江西省景德鎮(zhèn)市高三第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題-含答案

景德鎮(zhèn)市2025屆高三第一次質(zhì)檢試題數(shù)學(xué)命題本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第（）象限A.一 B.二 C.三 D.四3.已知，，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.44.已知，則（）A. B. C. D.5.過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線方程是（）A. B. C. D.6.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.5 B.6 C.7 D.87.函數(shù)的定義域?yàn)?，是奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，則的解集是（）A. B. C. D.8.甲烷是最簡(jiǎn)單的有機(jī)化合物，其分子式為，它是由四個(gè)氫原子和一個(gè)碳原子構(gòu)成，甲烷在自然界分布很廣，是天然氣、沼氣、煤礦坑道氣及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面體空間構(gòu)型，如圖，四個(gè)氫原子分別位于正四面體的頂點(diǎn)處，碳原子位于正四面體的中心處.若正四面體的棱長(zhǎng)為1，則平面和平面位于正四面體內(nèi)部的交線長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.1二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)為偶函數(shù)，且最小正周期為4B.若，，則往方向上的投影長(zhǎng)為C.是拋物線上一點(diǎn)，，則的最小值為1D.已知兩直線與，則“”是“，互相平行”的充分不必要條件10.在高三一次大型聯(lián)考中，物理方向共有35萬(wàn)人參加，其中男生有20萬(wàn)人.現(xiàn)為了了解該次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)，用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取350人，其中名男生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?7分，名女生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分.已知35萬(wàn)人的數(shù)學(xué)成績(jī)，近似為樣本均值，則下列正確的是（）參考數(shù)據(jù)：若，則，，A.B.總體是35萬(wàn)人C.樣本均值為73.5D.估計(jì)該次聯(lián)考中物理方向數(shù)學(xué)成績(jī)低于66分的約有7980人11.已知，分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，離心率為，為雙曲線上位于第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)，，的面積為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的值隨著的增大而減小 B.是定值C. D.若，則第II卷（非選擇題）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知公比不為1的等比數(shù)列，且，，成等差，則________.13.已知與，若存在實(shí)數(shù)的值使得兩圓僅有一條公切線，則的最小值為_(kāi)_______.14.甲口袋裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球，乙口袋裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.第一步，從甲口袋中隨機(jī)取一個(gè)球放入乙口袋；第二步，從乙口袋中隨機(jī)取一個(gè)球放入甲口袋；第三步，從甲口袋中隨機(jī)取出一個(gè)球并記錄顏色.在第三步取出的是黑球的條件下，第一步從甲口袋中取的球是黑色的概率是________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和對(duì)稱(chēng)中心；（2）在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，且，求.16.（15分）如圖四棱錐，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面平面，，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.17.（15分）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓，是上一點(diǎn)，離心率.（1）求的方程；（2）斜率為的直線交于，兩點(diǎn)，在以為直徑的圓上，求的最大值.18.（17分）已知函數(shù)，其中.（1）已知，若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的最小值；（2）求證：存在常數(shù)使得，并求出的值；（3）在（2）的條件下，若方程存在三個(gè)根，，，且，求的取值范圍.19.（17分）第一組數(shù)據(jù)，其中，第二組數(shù)據(jù)，這個(gè)數(shù)互不相等，，分別為其中最大與第二大的數(shù).先從第二組數(shù)據(jù)中剔除一個(gè)數(shù)（剩余數(shù)相對(duì)位置保持不變）得到一組新數(shù)據(jù)，若將該組數(shù)據(jù)中相鄰兩數(shù)對(duì)換位置稱(chēng)為一次對(duì)換，經(jīng)過(guò)至少次對(duì)換得到最終數(shù)據(jù)，簡(jiǎn)記.若用直線擬合點(diǎn)列，相關(guān)系數(shù).（1）第一組數(shù)據(jù)，第二組數(shù)據(jù)，若剔除10，經(jīng)過(guò)后得到擬合最佳；若剔除8，經(jīng)過(guò)得到最佳.求的值；（2）在一組互不相等的數(shù)的排列中，定義在的右邊比其小的數(shù)的個(gè)數(shù)稱(chēng)為的逆序數(shù).已知，的逆序數(shù)分別為，，剩余各數(shù)按相對(duì)順序從大到小排列.若經(jīng)過(guò)后將這個(gè)數(shù)從小到大順序排列，求的所有可能取值；（3）若剔除后經(jīng)過(guò)至少次對(duì)換后得到擬合效果最佳，相關(guān)系數(shù)為.剔除后經(jīng)過(guò)至少次對(duì)換后得到擬合效果最佳，相關(guān)系數(shù)為.若，求證：為定值，并求出該定值.

景德鎮(zhèn)市2025屆高三第一次質(zhì)檢試題數(shù)學(xué)參考答案第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．1234567891011DDBCABBABCADABD1．D【解析】，，．故選D．2．D【解析】，∴對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第四象限．故選D．3．B【解析】，．故選B．4．C【解析】，故選C．5．A【解析】，點(diǎn)A不在曲線上，由已知可求得切線過(guò)點(diǎn)，得直線方程為，，故選A．6．B【解析】數(shù)形結(jié)合．故選B．7．B【解析】∵是奇函數(shù)，∴，即關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．又函數(shù)的定義域?yàn)椋剩耶?dāng)時(shí)，令，即，解得．根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知當(dāng)時(shí)，．綜上所述，的解集是．故選B．8．A【解析】分別取的中點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)平面即平面，平面即平面，∴平面和平面位于正四面體內(nèi)部的交線為線段，∵正四面體的棱長(zhǎng)為1，不難計(jì)算得出．故選A．EEF二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，滿分18分．9．BC【解析】∵，顯然是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；往方向上的投影長(zhǎng)為，故B正確；設(shè)，其中，∴，即的最小值為，故C正確；∵互相平行，∴，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)兩直線重合，∴“”為“互相平行”的充要條件，故D錯(cuò)誤．故選BC．10．AD【解析】由分層隨機(jī)抽樣的特征可知：，故A正確；總體是35萬(wàn)考生的數(shù)學(xué)成績(jī)，故B錯(cuò)誤；根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的均值知樣本均值，故C錯(cuò)誤；∵，，，∴小于66分的人數(shù)約為人，故D正確．故選AD．11．ABD【解析】在中，由正弦定理可知，顯然均為銳角且隨著的增大分別減小與增大，即隨著的增大分別減小與增大，∴的值隨著的增大而減小，故A正確；，由于，∴，∴為定值，故B正確；，而，∴，故C錯(cuò)誤；，，∴，∴，解得，∴，故D正確．故選ABD．第Ⅱ卷(非選擇題共92分)三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，滿分15分．12．【解析】由題知：∵成等差，∴，又是公比不為1的等比數(shù)列，∴，∴，．故答案為．13．【解析】，∴，半徑為，，∴，半徑為．若兩圓僅有一條公切線，即兩圓相內(nèi)切，∴．由于，故，，即的最小值為．14．【解析】第一次給出黑球且第二次給出黑球且第三次給出黑球的概率為，第一次給出黑球且第二次給出白球且第三次給出黑球的概率為，第一次給出白球且第二次給出黑球且第三次給出黑球的概率為，第一次給出白球且第二次給出白球且第三次給出黑球的概率為，∴在第三步取出的是黑球的條件下，第一步從甲口袋中取的球是黑色的概率．故答案為．四、解答題：本大題共5小題，滿分77分．15．（本小題13分）解：（1），…………2分該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：……4分令，解得，∴函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為，其中．……………6分（2）∵，∴，∴或，∵，∴．…………………………8分∵，…………………9分且，，∴，解得：…11分由余弦定理可知，．…………13分16．（本小題15分）解：（1）取中點(diǎn)，連接，∵，故．∵，平面平面，平面，∴平面，∴．…………4分又∵，∴平面．………6分（2）由上可知，又，∴平面．…………7分如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系．……8分∴，……9分設(shè)平面的法向量，則，令，解得．………………11分同理，平面的法向量，……………………13分∴平面與平面夾角余弦值…………14分∵二面角為鈍角，∴二面角的余弦值為．…15分17．（本小題15分）解析：（1）由題意，解得，∴橢圓的方程為．………………5分（2）設(shè)直線為，設(shè)，設(shè)中點(diǎn)為，聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可知，其中．………………8分∴，．∴，………10分∴，…………12分令，∴，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到，滿足………14分∴，即的最大值為．……………………15分18．（本小題17分）解：（1）依題意可知當(dāng)時(shí)，恒成立，…………1分即，而的最小值為，故，………………3分解得，即的最小值為．……………4分（2），……………………6分∵，∴，解得．即當(dāng)時(shí)，．…………9分（3）構(gòu)造函數(shù)，則方程存在三個(gè)根即函數(shù)函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)．∵，∴．………………10分令，得，于是為的一個(gè)零點(diǎn)．…………………11分若存在零點(diǎn)，且，由可知，則必存在相應(yīng)的零點(diǎn)，且．∴必在上存在唯一零點(diǎn)．……………13分若恒成立，即成立，解得，此時(shí)在上單調(diào)遞增，無(wú)零點(diǎn)；………………14分若，則，且，∴在上單調(diào)遞增，故在上存在零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．……………15分∵，即，解得，………16分∴，即．綜上所述，的取值范圍是．…………………17分19．（本小題17分）解：（1）第一次將對(duì)換得到，∴．…………2分第二次將對(duì)換得到，∴．故．…………………4分（2）∵的逆序數(shù)分別為，∴必為這個(gè)數(shù)中的最大數(shù)．的逆序數(shù)分別為，則可能是這個(gè)數(shù)中第二大或者第三大的數(shù)．………………5分若是第二大的數(shù)，先將對(duì)換到末位需要次對(duì)換，再將對(duì)換到倒數(shù)第二位需要次對(duì)換，而后將其余各數(shù)對(duì)換到相應(yīng)位置分別需要次對(duì)換，則；…………………6分若是第三大的數(shù)，則只能是第二大的數(shù)，同理需要對(duì)換次，需要對(duì)換次，需要對(duì)換次，…，∴．……………………8分綜上所述，或．……………………9分（3）先證明排序不等式，不妨假設(shè),是的一個(gè)排列，，不妨假設(shè)，則，于是成立的充要條件為，于是經(jīng)過(guò)若干次對(duì)換后得：．……………………12分假設(shè)經(jīng)過(guò)若干次對(duì)換后得到，其中，則．∵，其中與均為正常數(shù)，要使得擬合效果最佳，則．∵，不妨假設(shè)，則．……………………13分設(shè)的所有逆序數(shù)之和為，反之，正序數(shù)之和為，由于這個(gè)數(shù)互不相等，則．∵剔除后要使得擬合效果最佳且，