312函數(shù)的表示-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期知識點剖析講義與分層練習(xí)(人教A版2019)

函數(shù)的表示1函數(shù)的表示方法1表格法如上表，我們很容易看到y(tǒng)與r之間的函數(shù)關(guān)系.在初中剛學(xué)畫一次函數(shù)時，想了解其圖像是一直線，第一步就是列表，其實就是用表格法表示一次函數(shù).【例】描點法畫函數(shù)y=x-2的圖像.解析列表x-01234y---012描點連線得(2)圖像法如上圖，很清晰的看到某天空氣質(zhì)量指數(shù)I與時間t兩個變量之間的關(guān)系，特別是其趨勢.數(shù)學(xué)中的“數(shù)形結(jié)合”也就是這回事，它是數(shù)學(xué)一大思想，在高中解題中識圖和畫圖尤為重要.(3)解析式比如正方形周長C與邊長a間的解析式為C=4a，圓的面積S與半徑r的解析式S=π求函數(shù)解析式的方法①配湊法②待定系數(shù)法③換元法④構(gòu)造方程組法⑤代入法【例】購買某種飲料x聽，所需錢數(shù)是y元．若每聽2元，試分別用解析法、列表法、圖象法將y表示成x(x{1,2,3,4})解析解析法y=2x,x{1,2,3,4}列表法x1234y2468圖象法2分段函數(shù)定義：有些函數(shù)在其定義域中，對于自變量x的不同取值范圍，對應(yīng)關(guān)系不同，這樣的函數(shù)通常稱為分段函數(shù)．Egf(x)=|x|=&x,???x≥0&-x,?x<0，【例】湛江市自來水公司鼓勵企業(yè)節(jié)約用水，按下表規(guī)定收取水費，用水量單價（元/噸）不超過40噸的部分1.8超過40噸的部分2.2求用水量與水費之間的函數(shù)關(guān)系，并求用水30噸和50噸的水費.解析設(shè)用水量為x噸，水費為y元，依題意知當(dāng)x≤40時，y=1.8x元；當(dāng)x故用水量與水費之間的函數(shù)關(guān)系為fx所以f30=54，f50=109.4，即用水30噸和50噸的水費分別為54【題型1】求函數(shù)解析式方法1待定系數(shù)法【典題1】已知函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1，求f(x)解析設(shè)f(x)=ax若f(0)=0，且f(x+1)=f(x)+x+1，∴c=0且ax+1∴c=02a+b=b+1a+b+c=c+1∴f(x)=x點撥當(dāng)若已知函數(shù)的類型，求其解析式時可用待定系數(shù)法.方法2換元法【典題1】已知f(x+1)=x+2x，求解析令t=x+1，則∵f(∴ft=t-12+2∴fx∴f點撥用換元法時注意新變量的取值范圍.方法3方程組法【典題1】已知f(x)+3f(-x)=2x+1，則f(x)的解析式是．解析∵f(x)+3f(-x)=2x+1…①，用-x代替x，得：f(-x)+3f(x)=-2x+1…②；②×3－①得：8f(x)=(-6x+3)-(2x+1)=-8x+2∴f(x)=-x+1【鞏固練習(xí)】1.已知f(x+2)=x，則有(A．f(x)=(x-2)2(x≥0) BC．f(x)=(x+2)2(x≥0)答案B解析設(shè)x+2=t，t≥2，則x=∴f(t)=(t-2)2，t≥2，∴f(x)=(x-2)2，2.已知f(x-1)=x2+3x-10，則f(x)=0的解集為答案{-6,1}解析∵f(x-1)=x令x-1=t，則x=t+1，∴f(t)=(t+1)∴f(x)=x由f(x)=0，得x2+5x-6=0，解得x=-6或∴f(x)=0的解集為{-6,1}．3.設(shè)f(x)是一次函數(shù)，且f[f(x)]=4x+3，求f(x)的解析式.答案f(x)=2x+1或f(x)=-2x+3解析設(shè)f(x)=ax+b(a≠0)，則f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=∴a2∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x+3.4.f(x)滿足f(x)-2f(1x)=x，求答案f(x)=-x解析∵f(x)-2f(1x)=x顯然x≠0,將x換成1x，得f(1解①②聯(lián)立的方程組，得f(x)=-x【題型2】與分段函數(shù)有關(guān)問題【典題1】已知函數(shù)f(x)=&3-(1)畫出函數(shù)f(x)圖象；(2)求f(f(3))，fa(3)當(dāng)fx≥2時，求解析(1)函數(shù)f(x)=&3-(2)f(f(3))=f(-6)=13，fa(3)方法1由圖象可知，當(dāng)fx≥2時，方法2當(dāng)x>0時，3-x2≥2，解得當(dāng)x=0時，滿足fx≥2當(dāng)x<0時，1-2x≥2，解得x≤-綜上可得x的取值范圍是x∣x≤-1點撥對于分段函數(shù)的賦值問題，特別要注意分類討論.【典題2】已知函數(shù)f(x)=ax2+2x+1,(-2<x≤0)ax-3,(x>0)與x軸有3個交點，則實數(shù)解析①當(dāng)a=0，f(x)=2x+1,(-2<x≤0)-3,(x>0)與x軸有②當(dāng)a<0時，y=ax-3,(x>0)與x軸沒有③當(dāng)a>0時，y=ax-3,(x>0)與x軸有1若要滿足題意，則y=ax2+2x+1在(-2,0)上與x∴a>0a(-2)2+2(-2)+1>0-2<-【鞏固練習(xí)】1.設(shè)函數(shù)f(x)=12x-1(x≥0)1x(x<0)，若f(a)=a答案-1解析由題意知，f(a)=a；當(dāng)a≥0時，有12a-1=a，解得a=－2，當(dāng)a<0時，有1a=a，解得a=1(不滿足條件，舍去)或所以實數(shù)a的值是：a=－2.已知函數(shù)f(x)=x2-4,x≤02x,x>0答案(解析x≤0時，f(x)=x2-4≥4因為x≤0，故x≤-x>0時，f(x)=2x≥4綜上所述，不等式f(x)≥4的解集為(故答案為：(-3.作下列各函數(shù)的圖象．(1)y=&1x,0<x<1&x,x≥1解析(1)這個函數(shù)的圖象由兩部分組成：當(dāng)0<x<1時，為雙曲線y=1當(dāng)x≥1時，為直線y=x的一段，如下圖．(2)方法一所給函數(shù)可寫成y=&x-1,????&&x≥1&1-x,????&&x<1是端點為方法二可以先畫函數(shù)y=x－1的圖象，然后把其在x4.求函數(shù)fx=答案[-8,1]解析fx=2x-而f(0)=0,f(3)=-3,fx=x2可得到函數(shù)圖像如右圖，易得函數(shù)值域為[-8,1].5.已知函數(shù)f(x)=x2-6x+6,x≥03x+4,x<0，若互不相等的實數(shù)x1,x答案(解析函數(shù)f(x)=x不妨設(shè)x1<x2<x3且x1滿足-則x1+x2+【題型3】函數(shù)的簡單應(yīng)用【典題1】如圖所示的四個容器高度都相同，將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中，注滿為止．用下面對應(yīng)的圖象顯示該容器中水面的高度h和時間t之間的關(guān)系，其中不正確的有()A．1個B．2個C．3個D．4個解析對于一個選擇題而言，求出每一個圖中水面的高度h和時間t之間的函數(shù)關(guān)系式既無必要也不可能，因此可結(jié)合相應(yīng)的兩個圖作定性分析，即充分利用數(shù)形結(jié)合．對第一個圖，不難得知水面高度的增加應(yīng)是均勻的，因此不正確；對于第二個圖，隨著時間的增加，越往上，增加同一個高度，需要的水越多，因此高度變化趨勢愈加平緩，正確；同理可分析第三個圖、第四個圖都是正確的．故只有第一個圖不正確，因此選A．【典題2】某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每生產(chǎn)這種產(chǎn)品x(百臺)，其總成本為G(x)(萬元)，其中固定成本為42萬元，且每生產(chǎn)1百臺的生產(chǎn)成本為15萬元(總成本固定成本生產(chǎn)成本)．銷售收入R(x)(萬元)滿足R(x)=&-6x2+63x,0?x?5&165,x>5假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡((1)寫出利潤函數(shù)y=f(x)的解析式(利潤=銷售收入-總成本)；(2)要使工廠有盈利，求產(chǎn)量x的范圍；(3)工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時，可使盈利最大？解析(1)由題意得G(x)=42+15x．∴f(x)=R(x)-G(x)=&-6(2)①當(dāng)0?x?5時，由-6x2+48x-42>0得x所以1<x?5．②當(dāng)x>5時，由123-15x>0解得x<8.2．所以5<x<8.2．綜上得當(dāng)1<x<8.2時有y>0．所以當(dāng)產(chǎn)量大于100臺，小于820臺時，能使工廠有盈利．(3)當(dāng)x>5時，函數(shù)f(x)遞減，∴f(x)<f(5)=48(萬元)．當(dāng)0≤x≤5時，函數(shù)f(x)=-6(x-4)當(dāng)x=4時，f(x)有最大值為54(萬元)．所以，當(dāng)工廠生產(chǎn)400臺時，可使盈利最大為54萬元．【鞏固練習(xí)】1.某人去上班，先快速走，后中速走．如果y表示該人離單位的距離，x表示出發(fā)后的時間，那么下列圖象中符合此人走法的是答案D解析當(dāng)x=0時，距離學(xué)校最遠，不可能是0，排除A,C，先快速走，距離學(xué)校的距離原來越近，而且變化速度較快，排除B，故選：D．2.如圖，將水注入下面四種容器中，注滿為止．如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，那么容器的形狀是答案A解析根據(jù)題意，考慮當(dāng)向高為H的容器中注水為高為H一半時，注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系．如圖所示，此時注水量V與容器容積關(guān)系是：V<容器的容積的一半．A選項符合題意；故選：A．3.如圖，已知底角為45°角的等腰梯形ABCD，底邊BC長為7cm，腰長為22cm，當(dāng)一條垂直于底邊BC(垂足為F)的直線把梯形ABCD分