863平面與平面垂直（第1課時平面與平面垂直的判定定理）（精講）

8.6.3平面與平面垂直（第1課時平面與平面垂直的判定定理）(精講）目錄一、必備知識分層透析二、重點題型分類研究題型1:判斷面面垂直題型2:證明面面垂直題型3:補全面面垂直的條件題型4:二面角的概念及辨析題型5:求二面角題型6:二面角最值問題題型7:由二面角求參數三、高考（模擬）題體驗一、必備知識分層透析知識點1：二面角（1）二面角:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面．（2）符號語言：①二面角.②在,內分別取兩點，(,),可記作二面角;③當棱記作時，可記作二面角或者二面角.知識點2：二面角的平面角（1）定義：在二面角的棱上任取一點,以點為垂足,在半平面和內分別作垂直與直線的射線,,則射線和構成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.（2）說明：①二面角的大小可以用它的平面角的大小來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度；②二面角的大小與垂足在上的位置無關一個二面角的平面角有無數個，它們的大小是相等的；③構成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面內”“垂直”.即二面角的平面角的頂點必須在棱上，角的兩邊必須分別在兩個半平面內，角的兩邊必須都與棱垂直，這三個條件缺一不可，前兩個要素決定了二面角的平面角大小的唯一性，后一個要素表明平面角所在的平面與棱垂直；④二面角的平面角的范圍是，當兩個半平面重合時，；當兩個半平面合成一個平面時，⑤當兩個半平面垂直時，，此時的二面角稱為直二面角.知識點3：二面角的平面角求法（1）定義法：利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點（一般取特殊點），過該點在兩個半平面內分別作垂直于棱的射線，兩射線所成的角就是二面角的平面角，這是一種最基本的方法，要注意用二面角的平面角定義的三要素來找出平面角.（2）三垂線定理及其逆定理①定理：平面內的一條直線如果和經過這個平面的一條斜線在這個平面上的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.②三垂線定理（逆定理）法：由二面角的一個面上的斜線的射影與二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也與二面角的棱垂直.從而確定二面角的平面角.(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是二面角的平面角.(4)轉化法：化歸為分別垂直于二面角的兩個面的兩條直線所成的角（或其補角）.(5)向量法：用空間向量求平面間夾角的方法（該方法我們將在選擇性必修第一冊中學到).知識點4：求二面角的平面角步驟(1)找到或作出二面角的平面角；(2)證明(1)中的角就是所求的角；(3)計算出此角的大小以上步驟可概括為“一作、二證、三計算”知識點5：平面與平面垂直（1）定義:一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.（2）符號語言:（3）圖形語言知識點4：平面與平面垂直的判定定理（1）定理：如果一個平面過另一個平面的的垂線，那么這兩個平面垂直.(線面垂直，則面面垂直)（2）符號（圖形）語言:，（3）應用：線面垂直面面垂直.二、重點題型分類研究題型1:判斷面面垂直典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習）設，，是三條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【詳解】A選項，若，則可能異面，所以A選項錯誤.B選項，若，則可能，所以B選項錯誤.C選項，若，根據面面垂直的判定定理可知，所以C選項正確.D選項，若，則可能，所以D選項錯誤.故選：C例題2．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四面體中，若，，是的中點，則下列結論正確的是（

）A．平面平面B．平面平面C．平面平面，且平面平面D．平面平面，且平面平面【答案】C【詳解】因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因為AC在平面ABC內，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故選：C例題3．（2022·高一課時練習）如圖，在正方體所有經過四個頂點的平面中，垂直于平面的平面有________．【答案】平面，平面，平面【詳解】連接面對角線，因為平面，平面，所以，又因為，，平面，所以⊥平面，因為平面，所以平面⊥平面，同理可知平面⊥平面，平面⊥平面.故答案為：平面，平面，平面.同類題型演練1．（2023·全國·高三專題練習）設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若m⊥α，n?β，m⊥n，則α⊥βB．若m∥α，m∥n，則n∥αC．若m∥n，n⊥β，m?α，則α⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則n⊥β【答案】C【詳解】m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，對于,若m⊥α，n?β，m⊥n，則與平行或相交，故錯誤；對于,若m∥α，m∥n，則n∥α或，故錯誤；對于,若m∥n，n⊥β，m?α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故正確；對于,若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則或與相交或∥，故錯誤.故選：.2．（2022秋·上海浦東新·高二上海市建平中學?？茧A段練習）已知直線、，平面、，滿足且，則“”是“”的（

）條件A．充分非必要 B．必要非充分條 C．充要 D．既非充分又非必要【答案】A【詳解】因為，所以，又因為，所以，即“”是“”的充分條件；如圖，在長方體中，設面為面、面為面，則，且與面不垂直，即“”不是“”的必要條件；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3．（2022秋·四川眉山·高二四川省眉山第一中學?？茧A段練習）如圖所示，四邊形中，，，，將沿折起，使平面平面，構成四面體，則在四面體中，下列說法正確的是（

）①直線直線

②直線直線③直線平面

④平面平面A．①② B．②③ C．③④ D．②③④【答案】D【詳解】取的中點．連，則，平面平面，平面平面，平面平面，，假設，因為與交于，平面，，這與相矛盾，故假設不成立，即直線與直線垂直不成立．由平面平面，平面平面，平面，且，可得平面，又平面，所以直線直線，又平面，所以平面平面，所以①錯誤，②③④正確.故選：D．題型2:證明面面垂直典型例題例題1．（2023秋·江西·高三校聯考期末）如圖多面體中，四邊形是菱形，，平面，，.(1)證明：平面平面；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：取的中點，連接交于，連接，，因為是菱形，所以，且是的中點，所以且，又，，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以，又因為，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）設到平面的距離為，因為平面，平面,所以,因為,平面，所以平面，且平面,所以,因為，，所以，所以,,,所以且,所以,取中點為，連接,因為是菱形，，所以為等邊三角形，所以,且,又因為平面，平面,所以,且平面,所以平面,又因為,因為，即,所以.例題2．（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）邊長為1的正方形中，點，分別是，的中點，現將，分別沿，折起，使得，兩點重合于點，連接，得到四棱錐.(1)證明：平面平面；(2)求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：在正方形中有，，，，又因為，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）連接MN,由題意可得，，，由，所以為直角三角形，即，，設點到平面的距離為，由得，，即，得，即四棱錐的體積為例題3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，為的中點．(1)求證：；(2)求證：平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）因為PA＝PD，E為AD的中點，所以PE⊥AD，因為底面ABCD為矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.（2）因為底面ABCD為矩形，所以AB⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.又因為PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.例題4．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，直三棱柱中，為中點．(1)求證：平面；(2)若三棱柱上下底面為正三角形，，，求證：平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析（1）連接，與相交于點F，連接MF，則為的中點，因為為中點，所以MF是的中位線，所以，因為平面，平面，所以平面（2）因為直三棱柱上下底面為正三角形，，，所以，所以，所以，即，由三線合一可得：，又因為平面ABC，平面ABC，所以，因為，所以平面，因為平面，所以因為所以平面，因為平面，所以平面平面同類題型演練1．（2023·全國·高三專題練習）如圖，是圓錐的頂點，是底面圓心，是底面圓的一條直徑，且點是弧的中點，點是的中點，，．(1)求圓錐的表面積；(2)求證：平面平面．【答案】(1)(2)證明見解析（1）圓錐的側面積，底面積，故表面積.（2）證明：由圓錐的性質知，平面，因為平面，所以，因為是底面圓的一條直徑，所以又是的中點，所以，又，平面，平面所以平面，又平面，所以平面平面．2．（2023·四川瀘州·瀘州老窖天府中學?？寄M預測）如圖所示，在三棱錐中，，，，點，分別為，的中點.（1）求證：平面平面；（2）求四面體的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）因為，所以，，又因為，，平面，所以平面，又由平面，所以，因為，為的中點，所以，又由，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面；（2）由（1）可得為三棱錐的高，因為點，分別為，的中點，所以，，由余弦定理可得，因為，，所以，可得，所以，即四面體的體積為.3．（2023秋·江西新余·高三統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，底面是中點，與相交于點.(1)證明：平面；(2)若四邊形是正方形，，求證：平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）易知分別為的中點，是的中位線，，平面平面，平面；（2）底面平面，又平面，且，平面，又平面，四邊形是正方形，，平面，平面，又平面平面平面.4．（2023秋·江西景德鎮(zhèn)·高三統(tǒng)考階段練習）如圖，正三棱柱中，E，F分別是棱，上的點，平面，且M是的中點．(1)證明：平面平面；(2)若，求四面體的體積．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）過作的平行線交分別于點，連接，如下所示：因為是正三棱柱，故可得面面，故；又三角形為等邊三角形，為中點，故；又面，，故面；因為，則確定一個平面，即面，又面，面面，故可得，則面，又面，故面面.（2）根據（1）中所證，可得，故四邊形為平行四邊形，在△中，因為，且點為中點，故可得，又，則，所以，又正三棱柱中到平面的距離為，即到平面的距離，所以.題型3:補全面面垂直的條件典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，在四棱錐中，底面，且底面各邊都相等，，是上的一動點，當點滿足___________時，平面平面.（只要填寫一個你認為正確的條件即可）【答案】（或，等都可）【詳解】解：可填，由為菱形，則，∵平面，平面，所以，又，∴平面，又平面，∴，又，，所以平面MBD，又因平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.故答案為：.（或，等都可）例題2．（2022春·安徽黃山·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，正四棱錐中，為底面正方形的中心，已知側面與底面所成的二面角的大小為，是的中點.(1)請在棱與上各找一點和，使平面平面，作出圖形并說明理由；(2)求異面直線與所成角的正切值；(3)問在棱上是否存在一點，使側面，若存在，試確定點的位置；若不存在，說明理由．【答案】(1)答案見解析(2)(3)答案見解析（1）分別取AB，BC的中點M，N，連接MN，NE，則平面MNE//平面PAC證明：在中，M，E分別為AB，PB的中點，所以ME//AP，同理，NE//PC，又平面平面所以ME//平面PAC，同理NE//平面PAC又ME，所以平面MNE//平面PAC

（2）連接，，因為分別是的中點，所以，故為異面直線與所成的角或其補角．因為，，平面，所以平面．又平面，所以．設四棱錐的底面邊長為，取中點為,連接由于,故為側面與底面所成的二面角的平面角，故，在中,，所以，所以；（3）存在點F符合題意，且AF=AD，證明：取OB得中點Q，連接，在中，Q，E分別為BP，BO的中點，所以QE//PO，所以QE⊥平面ABCD，因為BC平面ABCD，所以QE⊥BC,又在中，，,所以QF//AB，所以QF⊥BC，又,所以BC⊥平面QEF，所以BC⊥EF在，PF==,BF==所以，故又所以平面PBC,所以存在點F符合題意。所以存在這樣的F點，且例題3．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在直三棱柱中，為棱的中點，，，.在棱上是否存在點，使得平面平面？如果存在，求此時的值；如果不存在，請說明理由.【答案】存在，【詳解】當點為的中點，即時，平面平面.證明如下：設的中點為，連接，，因為，分別為，的中點，所以且，又為的中點，所以且，所以四邊形為平行四邊形，故，因為，M為棱的中點，故,又因為平面ABC,平面ABC,故，由平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面.同類題型演練1．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，為等腰直角三角形，，，F是BC的中點．(1)在AD上是否存在點E，使得平面平面，若存在，求出點E的位置；若不存在，請說明理由．(2)為等邊三角形，在（1）的條件下，求直線SE與平面SBC所成角的正弦值．【答案】(1)存在，E為AD的中點(2)（1）在線段AD上存在點E滿足題意，且E為AD的中點．如圖，取AD中點E連接EF，SE，SF，因為四邊形ABCD是矩形，所以．又E，F分別是AD，BC的中點，所以，．因為為等腰直角三角形，，E為AD的中點，所以．因為，平面，平面，所以平面．又平面．所以平面平面．故AD上存在中點E，使得平面平面．（2）過點E作于點G，由（1）知平面，又則平面，平面，所以，又，所以平面，所以直線SE與平面SBC所成的角為，由為等腰直角三角形，，得，．又，因為為等邊三角形，，所以,在中，，所以．則，即直線與平面所成角的正弦值為．2．（2022·高一單元測試）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，為線段上的一點，且，為線段上的動點.(1)當為何值時，平面平面，并說明理由；(2)若，，平面平面，，求出點到平面的距離.【答案】(1)，理由見解析(2)(1)解：當時，平面平面，理由如下：因為底面，平面，所以，因為為矩形，所以，又，所以平面.因為平面，所以.因為，所以為線段的中點，又因為，所以，又，所以平面，因為平面，所以平面平面.(2)解：因為平面平面，由（1）可知為的中點.因為底面，所以點到底面的距離為，所以，因為，所以，所以，，平面，平面，則，同理可知，，為的中點，則，，所以，，設點到平面的距離為，由得，解得.3．（2022·高一課時練習）如圖，在四棱錐中四邊形為平行四邊形，，是正三角形，且．(1)當點M在線段上什么位置時，有平面？(2)在（1）的條件下，點N在線段上什么位置時，有平面平面？【答案】(1)當點為線段的中點時，有平面，證明見解析．(2)點在線段的靠近點的四等分點時，有平面平面【詳解】（1）解：當點為線段的中點時，有平面．下面先證明：平面．四邊形是平行四邊形，．又，即，，，平面，平面，，從而平面，平面．．是正三角形，，，又，平面，平面，平面．（2）解：在（1）的條件下，點時，有平面平面，即點在線段的靠近點的四等分點時，有平面平面．下面給出證明：在（1）的條件下，平面，平面．，又．，平面，平面平面．因為平面平面平面．不妨設，則，．則，即，解得．．點在線段的靠近點的四等分點時，有平面平面．題型4:二面角的概念及辨析典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習）自二面角棱上任選一點，若是二面角的平面角，則必須具有條件（），， B．，C．，， D．，，且，【答案】D【詳解】根據題意，是與平面的交線，則根據二面角的定義，若，，且,則為二面角的平面角故選：D例題2．（2023·全國·高三專題練習）如圖.是圓的直徑，，，是圓上一點(不同于，)，且，則二面角的平面角為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵是圓上一點(不同于，)，是圓的直徑，∴，，，即面，而面，∴，又面面，，∴由二面角的定義：為二面角的平面角.故選：C例題3．（2022·寧夏銀川·銀川一中?？家荒＃┻^正方體的頂點作平面，使正方形?正方形?正方形所在平面與平面所成的二面角的平面角相等，則這樣的平面可以作（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【詳解】如圖所示，由正方形可知，三棱錐為正三棱錐，所以平面與平面，平面，平面所成角均相等，所以平面平面，同理，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以平面，平面，平面與平面，平面，平面所成角均相等，所以有4個，故選：D.同類題型演練1．（2023·上海·高二專題練習）若兩個半平面所成二面角的大小為.則的取值范圍是______【答案】##【詳解】因為兩個半平面所成二面角的大小為，所以的取值范圍是.故答案為：.2．（2022·全國·高一專題練習）若一個二面角的兩個半平面分別平行于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角的大小關系是（

）A．相等 B．互補C．相等或互補 D．不確定【答案】C【詳解】若方向相同則相等，若方向相反則互補，故選：C.3．（2022·高一課時練習）如圖，已知，，垂足為、，若，則二面角的大小是______．【答案】##【詳解】設二面角的大小為，因為，，垂足為、，所以，又，所以.故答案為：題型5:求二面角典型例題例題1．（2023秋·北京西城·高二統(tǒng)考期末）在長方體中，，則二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】長方體中，，，，平面,平面,,又平面平面，為二面角所成的平面角，，所以二面角的余弦值為.故選：D.例題2．（2023秋·浙江·高二浙江省江山中學校聯考期末）如圖，在三棱臺中，三棱錐的體積為，的面積為4，，且平面.(1)求點到平面的距離；(2)若，且平面平面，求二面角的余弦值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設點到平面的距離為，因為，三棱錐的體積為，所以三棱錐的體積為，所以三棱錐的體積為，又由，得，解得.（2）由已知設，，則，，取的中點，連接，如圖所示：則，由平面平面，知面，故，又，從而平面.故，，取中點，則，四邊形是平行四邊形，，從而為正三角形，故，，又，得.在平面內作于，則，在平面內，作于，連接，因為平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，則二面角的平面角為.在直角中，，故，，即所求二面角的余弦值為.例題3．（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中，為的垂心，連接.(1)證明：；(2)若平面把三棱錐分成體積相等的兩部分，與平面所成角的，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).（1）連接并延長交于點，連接，如圖，因為為的垂心，所以.因為，，所以面.因為面，所以，因為，所以面，又面，所以.（2）由（1）知，面把三棱錐分成兩個三棱錐.因為兩個三棱錐的體積相等，所以到面的距離相等，即為的中點.因為，所以.因為面，所以為與面所成的角，，因為，所以所求平面與平面所成二面角的平面角為，且，所以平面與平面所成二面角的余弦值為.例題4．（2023秋·湖北·高三校聯考階段練習）在三棱柱中，，，，點為棱的中點，點是線段上的一動點，.(1)求證：；(2)求平面與平面所成的二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題意可知，，又，所以，連接，如下圖所示：由，可知，是正三角形，又點為棱的中點，所以，平面，平面，，所以平面，平面所以.（2）由（1）知，，根據二面角定義可知，即為所求二面角的平面角或其補角，在正三角形中，，所以，因為，，所以，又，且，所以平面，而平面，所以，在中，，所以，于是平面與平面所成的二面角的正弦值為同類題型演練1．（2023·全國·高三專題練習）如圖1，是等邊三角形，是直角三角形，BD⊥BC，，將沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖2.(1)證明：BC⊥平面ABD；(2)求平面ABC與平面BCD所成的二面角的正切值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：由已知，折疊后的幾何體是三棱錐，取的中點，連接，因為是等邊三角形，所以，因為平面平面，平面平面BCD＝BD，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，，所以平面；（2）解：由（1）知平面.因為平面，所以，又，所以平面與平面所成的角為，因為是等邊三角形，所以，所以平面與平面所成角的正切值.2．（2023·全國·高三專題練習）如圖．正方體中，棱長為1，(1)求證：AC⊥平面；(2)求二面角的平面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：∵在正方體中，平面ABCD，又平面ABCD，∴，∵，，，BD，平面，∴AC⊥平面；（2）∵，所以，又，而，面BAC，∴為二面角的平面角．在中，，，∴，∴．3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE.(1)證明：BD⊥平面PAC；(2)若，求二面角B—PC—A的正切值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為PA⊥平面ABCD，且BD平面ABCD，所以，又因為PC⊥平面BDE，BD平面BDE，所以，且平面PAC、PC平面PAC所以BD⊥平面PAC．（2）（2）設AC，BD的交點為O，過點O作于點F，連接BF由（1）知，BD⊥平面PAC，且OF平面PAC，所以，即△OBF為直角三角形且，OF平面BDF，BO平面BDF，所以PC⊥平面BOF，BF平面BOF，所以，所以∠BFO為二面角B—PC—A的平面角由（1）知，所以ABCD為正方形.且在Rt△BFO中，，則，所以二面角B—PC—A的正切值為．4．（2023·全國·高三專題練習）在四棱錐PABCD中，ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，E為棱PC的中點.(1)求證：平面EBD⊥平面PAC；(2)若，，求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）證明：由ABCD為菱形得，又PA⊥平面ABCD，平面ABCD，故PA⊥BD，由平面PAC，故平面PAC，由平面EBD，故平面EBD⊥平面PAC；（2）作平行四邊形ABNP，PA⊥平面ABCD，平面ABCD，故PA⊥AB，即PA⊥NP，又平面ABNP，故平面ABNP⊥平面ABCD，取CD中點M，由菱形ABCD的得AM⊥CD，即AM⊥AB，由平面ABNP平面ABCD，平面ABCD，故AM⊥平面ABNP，∵平面PAM，，∴平面PAM，又平面PAM，故，由平面ABNP平面NCDP，故為平面PAB與平面PCD夾角，設，則，故，故平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為題型6:二面角最值問題典型例題例題1．（2022·全國·模擬預測）在直三棱柱中，，，，，為線段的三等分點，點在線段上（包括端點）運動，則二面角的正弦值的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】在直三棱柱中,平面ABC，且平面ABC，故，又，，所以，.如圖，過點作交于點，則，故平面ABC，因為平面ABC，故，過點作交AB于點，連接DN，因為平面，平面，且，所以平面，又平面，則，故即二面角的平面角.設，在直角中，，所以，，所以，.所以，則，易知在上的值域為，所以.故選：C.例題2．（2022春·吉林·高一吉林省實驗?？计谥校┮阎匦螡M足，現將沿著對角線翻折，得到，設頂點在平面上的射影為點．(1)若點恰好落在邊上，①求證：平面；②當，時，求邊長度的最小值；(2)當時，若點恰好落在的內部（不包括邊界），求二面角的平面角余弦值的取值范圍．【答案】(1)①證明見解析；②.(2)(1)解：①證明：因為點在平面上年的射影為，點恰好落在邊大紅，所以平面平面，又由，所以平面，因為平面，所以，又因為且，平面，所以平面.②解：因為平面，平面，所以，又由，所以，記，，則，又因為，所以，可得，由矩形，可得，又由平面，平面，所以，因為，所以平面，又因為平面，所以，在直角中，則當且僅當時，即時，等號成立，所以有最小值，最小值為.(2)解：作，交于點，交于點，連接，由，所以為二面角的平面角，所以，因為點恰好落在的內部（不包括邊界），則點恰好在線段上，當點與點重合時，可得，此時；當點與點重合時，此時因為，所以，不妨設，則，在直角中，可得，又由直角三角形的射影定理，可得，可得，則，根據，可得，所以，此時，所以，即二面角的余弦值的取值范圍是.同類題型演練1．（2022秋·江西上饒·高二江西省廣豐中學校聯考階段練習）如圖，AB是的直徑，PA垂直于所在的平面，C是圓周上不同于A?B的任意一點，且.求證：(1)平面平面PBC；(2)當點C（不與A?B重合）在圓周上運動時，求平面PBC與所在的平面所成二面角大小的范圍.【答案】(1)證明見解析(2)（1）因為PA垂直于所在的平面ABC，平面ABC，所以，，因為AB是的直徑，所以，因為平面PAC，所以平面PAC，因為平面PBC，所以平面平面PBC（2）因為平面PAC，平面PAC，所以，又，所以即為平面PBC與所在的平面所成二面角的平面角，設，圓O的半徑為R，則，又，所以，因為，所以，所以，因為所以，所以平面PBC與所在的平面所成二面角大小的范圍為2．（2022春·湖北武漢·高一校聯考期末）已知矩形，設是邊上的點，且，現將沿者直線翻折至，(1)當為何值時，使平面平面；并求此時直線與平面所成角的正切值；(2)設二面角的大小為，求的最大值.【答案】(1)為，正切值是(2)（1）當為時，可以使面面.證明如下：取中點，則.在中，，此時.又平面平面面面此時面為在面上的射影是與面所成角在中，，即直線與平面所成角的正切值是（2）作，垂足為，且面，則面，作，垂足為，則，設則，，當且僅當時，取到等號，故的最大值為.題型7:由二面角求參數典型例題例題1．（2023·上?！じ叨ｎ}練習）二面角的大小是60°，在該二面角內有一點到的距離是3，到的距離是5，又動點和，，，則的周長的最小值是（

）A． B． C．12 D．14【答案】D【詳解】解：如圖，作出關于兩個平面，的對稱點、，交平面，分別為，，過點，分別作，垂直直線，連接，線段與兩個平面的交點坐標分別為，，連接，，，，則的周長，當與重合，與重合時，由兩點之間線段最短可以得出即為周長的最小值，根據題意可知：到二面角兩個面的距離分別為3、5，，，面角的大小是60°，，，根據余弦定理有：，，周長的最小值等于．故選：D．例題2．（2023·四川廣安·統(tǒng)考一模）已知是邊長為3的正三角形的中心，點是平面外一點，平面，二面角的大小為60°，則三棱錐外接球的表面積為______．【答案】【詳解】∵O是正三角形ABC的中心，則，∴，取的中點，連接，則，即二面角的平面角為，由正三角形ABC的邊長為3，則，三棱錐為正三棱錐，則三棱錐的外接球的球心在直線上，設三棱錐的外接球的半徑為，∵，則，解得，∴三棱錐外接球的表面積.故答案為：.例題3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在直角梯形中，，，，點是的中點．將沿折起，使，連接、、，得到三棱錐．(1)求證：平面平面；(2)若，二面角的大小為60°，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)(1)，，，故平面，平面，故，，，故平面，平面BCD，故平面平面BCD.(2)如圖所示：分別為的中點，連接，分別為中點，故，平面，故平面，平面，故.分別為中點，故，，故，，故平面，故為二面角的平面角，即，設，則，，，，，，根據的等面積法：，解得..同類題型演練1．（2023·上?！じ叨ｎ}練習）已知二面角的大小為，直線分別在平面內且都垂直于棱，則與所成角的大小為__________.【答案】【詳解】因為二面角的大小為，直線分別在平面內且都垂直于棱，所以與所成角的大小為故答案為：2．（2023·上?！じ叨ｎ}練習）已知一個正四棱錐的底面邊長為2，側面與底面所成角的大小為，則該四棱錐的側面積為______．【答案】8【詳解】如圖,在正四棱錐VABCD中,底面正方形ABCD邊長為2.側面VAB與底面ABCD所成二面角的大小為60°,過V作平面ABC的垂線VO,交平面ABC于O點,過作OE⊥AB,交AB于E.連結VE,則∠VEO是二面角VABC的平面角,∴∠VEO=60°,OE=AE=BE=1,∴，∴cos∠VEO=,∴該四棱錐的側面積.故答案為：83．（2023·上?！じ叨ｎ}練習）如圖所示，圓錐的底面圓半徑，母線.(1)求此圓錐的體積和側面展開圖扇形的面積；(2)如圖，半平面與半平面所成二面角大小為，設線段中點為，求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)體積為，側面展開圖扇形的面積為.(2)【詳解】（1）解：由題意可知，，圓錐的體積為，該圓錐的側面展開圖扇形的面積為.（2）解：在圓錐中，平面，、平面，，，所以，二面角的平面角為，取的中點，連接、，、分別為、的中點，則且，所以，異面直線與所成的角為或其補角，，，則，，在中，，，，由余弦定理可得，由余弦定理可得.因此，異面直線與所成角的余弦值為.三、高考（模擬）題體驗1．（2022·四川資陽·統(tǒng)考二模）如圖，在長方體中，底面為正方形，，分別為，的中點，點是棱上靠近的三等分點，直線與平面所成角為.給出以下4個結論：①平面；

②；③平面平面；