2025《金版教程•高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案》第1節(jié) 集合

第一節(jié)集合課標(biāo)解讀考向預(yù)測1.了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系；能用自然語言、圖形語言、符號語言刻畫集合.2.理解集合之間的包含與相等關(guān)系，能識別給定集合的子集，了解全集與空集的含義.3.理解集合之間的交、并、補的含義，能求兩個集合的并集與交集，能求給定子集的補集.4.能使用Venn圖表達集合之間的基本關(guān)系與基本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用.集合是高考必考內(nèi)容，重點考查集合的基本運算，以小題形式出現(xiàn)，常聯(lián)系不等式的解集，試題難度較低.2025年備考仍以小題為主訓(xùn)練，在注重集合概念的基礎(chǔ)上，牢固掌握集合的基本關(guān)系與運算，適當(dāng)加強與函數(shù)、不等式等知識的聯(lián)系，借助數(shù)軸和Venn圖等工具解決相關(guān)問題.必備知識——強基礎(chǔ)1．元素與集合(1)集合中元素的三個特性：eq\x(\s\up1(01))確定性、eq\x(\s\up1(02))互異性、eq\x(\s\up1(03))無序性．(2)元素與集合的關(guān)系：若a屬于集合A，記作aeq\x(\s\up1(04))∈A；若b不屬于集合A，記作beq\x(\s\up1(05))?A.(3)集合的三種表示方法：eq\x(\s\up1(06))列舉法、eq\x(\s\up1(07))描述法、圖示法．(4)常用數(shù)集及記法名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集記法eq\x(\s\up1(08))Neq\x(\s\up1(09))N*或N＋eq\x(\s\up1(10))Zeq\x(\s\up1(11))Qeq\x(\s\up1(12))R(5)集合的分類：有限集和無限集．2．集合間的基本關(guān)系(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中eq\x(\s\up1(13))任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集．記作Aeq\x(\s\up1(14))?B(或Beq\x(\s\up1(15))?A)．(2)真子集：如果集合A?B，但eq\x(\s\up1(16))存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作Aeq\x(\s\up1(17))B(或Beq\x(\s\up1(18))A)．(3)相等：若A?B，且Beq\x(\s\up1(19))?A，則A＝B.3．集合的基本運算運算自然語言符號語言Venn圖并集由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合A∪B＝eq\x(\s\up1(20)){x|x∈A，或x∈B}交集由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合A∩B＝eq\x(\s\up1(21)){x|x∈A，且x∈B}補集對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合?UA＝eq\x(\s\up1(22)){x|x∈U，且x?A}4.集合的運算性質(zhì)(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.1．空集的性質(zhì)：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．2．若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個．3．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.4．?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．5．集合元素個數(shù)公式：若用card表示有限集中元素的個數(shù)，則card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)eq\f(1,3)∈Q.()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(3)如果集合B?A，那么若元素a不屬于A，則必不屬于B.()答案(1)√(2)×(3)√2．小題熱身(1)若集合M＝{x|x3＝x}，N＝{x|x2＝1}，則下列式子正確的是()A．M＝N B．M?NC．N?M D．M∩N＝?答案C(2)已知集合A＝{x|x2－4x<0，x∈N*}，則集合A的真子集的個數(shù)為()A．3 B．4C．8 D．7答案D(3)已知全集U＝R，集合A＝{－2，－1，1，2，4，6}，B＝{－2，1，2，3，5}，則圖中陰影部分表示的集合是()A．{－2，1，2} B．{－1，4，6}C．{3，5} D．{－2，－1，1，2，3，4，6}答案A解析由圖可知陰影部分表示的是A∩B，又A∩B＝{－2，1，2}，故陰影部分表示的集合是{－2，1，2}．故選A.(4)(人教A必修第一冊習(xí)題1.3T4改編)設(shè)全集為R，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，則?R(A∪B)＝________，(?RA)∩B＝________．答案{x|x≤2或x≥10}{x|2＜x＜3或7≤x＜10}考點探究——提素養(yǎng)考點一集合的基本概念例1(1)(2024·河南漯河高三摸底)下列四個命題正確的是()A．10以內(nèi)的素數(shù)集合是{1，3，5，7}B．0與{0}表示同一個集合C．方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2}D．由1，2，3組成的集合可表示為{1，2，3}或{3，2，1}答案D解析10以內(nèi)的素數(shù)有2，3，5，7，A錯誤；0是集合{0}中的一個元素，B錯誤；由集合中元素的互異性可知，C錯誤；由集合中元素的無序性可知，D正確．故選D.(2)若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，則實數(shù)a＝________．答案0或1解析①當(dāng)a－3＝－3時，a＝0，此時A＝{－3，－1，－4}；②當(dāng)2a－1＝－3時，a＝－1，此時A＝{－4，－3，－3}，舍去；③當(dāng)a2－4＝－3時，a＝±1，由②可知a＝－1舍去，則當(dāng)a＝1時，A＝{－2，1，－3}．綜上，a＝0或1.【通性通法】與集合中元素有關(guān)問題的三個關(guān)鍵點【鞏固遷移】1．已知集合A＝{x∈R|x2＋a>0}，且2?A，則實數(shù)a的取值范圍是()A．{a|a≤4} B．{a|a≥4}C．{a|a≤－4} D．{a|a≥－4}答案C解析由題意可得22＋a≤0，解得a≤－4.故選C.2．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數(shù)為()A．9 B．8C．5 D．4答案A解析集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，共9個元素．故選A.3．設(shè)a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，則a2024＋b2024＝________．答案2解析由題意知a≠0，因為{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，所以a＋b＝0，則eq\f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2024＋b2024＝1＋1＝2.考點二集合間的基本關(guān)系例2(1)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)設(shè)集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A?B，則a＝()A．2 B．1C.eq\f(2,3) D．－1答案B解析因為A?B，所以a－2＝0或2a－2＝0，解得a＝2或a＝1.若a＝2，此時A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合題意；若a＝1，此時A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合題意．綜上所述，a＝1.故選B.(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍為________．答案(－∞，3]解析∵B?A，∴若B＝?，則2m－1＜m＋1，解得m＜2；若B≠?，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.綜上，實數(shù)m的取值范圍為(－∞，3]．【通性通法】1．判斷集合間關(guān)系的三種方法列舉法根據(jù)題中限定條件把集合元素列舉出來，然后比較集合元素的異同，從而找出集合之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)法從元素的結(jié)構(gòu)特點入手，結(jié)合通分、化簡、變形等技巧，從元素結(jié)構(gòu)上找差異進行判斷數(shù)軸法在同一個數(shù)軸上表示出兩個集合，比較端點之間的大小關(guān)系，從而確定集合與集合之間的關(guān)系2.已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．求得參數(shù)后，可以把端點值代入進行驗證，以免增解或漏解．注意：空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系問題時，必須考慮是否存在空集的情況，否則易造成漏解．【鞏固遷移】4．設(shè)集合P＝{y|y＝x2＋1}，M＝{x|y＝x2＋1}，則集合M與集合P的關(guān)系是()A．M＝P B．P∈MC．MP D．PM答案D解析因為P＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，M＝{x|y＝x2＋1}＝R，所以PM.5．(2024·湖南湘潭模擬)若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B?A，則實數(shù)m的取值范圍為________．答案[－2，2)解析若B＝?，則Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，符合題意；若1∈B，則12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此時B＝{1}，符合題意；若2∈B，則22＋2m＋1＝0，解得m＝－eq\f(5,2)，此時B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，不符合題意．綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為[－2，2)．考點三集合的基本運算(多考向探究)考向1集合間的交、并、補運算例3(1)(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，則M∩N＝()A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}C．{－2} D．2答案C解析因為N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．故選C.(2)(2024·山東濰坊高三上學(xué)期月考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|ex<1}，則A∪B＝()A．(－∞，1) B．(－∞，2)C．(－2，0) D．(－1，2)答案B解析由題意，A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|ex<1}＝{x|x<0}，所以A∪B＝(－∞，2)．故選B.(3)(2023·全國乙卷)設(shè)集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，則{x|x≥2}＝()A．?U(M∪N) B．N∪?UMC．?U(M∩N) D．M∪?UN答案A解析由題意可得M∪N＝{x|x<2}，則?U(M∪N)＝{x|x≥2}，A正確；?UM＝{x|x≥1}，則N∪?UM＝{x|x>－1}，B錯誤；M∩N＝{x|－1<x<1}，則?U(M∩N)＝{x|x≤－1或x≥1}，C錯誤；?UN＝{x|x≤－1或x≥2}，則M∪?UN＝{x|x<1或x≥2}，D錯誤．故選A.【通性通法】解決集合運算問題的三個技巧看元素構(gòu)成集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的關(guān)鍵對集合化簡有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進行運算，可使問題簡單明了、易于解決應(yīng)用數(shù)形離散型數(shù)集或抽象集合間的運算，常借助Venn圖求解；連續(xù)型數(shù)集的運算，常借助數(shù)軸求解【鞏固遷移】6．(2022·全國甲卷)設(shè)全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，則?U(A∪B)＝()A．{1，3} B．{0，3}C．{－2，1} D．{－2，0}答案D解析由題意，B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}，所以A∪B＝{－1，1，2，3}，所以?U(A∪B)＝{－2，0}．故選D.7．(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M＝{x|eq\r(x)<4}，N＝{x|3x≥1}，則M∩N＝()A．{x|0≤x<2} B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<2))))C．{x|3≤x<16} D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<16))))答案D解析因為M＝{x|eq\r(x)＜4}＝{x|0≤x＜16}，N＝{x|3x≥1}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,3)))))，所以M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x＜16)))).故選D.8.用圖形直觀表示集合的運算關(guān)系，最早是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉所創(chuàng)，故將表示集合運算關(guān)系的圖形稱為“歐拉圖”．后來，英國邏輯學(xué)家約翰·韋恩在歐拉圖的基礎(chǔ)上創(chuàng)建了世人所熟知的“Venn圖”．則圖中的陰影部分表示的集合為()A．A∩B∩C B．(?UA)∩B∩CC．A∩(?UB)∩C D．A∩B∩(?UC)答案D解析由圖可知，陰影部分在集合A，B的公共部分，且不在集合C中，故圖中的陰影部分表示的集合為A∩B∩(?UC)．故選D.考向2利用集合的運算求參數(shù)例4(2024·江蘇無錫天一中學(xué)高三模擬)已知集合A＝{x∈Z|－1<x<3}，B＝{x|3x－a<0}，且A∩(?RB)＝{1，2}，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(0，4) B．(0，4]C．(0，3] D．(0，3)答案C解析由集合A＝{x∈Z|－1<x<3}＝{0，1，2}，B＝{x|3x－a<0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(a,3)))))，可得?RB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(a,3)))))，因為A∩(?RB)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))，所以0<eq\f(a,3)≤1，解得0<a≤3，即實數(shù)a的取值范圍是(0，3]．故選C.【通性通法】利用集合的運算求參數(shù)的方法注意：確定不等式解集的端點之間的大小關(guān)系時，需檢驗?zāi)芊袢　埃健?，另外千萬不要忘記考慮空集．【鞏固遷移】9．(2023·河北衡水中學(xué)高三一模)已知集合M＝{x|x≤m}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,\r(x2－3x－4)))))).若M∪N＝R，則實數(shù)m的取值范圍是()A．[－1，＋∞) B．[4，＋∞)C．(－∞，－1] D．(－∞，4]答案B解析由x2－3x－4>0，得x<－1或x>4，即N＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，因為M∪N＝R，M＝(－∞，m]，所以m≥4，即實數(shù)m的取值范圍為[4，＋∞)．故選B.10．已知集合A＝{x|x2＋x－6>0}，B＝{x|2a－1<x<a＋2}，若A∩B≠?，則實數(shù)a的取值范圍為________．答案(－∞，－1)∪(0，3)解析由題意可得集合A＝(－∞，－3)∪(2，＋∞)，因為A∩B≠?，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－1<－3，,2a－1<a＋2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2>2，,2a－1<a＋2，))解得a<－1或0<a<3，所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1)∪(0，3)．考向3集合語言與思想的運用例5某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩個小組，已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有________人．答案8解析設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人構(gòu)成的集合分別為A，B，C，同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有x人，由題意可得如圖所示的Venn圖，由全班共36名同學(xué)可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有8人．【通性通法】(1)運用集合語言及思想解決實際問題時，注意Venn圖的應(yīng)用，它是解決集合交、并、補運算的有力工具，先利用Venn圖表示交、并、補的區(qū)域，如果在集合外，那么與集合的補集運算有關(guān)，如果在公共部分，那么與集合的交集運算有關(guān)．(2)注意公式card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)的合理運用．【鞏固遷移】11．某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該中學(xué)學(xué)生總數(shù)的比例是()A．62% B．56%C．46% D．42%答案C解析用Venn圖表示該中學(xué)喜歡足球和游泳的學(xué)生所占比例之間的關(guān)系如圖，設(shè)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該中學(xué)學(xué)生總數(shù)的比例為x，則(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故選C.課時作業(yè)一、單項選擇題1．(2023·全國甲卷)設(shè)集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U為整數(shù)集，?U(A∪B)＝()A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z}D．?答案A解析因為整數(shù)集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以eq\a\vs4\al(?)U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故選A.2．(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x||x－1|≤1}，則A∩B＝()A．{－1，2} B．{1，2}C．{1，4} D．{－1，4}答案B解析B＝{x|0≤x≤2}，故A∩B＝{1，2}．故選B.3．設(shè)集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，則M∪N＝()A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]答案A解析∵M＝{0，1}，N＝{x|0＜x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}．4．已知集合A＝{(x，y)|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝eq\r(x)}，則A∩B的真子集個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2，,y＝\r(x)，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))∴A∩B＝{(0，0)，(1，1)}，即A∩B有2個元素，∴A∩B的真子集個數(shù)為22－1＝3.故選C.5．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝R，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)答案A解析因為A＝{x|x2－2x>0}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，A∪B＝R，所以a<0.故選A.6．(2024·湖南益陽高三上學(xué)期月考)已知A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x2＋2y2＝1}，M＝A∩B.則M中元素的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．4答案C解析因為A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x2＋2y2＝1}，所以集合A是直線x＋y＝0上的點的集合，集合B是橢圓x2＋2y2＝1上的點的集合．因為M＝A∩B，所以若要求M中元素的個數(shù)，只需聯(lián)立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,x2＋2y2＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),3)，,y＝－\f(\r(3),3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(3),3)，,y＝\f(\r(3),3)，))即橢圓和直線有兩個交點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，所以M中元素的個數(shù)是2.故選C.7．某班45名學(xué)生參加“3·12”植樹節(jié)活動，每位學(xué)生都參加除草、植樹兩項勞動．依據(jù)勞動表現(xiàn)，評定為“優(yōu)秀”“合格”2個等級，結(jié)果如下表：等級項目優(yōu)秀合格合計除草301545植樹202545若在兩個項目中都“合格”的學(xué)生最多有10人，則在兩個項目中都“優(yōu)秀”的人數(shù)最多為()A．5 B．10C．15 D．20答案C解析用集合A表示除草“優(yōu)秀”的學(xué)生，B表示植樹“優(yōu)秀”的學(xué)生，全班學(xué)生用全集U表示，則?UA表示除草“合格”的學(xué)生，?UB表示植樹“合格”的學(xué)生，作出Venn圖，如圖．設(shè)兩個項目都“優(yōu)秀”的人數(shù)為x，兩個項目都“合格”的人數(shù)為y，由圖可得20－x＋x＋30－x＋y＝45，x＝y(tǒng)＋5，因為ymax＝10，所以xmax＝10＋5＝15.故選C.8．已知集合P∪(?RQ)＝(－2，＋∞)，P∩Q＝(－2，1)，則Q＝()A．(－2，＋∞) B．(－∞，1)C．(－∞，－2] D．[1，＋∞)答案B解析根據(jù)右面的Venn圖，Ⅰ區(qū)表示P∩(?RQ)，Ⅱ區(qū)表示P∩Q，Ⅲ區(qū)表示Q∩(?RP)，Ⅳ區(qū)表示?R(P∪Q)，則集合P∪(?RQ)對應(yīng)于Ⅰ區(qū)、Ⅱ區(qū)、Ⅳ區(qū)的并集，所以Ⅲ區(qū)對應(yīng)(－∞，－2]，從而Q對應(yīng)Ⅱ區(qū)、Ⅲ區(qū)的并集，故Q＝(－∞，1)．故選B.二、多項選擇題9．已知集合A，B均為R的子集，若A∩B＝?，則()A．A??RB B．?RA?BC．A∪B＝R D．(?RA)∪(?RB)＝R答案AD解析如圖，根據(jù)Venn圖可得A??RB，故A正確；由于B??RA，故B錯誤；A∪B?R，故C錯誤；(?RA)∪(?RB)＝?R(A∩B)＝R，故D正確．故選AD.10．(2024·河北保定部分高中高三上學(xué)期月考)已知Z(A)表示集合A的整數(shù)元素的個數(shù)，若集合M＝{x|x2－9x<10}，N＝{x|lg(x－1)<1}，則()A．Z(M)＝9B．M∪N＝{x|－1<x<11}C．Z(N)＝9D．(?RM)∩N＝{x|10<x<11}答案BC解析因為M＝{x|－1<x<10}，N＝{x|1<x<11}，所以Z(M)＝10，Z(N)＝9，M∪N＝{x|－1<x<11}，(?RM)∩N＝{x|10≤x<11}．故選BC.11．若集合A＝{x|sin2x＝1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(π,4)＋\f(kπ,2)，k∈Z))))，則下列結(jié)論正確的是()A．A∪B＝B B．?RB??RAC．A∩B＝? D．?RA??RB答案AB解析因為A＝{x|sin2x＝1}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4kπ＋π,4)，k∈Z))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(π,4)＋\f(kπ,2)，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2kπ＋π,4)，k∈Z))))，顯然集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4kπ＋π,4)，k∈Z))))?eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2kπ＋π,4)，k∈Z))))，所以A?B，則A∪B＝B，所以A正確；?RB??RA，所以B正確，D錯誤；A∩B＝A，所以C錯誤．故選AB.三、填空題12．(2024·江蘇連云港海濱中學(xué)高三學(xué)情檢測)已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(6,x－1)∈N，x∈A))))，則集合B的子集的個數(shù)是__________．答案8解析由eq\f(6,x－1)∈N，得x－1＝6，x－1＝3，x－1＝2，x－1＝1，且x∈A，故B＝{2，3，4}，則集合B的子集的個數(shù)為23＝8.13．已知集合A＝{m2，－2}，B＝{m，m－3}，若A∩B＝{－2}，則A∪B＝________．答案{－5，－2，4}解析∵A∩B＝{－2}，∴－2∈B，若m＝－2，則A＝{4，－2}，B＝{－2，－5}，∴A∩B＝{－2}，A∪B＝{－5，－2，4}；若m－3＝－2，則m＝1，∴A＝{1，－2}，B＝{1，－2}，∴A∩B＝{1，－2}(舍去)．綜上，A∪B＝{－5，－2，4}．14．(2024·九省聯(lián)考)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，則m的最小值為________．答案5解析由A∩B＝A，得A?B，由|x－3|≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，故有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4≤m＋3，,－2≥－m＋3，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥1，,m≥5，))即m≥5，故m的最小值為5.15．(2024·河南鄭州四中第二次調(diào)研考試)某年級先后舉辦了數(shù)學(xué)、歷史、音樂講座，其中有75人聽了數(shù)學(xué)講座，68人聽了歷史講座，61人聽了音樂講座，記A＝{x|x是聽了數(shù)學(xué)講座的學(xué)生}，B＝{x|x是聽了歷史講座的學(xué)生}，C＝{x|x是聽了音樂講座的學(xué)生}．用card(M)來表示有限集合M中元素的個數(shù)，若card(A∩B)＝17，card(A∩C)＝12，card(B∩C)＝9，A∩B∩C＝?，則()A．card(A∪B)＝143B．card(A∪B∪C)＝166C．card(B∪C)＝129D．card(A∩B∩C)＝38答案B解析將已知條件用Venn圖表示出來如圖，對于A，card(A∪B)＝46＋42＋17＋12＋9＝126，故A錯誤；對于B，card(A∪B∪C)＝46＋42＋40＋17＋12＋9＝166，故B正確；對于C，card(B∪C)＝42＋40＋17＋12＋9＝120，故C錯誤；對于D，card(A∩B∩C)＝0，故D錯誤．故選B.16．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1}，B＝{(x，y)||x|＋|y|≤a}，A?B，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B．[1，＋∞)C．[eq\r(2)，＋∞) D．[2，＋∞)答案C解析集合A為圓x2＋y2＝1內(nèi)部和圓周上的點集，集合B為直線x＋y＝a，x－y＝a，－x＋y＝a，x＋y＝－a圍成的正方形內(nèi)部和邊上的點集，畫出圖象，如圖所示．當(dāng)直線EF與圓O相切時，設(shè)切點為C，連接OC.∵△EOF為等腰直角三角形，OE＝OF，∠EOF＝90°，OC⊥EF，∴OC為Rt△EOF斜邊上的中線，∴OC＝eq\f(1,2)EF，即EF＝2OC＝2，∴OE＝OF＝eq\f(\r(2),2)EF＝eq\r(2)，此時a＝eq\r(2).∵A?B，即圓O在正方形內(nèi)，∴a≥eq\r(2).17．(多選)(2024·華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三月考)已知M是同時滿足下列條件的集合：①0∈M，1∈M；②若x，y∈M，則x－y∈M；③若x∈M且x≠0，則eq\f(1,x)∈M.下列結(jié)論中正確的是()A.eq\f(1,3)∈MB．－1?MC．若x，y∈M，則x＋y∈MD．若x，y∈M，則xy∈M答案ACD解析對于A，B，由①②，得0－1＝－1∈M，1－(－1)＝2∈M，2－(－1)＝3∈M，由③，