2024屆甘肅省白銀市第九中學(xué)高三第六次質(zhì)量檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題

2023屆甘肅省白銀市第九中學(xué)高三第六次質(zhì)量檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞a＞c2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A．45 B．42 C．25 D．363．在展開式中的常數(shù)項(xiàng)為A．1 B．2 C．3 D．74．已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，分別為拋物線與圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．5．體育教師指導(dǎo)4個(gè)學(xué)生訓(xùn)練轉(zhuǎn)身動(dòng)作，預(yù)備時(shí)，4個(gè)學(xué)生全部面朝正南方向站成一排.訓(xùn)練時(shí)，每次都讓3個(gè)學(xué)生“向后轉(zhuǎn)”，若4個(gè)學(xué)生全部轉(zhuǎn)到面朝正北方向，則至少需要“向后轉(zhuǎn)”的次數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．66．已知雙曲線：，，為其左、右焦點(diǎn)，直線過右焦點(diǎn)，與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上方，若，則直線的斜率為()A． B． C． D．7．已知數(shù)列{an}滿足a1=3，且aA．22n-1+1 B．22n-1-18．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A． B． C． D．9．已知某超市2018年12個(gè)月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示：根據(jù)該折線圖可知，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．該超市2018年的12個(gè)月中的7月份的收益最高B．該超市2018年的12個(gè)月中的4月份的收益最低C．該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D．該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長(zhǎng)了90萬元10．已知某口袋中有3個(gè)白球和個(gè)黑球（），現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球，再換回一個(gè)不同顏色的球（即若取出的是白球，則放回一個(gè)黑球；若取出的是黑球，則放回一個(gè)白球），記換好球后袋中白球的個(gè)數(shù)是．若，則=()A． B．1 C． D．211．波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，的公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地．他證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（k＞0，且k≠1）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．現(xiàn)有橢圓=1（a＞b＞0），A，B為橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，C，D為橢圓的短軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足=2，△MAB面積的最大值為8，△MCD面積的最小值為1，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．12．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn).若的內(nèi)切圓與線段在其中點(diǎn)處相切，與相切于點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的展開式中，的系數(shù)為______用數(shù)字作答14．已知變量(m>0)，且，若恒成立，則m的最大值________．15．如圖，在長(zhǎng)方體中，，E，F(xiàn)，G分別為的中點(diǎn),點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)，若直線平面EFG，則線段長(zhǎng)度的最小值是________________.16．下表是關(guān)于青年觀眾的性別與是否喜歡綜藝“奔跑吧，兄弟”的調(diào)查數(shù)據(jù)，人數(shù)如下表所示：不喜歡喜歡男性青年觀眾4010女性青年觀眾3080現(xiàn)要在所有參與調(diào)查的人中用分層抽樣的方法抽取個(gè)人做進(jìn)一步的調(diào)研，若在“不喜歡的男性青年觀眾”的人中抽取了8人，則的值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）手工藝是一種生活態(tài)度和對(duì)傳統(tǒng)的堅(jiān)持，在我國有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名，還大量遠(yuǎn)銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān)，合作社對(duì)村民制作的每件手工藝品都請(qǐng)3位行家進(jìn)行質(zhì)量把關(guān)，質(zhì)量把關(guān)程序如下：（i）若一件手工藝品3位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為A級(jí)；（ii）若僅有1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，再由另外2位行家進(jìn)行第二次質(zhì)量把關(guān)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為B級(jí)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為C級(jí)；（iii）若有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為D級(jí).已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)的概率為，且各手工藝品質(zhì)量是否過關(guān)相互獨(dú)立.（1）求一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率；（2）若一件手工藝品質(zhì)量為A,B,C級(jí)均可外銷，且利潤分別為900元，600元，300元，質(zhì)量為D級(jí)不能外銷，利潤記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；②記1件手工藝品的利潤為X元，求X的分布列與期望.18．（12分）已知.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，，證明：.19．（12分）某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)某校學(xué)生做了一個(gè)是否同意生“二孩”抽樣調(diào)查，該調(diào)查機(jī)構(gòu)從該校隨機(jī)抽查了100名不同性別的學(xué)生，調(diào)查統(tǒng)計(jì)他們是同意父母生“二孩”還是反對(duì)父母生“二孩”，現(xiàn)已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，統(tǒng)計(jì)情況如下表：同意不同意合計(jì)男生a5女生40d合計(jì)100（1）求a，d的值，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與性別有關(guān)?請(qǐng)說明理由；（2）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)在從所有學(xué)生中，采用隨機(jī)抽樣的方法抽取4位學(xué)生進(jìn)行長(zhǎng)期跟蹤調(diào)查，記被抽取的4位學(xué)生中持“同意”態(tài)度的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63520．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）如圖所示，在四面體中，，平面平面，，且.（1）證明：平面；（2）設(shè)為棱的中點(diǎn)，當(dāng)四面體的體積取得最大值時(shí)，求二面角的余弦值.22．（10分）已知a,b∈R，設(shè)函數(shù)f(x)=(I)若b=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間：(II)當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí)，f(x)的最小值為0，求a+5b的最大值.注：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解．【詳解】∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（）lnx＞（）0＝1，0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c的大小關(guān)系為b＞c＞a．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．D【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,進(jìn)而代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式即可.【詳解】由題,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和.3．D【解析】

求出展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)及含的項(xiàng)，問題得解。【詳解】展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)及含的項(xiàng)分別為：,，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理中展開式的通項(xiàng)公式及轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。4．D【解析】

利用拋物線的定義，求得p的值，由利用兩點(diǎn)間距離公式求得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，由取得最小值為，求得結(jié)果.【詳解】由拋物線焦點(diǎn)在軸上，準(zhǔn)線方程，則點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則，所以拋物線方程：，設(shè)，圓，圓心為，半徑為1，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，故選D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)距離的最小值問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的定義，點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑，二次函數(shù)的最小值，屬于中檔題目.5．B【解析】

通過列舉法，列舉出同學(xué)的朝向，然后即可求出需要向后轉(zhuǎn)的次數(shù).【詳解】“正面朝南”“正面朝北”分別用“∧”“∨”表示，利用列舉法，可得下表，原始狀態(tài)第1次“向后轉(zhuǎn)”第2次“向后轉(zhuǎn)”第3次“向后轉(zhuǎn)”第4次“向后轉(zhuǎn)”∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨可知需要的次數(shù)為4次.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的是求最小推理次數(shù)，一般這類題型構(gòu)造較為巧妙，可通過列舉的方法直觀感受，屬于基礎(chǔ)題.6．D【解析】

由|AF2|＝3|BF2|，可得.設(shè)直線l的方程x＝my+，m＞0，設(shè)，，即y1＝﹣3y2①，聯(lián)立直線l與曲線C,得y1+y2＝-②，y1y2＝③，求出m的值即可求出直線的斜率.【詳解】雙曲線C：，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，則F2（，0），設(shè)直線l的方程x＝my+，m＞0，∵雙曲線的漸近線方程為x＝±2y，∴m≠±2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＞0，由|AF2|＝3|BF2|，∴，∴y1＝﹣3y2①由，得∴△＝（2m）2﹣4（m2﹣4）＞0，即m2+4＞0恒成立，∴y1+y2＝②，y1y2＝③，聯(lián)立①②得，聯(lián)立①③得，，即：，，解得：，直線的斜率為，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查向量知識(shí)，屬于中檔題．7．D【解析】試題分析：因?yàn)閍n+1=4an+3，所以an+1+1=4(an+1)，即an+1+1an+1考點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式．8．A【解析】

根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱，直觀圖如圖所示：其中，底面為直角三角形，，，高為.∴該幾何體的體積為故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖及棱柱的體積，屬于基礎(chǔ)題.9．D【解析】

用收入減去支出，求得每月收益，然后對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此判斷出說法錯(cuò)誤的選項(xiàng).【詳解】用收入減去支出，求得每月收益（萬元），如下表所示：月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高，A選項(xiàng)說法正確；月收益最低，B選項(xiàng)說法正確；月總收益萬元，月總收益萬元，所以前個(gè)月收益低于后六個(gè)月收益，C選項(xiàng)說法正確，后個(gè)月收益比前個(gè)月收益增長(zhǎng)萬元，所以D選項(xiàng)說法錯(cuò)誤.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析，考查收益的計(jì)算方法，屬于基礎(chǔ)題.10．B【解析】由題意或4，則，故選B．11．D【解析】

求得定點(diǎn)M的軌跡方程可得，解得a，b即可.【詳解】設(shè)A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵動(dòng)點(diǎn)M滿足=2，則=2，化簡(jiǎn)得.∵△MAB面積的最大值為8，△MCD面積的最小值為1，∴，解得，∴橢圓的離心率為．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓離心率，動(dòng)點(diǎn)軌跡，屬于中檔題．12．D【解析】

可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，設(shè)，，可得，由切線的性質(zhì)：切線長(zhǎng)相等推得，解得、，并設(shè)，求得的值，推得為等邊三角形，由焦距為三角形的高，結(jié)合離心率公式可得所求值．【詳解】可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，為切點(diǎn)，且為中點(diǎn)，，設(shè)，，則，且有，解得，，設(shè)，，設(shè)圓切于點(diǎn)，則，，由，解得，，，所以為等邊三角形，所以，，解得.因此，該橢圓的離心率為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義和性質(zhì)，注意運(yùn)用三角形的內(nèi)心性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1【解析】

利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng)，令，求出展開式中的系數(shù)．【詳解】二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為令得的系數(shù)為故答案為1．【點(diǎn)睛】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題的工具．14．【解析】

在不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)f（x）＝，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．【詳解】不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，即x2lnx1＜x1lnx2，又即成立，設(shè)f（x）＝，x∈（0，m），∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），則函數(shù)f（x）在（0，m）上為增函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，得0＜x＜e，即函數(shù)f（x）的最大增區(qū)間為（0，e），則m的最大值為e故答案為：e【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的應(yīng)用，根據(jù)條件利用取對(duì)數(shù)得到不等式,從而可構(gòu)造新函數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵15．【解析】

如圖，連接，證明平面平面EFG.因?yàn)橹本€平面EFG，所以點(diǎn)P在直線AC上.當(dāng)時(shí).線段的長(zhǎng)度最小，再求此時(shí)的得解.【詳解】如圖，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別為AB，BC，的中點(diǎn)，所以，平面，則平面.因?yàn)椋酝淼闷矫?，?所以平面平面EFG.因?yàn)橹本€平面EFG，所以點(diǎn)P在直線AC上.在中，，故當(dāng)時(shí).線段的長(zhǎng)度最小，最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，考查立體幾何中的軌跡問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.16．32【解析】

由已知可得抽取的比例，計(jì)算出所有被調(diào)查的人數(shù)，再乘以抽取的比例即為分層抽樣的樣本容量.【詳解】由題可知，抽取的比例為，被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人，則分層抽樣的樣本容量是人.故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣中求樣本容量，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）①2②期望值為X900600300100P【解析】

（1）一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率為.（2）①由題意可得一件手工藝品質(zhì)量為D級(jí)的概率為，設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件，則，則,.由得，所以當(dāng)時(shí)，，即，由得，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，最大，即10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2件.②由上可得一件手工藝品質(zhì)量為A級(jí)的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為C級(jí)的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為D級(jí)的概率為，所以X的分布列為X900600300100P則期望為.18．(1)(2)見證明【解析】

（1）利用零點(diǎn)分段法討論去掉絕對(duì)值求解；（2）利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，不等式可化為.當(dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)時(shí)，，.所以不等式的解集是.（2）證明：由，，得，，，又，所以，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查含有絕對(duì)值不等式問題的求解，含有絕對(duì)值不等式的解法一般是使用零點(diǎn)分段討論法.19．（1）,有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)；（2）詳見解析.【解析】

（1）根據(jù)表格及同意父母生“二孩”占60%可求出,,根據(jù)公式計(jì)算結(jié)果即可確定有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)（2）由題意可知X服從二項(xiàng)分布，利用公式計(jì)算概率及期望即可.【詳解】（1）因?yàn)?00人中同意父母生“二孩”占60%，所以，文（2）由列聯(lián)表可得而所以有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)（2）①由題知持“同意”態(tài)度的學(xué)生的頻率為，即從學(xué)生中任意抽取到一名持“同意”態(tài)度的學(xué)生的概率為.由于總體容量很大，故X服從二項(xiàng)分布，即從而X的分布列為X01234X的數(shù)學(xué)期望為【點(diǎn)睛】本題主要考查了相關(guān)性檢驗(yàn)、二項(xiàng)分布，屬于中檔題.20．（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論的范圍，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值可判斷是否恒成立，可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù).所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2），則，.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，由，得，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；由，得，此時(shí)，函數(shù)為減函數(shù).則，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.不妨設(shè)，其中，令，則或.（i）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù).此時(shí)，而，構(gòu)造函數(shù)，，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即當(dāng)時(shí)，，所以，.，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為增函數(shù)，，符合題意；③當(dāng)時(shí)，同理可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，則，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問題，