有理數(shù)的倒數(shù)，把它的分子和分母顛倒位置即可。

（1）非零整數(shù)可以看作分母為1的分?jǐn)?shù)后再求倒數(shù)；（2）帶分?jǐn)?shù)一定要先化成假分?jǐn)?shù)之后再求倒數(shù)。

【題型3倒數(shù)、絕對值、相反數(shù)的綜合求值】

【例3】（23-24七年級?重慶,期末）-1.5的倒數(shù)的絕對值的相反數(shù)為.

【變式3-1］（23-24七年級?浙江?階段練習(xí)）甲、乙兩同學(xué)進(jìn)行數(shù)字猜謎游戲，甲說：一個數(shù)a的相反數(shù)是

它本身，乙說：一個數(shù)6的倒數(shù)也是它本身，則a-b=—

【變式3-2］（23-24七年級?四川成都,期末）若a,b互為相反數(shù)，a+1的倒數(shù)是-;，則6的值為.

【變式3-3］（23-24七年級?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?期末）已知a,b互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，租的絕對值等于

4,p是數(shù)軸上原點表示的數(shù).

⑴分別直接寫出a+b,cd,m,p的值；

（2）p-cd+號+m的值是多少？

ca

【題型4有理數(shù)乘法的實際應(yīng)用】

【例4】（23-24七年級?廣東廣州?開學(xué)考試）如圖，把A,B,C,D,E這五部分用四種不同的顏色著色，

且相鄰的部分不能使用同一種顏色，不相鄰的部分可以使用同一種顏色.那么，這幅圖一共有種不

同的著色方法.

【變式4-1］（23-24七年級?黑龍江大慶?期末）某商店將一種取暖器先提價20%,然后宣傳打八五折銷售,

取暖器的現(xiàn)價（）

A.和原來一樣B.比原來降了C.比原來漲了D.無法判斷

【變式4-2］（23-24?江西吉安?三模）《九章算術(shù)》是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著，不僅最早提到分?jǐn)?shù)問題,

也首先記錄了"盈不足"等問題，在第七章“盈不足"中有這樣一個問題："今有蒲生一日，長三尺.蒲生日自

半”.其意思是"有蒲這種植物，蒲第一日長了3尺，以后蒲每日生長的長度是前一日生長的長度的一半”.根

據(jù)題意，第三日蒲生長的長度為尺.

【變式4-3］（23-24七年級,山東臨沂,期末）某公園門票價格如下表，有28名中學(xué)生游公園，則最少應(yīng)付

費元.（游客只能在公園售票處購票）

購票張數(shù)1~29張30-60張60張以上

每張票的價格20元18元16元

知識點3：有理數(shù)的除法

1）有理數(shù)除法法則1：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。即："b=a；,（人工0）。

b

有理數(shù)除法法則2：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，且商的絕對值等于被除數(shù)的絕對值除以除數(shù)的絕對值

的商。0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。

2）有理數(shù)除法的運算步驟：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結(jié)果。

有理數(shù)的乘除混合運算：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結(jié)果。

【題型5有理數(shù)的混合運算】

【例5】（23-24七年級?重慶九龍坡?階段練習(xí)）計算

【變式5-1］（23-24七年級?福建廈門,期中）下面是小明的計算過程，請仔細(xì)閱讀，并解答下面的問題.

計算：（―15）+?—3—|）X6

解：原式=（-15）+（-g）x6......第一步

=（-15）+（-25）......第二步

=-|……第三步

解答過程是否有錯，若有，錯在第幾步？錯誤原因是什么？最后請寫出正確的過程.

【變式5-2]（23-24七年級?吉林白城?階段練習(xí)）計算:（，）x2[+㈢x]—Wx（Y）.

【變式5-3]（23-24七年級?河北石家莊?階段練習(xí)）老師布置了一道練習(xí)：計算（-16）+C-Jxl2.

嘉嘉和淇淇的解答過程如下：

嘉嘉的解答過程淇淇的解答過程

解：原式=（一16）+（-2）*12（第一步）解：原式=（—16）+工一工x12（第一步）

43

=(―16)+(—1)(第二步)=-64-4（第二步）

=16（第三步）=-68（第三步）

（1）①嘉嘉解題過程中開始出現(xiàn)錯誤的是第步；

②淇淇解題過程中開始出現(xiàn)錯誤的是第步.

⑵把正確的解題過程寫出來.

⑶計算：（-24）義仁+"3+14.

\46O/

【題型6有理數(shù)四則運算的實際應(yīng)用】

【例6】（23-24七年級?山東威海?期中）氣象統(tǒng)計資料表明：高山上的溫度每升高100米，平均氣溫下降

0.6℃.已知山腳的溫度是8久.

⑴若這座山的高度是2千米，求山頂?shù)臏囟龋?/p>

⑵小明在上山過程中看到溫度計上的讀數(shù)是-EC,此時他距山腳有多高？

【變式6-1]（23-24七年級?貴州銅仁?階段練習(xí)）某服裝公司2017年四個季度的盈虧情況如下：第一季度

平均每月虧損1.5萬元，第二季度在全體員工的努力下，平均每月盈利2萬元，第三季度平均每月盈利1.7

萬元，第四季度平均每月虧損2.9萬元，那么這個公司2017年平均每月盈虧情況如何？

【變式6-2]（23-24七年級?四川成都?期中）小張第一次用180元購買了8套兒童服裝，以一定價格出售.

如果以每套兒童服裝80元的價格為標(biāo)準(zhǔn)，超出的記作整數(shù)，不足的記作負(fù)數(shù)，記錄如下（單位：元）：

+12,-13,+15,+11,-17,-11,0,-13.

請通過計算說明：

（1）小張賣完這8套兒童服裝后是盈利還是虧損？盈利（或虧損）了多少錢？

（2）每套兒童服裝的平均售價是多少元？

（3）小張第二次用第一次的進(jìn)價再次購買900元的兒童服裝，如果他預(yù)計第二次每套服裝的平均售價75

元，按他的預(yù)計第二次售價可獲利多少元？

【變式6-3］（23-24七年級?四川成都,期中）居民生活中使用天然氣實行階梯式計價，用戶每月用氣量在20

立方米及以內(nèi)的為第一級基數(shù)，按一級用氣價格收取；超過20立方米且不超過30立方米的部分為第二級

氣量基數(shù)，按一級用氣價格的1.5倍收取：超過30立方米的部分為第三級氣量基數(shù)，按一級用氣價格的1.8

（3）7月份放暑假后，小明的爺爺、奶奶及表哥來到家里和小明一起生活，并多次請客，用氣量明顯增加,

比6月份多用氣12立方米，試求小明家7月份需交納氣費多少元？

【題型7利用倒數(shù)法求解有理數(shù)的除法】

【例7】（23-24七年級?遼寧鞍山?階段練習(xí)）閱讀下列材料，并解答問題：

材料一：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，如湃心，即若設(shè)a+b=x,則6+a=\

材料二：分配律：（a+b）c=ac+be；

利用上述材料，請用簡便方法計算：（-高）+（?；+專）-

【變式7-1］（23-24七年級?吉林長春?階段練習(xí)）我們學(xué)過了乘法分配律，但是在做除法運算時就不能使用

分配律.對于下面這道計算題：+（；-；+；-椅），小明有了自己的想法，小明的做法是：先求原式的

42\67314/

?：++=-|x42+|x42-|x42+Jx42=-7+12-

28+9=-14,所以原式=-2請你仿照以上小明的做法計算：（-5）+（1-吟一|+臺

【變式7-2］（23-24七年級?全國?隨堂練習(xí)）閱讀材料，回答問題.

計算：（一2）+0

解:方法一：原式=（一白十（'一卷）=（一表）+（-?）=?

方法二：原式的倒數(shù)為:（1-1）-（-^）=Q-1）x（-15）=|x（-15）-1x（-15）=-3+5=2

故原式=

用適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ嬎悖海ㄒ弧辏?（1—卷+2-I.

【變式7-3］（23-24七年級?浙江杭州?階段練習(xí)）閱讀下列材料:

計算：專i-i4-

34

解法①：原式=義士;工+工+上+2=呆3-—1x4+—X12C=—11

6036046012606060

11/1

解法②:原式磊+（松一2+6）=專=—x6=—

66010

解法③：原式的倒數(shù)為（|一：+白+親=?-1+m*60="60-；*60+**60=20-15+5=

10,

團(tuán)原式=弓

解法④：原式=（專x60）+［（?；+專）X60卜1+（20-15+5）=4

⑴上述解法中，肯定有錯誤的解法.你認(rèn)為解法一是錯誤的；

（2）在正確的解法中，選擇一種解法計算：—2+但一《+'—口

42\71436/

【題型8化簡分?jǐn)?shù)】

【例8】（23-24七年級?全國?專題練習(xí)）化簡下列分?jǐn)?shù):

【變式8-1］（23-24?上海楊浦?三模）下列分?jǐn)?shù)中，能化為有限小數(shù)的是（）

AA.-1B-.3-〃C.-1cD.一5

12121515

【變式8-2］（23-24七年級?全國?課后作業(yè)）化簡下列各分?jǐn)?shù)：苓=—,—=

5—36

【變式8-3］（23-24七年級?全國?專題練習(xí)）如果v<0<x,則化簡區(qū)+⑼=

xxy

【題型9與有理數(shù)乘除有關(guān)的新定義問題】

【例9】（23-24七年級?河北石家莊?期中）在數(shù)軸上，把原點記作點0,表示數(shù)1的點記作點4.對于數(shù)軸

上任意一點P（不與點。，點4重合），將線段P。與線段PA的長度之比定義為點P的特征值，記作戶，即戶=

例如：當(dāng)點P是線段。4的中點時，因為P0=P4所以>=1.如圖，點P1,P2，P3為數(shù)軸上三個點，

點P1表示的數(shù)為-;，點P2表示的數(shù)與點P1表示的數(shù)互為相反數(shù)，點P3表示的數(shù)為2.

4

3i3i六

⑴點22表示的數(shù)為：；

（2）求戶1，52,戶3的值，比較戶1，戶2,戶3的大小，并用連接；

⑶若數(shù)軸上有一點M滿足0M=4,求祈.

【變式9-1]（23-24七年級?湖南岳陽?期末）定義新運算"⑤"：a0b=『如：203=土券，則（402）0

（-D=.

【變式9-2]（23-24七年級?甘肅隴南?期中）如果對于任何有理數(shù)a、b定義運算"A"如下：必6=：+（—§,

如2A3求（-2A7）A4的值.

【變式9-3]（23-24七年級?四川成都?期中）在數(shù)軸上有理數(shù)a,；分別用點A,4表示，我們稱點4是

點A的〃差倒數(shù)點〃.已知數(shù)軸上點A的差倒數(shù)點為點4；點A/的差倒數(shù)點為點人2；點A2的差倒數(shù)點為點

4…這樣在數(shù)軸上依次得到點A,A19A2,4，…，An.若點A,A19A2,A3,而在數(shù)軸上分別表示的有

理數(shù)為。八。2、。3、…，an.則當(dāng)〃=一機寸，代數(shù)式幻+。2+〃3+…+Q2020的值為.

【題型10有理數(shù)四則運算中的分類討論思想的運用】

【例10】（23-24七年級?安徽滁州?期中）下列結(jié)論：

①若|%|=|-3|,則％=±3；

②若|一%|=|-3|,貝h=3；

③若1%1=lyb則%=y；

④若％+y=0,則昌=1；

⑤已知a、b、c均為非零有理數(shù)，若a<0,a+b<0,a+6+c<0,則回+粵+回一半的值為2或一2.

其中，正確的結(jié)論是（填寫序號）.

【變式10-1]（23-24七年級?湖北武漢?階段練習(xí)）已知abc于0,化簡g+總+名=（）

\ab\\ac\\bc\

A.-3B.3或1C.3或一1D.±3

【變式10-2］（23-24?山東青島?一模）設(shè)a,6,c為有理數(shù),則由言+白+卷+陪構(gòu)成的各種數(shù)值是.

|a|\b\|c|\abc\

【變式10-3］（23-24七年級?北京海淀?階段練習(xí)）有理數(shù)a,b,c都不為零，且a+b+c=0,則空+等+

ab

\a+b\

專題2.3有理數(shù)的乘除法【十大題型】

【人教版2024]

＞題型梳理

【題型1利用有理數(shù)的乘法辨別符號】...........................................................2

【題型2利用有理數(shù)乘法運算律進(jìn)行巧算】......................................................2

【題型3倒數(shù)、絕對值、相反數(shù)的綜合求值】....................................................3

【題型4有理數(shù)乘法的實際應(yīng)用】..............................................................3

【題型5有理數(shù)的混合運算】...................................................................4

【題型6有理數(shù)四則運算的實際應(yīng)用】...........................................................5

【題型7利用倒數(shù)法求解有理數(shù)的除法】........................................................6

【題型8化簡分?jǐn)?shù)】...........................................................................7

【題型9與有理數(shù)乘除有關(guān)的新定義問題】......................................................7

【題型10有理數(shù)四則運算中的分類討論思想的運用】.............................................8

?舉一反三

知識點1：有理數(shù)的乘法

L有理數(shù)的乘法

有理數(shù)乘法法則：(下列法則中。、6為正有理數(shù)，c為任意有理數(shù))

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，積的絕對值兩乘數(shù)的絕對值的積。任何數(shù)同0相乘，都得。。

即：(+a)x(+&)=ab-,(―a)x(—=ab；ax(-b)=-ab；；(-a)xb=-ab；；0xc=0。

有理數(shù)乘法的運算步驟：先確定積的符號，再確定積的絕對值。

多個有理數(shù)相乘：幾個不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積

為負(fù)數(shù)，即“奇負(fù)偶正”。幾個數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0,那么積等于0。

多個有理數(shù)相乘的運算步驟：先用上面的方法確定符號，再將各乘數(shù)的絕對值相乘作為積的絕對值。

2.有理數(shù)乘法運算律

乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位置，積不變。即：ab=ba.

乘法結(jié)合律：一般地，有理數(shù)乘法中，三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積不變。

BP：abc=(Q6)C=a(bc)o

乘法分配律：一般地，有理數(shù)乘法中，一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別與這兩個數(shù)相乘，再

把積相加。即：a（b+c）=ab+aco

【題型1利用有理數(shù)的乘法辨別符號】

【例1】（23-24七年級?浙江紹興?階段練習(xí)）4個有理數(shù)相乘，積的符號是負(fù)號，則這4個有理數(shù)中，負(fù)數(shù)

有（）

A.1個或3個B.1個或2個C.2個或4個D.3個或4個

【答案】A

【分析】本題考查了多個有理數(shù)的乘法運算.熟練掌握多個有理數(shù)相乘，奇負(fù)偶正是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)多個有理數(shù)相乘，奇負(fù)偶正，進(jìn)行作答即可.

【詳解】解：由多個不為0的數(shù)相乘，奇數(shù)個負(fù)數(shù)積為負(fù)數(shù)，偶數(shù)個負(fù)數(shù)積為正數(shù)可知，這4個有理數(shù)中,

負(fù)數(shù)有1個或3個，

故選：A.

【變式1-1］（23-24七年級?安徽合肥?階段練習(xí)）若a-6<0,防>0,那么這兩個數(shù)（）

A.都是正數(shù)B.都是負(fù)數(shù)C.一正一負(fù)D.符號不能確定

【答案】D

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法法則，有理數(shù)的減法法則，即可解答.

【詳解】解：Sab>0,

0a,6同號,

若a,b都是負(fù)數(shù)，存在a—b<0,

若a,。都是正數(shù)，同樣存在a—6<0,

回這兩個數(shù)符號不能確定，

故選：D.

【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘法及有理數(shù)的加法，掌握有理數(shù)的乘法及有理數(shù)的減法是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2］（23-24七年級?重慶江津?階段練習(xí)）已知a>b>c,且a+6+c=0,那么乘積ac的值一定是

（）

A.正數(shù)B,負(fù)數(shù)C.0D.不能確定

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，判斷出a、c的正負(fù)，即可求解.

【詳解】解：13a>b>c,且a+b+c=0,

0a>0,c<0,即a與c異號,

則ac的值一定是負(fù)數(shù).

故選：B.

【點睛】此題考查了有理數(shù)乘法以及加法運算，解題的關(guān)鍵是正確判斷出a、c的正負(fù).

【變式1-3](23-24七年級?安徽宣城?期末)如圖，A,2兩點在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是a,b,下列式子成

立的是()

BA

----------1~?—1--------1―?—?

-1b01a

A.ab>0B.a+b>0C.(a—1)(/?-1)>0D.(a+l)(h-1)>0

【答案】B

【分析】先根據(jù)數(shù)軸確定a,b的取值范圍，再逐一判定即可解答.

【詳解】解：由數(shù)軸可得：一l<b<0<l<a,

Elab<0,a+b>0,(a—1)(/?—1)<0,(a+l)(b—1)<0,故B正確.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了數(shù)軸，有理數(shù)的乘法，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸確定a,b的取值范圍.

【題型2利用有理數(shù)乘法運算律進(jìn)行巧算】

[例2](23-24七年級?全國?假期作業(yè))計算：(―1X2)X(―；X$X(-；X§X(-4X今X…X(-翳X

2233442022

、、

痂2023)x(,一20赤22X赤202)4.

【答案】2024

2023

【分析】此題考查了有理數(shù)的乘法運算，根據(jù)有理數(shù)的乘法運算法則計算即可，掌握有理數(shù)的運算法則是

解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：原式=—(1X2)XGX|)X(|X3X(|XYX

?1324352021202320222024

-lx2ox-x-x-x-x-x-x...X-----X------X------X------,

2233442022202220232023

2024

2023

【變式2-1](23-24七年級?全國?課后作業(yè))計算159x3,最簡便的方法是()

716

A.(15+-)x-B.(16--)X-C.—X-D.(10+5-)X-

\7/16\7/16716V7716

【答案】B

【分析】根據(jù)有理數(shù)乘法運算法則逐項驗證即可得到答案.

【詳解】解：15.x.1“6--2\x—7,

7/16

故選：B.

【點睛】本題考查有理數(shù)乘法運算，熟練掌握有理數(shù)乘法運算法則是解決問題的關(guān)鍵.

【變式2-2](23-24七年級?全國?隨堂練習(xí))用簡便方法計算:

(1)(-7.5)X(+25)X(-0.04)；

(2)(-4^)x1.25X(-8).

【答案】(1)7.5

(2)401

【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘法，關(guān)鍵是熟記有理數(shù)乘法法則與運算定律.

(1)根據(jù)有理數(shù)乘法法則與乘法的結(jié)合律進(jìn)行簡便運算；

(2)運用乘法的結(jié)合律與分配律進(jìn)行簡便運算便可.

【詳解】(1)解：(―7.5)x(+25)x(―0.04)

=7.5x(25X0.04)

=7,5x1

=7.5；

(2)解：(—4點)X1.25X(—8)

1

=4—x(1.25x8)

=(4+[)'I。

1

=40+-

=40

2

【變式2-3](23-24七年級?江蘇鹽城?階段練習(xí))用簡便方法計算：

⑴1嗎x(-9)；

1o

(2)0.618x97+3x0,618.

【答案】⑴-17年

(2)61.8

【分析】本題考查有理數(shù)乘法的運算律，掌握利用乘法分配律進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵.

（1）利用乘法分配律計算即可；

（2）利用乘法分配律計算即可.

【詳解】（1）解：原式=（20-工）X（-9）=20X（-9）—二x（-9）=-180+工=—179工；

\18/1822

（2）原式=0.618X（97+3）=0.618X100=61.8.

知識點2：倒數(shù)

1）倒數(shù)的概念：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。

2）倒數(shù)的性質(zhì)：（1）倒數(shù)是成對出現(xiàn)的，單獨一個數(shù)不能稱為倒數(shù)。（2）0沒有倒數(shù)。（3）互為倒數(shù)的

兩個數(shù)的乘積一定是1,即6互為倒數(shù)，則4x6=1；反之亦然.

3）求一個非零有理數(shù)的倒數(shù)，把它的分子和分母顛倒位置即可。

（1）非零整數(shù)可以看作分母為1的分?jǐn)?shù)后再求倒數(shù)；（2）帶分?jǐn)?shù)一定要先化成假分?jǐn)?shù)之后再求倒數(shù)。

【題型3倒數(shù)、絕對值、相反數(shù)的綜合求值】

【例3】（23-24七年級?重慶,期末）-1.5的倒數(shù)的絕對值的相反數(shù)為.

【答案】-|

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義、相反數(shù)的定義、絕對值的定義解答即可.

【詳解】解：回一1.5=—|,

團(tuán)一日的倒數(shù)是

團(tuán)的絕對值是京

垮的相反數(shù)為號，

回-1.5的倒數(shù)的絕對值的相反數(shù)為號，

故答案為-1.

【點睛】本題考查了倒數(shù)的定義，絕對值的定義，相反數(shù)的定義，掌握倒數(shù)的定義及相反數(shù)的定義是解題

的關(guān)鍵.

【變式3-1］（23-24七年級?浙江?階段練習(xí)）甲、乙兩同學(xué)進(jìn)行數(shù)字猜謎游戲，甲說：一個數(shù)a的相反數(shù)是

它本身，乙說：一個數(shù)6的倒數(shù)也是它本身，則。加—

【答案】±1.

【分析】利用相反數(shù)和倒數(shù)的定義求出a、b,然后相減即可.；

【詳解】解：a的相反數(shù)是它本身，說明a為0；一個數(shù)6的倒數(shù)也是它本身，說明b為±1；

那么a-b=a±l=0±l=±l

答案為：±1.

【點睛】本題考查了倒數(shù)的定義，相反數(shù)的定義，熟記概念并確定出a、b的值是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（23-24七年級?四川成都?期末）若a,6互為相反數(shù)，a+1的倒數(shù)是一；，則6的值為.

4

【答案】5

【分析】本題考查了相反數(shù)，倒數(shù)，根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0,互為倒數(shù)的兩個數(shù)的積為1,列式

計算即可.

【詳解】團(tuán)a,6互為相反數(shù)，a+1的倒數(shù)是一；，

回a+b=0,a+l=-4,

團(tuán)a=—b,

團(tuán)-b+1=—4,

解得b=5,

故答案為：5.

【變式3-3］（23-24七年級?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?期末）已知a,b互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，根的絕對值等于

4,p是數(shù)軸上原點表示的數(shù).

⑴分別直接寫出Q+b,cd,m,p的值；

（2）p-cd+甘+m的值是多少？

ca

【答案】（l）a+b—0,cd—1,m-+4,P-0；

（2）3或一5

【分析】（1）本題考查了相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值、數(shù)軸，a,b互為相反數(shù)，得到a+b=0,根據(jù)c,d互

為倒數(shù)，得到cd=l,根據(jù)ni的絕對值等于4,所以巾=±4,p是數(shù)軸上原點表示的數(shù)，所以p=0；

（2）本題考查了相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值、數(shù)軸，將a+氏cd、p代入求解即可得到答案；

【詳解】⑴解：加，b互為相反數(shù),

a+6=0,

vc,d互為倒數(shù)，

???cd=1,

m的絕對值等于4,

???m=±4,

???p是數(shù)軸上原點表示的數(shù)，

???p=0；

(2)解：①當(dāng)771=4時，

0p-cd+—+m=0-l+0+4=3,

cd

②當(dāng)zn=—4時，

0p-cd+—+m=0-l+0-4=-5,

cd

???1p—cd+rrim的值為3或—5.

【題型4有理數(shù)乘法的實際應(yīng)用】

【例4】（23-24七年級?廣東廣州,開學(xué)考試）如圖，把A,B,C,D,E這五部分用四種不同的顏色著色,

且相鄰的部分不能使用同一種顏色，不相鄰的部分可以使用同一種顏色.那么，這幅圖一共有種不

同的著色方法.

C

1DL________

【答案】96

【分析】

本題考查了有理數(shù)的乘法運算，按照A,B,C,D,E的順序依次著色，判斷各部分可以使用的顏色種樹即

可求解.

【詳解】解：由題意得：A有四種顏色可以選擇，8有三種顏色可以選擇，

則C有兩種顏色可以選擇，。有兩種顏色可以選擇，E有兩種顏色可以選擇，

團(tuán)這幅圖一共有著色方法：4x3x2x2x2=96（種）

故答案為：96

【變式4-1］（23-24七年級?黑龍江大慶?期末）某商店將一種取暖器先提價20%,然后宣傳打八五折銷售，

取暖器的現(xiàn)價（）

A.和原來一樣B.比原來降了C.比原來漲了D.無法判斷

【答案】C

【分析】假設(shè)取暖器原價為100元，則現(xiàn)價為100x（1+20%）x0.85%=102（元），進(jìn)而可求；

【詳解】解：假設(shè)取暖器原價為100元，

則現(xiàn)價為100x（1+20%）X0.85%=102（元），

0100<102,

團(tuán)取暖器的現(xiàn)價比原來漲了.

故選：C.

【點睛】本題主要考查有理數(shù)乘法的應(yīng)用，列出算式并正確計算是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2］（23-24?江西吉安?三模）《九章算術(shù)》是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著，不僅最早提到分?jǐn)?shù)問題，

也首先記錄了"盈不足”等問題，在第七章“盈不足"中有這樣一個問題："今有蒲生一日，長三尺.蒲生日自

半”.其意思是"有蒲這種植物，蒲第一日長了3尺，以后蒲每日生長的長度是前一日生長的長度的一半”.根

據(jù)題意，第三日蒲生長的長度為尺.

【答案】7

4

【分析】本題主要考查利用有理數(shù)的運算解決實際問題的能力，關(guān)鍵是能根據(jù)實際問題準(zhǔn)確列出算式.

根據(jù)蒲的增長規(guī)律計算第3天的長度即可.

【詳解】解：3X；X；=J（尺）

224

故答案為：

【變式4-3］（23-24七年級?山東臨沂?期末）某公園門票價格如下表，有28名中學(xué)生游公園，則最少應(yīng)付

費元.（游客只能在公園售票處購票）

購票張數(shù)1-29張30-60張60張以上

每張票的價格20元18元16元

【答案】540

【分析】本題考查了有理數(shù)大小比較的運用，本題只需仔細(xì)分析圖表即可解決問題.根據(jù)公園門票價格規(guī)

定，通過計算得出應(yīng)盡量設(shè)計的能夠享受優(yōu)惠的購票方案.

【詳解】解：解：28人買28張的話需付28x20=560（元），

買30張的話，付30X18=540（元），

所以最少應(yīng)付費540元.

故買30張付540元是最少的付費方式.

故答案為：540.

知識點3：有理數(shù)的除法

1）有理數(shù)除法法則1:除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。即：a^b=a-]-,（匕工0）。

b

有理數(shù)除法法則2：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，且商的絕對值等于被除數(shù)的絕對值除以除數(shù)的絕對值

的商。0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。

2）有理數(shù)除法的運算步驟：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結(jié)果。

有理數(shù)的乘除混合運算：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結(jié)果。

【題型5有理數(shù)的混合運算】

【例5】（23-24七年級?重慶九龍坡?階段練習(xí)）計算

【答案】⑴-2

（2）-3

【分析】（1）先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再根據(jù)有理數(shù)乘除法的運算法則按照同級運算從左到右的順序計算

即可得到答案;

（2）先算絕對值里面的，再根據(jù)乘除互化，將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再結(jié)合有理數(shù)加法運算法則求解即可得到

答案.

【詳解】⑴解：-|十（-。+（-3凱（5|）

2/5\17

=一mx(z-3)x(一正卜石

=-2；

(2)解:1+(-3+,卜||

7310

=1x(-8)+-^正一正

77

=1x(-8)+1--

77

=1X(-8)+--—

,、715

=1x(-8)+-Xy

=-8+5

=—3.

【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，涉及絕對值運算，熟練掌握加減乘除運算法則及運算順序是解決問

題的關(guān)鍵.

【變式5-1](23-24七年級?福建廈門?期中)下面是小明的計算過程，請仔細(xì)閱讀，并解答下面的問題.

計算：(-15)+?—3—|)x6

解：原式=(-15)+(-5X6......第一步

=(-15)+(-25)......第二步

—|……第三步

解答過程是否有錯，若有，錯在第幾步？錯誤原因是什么？最后請寫出正確的過程.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)有理數(shù)的運算順序和運算法則判斷即可得；依據(jù)混合運算順序和運算法則判斷即可得；由乘

除同級運算應(yīng)該從左到右依次計算和兩數(shù)相除同號得正判斷可得；先計算括號內(nèi)的數(shù)，然后化除為乘再進(jìn)

行有理數(shù)的乘法運算.

【詳解】解：解答過程有錯.錯在第二步和第三步.

第二步運算順序錯誤，乘除同級運算應(yīng)該從左到右依次計算；

第三步有理數(shù)的除法法則運用錯誤，兩數(shù)相除，同號得正.

正確過程：(-15)+?-3-|)義6

解：原式=(-15)+(-交)X6

6

=(-15)x(一卷)x6

_108

一5

【點睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的混合運算順序和運算法則.

【變式5-2】（23-24七年級?吉林白城?階段練習(xí)）計算：（，）土+（-拉；吟><

【答案】一卷

【分析】逆用乘法分配律，提出-￡計算出括號內(nèi)的值，而后相乘即得.

5

【點睛】本題主要考查了乘法的分配律，熟練掌握乘法的分配律，有理數(shù)的加減法、乘法，是解決問題的

關(guān)鍵.

【變式5-3］（23-24七年級?河北石家莊?階段練習(xí)）老師布置了一道練習(xí)：計算（-16）+G-|）X12.

嘉嘉和淇淇的解答過程如下：

嘉嘉的解答過程淇淇的解答過程

解：原式=（一16）+（-2）*12（第一步）解：原式=（—16）+；-；xl2（第一步）

43

=(—16)+(—1)(第二步)=-64-4（第二步）

=16（第三步）=-68（第三步）

（1）①嘉嘉解題過程中開始出現(xiàn)錯誤的是第步;

②淇淇解題過程中開始出現(xiàn)錯誤的是第步.

（2）把正確的解題過程寫出來.

⑶計算：（-24）x（：+，一§+14.

。O/

【答案】⑴①二，②一

⑵見解析

【分析】(1)①嘉嘉在第二步計算乘除混合運算時，應(yīng)按照從左到右順序依次計算；②淇淇第一步計算

含有括號時，應(yīng)該先計算括號里面的；

(2)按照有理數(shù)的混合運算法則進(jìn)行，先計算括號里面的，再從左到右依次計算乘除.

(3)根據(jù)有理數(shù)的混合運算進(jìn)行計算即可求解.

【詳解】(1)解：①嘉嘉解題過程中第二步計算有錯誤，

故答案為：二；

②淇淇解題過程中第一步有錯誤，

故答案為：一；

(2)解：(-16)+X12

=(-16)+f)xl2

=(-16)x(-12)x12

=192x12

=2304；

(3)(-24)x-——4-14

\242424.

71

——24x——x—

【點睛】本題考查了有理數(shù)混合運算，在計算有理數(shù)混合運算時，有括號先計算括號里面的，再計算乘方,

然后計算乘除，最后計算加減，同級運算時從左往右依次進(jìn)行計算，熟練掌握有理數(shù)混合運算法則是解題

關(guān)鍵.

【題型6有理數(shù)四則運算的實際應(yīng)用】

【例6】(23-24七年級?山東威海?期中)氣象統(tǒng)計資料表明：高山上的溫度每升高100米，平均氣溫下降

0.6℃.已知山腳的溫度是8。5

⑴若這座山的高度是2千米，求山頂?shù)臏囟龋?/p>

⑵小明在上山過程中看到溫度計上的讀數(shù)是-1。&此時他距山腳有多高？

【答案】⑴-4冤

(2)1500米

【分析】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)及有理數(shù)運算的實際應(yīng)用.

(1)根據(jù)題意列式計算即可；

(2)根據(jù)題意列式計算即可.

結(jié)合已知條件列得正確的算式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：8-20004-100x0.6

=8-12

=-4(℃),

即山頂?shù)臏囟葹?4汽；

(2)[8-(-1)]+0.6X100

=9+0.6X100

=1500(米)，

即他距山腳1500米.

【變式6-1](23-24七年級?貴州銅仁?階段練習(xí))某服裝公司2017年四個季度的盈虧情況如下：第一季度

平均每月虧損1.5萬元，第二季度在全體員工的努力下，平均每月盈利2萬元，第三季度平均每月盈利1.7

萬元，第四季度平均每月虧損2.9萬元，那么這個公司2017年平均每月盈虧情況如何？

【答案】這個公司2017年平均每月虧損0.175萬元.

【分析】首先用這個公司去年每個季度的盈虧額乘3,求出每個季度的盈虧額分別是多少；然后把它們相加,

再除以12即可求解.

【詳解】解：(-1.5)X3+2X3+1.7X3+(-2.9)x3

=-4.5+6+5.1+(-8.7)

=-2.1(萬元)

-2.1-M2=-0.175(萬元)

答：這個公司2017年平均每月虧損0.175萬元.

【點睛】此題主要考查了有理數(shù)的混合運算，解答此題的關(guān)鍵是求出每個季度的盈虧額分別是多少.

【變式6-2］（23-24七年級?四川成都?期中）小張第一次用180元購買了8套兒童服裝，以一定價格出售.

如果以每套兒童服裝80元的價格為標(biāo)準(zhǔn)，超出的記作整數(shù)，不足的記作負(fù)數(shù)，記錄如下（單位：元）：

+12,-13,+15,+11,-17,-11,0,-13.

請通過計算說明：

（1）小張賣完這8套兒童服裝后是盈利還是虧損？盈利（或虧損）了多少錢？

（2）每套兒童服裝的平均售價是多少元？

（3）小張第二次用第一次的進(jìn)價再次購買900元的兒童服裝，如果他預(yù)計第二次每套服裝的平均售價75

元，按他的預(yù)計第二次售價可獲利多少元？

【答案】（1）當(dāng)他賣完這八套兒童服裝后是盈利了，盈利了444元；（2）每套兒童服裝的平均售價是78元;

（3）按他的預(yù)計第二次售價可獲利2100元.

【分析】（1）把所得的正負(fù)數(shù)相加，再同以55元售價售出的總價相加，求出買出的錢數(shù)，再同400元進(jìn)

行比較，可知賺了還是虧了，進(jìn)而求出賺或虧的錢數(shù)；

（2）用售出的總價除以8可求出平均售價是多少元，據(jù)此解答.

（3）根據(jù)利潤=售價-進(jìn)價即可求得.

【詳解】（D（+12）+（-13）+什15）+什11）+（-17）+（-11）+0+（-13）=-16.

80x8-16=640-16=624（元）

624>180,所以賺錢

624-180=444（元）

答：當(dāng)他賣完這八套兒童服裝后是盈利了，盈利了444元；

（2）624+8=78（元）

答：每套兒童服裝的平均售價是78元.

⑶每套衣服的進(jìn)價為：180+8=22.5元，

第二次可以購進(jìn)服裝900+22.5=40套，

75x40-900=2100.

答：按他的預(yù)計第二次售價可獲利2100元.

【點睛】考查了正數(shù)與負(fù)數(shù)的應(yīng)用，得到總售價是解決問題的關(guān)鍵.

【變式6-3］（23-24七年級,四川成都?期中）居民生活中使用天然氣實行階梯式計價，用戶每月用氣量在20

立方米及以內(nèi)的為第一級基數(shù)，按一級用氣價格收??；超過20立方米且不超過30立方米的部分為第二級

氣量基數(shù)，按一級用氣價格的L5倍收?。撼^30立方米的部分為第三級氣量基數(shù)，按一級用氣價格的1.8

倍收