第二章隨機(jī)變量及其分布-2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)（理）下學(xué)期期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)（人教A版選修2-3）2

20202021學(xué)年高二理數(shù)學(xué)下學(xué)期期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)（人教A版選修23）知識(shí)梳理第二章隨機(jī)變量及其分布知識(shí)點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量及其分布列1．離散型隨機(jī)變量的分布列(1)隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量叫做隨機(jī)變量．所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．(2)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則稱表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列，具有如下性質(zhì)：①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和．2．兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量X的分布列為X01P1－pp其中0<p<1，則稱離散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布．其中p＝P(X＝1)稱為成功概率．3．超幾何分布一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(M≤N)件次品．從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么.即X01…mP…其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征是：1考察對(duì)象分兩類；2已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；3從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布.,超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型.【常用結(jié)論】1．隨機(jī)變量的線性關(guān)系若X是隨機(jī)變量，Y＝aX＋b，a，b是常數(shù)．則Y也是隨機(jī)變量．2．分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值．(2)隨機(jī)變量ξ所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率．1．隨機(jī)變量是否服從超幾何分布的判斷若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則滿足如下條件：(1)該試驗(yàn)是不放回地抽取n次；(2)隨機(jī)變量X表示抽取到的次品件數(shù)(或類似事件)，反之亦然．2．求超幾何分布的分布列的步驟第一步，驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N，M，n的值；第二步，根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率；第三步，用表格的形式列出分布列．離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟知識(shí)點(diǎn)二二項(xiàng)分布及其應(yīng)用1．條件概率及其性質(zhì)(1)對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)P(B|A)來(lái)表示，其公式為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(P(A)>0)．在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個(gè)數(shù)，則P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).(2)條件概率具有的性質(zhì)①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．相互獨(dú)立事件(1)對(duì)于事件A，B，若事件A的發(fā)生與事件B的發(fā)生互不影響，則稱事件A，B是相互獨(dú)立事件．(2)若A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)．P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．(3)若A與B相互獨(dú)立，則A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨(dú)立．(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，則A與B相互獨(dú)立．3．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)，在這種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的．(2)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)．設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記為X～B(n，p)，并稱p為成功概率．【常用結(jié)論】1．相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨(dú)立事件是指兩個(gè)事件發(fā)生的概率互不影響，計(jì)算式為P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一試驗(yàn)中，兩個(gè)事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生，計(jì)算公式為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．2．判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有二：其一是獨(dú)立性，即一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生與不發(fā)生二者必居其一；其二是重復(fù)性，即試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了n次．3．P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A，B相互獨(dú)立時(shí)，公式才成立，此時(shí)P(B)＝P(B|A)．條件概率的3種求法定義法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)縮樣法縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡(jiǎn)4.利用相互獨(dú)立事件求復(fù)雜事件概率的解題思路(1)將待求復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥簡(jiǎn)單事件的和．(2)將彼此互斥簡(jiǎn)單事件中的簡(jiǎn)單事件，轉(zhuǎn)化為幾個(gè)已知(易求)概率的相互獨(dú)立事件的積事件．(3)代入概率的積公式求解．5.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布問(wèn)題的類型及解題策略(1)在求n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率時(shí)，首先要確定好n和k的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率．(2)在根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)n和變量的概率，求得概率．知識(shí)點(diǎn)三離散型隨機(jī)變量的均值與方差1．均值一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望．它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．1期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.2EX是一個(gè)實(shí)數(shù)，由X的分布列唯一確定，即作為隨機(jī)變量，X是可變的，可取不同值，而EX是不變的，它描述X取值的平均狀態(tài).3EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接給出了EX的求法，即隨機(jī)變量取值與相應(yīng)概率分別相乘后相加.2．方差設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對(duì)于均值E(X)的偏離程度．而D(X)＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度．稱D(X)為隨機(jī)變量X的方差，并稱其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．1隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度.DX越大，表明平均偏離程度越大，X的取值越分散.反之，DX越小，X的取值越集中在EX附近.2方差也是一個(gè)常數(shù)，它不具有隨機(jī)性，方差的值一定是非負(fù).3．兩個(gè)特殊分布的期望與方差分布期望方差兩點(diǎn)分布E(X)＝pD(X)＝p(1－p)二項(xiàng)分布E(X)＝npD(X)＝np(1－p)【常用結(jié)論】若Y＝aX＋b，其中a，b是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數(shù)；(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；(5)若X1，X2相互獨(dú)立，則E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)；(6)若X～N(μ，σ2)，則X的均值與方差分別為：E(X)＝μ，D(X)＝σ2.4.求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的步驟(1)理解ξ的意義，寫出ξ可能的全部值．(2)求ξ取每個(gè)值的概率．(3)寫出ξ的分布列．(4)由均值的定義求E(ξ)．(5)由方差的定義求D(ξ)．5.二項(xiàng)分布的期望與方差(1)如果ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大減少計(jì)算量．(2)有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，這時(shí)，可以綜合應(yīng)用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同樣還可求出D(aξ＋b)．6.離散型隨機(jī)變量的期望和方差應(yīng)用問(wèn)題的解題策略(1)求離散型隨機(jī)變量的期望與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用期望、方差公式進(jìn)行計(jì)算．(2)要注意觀察隨機(jī)變量的概率分布特征，若屬于二項(xiàng)分布，可用二項(xiàng)分布的期望與方差公式計(jì)算，則更為簡(jiǎn)單．(3)在實(shí)際問(wèn)題中，若兩個(gè)隨機(jī)變量ξ1，ξ2，有E(ξ1)＝E(ξ2)或E(ξ1)與E(ξ2)較為接近時(shí)，就需要用D(ξ1)與D(ξ2)來(lái)比較兩個(gè)隨機(jī)變量的穩(wěn)定程度．即一般地將期望最大(或最小)的方案作為最優(yōu)方案，若各方案的期望相同，則選擇方差最小(或最大)的方案作為最優(yōu)方案．知識(shí)點(diǎn)四正態(tài)分布1.密度曲線與密度函數(shù)：對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量ξ，位于x軸上方，ξ落在任一區(qū)間內(nèi)的概率等于它與x軸.直線與直線所圍成的曲邊梯形的面積（如圖陰影部分）的曲線叫ξ的密度曲線，以其作為圖像的函數(shù)叫做ξ的密度函數(shù)，由于“”是必然事件，故密度曲線與x軸所夾部分面積等于1.2.⑴正態(tài)分布與正態(tài)曲線：如果隨機(jī)變量ξ的概率密度為：.（為常數(shù)，且），稱ξ服從參數(shù)為的正態(tài)分布，用～表示.的表達(dá)式可簡(jiǎn)記為，它的密度曲線簡(jiǎn)稱為正態(tài)曲線.⑵正態(tài)分布的期望與方差：若～，則ξ的期望與方差分別為：.⑶正態(tài)曲線的性質(zhì).曲線在x軸上方，與x軸不相交.曲線關(guān)于直線對(duì)稱.當(dāng)時(shí)曲線處于最高點(diǎn)，當(dāng)x向左、向右遠(yuǎn)離時(shí)，曲線不斷地降低，呈現(xiàn)出“中間高、兩邊低”的鐘形曲線.④當(dāng)＜時(shí)，曲線上升；當(dāng)＞時(shí)，曲線下降，并且當(dāng)曲線向左、向右兩邊無(wú)限延伸時(shí)，以x軸為漸近線，向x軸無(wú)限的靠近.⑤當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”.表示總體的分布越分散；越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.3.⑴標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：如果隨機(jī)變量ξ的概率函數(shù)為，則稱ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.即～有，求出，而P（a＜≤b）的計(jì)算則是.注意：當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的的X取0時(shí)，有當(dāng)?shù)腦取大于0的數(shù)時(shí)，有.比如.則必然小于0，如圖.⑵正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的關(guān)系：若～則ξ的