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專題十六三角恒等變換、三角函數(shù)的應(yīng)用知識精講一知識結(jié)構(gòu)圖內(nèi)容考點關(guān)注點三角恒等變換、三角函數(shù)的應(yīng)用利用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式求值、化簡角的范圍三角函數(shù)圖象變換左右平移由圖象求函數(shù)的解析式五個關(guān)鍵點三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合問題公式運用及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)二.學(xué)法指導(dǎo)1.解含非特殊角的三角函數(shù)式的求值問題的一般思路是:(1)把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差,正用公式直接求值.(2)在轉(zhuǎn)化過程中,充分利用誘導(dǎo)公式,構(gòu)造兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式,然后逆用公式求值.2.給值求值問題的解題策略1已知某些角的三角函數(shù)值,求另外一些角的三角函數(shù)值時,要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系,即拆角與湊角.2由于和、差角與單角是相對的,因此解題過程中可以根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角.常見角的變換有:①α=α-β+β;②eqα=\f(α+β,2)+\f(α-β,2); ③2α=α+β+α-β;④2β=α+β-α-β.3.已知三角函數(shù)值求角的解題步驟1界定角的范圍,根據(jù)條件確定所求角的范圍.2求所求角的某種三角函數(shù)值.為防止增解最好選取在范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù).3結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角.4.輔助角公式及其運用1公式形式:公式asinα+bcosα=eq\r(a2+b2)sinα+φ或asinα+bcosα=eq\r(a2+b2)cosα-φ將形如asinα+bcosαa,b不同時為零的三角函數(shù)式收縮為同一個角的一種三角函數(shù)式.2形式選擇:化為正弦還是余弦,要看具體條件而定,一般要求變形后角α的系數(shù)為正,這樣更有利于研究函數(shù)的性質(zhì).5.公式T(α±β)的結(jié)構(gòu)特征和符號規(guī)律:(1)結(jié)構(gòu)特征:公式T(α±β)的右側(cè)為分式形式,其中分子為tanα與tanβ的和或差,分母為1與tanαtanβ的差或和.(2)符號規(guī)律:分子同,分母反.6.利用公式T(α+β)求角的步驟:(1)計算待求角的正切值.(2)縮小待求角的范圍,特別注意隱含的信息.(3)根據(jù)角的范圍及三角函數(shù)值確定角.7.公式Tα±β的逆用一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu),另一方面要注意常值代換.如eqtan\f(π,4)=1,tan\f(π,6)=\f(\r(3),3),tan\f(π,3)=\r(3)等.要特別注意eqtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)+α))=\f(1+tanα,1-tanα),tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-α))=\f(1-tanα,1+tanα).8.證明三角恒等式的原則與步驟1觀察恒等式兩端的結(jié)構(gòu)形式,處理原則是從復(fù)雜到簡單,高次降低,復(fù)角化單角,如果兩端都比較復(fù)雜,就將兩端都化簡,即采用“兩頭湊”的思想.2證明恒等式的一般步驟:①先觀察,找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方面的差異;②本著“復(fù)角化單角”“異名化同名”“變換式子結(jié)構(gòu)”“變量集中”等原則,設(shè)法消除差異,達(dá)到證明的目的.9.化簡問題中的“三變”(1)變角:三角變換時通常先尋找式子中各角之間的聯(lián)系,通過拆、湊等手段消除角之間的差異,合理選擇聯(lián)系它們的公式.(2)變名:觀察三角函數(shù)種類的差異,盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱,如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)一為切.(3)變式:觀察式子的結(jié)構(gòu)形式的差異,選擇適當(dāng)?shù)淖冃瓮緩剑缟齼?、降冪、配方、開方等.10.三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合問題的解題策略:運用三角函數(shù)的和、差、倍角公式將函數(shù)關(guān)系式化成y=asinωx+bcosωx+k的形式,借助輔助角公式化為y=Asinωx+φ+k或y=Acosωx+φ+k的形式,將ωx+φ看作一個整體研究函數(shù)的性質(zhì).11.應(yīng)用三角函數(shù)解實際問題的方法及注意事項1方法:解答此類問題,關(guān)鍵是合理引入輔助角,確定各量之間的關(guān)系,將實際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題,再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識求解.2注意:在求解過程中,要注意三點:①充分借助平面幾何性質(zhì),尋找數(shù)量關(guān)系.②注意實際問題中變量的范圍.③重視三角函數(shù)有界性的影響.12.由y=sinx的圖象,通過變換可得到函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象,其變化途徑有兩條:(1)y=sinxeq\o(→,\s\up15(相位變換))y=sin(x+φ)eq\o(→,\s\up15(周期變換))y=sin(ωx+φ)eq\o(→,\s\up15(振幅變換))y=Asin(ωx+φ).(2)y=sinxeq\o(→,\s\up15(周期變換))y=sinωxeq\o(→,\s\up15(相位變換))y=sineq\b\lc\[\rc\](ω\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+eq\f(φ,ω)))))=sin(ωx+φ)eq\o(→,\s\up15(振幅變換))y=Asin(ωx+φ).13.確定函數(shù)y=Asinωx+φ的解析式的關(guān)鍵是φ的確定,常用方法有:1代入法:把圖象上的一個已知點代入此時A,ω已知或代入圖象與x軸的交點求解此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上.2五點法:確定φ值時,往往以尋找“五點法”中的第一個零點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(φ,ω),0))作為突破口.“五點”的ωx+φ的值具體如下:,“第一點”即圖象上升時與x軸的交點為ωx+φ=0;,“第二點”即圖象的“峰點”為ωx+φ=eq\f(π,2);,“第三點”即圖象下降時與x軸的交點為ωx+φ=π;,“第四點”即圖象的“谷點”為ωx+φ=eq\f(3π,2);,“第五點”為ωx+φ=2π.14.正弦余弦型函數(shù)奇偶性的判斷方法正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)和余弦型函數(shù)y=Acos(ωx+φ)不一定具備奇偶性.對于函數(shù)y=Asin(ωx+φ),當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時為奇函數(shù),當(dāng)φ=kπ±eq\f(π,2)(k∈Z)時為偶函數(shù);對于函數(shù)y=Acos(ωx+φ),當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時為偶函數(shù),當(dāng)φ=kπ±eq\f(π,2)(k∈Z)時為奇函數(shù).15.與正弦、余弦函數(shù)有關(guān)的單調(diào)區(qū)間的求解技巧(1)結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象,熟記它們的單調(diào)區(qū)間.(2)確定函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)單調(diào)區(qū)間的方法:采用“換元”法整體代換,將ωx+φ看作一個整體,可令“z=ωx+φ”,即通過求y=Asinz的單調(diào)區(qū)間而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.若ω<0,則可利用誘導(dǎo)公式先將x的系數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎龜?shù),再求單調(diào)區(qū)間.16.解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟三.知識點貫通知識點1給角求值問題公式:cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_βcos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_βsin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_βsin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_βsin2α=2sin_αcos_αcos2α=cos2α-sin2αtan2α=eq\f(2tanα,1-tan2α)例1.(1)coseq\f(13π,12)的值為()A.eq\f(\r(6)+\r(2),4) B.eq\f(\r(6)-\r(2),4)C.eq\f(\r(2)-\r(6),4) D.-eq\f(\r(6)+\r(2),4)](2)求值:cos75°cos15°-sin75°sin195°;(3)cos70°sin50°-cos200°sin40°的值為()A.-eq\f(\r(3),2)B.-eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)(4)若θ是第二象限角且sinθ=eq\f(5,13),則cos(θ+60°)=________.(5)求值:(tan10°-eq\r(3))eq\f(cos10°,sin50°).(6)coseq\f(π,7)coseq\f(3π,7)coseq\f(5π,7)的值為()A.eq\f(1,4)B.-eq\f(1,4)C.eq\f(1,8)D.-eq\f(1,8)(7)求下列各式的值:①cos415°-sin415°;②eq\f(1-tan275°,tan75°)知識點二給值求值、求角問題公式:cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_βcos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_βsin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_βsin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β例題2:(1)已知sinα-sinβ=1-eq\f(\r(3),2),cosα-cosβ=eq\f(1,2),則cos(α-β)=()A.-eq\f(\r(3),2)B.-eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)+α))=eq\f(12,13),α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6),\f(2π,3))),求cosα的值.(3)已知cosα=eq\f(\r(5),5),sin(α-β)=eq\f(\r(10),10),且α,β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))).求:①cos(2α-β)的值;②β的值.(4)已知銳角α,β滿足cosα=eq\f(2\r(5),5),sin(α-β)=-eq\f(3,5),求sinβ的值.(5)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,4)))=eq\f(3,5),eq\f(π,2)≤α<eq\f(3π,2),求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α+\f(π,4)))的值;知識點三輔助角公式的應(yīng)用輔助角公式:asinx+bcosx=eq\r(a2+b2)sin(x+φ),其中eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanφ=\f(b,a)))例題3.(1)sineq\f(π,12)-eq\r(3)coseq\f(π,12)=________.(2)已知f(x)=eq\r(3)sinx-cosx,求函數(shù)f(x)的周期,值域,單調(diào)遞增區(qū)間.知識點四兩角和與差的正切公式的運用兩角和與差的正切公式tan(α+β)=eq\f(tanα+tanβ,1-tanαtanβ)tan(α-β)=eq\f(tanα-tanβ,1+tanαtanβ)例題4.(1)已知α,β均為銳角,tanα=eq\f(1,2),tanβ=eq\f(1,3),則α+β=________.(2)eq\f(1+tan15°,1-tan15°)=________.(3)eq\f(1-\r(3)tan75°,\r(3)+tan75°)=________.知識點五恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合例5.已知函數(shù)f(x)=eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,3)))-2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求證:當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,4),\f(π,4)))時,f(x)≥-eq\f(1,2).知識點六三角函數(shù)圖象之間的變換1.φ對y=sin(x+φ),x∈R的圖象的影響2.ω(ω>0)對y=sin(ωx+φ)的圖象的影響3.A(A>0)對y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響例6.(1)將函數(shù)y=eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3)))的圖象向左平移eq\f(π,3)個單位長度,再向下平移3個單位長度,則所得圖象的解析式為________.(2)將y=sinx的圖象怎樣變換可得到函數(shù)y=2sin(2x+eq\f(π,4))+1的圖象?知識點七已知函數(shù)圖象求解析式例7.已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)+Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0,ω>0,|φ|<\f(π,2)))的部分圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的解析式為()A.y=2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)-\f(π,4)))+4 B.y=2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)+\f(π,4)))+4C.y=4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)-\f(π,4)))+2 D.y=4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)+\f(π,4)))+2知識點八三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用例8(1)已知函數(shù)f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx+\f(π,3)))(ω>0),若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))),且f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6),\f(π,3)))上有最小值,無最大值,則ω=()A.eq\f(2,3)B.eq\f(14,3)C.eq\f(26,3)D.eq\f(38,3)(2)已知函數(shù)f(x
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