河南省洛陽(yáng)強(qiáng)基聯(lián)盟2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題含答案

河南省洛陽(yáng)強(qiáng)基聯(lián)盟2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．在空間四邊形中，（

）A． B． C． D．2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．3．《九章算術(shù)》是我國(guó)東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其在卷第五《商功》中描述的幾何體“陽(yáng)馬”實(shí)為“底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐”．如圖，在“陽(yáng)馬”中，E為的重心，若，，，則（

）A． B．C． D．4．設(shè)，分別為兩平面的法向量，若兩平面所成的角為60°，則t等于（

）A．1 B． C．或 D．25．已知為平面內(nèi)一點(diǎn)，若平面的法向量為，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A．2 B． C． D．16．已知空間中三點(diǎn)，，，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為（

）A． B． C．3 D．7．已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．8．在正三棱柱中，，，，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則線段長(zhǎng)度的最小值為（

）A．2 B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．若是空間的一個(gè)基底，則下列各組中能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（

）A． B．C． D．10．如圖，四邊形，都是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面，，分別是線段，的中點(diǎn)，則（

）

A．B．異面直線，所成角為C．點(diǎn)到直線的距離為D．的面積是11．在平行六面體中，，，若，其中，，，則下列結(jié)論正確的為（

）A．若點(diǎn)在平面內(nèi)，則 B．若，則C．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為 D．當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)向量，，若，則.13．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，，若四點(diǎn)共面，則.14．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)G為底面的重心，點(diǎn)M是線段上靠近點(diǎn)G的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的平面分別交棱，，于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若，，，則.四、解答題（本大題共5小題）15．已知空間向量.(1)求；(2)判斷與以及與的位置關(guān)系.16．已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)G是的重心，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn).(1)用，，表示，并求出；(2)求.17．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，，，分別為棱，，，的中點(diǎn).(1)證明：，，，四點(diǎn)共面；(2)若點(diǎn)在棱，且平面，求的長(zhǎng)度.18．如圖，四棱柱的底面為矩形，為中點(diǎn)，平面平面．(1)證明：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值．19．在三棱臺(tái)中，平面，，D，E分別為CA，CB的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)已知，F(xiàn)為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)）.①求三棱臺(tái)的體積；②求與平面所成角的正弦值的最大值.

參考答案1．【答案】B【詳解】.故選：B.2．【答案】C【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)中點(diǎn)的對(duì)稱規(guī)則判斷即可.【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選C．3．【答案】B【分析】連接AE并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，則F為CD的中點(diǎn)，利用向量的加減運(yùn)算可得答案【詳解】連接AE并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，因?yàn)镋為的重心，則F為CD的中點(diǎn)，且，所以.故選B．4．【答案】C【分析】借助向量夾角公式求解即可.【詳解】因?yàn)榉ㄏ蛄浚傻慕桥c兩平面所成的角相等或互補(bǔ)，所以，得．故選C．5．【答案】B【分析】計(jì)算，直接利用點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)?，面的法向量為，則點(diǎn)到平面的距離為.故選B.6．【答案】D【分析】依題意求出，，，，即可求出，再由面積公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，則，，，所以，又因?yàn)?，所以，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積.故選D.7．【答案】D【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，，則向量在向量上的投影向量為：.故選D.8．【答案】D【分析】根據(jù)正三棱柱建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合線線關(guān)系求線段的表達(dá)式，利用函數(shù)求最值即可.【詳解】因?yàn)檎庵?，有，所以為的中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，如圖，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)槭抢馍弦粍?dòng)點(diǎn)，設(shè)，且，因?yàn)?，且，所以，于是令，所以，，又函?shù)在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，即線段長(zhǎng)度的最小值為.故選D.9．【答案】AB【分析】由空間中基底的概念以及共面定理逐項(xiàng)分析即可.【詳解】設(shè)，所以，無(wú)解，所以是不共面的向量，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故A正確；設(shè)，則，所以，無(wú)解，所以是不共面的向量，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故B正確；因?yàn)?，所以是共面向量，不能?gòu)成空間的一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以是共面向量，不能?gòu)成空間的一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤．故選AB．10．【答案】AC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法判斷A、B、C項(xiàng)；再由，可得到的距離即為到的距離，最后由面積公式判斷D項(xiàng).【詳解】因?yàn)樗倪呅危际沁呴L(zhǎng)為2的正方形，平面平面，所以，又平面平面，平面，所以平面，由題意知，，兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，又，分別是線段，的中點(diǎn)，所以，，所以，，又，不共線，所以，故A正確；，，設(shè)異面直線，所成角為，則，又，所以，即異面直線，所成角為，故B錯(cuò)誤；由，，得，所以點(diǎn)P到直線DF的距離為，故C正確；因?yàn)?，所以到的距離即為到的距離，所以的面積，故D錯(cuò)誤.故選AC．

11．【答案】ABD【分析】根據(jù)平面向量的基本定理及空間向量的加法法則可得，進(jìn)而求解判斷A；根據(jù)空間向量的數(shù)量積定義和線性運(yùn)算可得，，進(jìn)而結(jié)合即可求解判斷B；由題易知四面體為正四面體，設(shè)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，進(jìn)而可得當(dāng)時(shí)，到平面的距離為，進(jìn)而結(jié)合三棱錐的體積公式求解判斷C；根據(jù)空間向量的數(shù)量積定義及運(yùn)算律可得，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式即可求解判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若點(diǎn)在平面內(nèi)，易知有，所以，又，則，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由題意易得，，且，又，即，故，解得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由題易知四面體為正四面體，設(shè)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，則為的中心，易得，．當(dāng)時(shí)，到平面的距離為，所以，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D，由B知，，又，由基本不等式可知，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以長(zhǎng)度的最小值為，故D正確．故選ABD．【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵在于利用空間向量的的數(shù)量積定義和線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使之轉(zhuǎn)化為較易的問(wèn)題進(jìn)行解決.12．【答案】4.【分析】根據(jù)空間向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，解?故答案為：4.13．【答案】6.【分析】先由點(diǎn)的坐標(biāo)求得向量，再利用共面向量定理得到，由此列出方程組即可求得.【詳解】由題意，得，又因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，則存在，使得，即，即，解得，所以.故答案為：6.14．【答案】.【分析】由空間向量基本定理得，因?yàn)镈，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共面，由平面向量基本定理得，可解得的值.【詳解】由題意可知，因?yàn)镈，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)，，使，所以，所以，所以所以.故答案為：.15．【答案】(1)；(2)，.【分析】（1）直接利用向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.（2）利用向量垂直和平行的判定直接判斷即可.【詳解】（1）由題知，所以.（2）因?yàn)?，所以，所以；因?yàn)椋?，所?【思路導(dǎo)引】本題的關(guān)鍵在于合理利用向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，熟悉向量加法和向量乘法的定義和性質(zhì).16．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）首先根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算得到，再求其模長(zhǎng)即可；（2）根據(jù)展開(kāi)求解即可.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)G是的重心，所以，因?yàn)?，所以，所?（2）.17．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)3.【分析】（1）連接，，，可得到四邊形為平行四邊形，進(jìn)而得到，結(jié)合即可得到，進(jìn)而求證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，結(jié)合空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：連接，，，因?yàn)?，，，分別為棱，，，的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，所以，，，四點(diǎn)共面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，，，，，分別為棱，，，的中點(diǎn)，可得，，，，則，，設(shè)，即，則，由平面，故，即，解得，所以.【方法總結(jié)】利用空間向量求解立體幾何問(wèn)題的一般步驟（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)公式求出相應(yīng)的角或距離.18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得平面，再由線面垂直的性質(zhì)可得，由勾股定理的逆定理可得，然后利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)，連接，由已知可證得兩兩互相垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，利用空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌媸蔷匦?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)椋裕?，又平面，所以平面；?）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，連接，又底面為矩形，所以，所以兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以．由（1）知平面，所以是平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則．設(shè)二面角的平面角為，則由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的平面角的余弦值為．19．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)①，②.【分析】（1）根據(jù)中位線可得線線平行，再由線面平行的判定定理得解；（2）①證明四邊形為菱形，從而可得出棱臺(tái)的高，再由棱臺(tái)體積公式求解；②建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法，結(jié)合二次函數(shù)最值得解.【詳解】（1）證明：設(shè)交于點(diǎn)G，連接EG，如圖，在三棱臺(tái)中，，，又D為AC的中點(diǎn)，所以，，四邊形是平行四邊形，G為的中點(diǎn).又E為BC的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.（2）①連接BD，因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面平面，因?yàn)?，D為CA的中點(diǎn)，所以，又平面