2025屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考第二輪專題復(fù)習(xí)第17講排列組合與二項式定理學(xué)案理含解析

PAGE第17講排列、組合與二項式定理高考年份全國卷Ⅰ全國卷Ⅱ全國卷Ⅲ2024利用二項式定理求綻開式中項的系數(shù)·T8計數(shù)原理綜合應(yīng)用·T14利用二項式定理求綻開式中的常數(shù)項·T142024利用二項式定理求綻開式中項的系數(shù)·T42024組合的應(yīng)用·T15利用二項式定理求綻開式中項的系數(shù)·T51.[2024·全國卷Ⅲ](1+2x2)(1+x)4的綻開式中x3的系數(shù)為 ()A.12 B.16 C.20 D.242.[2024·全國卷Ⅰ]x+y2x(x+y)5的綻開式中x3y3的系數(shù)為 ()A.5 B.10 C.15 D.203.[2024·全國新高考Ⅰ卷]6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者,每名同學(xué)只去1個場館,甲場館支配1名,乙場館支配2名,丙場館支配3名,則不同的支配方法共有 ()A.120種 B.90種C.60種 D.30種4.[2024·全國卷Ⅱ]4名同學(xué)到3個小區(qū)參與垃圾分類宣揚活動,每名同學(xué)只去1個小區(qū),每個小區(qū)至少支配1名同學(xué),則不同的支配方法共有種.

5.[2024·全國卷Ⅰ]從2位女生、4位男生中選3人參與科技競賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有種.(用數(shù)字填寫答案)

6.[2024·全國卷Ⅲ]x2+2x6的綻開式中常數(shù)項是(用數(shù)字作答).

排列、組合的基本問題1(1)甲、乙等4人排成一排,則甲、乙兩人不相鄰的排法種數(shù)為 ()A.24 B.12 C.6 D.4(2)為了加強(qiáng)“精準(zhǔn)扶貧”,實現(xiàn)宏大復(fù)興的“中國夢”,某高校派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參與A,B,C三個貧困縣的調(diào)研工作,每個縣至少去1人,且甲、乙兩人約定去同一個貧困縣,則不同的派遣方案共有 ()A.24種 B.36種C.48種 D.64種(3)支配3名志愿者完成5項工作,每人至少完成1項,每項工作由1人完成,則不同的支配方式共有 ()A.60種 B.90種C.150種 D.300種(4)為抗擊某次疫情,我市某醫(yī)院從3名呼吸內(nèi)科醫(yī)生、4名急診重癥科醫(yī)生和5名護(hù)士中選派5人組成一個抗擊疫情醫(yī)療小組,則呼吸內(nèi)科與急診重癥科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是.

【規(guī)律提煉】對于有限制條件、特別條件的排列、組合應(yīng)用題,要敏捷運用干脆法、特別元素優(yōu)先法、捆綁法、插空法、定序法、間接法、隔板法等.對于“至少”或“至多”的問題必需非常重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義,謹(jǐn)防重復(fù)與遺漏.用干脆法和間接法都可以求解,通常用干脆法求解而分類狀況困難時,考慮逆向思維,用間接法求解.測題1.為抗擊新冠病毒,某部門支配甲、乙、丙、丁、戊五名專家到三地指導(dǎo)防疫工作.因工作須要,每地至少需支配一名專家,其中甲、乙兩名專家必需支配在同一地工作,丙、丁兩名專家不能支配在同一地工作,則不同的安排方法種數(shù)為 ()A.18 B.24 C.30 D.362.要排出高三某班一天中,語文、數(shù)學(xué)、英語各2節(jié),自習(xí)課1節(jié)的功課表,其中上午5節(jié)課,下午2節(jié)課,若要求2節(jié)語文課必需相鄰且2節(jié)數(shù)學(xué)課也必需相鄰(留意:上午第五節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰),則不同的排法種數(shù)是 ()A.84 B.54 C.42 D.183.已知整數(shù)數(shù)列{an}共5項,其中a1=1,a5=4,且對隨意i∈N*且1≤i≤4,都有|ai+1-ai|≤2,則符合條件的數(shù)列個數(shù)為.

二項式定理及其應(yīng)用2(1)x2+2x6的綻開式中的常數(shù)項為 ()A.240 B.480 C.448 D.228(2)(1-x)x+1x+24的綻開式中含x項的系數(shù)是 ()A.10 B.2 C.-14 D.34(3)已知(x2-x+a)(2x-1)5(a∈R)的綻開式中各項系數(shù)之和為-1,則綻開式中x的系數(shù)為.

(4)已知(x+a)2024=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024(a>0),則綻開式中二項式系數(shù)最大的項是第項;若(a0+a2+…+a2024)2-(a1+a3+…+a2024)2=1,則a=.

【規(guī)律提煉】近幾年高考試題中二項式定理的內(nèi)容大多與綻開式的系數(shù)有關(guān),?？键c有利用通項求xn的系數(shù)、常數(shù)項、有理項(無理項)等,還有運用賦值法求項的系數(shù)和,求系數(shù)的最大項或最小項,總體難度不大.測題1.二項式x2-1xn綻開式中,只有第4項的二項式系數(shù)最大,則該綻開式的常數(shù)項是 ()A.-15 B.-20 C.15 D.202.在x·x-14x6的綻開式中,x52的系數(shù)為 (A.1532 B.1516 C.516 3.(1-x)2(1+y)5的綻開式中含xy2項的系數(shù)是.

4.若(2-x)17=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a16(1+x)16+a17(1+x)17,則:①a0+a1+a2+…+a16=;

②a1+2a2+3a3+…+16a16=.

第17講排列、組合與二項式定理真知真題掃描1.A[解析]因為(1+2x2)(1+x)4=(1+x)4+2x2(1+x)4,所以綻開式中x3的系數(shù)為C43+2C42.C[解析]由題知綻開式中含x3y3的項為xC53x2y3+y2xC51x4y=15x3y3,所以x3y3.C[解析]甲場館有C61種支配方法,乙場館有C52種支配方法,丙場館有C33種支配方法,總共有C614.36[解析]將4名同學(xué)按人數(shù)分為2,1,1三組,再全排列,則不同的支配方法共有C42A33=5.16[解析]方法一:分兩種狀況,即3人中1女2男的選法有C21C42種,3人中2女1男的選法有C22C41種.據(jù)分類加法計數(shù)原理知,方法二:從6人中任選3人有C63種選法,若3人均為男生有C43種選法,所以至少有1位女生入選的不同選法有C63-C6.240[解析]綻開式的通項為Tr+1=C6r(x2)6-r2xr=C6r2rx12-3r,令12-3r=0,得r=4,所以綻開式中的常數(shù)項為C64×24=6考點考法探究小題1例1(1)B(2)B(3)C(4)611[解析](1)方法一:先解除甲、乙外兩人有A22種排法,再插空排甲、乙有A32種排法,故共有A22A32=方法二:4人排成一排,共有A44=24(種)排法,甲、乙兩人相鄰有A22A33=12(種)排法,因此甲、乙兩人不相鄰的排法種數(shù)為A4(2)當(dāng)依據(jù)3∶1∶1進(jìn)行安排時,有C31A33=18(種)不同的派遣方案;當(dāng)依據(jù)2∶2∶1進(jìn)行安排時,有C32A33=18(種(3)按每個人工作的項數(shù),分成兩種狀況:第一種狀況,項數(shù)為1,1,3,有C53·C21·C11A其次種狀況,項數(shù)為2,2,1,有C52·C32·C11A故不同的支配方式共有150種.故選C.(4)選出1名呼吸內(nèi)科醫(yī)生、1名急診重癥科醫(yī)生、3名護(hù)士的選派方法種數(shù)是C31×C41×選出1名呼吸內(nèi)科醫(yī)生、2名急診重癥科醫(yī)生、2名護(hù)士的選派方法種數(shù)是C31×C42×選出2名呼吸內(nèi)科醫(yī)生、1名急診重癥科醫(yī)生、2名護(hù)士的選派方法種數(shù)是C32×C41×選出2名呼吸內(nèi)科醫(yī)生、2名急診重癥科醫(yī)生、1名護(hù)士的選派方法種數(shù)是C32×C42×選出1名呼吸內(nèi)科醫(yī)生、3名急診重癥科醫(yī)生、1名護(hù)士的選派方法種數(shù)是C31×C43×選出3名呼吸內(nèi)科醫(yī)生、1名急診重癥科醫(yī)生、1名護(hù)士的選派方法種數(shù)是C33×C41×選出的5人中沒有護(hù)士的選派方法種數(shù)是C75=綜上所述,選派方法種數(shù)為120+180+120+90+60+20+21=611.【自測題】1.C[解析]由甲、乙兩名專家必需支配在同一地工作,可以將甲、乙兩名專家看成一個整體,所以相當(dāng)于只有四名專家.先計算四名專家中有兩名在同一地工作的安排方法種數(shù),即從四名專家中選兩名作為一個整體和其余兩名看成三個元素的全排列,有C42·A33種安排方法.又因為丙、丁兩名專家不能支配在同一地工作,所以再去掉丙、丁兩名專家在同一地工作的安排方法種數(shù)A33,所以不同的安排方法種數(shù)有C42·A33-A2.C[解析]依據(jù)題意,分兩種狀況進(jìn)行探討:①語文課和數(shù)學(xué)課都支配在上午,要求2節(jié)語文課必需相鄰且2節(jié)數(shù)學(xué)課也必需相鄰,將2節(jié)語文課和2節(jié)數(shù)學(xué)課分別捆綁,然后在剩余3節(jié)課中選1節(jié)到上午,由于2節(jié)英語課不加以區(qū)分,因此排法種數(shù)為C31A②語文課和數(shù)學(xué)課一個支配在上午,一個支配在下午,2節(jié)語文課不加以區(qū)分,2節(jié)數(shù)學(xué)課不加以區(qū)分,2節(jié)英語課也不加以區(qū)分,因此排法種數(shù)為C21A綜上所述,共有18+24=42(種)不同的排法.故選C.3.52[解析]因為a1=1,a5=4,所以設(shè)x1=a2-a1,x2=a3-a2,x3=a4-a3,x4=a5-a4,所以x1+x2+x3+x4=a5-a1=3,可設(shè)x1≤x2≤x3≤x4,因為ai+1-ai∈{-2,-1,0,1,2},所以x1,x2,x3,x4的全部可能組合為{-2,1,2,2},{-1,1,1,2},{-1,0,2,2},{0,0,1,2},{0,1,1,1},共五組,所以符合條件的數(shù)列個數(shù)為C42C21+C42C2小題2例2(1)A(2)C(3)-9(4)10112[解析](1)x2+2x6綻開式的通項為Tk+1=C6k(x2)6-k2xk=2kC6kx12-3k,令12-3k=0,解得k=4,可得常數(shù)項為T5=24C64=16×15=240(2)由題意得(1-x)x+1x+24=(1-x)x2+1+2xx4=(1-x)(又(x+1)8的綻開式的通項為Tr+1=C8rx8所以(x+1)8x4的綻開式中含x-(x+1)8x3的綻開式中含x的項為所以(1-x)x+1x+24的綻開式中含x項的系數(shù)是C83-C84=-14.(3)令x=1,可得(x2-x+a)(2x-1)5綻開式的各項系數(shù)之和為a·15=-1,∴a=-1,∴(x2-x+a)(2x-1)5=(x2-x-1)(2x-1)5=x2·(2x-1)5-x·(2x-1)5-(2x-1)5,故(x2-x-1)(2x-1)5綻開式中含x的項為(-x)·(-1)5-C54·2x·(-1)4=-9x.故綻開式中x的系數(shù)為-(4)由二項式系數(shù)的性質(zhì)得,C20201010最大,所以綻開式中二項式系數(shù)最大的項是第1011令x=1,得(1+a)2024=a0+a1+a2+…+a2024,令x=-1,得(-1+a)2024=a0-a1+a2-a3+…+a2024,而(a0+a2+…+a2024)2-(a1+a3+…+a2024)2=(a0+a1+a2+…+a2024)(a0-a1+a2-a3+…+a2024)=(1+a)2024(-1+a)2024=[(1+a)(-1+a)]2024=(a2-1)2024=1,解得a=2.【自測題】1.C[解析]因為二項綻開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大,所以n=6,所以綻開式的通項為Tk+1=C6k(x2)6-k-1xk=(-1)kC6kx12-令12-3k=0得k=4,所以綻開式中的常數(shù)項是(-1)4C64=15.故選2.B[解析]由題意可知,要求x52的系數(shù),只需求x-14x6的綻開式中x2因為x-14x6綻開式的通項為Tr+1=C6rx6-r-14xr=C6r-14rx6-所以當(dāng)r=2時,T3=C62-142x2=1516x2,故x53.-20[解析](1-x)2的綻開式中含x項的系數(shù)為-2.(1+y)5的綻開式中含y2項的系數(shù)為C5故(1-x)2(1+y)5的綻開式中含xy2項的系數(shù)是-20.4.①217+1②17(1-216)[解析]①(2-x)17=[3-(1+x)]17的綻開式的通項為Tr+1=C17r·317-r·(-1)r·(1+x)由T18=C1717[-(1+x)]17=-(1+x)17,可得a17=-令1+x=1,即x=0,可得a0+a1+a2+