2025《金版教程•高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案》第2節(jié) 用樣本估計(jì)總體

第二節(jié)用樣本估計(jì)總體課標(biāo)解讀考向預(yù)測1.會(huì)用統(tǒng)計(jì)圖表對總體進(jìn)行估計(jì)，會(huì)求n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).2.能用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢和總體離散程度.用樣本估計(jì)總體在高考中出題頻率較高，常結(jié)合頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征出題．預(yù)計(jì)2025年高考將會(huì)以與統(tǒng)計(jì)圖表的識(shí)讀、成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析相綜合的形式呈現(xiàn).必備知識(shí)——強(qiáng)基礎(chǔ)1．總體百分位數(shù)的估計(jì)(1)第p百分位數(shù)的定義一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有eq\x(\s\up1(01))p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值．(2)四分位數(shù)常用的分位數(shù)有第25百分位數(shù)，第50百分位數(shù)(即中位數(shù))，第75百分位數(shù)．這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)．其中第eq\x(\s\up1(02))25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)，第eq\x(\s\up1(03))75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)．2．樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中eq\x(\s\up1(04))出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．(2)中位數(shù)：把n個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于eq\x(\s\up1(05))最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．(3)平均數(shù)：把eq\x(\s\up1(06))eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)稱為a1，a2，…，an這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)．(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2])，s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]．3．總體平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差與樣本平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差名稱定義總體均值(總體平均數(shù))、方差、標(biāo)準(zhǔn)差一般式：如果總體中有N個(gè)個(gè)體，它們的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，則稱eq\o(Y,\s\up6(－))＝eq\f(Y1＋Y2＋…＋YN,N)＝eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up8(N),\s\do8(i＝1))Yi為eq\x(\s\up1(07))總體均值，又稱總體平均數(shù)，稱S2＝eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up8(N),\s\do8(i＝1))(Yi－eq\o(Y,\s\up6(－)))2為eq\x(\s\up1(08))總體方差，S＝eq\r(S2)為eq\x(\s\up1(09))總體標(biāo)準(zhǔn)差加權(quán)式：如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k(k≤N)個(gè)，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1，2，…，k)，則總體均值為eq\o(Y,\s\up6(－))＝eq\x(\s\up1(10))eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up8(k),\s\do8(i＝1))fiYi，總體方差為S2＝eq\x(\s\up1(11))eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up8(k),\s\do8(i＝1))fi(Yi－eq\o(Y,\s\up6(－)))2樣本均值(樣本平均數(shù))、方差、標(biāo)準(zhǔn)差如果從總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本，它們的變量值分別為y1，y2，…，yn，則稱eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))yi為eq\x(\s\up1(12))樣本均值，又稱樣本平均數(shù)，稱s2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2為eq\x(\s\up1(13))樣本方差，s＝eq\r(s2)為eq\x(\s\up1(14))樣本標(biāo)準(zhǔn)差說明：(1)在簡單隨機(jī)抽樣中，我們常用樣本平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差.(2)總體平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差是一個(gè)確定的數(shù)，樣本平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差具有隨機(jī)性(因?yàn)闃颖揪哂须S機(jī)性).(3)一般情況下，樣本量越大，估計(jì)越準(zhǔn)確1．頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)．(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．2．平均數(shù)、方差的公式推廣若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\o(x,\s\up6(－))＋a，方差為m2s2.1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)對一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近．()(2)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)越集中．()(3)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是眾數(shù)．()答案(1)×(2)×(3)√2．小題熱身(1)(人教A必修第二冊習(xí)題9.2T1改編)下列一組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是()2．1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6A．3.2 B．3.0C．4.4 D．2.5答案A解析把該組數(shù)據(jù)按照由小到大的順序排列，可得2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整數(shù)，得第3個(gè)數(shù)據(jù)3.2是第25百分位數(shù)．(2)(多選)(人教B必修第二冊習(xí)題5－1BT3改編)給出一組數(shù)據(jù)：1，3，3，5，5，5，下列說法正確的是()A．這組數(shù)據(jù)的極差為4B．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3C．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4D．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3和5答案AC解析這組數(shù)據(jù)的極差為5－1＝4，A正確；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(1＋3×2＋5×3,6)＝eq\f(11,3)，B錯(cuò)誤；這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為eq\f(3＋5,2)＝4，C正確；這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5，D錯(cuò)誤．(3)(人教B必修第二冊練習(xí)BT4改編)某企業(yè)有3個(gè)分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，第一、二、三分廠的產(chǎn)量之比為1∶2∶1，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從3個(gè)分廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中共抽取100件進(jìn)行使用壽命的測試，由所得的測試結(jié)果算得從第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的平均使用壽命分別為980h，1020h，1032h，則抽取的100件產(chǎn)品的平均使用壽命為________h.答案1013解析由比例分配的分層隨機(jī)抽樣的知識(shí)可知，從第一、二、三分廠抽取的電子產(chǎn)品件數(shù)分別為25，50，25，則抽取的100件產(chǎn)品的平均使用壽命為eq\f(1,100)×(980×25＋1020×50＋1032×25)＝1013(h)．(4)已知一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖，則眾數(shù)是________，平均數(shù)是________．答案6567解析因?yàn)樽罡咝￠L方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為65，所以眾數(shù)為65；平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝(55×0.030＋65×0.040＋75×0.015＋85×0.010＋95×0.005)×10＝67.考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)考點(diǎn)一百分位數(shù)的計(jì)算例1(1)(2023·江蘇南通海安質(zhì)量監(jiān)測)“雙減”政策實(shí)施后，學(xué)生的課外閱讀增多．某班50名學(xué)生到圖書館借書數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下：借書數(shù)量/本5678910頻數(shù)/人58131194則這50名學(xué)生的借書數(shù)量的上四分位數(shù)是()A．8 B．8.5C．9 D．10答案C解析由50×75%＝37.5，故第75百分位數(shù)為借書數(shù)量從小到大排序后的第38個(gè)，又5＋8＋13＋11＝37<38<5＋8＋13＋11＋9＝46，故上四分位數(shù)(第75百分位數(shù))是9.(2)某校為了了解高三年級(jí)學(xué)生的身體素質(zhì)狀況，在開學(xué)初舉行了一場身體素質(zhì)體能測試，以便對體能不達(dá)標(biāo)的學(xué)生進(jìn)行有針對性的訓(xùn)練，促進(jìn)他們體能的提升，現(xiàn)從整個(gè)年級(jí)測試成績中抽取100名學(xué)生的測試成績，并把測試成績分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]六組，繪制成頻率分布直方圖(如圖所示)．其中分?jǐn)?shù)在[90，100]這一組內(nèi)的縱坐標(biāo)為a，則該次體能測試成績的80%分位數(shù)約為________分．答案92解析由頻率分布直方圖知，10×(0.002＋0.004＋0.014＋0.020＋a＋0.035)＝1，得a＝0.025.因?yàn)?.02＋0.04＋0.14＋0.20＋0.35＝0.75，所以該次體能測試成績的80%分位數(shù)落在[90，100]內(nèi)，設(shè)其為x，則由(x－90)×0.025＝0.05，解得x＝92.【通性通法】計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)第p百分位數(shù)的步驟【鞏固遷移】1．為了養(yǎng)成良好的運(yùn)動(dòng)習(xí)慣，某人記錄了自己一周內(nèi)每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(單位：分鐘)，分別為53，57，45，61，79，49，x，若這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)的差為3，則x＝()A．58或64 B．59或64C．58 D．59答案A解析將已知的6個(gè)數(shù)從小到大排序?yàn)?5，49，53，57，61，79.若x≤57，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為61和57，它們的差為4，不符合條件；若x≥79，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為79和61，它們的差為18，不符合條件；若57<x<79，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為x和61(或61和x)，則|x－61|＝3，解得x＝58或x＝64.故選A.2．(2024·安徽十校聯(lián)考)學(xué)校組織班級(jí)知識(shí)競賽，某班的8名學(xué)生的成績(單位：分)分別是68，63，77，76，82，88，92，93，則這8名學(xué)生成績的75%分位數(shù)是()A．88分 B．89分C．90分 D．92分答案C解析8名學(xué)生的成績從小到大排列為63，68，76，77，82，88，92，93，因?yàn)?×75%＝6，所以75%分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)和第7個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即eq\f(1,2)×(88＋92)＝90(分)．考點(diǎn)二總體集中趨勢的估計(jì)例2(1)(2024·山東臨沂模擬)10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則()A．a(chǎn)>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．b>c>a答案B解析將生產(chǎn)的件數(shù)由小到大排列為10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，a＝eq\f(1,10)×(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7，b＝15，c＝17.因此c>b>a.故選B.(2)(多選)(2023·湖北荊州中學(xué)模擬)某公司為提高職工政治素養(yǎng)，對全體職工進(jìn)行了一次時(shí)事政治測試，隨機(jī)抽取了100名職工的成績，并將其制成如圖所示的頻率分布直方圖，以樣本估計(jì)總體，則下列結(jié)論中正確的是()A．該公司職工的測試成績不低于60分的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的80%B．該公司職工測試成績的中位數(shù)約為70分C．該公司職工測試成績的平均值約為68分D．該公司職工測試成績的眾數(shù)約為60分答案BC解析對于A，該公司職工的測試成績不低于60分的頻率為(0.02＋0.015)×20＝0.70，∴該公司職工的測試成績不低于60分的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的70%，故A錯(cuò)誤；對于B，測試成績在[20，60)的頻率為(0.005＋0.01)×20＝0.3，測試成績在[60，80)的頻率為0.02×20＝0.4，∴該公司職工測試成績的中位數(shù)約為60＋eq\f(0.5－0.3,0.4)×20＝70分，故B正確；對于C，該公司職工測試成績的平均值約為eq\o(x,\s\up6(－))＝30×0.005×20＋50×0.01×20＋70×0.02×20＋90×0.015×20＝68分，故C正確；對于D，該公司職工測試成績的眾數(shù)約為eq\f(60＋80,2)＝70分，故D錯(cuò)誤．故選BC.【通性通法】頻率分布直方圖中的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(2)中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等．(3)平均數(shù)：各組區(qū)間的中點(diǎn)值與對應(yīng)頻率之積的和．【鞏固遷移】3．某市市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi)，超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：(1)如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價(jià)格為4元/立方米，w至少定為多少？(2)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替，當(dāng)w＝3時(shí)，估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi)．解(1)如題圖所示，用水量在[0.5，2)的頻率為(0.2＋0.3＋0.4)×0.5＝0.45，用水量在[0.5，3)的頻率為(0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85.∴用水量小于等于2立方米的頻率為0.45，用水量小于等于3立方米的頻率為0.85，又w為整數(shù)，∴為使80%以上的居民在該月的用水價(jià)格為4元/立方米，w至少定為3.(2)當(dāng)w＝3時(shí)，該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為(0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3)×4＋0.15×3×4＋[0.05×(3.5－3)＋0.05×(4－3)＋0.05×(4.5－3)]×10＝10.5(元)．即當(dāng)w＝3時(shí)，該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為10.5元．考點(diǎn)三總體離散程度的估計(jì)例3甲、乙兩名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽取8次，記錄如下：甲8281797895889384乙9295807583809085(1)求兩位學(xué)生預(yù)賽成績的平均數(shù)和方差；(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考慮，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適？請說明理由．解(1)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,8)×(82＋81＋79＋78＋95＋88＋93＋84)＝85，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,8)×(92＋95＋80＋75＋83＋80＋90＋85)＝85，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)×[(82－85)2＋(81－85)2＋(79－85)2＋(78－85)2＋(95－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(84－85)2]＝35.5，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)×[(92－85)2＋(95－85)2＋(80－85)2＋(75－85)2＋(83－85)2＋(80－85)2＋(90－85)2＋(85－85)2]＝41.(2)由(1)知eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，甲的成績較穩(wěn)定，所以派甲參賽比較合適．【通性通法】標(biāo)準(zhǔn)差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動(dòng)與穩(wěn)定的程度．標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小．【鞏固遷移】4．(2023·全國乙卷)某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗(yàn)，每次配對試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi(i＝1，2，…，10)．試驗(yàn)結(jié)果如下：試驗(yàn)序號(hào)i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的樣本平均數(shù)為eq\o(z,\s\up6(－))，樣本方差為s2.(1)求eq\o(z,\s\up6(－))，s2；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果eq\o(z,\s\up6(－))≥2eq\r(\f(s2,10))，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高)．解(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)×(545＋533＋551＋522＋575＋544＋541＋568＋596＋548)＝552.3，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)×(536＋527＋543＋530＋560＋533＋522＋550＋576＋536)＝541.3，eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(y,\s\up6(－))＝552.3－541.3＝11，zi＝xi－yi的值分別為9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12，故s2＝eq\f(1,10)×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61.(2)由(1)知，eq\o(z,\s\up6(－))＝11，2eq\r(\f(s2,10))＝2eq\r(6.1)＝eq\r(24.4)，故有eq\o(z,\s\up6(－))≥2eq\r(\f(s2,10))，所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高．考點(diǎn)四分層隨機(jī)抽樣的均值與方差例4為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天的睡眠時(shí)間，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時(shí)間的均值為9小時(shí)，方差為0.5，抽取高中生1200人，其每天睡眠時(shí)間的均值為8小時(shí)，方差為1，則估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的方差為________．答案1.04解析該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的平均數(shù)為eq\f(800,1200＋800)×9＋eq\f(1200,1200＋800)×8＝8.4(小時(shí))，該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的方差為eq\f(800,1200＋800)×[0.5＋(9－8.4)2]＋eq\f(1200,1200＋800)×[1＋(8－8.4)2]＝1.04.【通性通法】在分層隨機(jī)抽樣中，如果第一層的樣本量為m，平均值為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為seq\o\al(2,1)；第二層的樣本量為n，平均值為eq\o(y,\s\up6(－))，方差為seq\o\al(2,2)，則樣本的平均值為eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(m\o(x,\s\up6(－))＋n\o(y,\s\up6(－)),m＋n)，樣本的方差為s2＝eq\f(1,m＋n){m[seq\o\al(2,1)＋(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(w,\s\up6(－)))2]＋n[seq\o\al(2,2)＋(eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(w,\s\up6(－)))2]}．特別地，在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，我們可以直接用樣本平均數(shù)eq\o(w,\s\up6(－))估計(jì)總體平均數(shù)eq\o(W,\s\up6(－))，用樣本方差s2估計(jì)總體方差S2.【鞏固遷移】5．(2023·安徽宣城模擬)某學(xué)校有男生400人，女生600人，為調(diào)查該校全體學(xué)生每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況，按照男女比例通過分層隨機(jī)抽樣的方法取到一個(gè)樣本，樣本中男生每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均值為80分鐘，方差為10，女生每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均值為60分鐘，方差為20.結(jié)合數(shù)據(jù)，估計(jì)該校全體學(xué)生每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間的方差為()A．15 B．16C．96 D．112答案D解析由題意，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方式抽取樣本，且該樣本中男、女生的比為eq\f(400,600)＝eq\f(2,3)，不妨設(shè)抽取的男、女生人數(shù)分別為2n，3n，那么樣本的總數(shù)為5n.則所有樣本的平均值為eq\f(1,5n)×(80×2n＋60×3n)＝68，方差為eq\f(2n,5n)×[10＋(80－68)2]＋eq\f(3n,5n)×[20＋(60－68)2]＝112.故選D.6．為了了解全區(qū)科級(jí)干部“黨風(fēng)廉政知識(shí)”的學(xué)習(xí)情況，采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從全區(qū)320名正科級(jí)干部和1280名副科級(jí)干部中抽取40名科級(jí)干部預(yù)測全區(qū)科級(jí)干部“黨風(fēng)廉政知識(shí)”的學(xué)習(xí)情況．現(xiàn)將這40名科級(jí)干部分為正科級(jí)干部組和副科級(jí)干部組，利用同一份試卷分別進(jìn)行測試．經(jīng)過測試后，兩組各自將測試成績統(tǒng)計(jì)分析如下表：分組人數(shù)平均成績正科級(jí)干部組a80副科級(jí)干部組b70則40名科級(jí)干部測試成績的平均分eq\o(x,\s\up6(－))＝________．答案72解析樣本量與總體中的個(gè)體數(shù)的比為eq\f(40,320＋1280)＝eq\f(1,40)，則抽取的正科級(jí)干部人數(shù)a＝320×eq\f(1,40)＝8，副科級(jí)干部人數(shù)b＝1280×eq\f(1,40)＝32.所以這40名科級(jí)干部測試成績的平均分eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(80×8＋70×32,40)＝72.課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．(2023·天津河西區(qū)三模)學(xué)校組織班級(jí)知識(shí)競賽，某班的12名學(xué)生的成績(單位：分)分別是58，67，73，74，76，82，82，87，90，92，93，98，則這12名學(xué)生成績的第三四分位數(shù)是()A．88分 B．89分C．90分 D．91分答案D解析12名學(xué)生的成績(單位：分)由小到大排列為58，67，73，74，76，82，82，87，90，92，93，98，∵12×75%＝9，∴這12名學(xué)生成績的第三四分位數(shù)是eq\f(90＋92,2)＝91(分)．2．(2024·重慶南開中學(xué)月考)為了解某高中學(xué)生的身高情況，按年級(jí)采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本，抽到高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)分別為100，200，300，樣本中高一、高二、高三這三個(gè)年級(jí)學(xué)生的平均身高分別為eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，eq\o(z,\s\up6(－))，則估計(jì)該高中學(xué)生的平均身高為()A．eq\f(1,6)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(1,3)eq\o(y,\s\up6(－))＋eq\f(1,2)eq\o(z,\s\up6(－)) B．eq\f(\o(x,\s\up6(－))＋\o(y,\s\up6(－))＋\o(z,\s\up6(－)),2)C．eq\f(1,2)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(1,3)eq\o(y,\s\up6(－))＋eq\f(1,6)eq\o(z,\s\up6(－)) D．eq\f(\o(x,\s\up6(－))＋\o(y,\s\up6(－))＋\o(z,\s\up6(－)),3)答案A解析樣本量為100＋200＋300＝600，樣本平均數(shù)為eq\f(100,600)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(200,600)eq\o(y,\s\up6(－))＋eq\f(300,600)eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(1,3)eq\o(y,\s\up6(－))＋eq\f(1,2)eq\o(z,\s\up6(－))，所以估計(jì)該高中學(xué)生的平均身高為eq\f(1,6)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(1,3)eq\o(y,\s\up6(－))＋eq\f(1,2)eq\o(z,\s\up6(－)).3．(2022·全國甲卷)某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí)．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則()A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差答案B解析講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)為eq\f(70%＋75%,2)＝72.5%＞70%，故A錯(cuò)誤；講座后問卷答題的正確率只有一個(gè)是80%，4個(gè)是85%，剩下的全部大于等于90%，所以講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%，故B正確；講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，故C錯(cuò)誤；講座后問卷答題的正確率的極差為100%－80%＝20%，講座前問卷答題的正確率的極差為95%－60%＝35%＞20%，故D錯(cuò)誤．故選B.4．給定一組數(shù)據(jù)5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則這組數(shù)據(jù)()A．眾數(shù)為2 B．平均數(shù)為2.5C．方差為1.6 D．標(biāo)準(zhǔn)差為4答案C解析由題中數(shù)據(jù)可得，眾數(shù)為2和3，故A錯(cuò)誤；平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(5＋5＋…＋2＋1,10)＝3，故B錯(cuò)誤；方差s2＝eq\f(（5－3）2＋（5－3）2＋…＋（2－3）2＋（1－3）2,10)＝1.6，標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(1.6)≠4，故C正確，D錯(cuò)誤．5．(2023·河北唐山一中模擬)對某種電子元件使用壽命跟蹤調(diào)查，所得樣本的頻率分布直方圖如圖．由圖可知，這一批電子元件使用壽命的85%分位數(shù)為()A．500h B．450h C．350h D．550h答案A解析電子元件壽命小于500h的百分比為100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2000)＋\f(3,2000)＋\f(1,400)＋\f(1,250)))＝85%，則這批電子元件使用壽命的85%分位數(shù)為500h．故選A．6．某市教育部門組織高中教師在暑假期間進(jìn)行培訓(xùn)，培訓(xùn)后統(tǒng)一舉行測試．隨機(jī)抽取100名教師的測試成績(單位：分，滿分100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布折線圖，則下列說法正確的是()A．這100名教師的測試成績的極差是20分B．這100名教師的測試成績的眾數(shù)是90分C．這100名教師的測試成績的中位數(shù)是87.5分D．這100名教師中測試成績不低于90分的人數(shù)占比超過50%答案C解析對于A，由題意知，這100名教師的測試成績的最高分與最低分無法確定，故極差無法確定，故A錯(cuò)誤；對于B，由題圖易知這100名教師的測試成績的眾數(shù)為87.5分，故B錯(cuò)誤；對于C，設(shè)這100名教師的測試成績的中位數(shù)為x分，則(0.02＋0.04)×5＋(x－85)×0.08＝0.5，解得x＝87.5，故C正確；對于D，這100名教師中測試成績不低于90分的人數(shù)占比為(0.03＋0.03)×5×100%＝30%，30%＜50%，故D錯(cuò)誤．故選C.7．已知兩組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5的中位數(shù)、方差均相同，則兩組數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)后，()A．中位數(shù)一定不變，方差可能變大B．中位數(shù)一定不變，方差可能變小C．中位數(shù)可能改變，方差可能變大D．中位數(shù)可能改變，方差可能變小答案A解析不妨設(shè)x1≤x2≤x3≤x4≤x5，y1≤y2≤y3≤y4≤y5，則兩組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5的中位數(shù)分別為x3，y3，則x3＝y(tǒng)3，兩組數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)后，中位數(shù)為eq\f(x3＋y3,2)＝x3＝y(tǒng)3，故中位數(shù)一定不變，設(shè)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為seq\o\al(2,1)，y1，y2，y3，y4，y5的平均數(shù)為eq\o(y,\s\up6(－))，方差為seq\o\al(2,1)，則eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do8(i＝1))xi＝5eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝5(seq\o\al(2,1)＋eq\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do8(i＝1))yi＝5eq\o(y,\s\up6(－))，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do8(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝5(seq\o\al(2,1)＋eq\o(y,\s\up6(－))2)，則兩組數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)后的平均數(shù)eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)(eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do8(i＝1))xi＋eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do8(i＝1))yi)＝eq\f(1,10)(5eq\o(x,\s\up6(－))＋5eq\o(y,\s\up6(－)))＝eq\f(\o(x,\s\up6(－))＋\o(y,\s\up6(－)),2)，方差s2＝eq\f(1,10)[eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do8(i＝1))(xi－eq\o(z,\s\up6(－)))2＋eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do8(i＝1))(yi－eq\o(z,\s\up6(－)))2]＝eq\f(1,10)(eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)＋eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do8(i＝1))yeq\o\al(2,i)－10eq\o(z,\s\up6(－))2)＝eq\f(1,10)[5(seq\o\al(2,1)＋eq\o(x,\s\up6(－))2)＋5(seq\o\al(2,1)＋eq\o(y,\s\up6(－))2)－10eq\o(z,\s\up6(－))2]＝seq\o\al(2,1)＋eq\f(\o(x,\s\up6(－))2＋\o(y,\s\up6(－))2,2)－eq\o(z,\s\up6(－))2＝seq\o\al(2,1)＋eq\f(\o(x,\s\up6(－))2＋\o(y,\s\up6(－))2,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(x,\s\up6(－))＋\o(y,\s\up6(－)),2)))eq\s\up12(2)＝seq\o\al(2,1)＋eq\f(（\o(x,\s\up6(－))－\o(y,\s\up6(－))）2,4)≥seq\o\al(2,1)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\o(y,\s\up6(－))時(shí)，等號(hào)成立，故方差可能變大，一定不會(huì)變?。蔬xA.8．某高校分配給某中學(xué)一個(gè)保送名額，該中學(xué)進(jìn)行校內(nèi)舉薦評選，評選條件除了要求該生獲得該校“三好學(xué)生”稱號(hào)，還要求學(xué)生在近期連續(xù)3次大型考試中，每次考試的名次都在全校前5名(每次考試無并列名次)．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)都獲得了“三好學(xué)生”稱號(hào)，四位同學(xué)在近期連續(xù)3次大型考試名次的數(shù)據(jù)分別為甲同學(xué)：平均數(shù)為3，眾數(shù)為2；乙同學(xué)：中位數(shù)為3，眾數(shù)為3；丙同學(xué)：眾數(shù)為3，方差小于3；丁同學(xué)：平均數(shù)為3，方差小于3.則一定符合推薦要求的同學(xué)是()A．甲和乙 B．乙和丁C．丙和丁 D．甲和丁答案D解析對于甲同學(xué)，平均數(shù)為3，眾數(shù)為2，則3次考試的成績的名次為2，2，5，滿足要求；對于乙同學(xué)，中位數(shù)為3，眾數(shù)為3，可舉反例：3，3，6，不滿足要求；對于丙同學(xué)，眾數(shù)為3，方差小于3，可舉特例：3，3，6，則平均數(shù)為4，方差s2＝eq\f(1,3)×[2×(3－4)2＋(6－4)2]＝2<3，不滿足要求；對于丁同學(xué)，平均數(shù)為3，方差小于3，設(shè)丁同學(xué)3次考試的名次分別為x1，x2，x3，若x1，x2，x3中至少有一個(gè)大于等于6，則方差s2＝eq\f(1,3)[(x1－3)2＋(x2－3)2＋(x3－3)2]>3，與已知條件矛盾，所以x1，x2，x3均不大于5，滿足要求．二、多項(xiàng)選擇題9．(2024·重慶模擬)一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為2，3，3，x，7，10，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)的eq\f(5,4)倍，則下列說法正確的是()A．x＝4 B．眾數(shù)為3C．中位數(shù)為4 D．方差為eq\f(23,3)答案BCD解析一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為2，3，3，x，7，10，∵這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)的eq\f(5,4)倍，∴eq\f(1,6)×(2＋3＋3＋x＋7＋10)＝eq\f(5,4)×eq\f(3＋x,2)，解得x＝5，故A錯(cuò)誤；眾數(shù)為3，故B正確；中位數(shù)為eq\f(3＋5,2)＝4，故C正確；平均數(shù)為eq\f(1,6)×(2＋3＋3＋5＋7＋10)＝5，方差為eq\f(1,6)×[(2－5)2＋(3－5)2＋(3－5)2＋(5－5)2＋(7－5)2＋(10－5)2]＝eq\f(23,3)，故D正確．故選BCD.10．(2023·湖北武漢二中模擬)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則下列說法正確的是()A．甲的成績的平均數(shù)等于乙的成績的平均數(shù)B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C．甲的成績的第80百分位數(shù)等于乙的成績的第80百分位數(shù)D．甲的成績的極差大于乙的成績的極差答案AC解析由題圖可得，甲的成績的平均數(shù)為eq\f(4＋5＋6＋7＋8,5)＝6，乙的成績的平均數(shù)為eq\f(3×5＋6＋9,5)＝6，A正確；甲的成績的中位數(shù)為6，乙的成績的中位數(shù)為5，B錯(cuò)誤；甲的成績的第80百分位數(shù)為eq\f(7＋8,2)＝7.5，乙的成績的第80百分位數(shù)為eq\f(6＋9,2)＝7.5，所以二者相等，C正確；甲的成績的極差為8－4＝4，乙的成績的極差為9－5＝4，D錯(cuò)誤．故選AC.三、填空題11．(2023·四川資陽中學(xué)第一次質(zhì)量檢測)某歌手電視大獎(jiǎng)賽中，七位評委對某選手打出如下分?jǐn)?shù)：7.9，8.1，8.4，8.5，8.5，8.7，9.9，則其第50百分位數(shù)為________．答案8.5解析由題意可知，共有7個(gè)數(shù)據(jù)并且已經(jīng)按照從小到大的順序排列，其第50百分位數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，所以其第50百分位數(shù)是第4個(gè)數(shù)據(jù)，為8.5.12．(2024·江西八所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)某工廠為了解產(chǎn)品的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取了50個(gè)樣本，若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x50的方差為8，則數(shù)據(jù)3x1－1，3x2－1，…，3x50－1的方差為________．答案72解析樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x50的方差為8，所以數(shù)據(jù)3x1－1，3x2－1，…，3x50－1的方差為32×8＝72.13．若已知30個(gè)數(shù)x1，x2，…，x30的平均數(shù)為6，方差為9；現(xiàn)從原30個(gè)數(shù)中剔除x1，x2，…，x10這10個(gè)數(shù)，且剔除的這10個(gè)數(shù)的平均數(shù)為8，方差為5，則剩余的20個(gè)數(shù)x11，x12，…，x30的方差為________．答案8解析由題意得x1＋x2＋…＋x30＝6×30＝180，xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,30)＝9×30＋30×62＝1350，x1＋x2＋…＋x10＝8×10＝80，xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,10)＝5×10＋10×82＝690，所以剩余的20個(gè)數(shù)的平均數(shù)為eq\f(180－80,20)＝5，xeq\o\al(2,11)＋xeq\o\al(2,12)＋…＋xeq\o\al(2,30)＝1350－690＝660，所以剩余的20個(gè)數(shù)的方差為eq\f(660－20×25,20)＝8.14．已知一個(gè)樣本的樣本量為10，平均數(shù)為15，方差為3，現(xiàn)從樣本中去掉一個(gè)數(shù)據(jù)15，此時(shí)樣本的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2，則eq\o(x,\s\up6(－))＝________，s2＝________．答案15eq\f(10,3)解析設(shè)這10個(gè)數(shù)據(jù)為x1，x2，…，x9，15，則eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(15×10－15,9)＝15.又s2＝eq\f(（x1－15）2＋（x2－15）2＋…＋（x9－15）2,9)，eq\f(（x1－15）2＋（x2－15）2＋…＋（x9－15）2＋（15－15）2,10)＝3，所以s2＝eq\f(30,9)＝eq\f(10,3).四、解答題15．(2023·哈爾濱九中三模)某經(jīng)銷商采購了一批水果，根據(jù)某些評價(jià)指標(biāo)進(jìn)行打分，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取20筐(每筐1kg)，得分?jǐn)?shù)據(jù)如下：17，23，29，31，34，40，46，50，51，51，58，62，62，68，71，78，79，80，85，95.根據(jù)以往的大數(shù)據(jù)認(rèn)定：得分在區(qū)間(0，25]，(25，50]，(50，75]，(75，100]內(nèi)的分別對應(yīng)四級(jí)、三級(jí)、二級(jí)、一級(jí)．(1)試求這20筐水果得分的平均數(shù)；(2)用樣本估計(jì)總體，經(jīng)銷商參考以下兩種銷售方案進(jìn)行銷售：方案一：將得分的平均數(shù)換算為等級(jí)，按換算后的等級(jí)出售；方案二：分等級(jí)出售．不同等級(jí)水果的售價(jià)如下表所示：等級(jí)一級(jí)二級(jí)三級(jí)四級(jí)售價(jià)(萬元/噸)21.81.41.2請從經(jīng)銷商的角度，根據(jù)售價(jià)分析采用哪種銷售方案較好，并說明理由．解(1)這20筐水果得分的平均數(shù)為eq\f(1,20)×(17＋23＋29＋31＋34＋40＋46＋50＋51＋51＋58＋62＋62＋68＋71＋78＋79＋80＋85＋95)＝55.5.(2)方案一：由于得分的平均數(shù)55.5∈(50，75]，所以可以估計(jì)這批水果的銷售單價(jià)為1.8萬元/噸．方案二：設(shè)這批水果售價(jià)的平均值為eq\o(x,\s\up6(－))萬元/噸，由已知數(shù)據(jù)得，得分在(0，25]內(nèi)的有17，23，共2個(gè)，所以估計(jì)四級(jí)水果所占比例為eq\f(1,10)；得分在(25，50]內(nèi)的有29，31，34，40，46，50，共6個(gè)，所以估計(jì)三級(jí)水果所占比例為eq\f(3,10)；得分在(50，75]內(nèi)的有51，51，58，62，62，68，71，共7個(gè)，所以估計(jì)二級(jí)水果所占比例為eq\f(7,20)；得分在(75，100]內(nèi)的有78，79，80，85，95，共5個(gè)，所以估計(jì)一級(jí)水果所占比例為eq\f(1,4).則eq\o(x,\s\up6(－))＝2×eq\f(1,4)＋1.8×eq\f(7,20)＋1.4×eq\f(3,10)＋1.2×eq\f(1,10)＝1.67(萬元/噸)．所以從經(jīng)銷商的角度考慮，采用方案一的售價(jià)較高，所以采用方案一較好．16．電動(dòng)摩托車的續(xù)航里程，是指電動(dòng)摩托車在蓄電池滿電量的情況下一次能行駛的最大距離，為了解A，B兩個(gè)不同型號(hào)電動(dòng)摩托車的續(xù)航里程，現(xiàn)從某賣場庫存電動(dòng)摩托車中隨機(jī)抽取A，B兩個(gè)型號(hào)的電動(dòng)摩托車各5臺(tái)，在相同條件下進(jìn)行測試，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：電動(dòng)摩托車編號(hào)12345A型續(xù)航里程(km)120125122124124B型續(xù)航里程(km)118123127120a已知A，B兩個(gè)型號(hào)被測