廣東省茂名市區(qū)域2024-2025學(xué)年高三年級上冊10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

廣東省茂名市區(qū)域2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.復(fù)數(shù)2=-"（1+6）的虛部為（）

A.2B.V2c.-V2D.-V2i

(x-a)2=1},N={1,3}

2.已知集合M=,若MNN，則。=（）

A.-1B.0C.1D.2

C_1

3.記水的質(zhì)量為U，則當(dāng)S=7,〃=e3時，水的質(zhì)量為（)

ln?

A.2B.eC.2.1D.3

4.已知命題p：VxeR，G'=x，命題4Hxe（0,兀），tanx=siwc，則（）

A.2和9都是真命題B.和9都是真命題

C.2和都是真命題D.T7和「夕都是真命題

5.如圖，。為V/BC內(nèi)一點，。為BC的中點，OA=a,OB=b^OC=c,則而=()

C

_1_1__1-1一

AA.ci-\—bH—cB.—QH—b+—C

2222

一1-1-1-1一

C.a——b——cD.-a——b-—C

2222

1=0,則不等式4國40的解

6.定義在R上的奇函數(shù)/(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，且

)x-2

集為()

A.(6+8)B.U_T，O]U_L

C.；]U{0}U(A/^+8)D.卜小-打心封

試卷第1頁，共4頁

7.已知函數(shù)/（尤）=/$山（5：+0）+?/>0,0<0<10,閘<1^的部分圖象如圖所示，貝1］。=

1p

8.已知曲線G：y=5e'在點尸處的切線與曲線C2：y=-A（x>0）在點。處的切線平行，且

直線P。垂直于X軸，則歸0|=（）

A.eB.2eC.3eD.e或3e

二、多選題

9.已知單位向量￡花，貝！I（）

A.“悔一刃卜快+可”是“小I”的必要條件

B.“悔-?=1”是G〃尸的必要條件

C.“忸—耳=忸+4”是“力戶的充分條件

D.“悔-囚=1”是“2〃戶的充分條件

10.設(shè)函數(shù)/（X）=X2（X-6），則（）

A.x=4是f（x）的極小值點

B.-x）40

C.當(dāng)0<x<l時，f（x）>f（x2）

D.當(dāng)0cx<1時，/（4+x）>/（4-x）

11.已知函數(shù)/（》）=M112司+854彳，則（）

試卷第2頁，共4頁

A.f(x)的最大值為:

B./(x)的最小正周期為］

C.曲線＞=關(guān)于直線x=g(萬eZ)軸對稱

D.當(dāng)xe［O,可時，函數(shù)g(x)=16/(x)-17有9個零點

三、填空題

.(叫仆

12.已知函數(shù)〃x)=I67則/(/(-1))=.

2"+1,%＜0

13.已知。＞1,貝iJlga+bg/OO的最小值為.

14.已知關(guān)于x的方程2sinx+cosx=l在［0,2兀)內(nèi)有2個不同的解％則

cos(a-y0)=.

四、解答題

15.在VZ8C中,6,c分別是內(nèi)角4叢C的對邊，^.a2+b2=ab+c2,bcsmA=sinC.

⑴求C；

(2)求VABC外接圓的面積的最小值.

2222

16.已知橢圓G：=+—=1(。＞6＞0)與雙曲線C。：。-、=1(機(jī)＞0,”＞0)有公共焦點用，

abmn

8,q與C?在第一象限的交點為尸，且歸同=J7+i,|尸閭=療-1，尸片，尸月.

⑴求G與Q的方程;

⑵記G的上頂點為4c2的左頂點為B,直線與。的另一個交點為。，求HR.

17.如圖，在六面體/BCD-44GA中，AAJIBBJICCJ!DDX,且底面N8C。為菱形.

試卷第3頁，共4頁

(i)證明：四邊形44G2為平行四邊形.

⑵若AAt1平面ABCD,44]=CC1；NBAD=60°,D?=5,AB=BB、=2,求平面/0G2與平

面ABCD所成二面角的正弦值.

18.甲、乙口袋都有3個小球(1個黑球和2個白球).現(xiàn)從甲、乙口袋中各隨機(jī)取1個小球交

換放入另外一個口袋(即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋)，重復(fù)〃

次這樣的操作后，記甲口袋中恰有2個黑球的概率為心，恰有1個黑球的概率為久.

(1)求PiM；

(2)求。2，%；

⑶求％.

19.(1)證明：當(dāng)xe嗚時，x>sinx>xcosx；

7171

(2)當(dāng)xe時，asin2x-x2cosx>0,求a的取值范圍.

252

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案CDADBDDAACDABD

題號11

答案BC

1.C

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運算計算，根據(jù)復(fù)數(shù)定義即得.

【詳解】z=-V2i(l+A/2i)=2-^i,所以z的虛部為一百.

故選：C.

2.D

【分析】利用集合M一定是二元集，且M=即可得方程組求解.

【詳解】因為M={a+\,<7-1},由于。+1>。一1,且M=

(a+1=3

所以,,解得：a=2.

故選：D.

3.A

【分析】直接代入計算即可得解.

7-16

【詳解】當(dāng)S=7,〃=e3時，水的質(zhì)量為代=5=2.

Ine3

故選：A.

4.D

【分析】根據(jù)題意，分析命題夕國的真假，進(jìn)而分析選項，可得答案.

【詳解】當(dāng)x<0時，^=\x\=-x,所以P是假命題，則可是真命題，

H，sinxef.八

右tanx=------=sinx,貝！Jcosx=1或sinx=0,

cosx

當(dāng)工￡(0,兀)時，cosxw1且sinxw0,所以夕是假命題，則「夕是真命題，

故選：D.

5.B

【分析】結(jié)合圖形，由向量的加法法則求解即可；

【詳解】AD=-AB+-AC=-Ad+l-OB++1-0C=-tz+U+.

22222222

答案第1頁，共11頁

故選：B.

6.D

【分析】首先根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，判斷/(O)=O，/(X)在(-8,0)上單調(diào)遞增，且

'1:=°'再結(jié)合函數(shù)/(X)的單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】由題意可得，/(o)=o,/(X)在(-雙0)上單調(diào)遞增，且,一￡|=0,

由"”得/W<0f(x)>0

或

X2-2>0X2-2<0

?.,/(x)VO時，x<-1,或Owg,

又/一2>0,即無<—\/2,或x>-J1，

故解得.應(yīng)，

[x—2>0

「/(x)20時，—§<x<0，或1之§,

又/_2<0,即-也<x<也，

故解得-夫小，或修〈區(qū)

則不等式3"<0的解集為：xe(-^,-V2)u

x-2'

故選：D.

7.D

【分析】結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)結(jié)合圖象中最大最小值可先計算出A,b,再利用點(0,2)計算出。,

最后借助點[己,3)代入計算即可得。的值.

A+b=3A=2

【詳解】因為4>0,所以，解得

-A+b=-lb=\

所以/(0)=2sin°+l=2,則sin°=；,

因為|。|<弓，所以9=2，可得〃x)=2sin[Gx+￡]+l,

2616J

m、rr\c?(8兀兀、1。-.,697171兀c,1?

因為f——2sin----1—+1—3,r所r以---1—=—F2E,左￡Z,

U8J1186J1862

即口=6+36左，左cZ,因為0<切<10,所以0=6.

答案第2頁，共11頁

故選：D.

8.A

【分析】設(shè)尸（辦（機(jī)，-點），根據(jù)斜率相等可得/e“，=e,構(gòu)造函數(shù)/（x）=x?1,

根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，由單調(diào)性和/■⑴=e可得加=1,然后可解.

【詳解】依題意可設(shè)尸其中根＞0.

1g

所以曲線q在點尸處的切線斜率為:屋，曲線G在點。處的切線斜率為三，

22m

所以乂“=:，即/e，"=e（機(jī)＞0）.

22m2''

設(shè)函數(shù)［（x）=x2e”（尤＞0）,則/'（》）=［2+2x）e*＞0,

所以71尤）為增函數(shù)，又/'（l）=e,所以加=1,

所以小￡|，小，-|］，故戶。l=e.

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點睛：關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)根據(jù)其單調(diào)性和/⑴=e確定冽的值.

9.ACD

【分析】由匿-1=怩+可,可得力兀反之亦成立，從而判斷A,C；由恢-同=1,可

得白花〉=0,從而得￡〃尸，反之不成立，從而判斷B,D.

【詳解】解：由忸-同=忻+小，^4a2+b2-4a-b=4a2+b2+4a-b，

解得￡%=0,所以

反之由ZjJ，可得＞「=0,4a2+b2~4a-b=4a2+b2+4a-b,即忸一,=口+可，

故“恢_*忸+葉，是“力］”的充要條件,故A,C正確；

若恒-閘=1,則4不+鏟-4小〃=1,解得￡%=1，

/-&,很1一一

則cos〈a,b〉=麗=1,所以〈凡6〉=0,即“0〃九

若“￡〃各，

答案第3頁，共11頁

則=1或=

所以"詞=1或恒囪=3,

故“|21-閘=1”是“￡〃斤，的充分不必要條件，故B錯誤，D正確.

故選：ACD.

10.ABD

【分析】先求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)解析式逐項判斷即可.

【詳解】對于A,7'（x）=2x（x-6）+無2=3X（X-4）,當(dāng)xe（0,4）時，，

當(dāng)尤e（-8,0）口（4,+8）時，戶⑶>0,

所以f（x）在（-8,0）和（4,+8）上單調(diào)遞增，在（0,4）上單調(diào)遞減，

故x=4是/（x）的極小值點，故A正確.

對于B,/（x）+/（-x）=x2（x-6）+x2（-尤-6）=-12尤2V0,故B正確.

對于C,當(dāng)0<尤<1時，,又/'（x）在（0」）上單調(diào)遞減，

所以/0）</（爐），故C錯誤.

對于D,當(dāng)0<x<l時,/（4+尤）一/（4-x）=（4+尤（4+x-6）-（4-x）2（4-尤一6）=2:>?>0,

所以/（4+x）>/（4-x）,故D正確.

故選：ABD.

11.BC

【分析】化簡函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)的周期性與對稱性可判斷各選項，根據(jù)函數(shù)零點的定義

可解得卜in2x|=；±乎，數(shù)形結(jié)合即可得解.

【詳解】/（x）=|sin2x|+1-21sin2x|2=-2,n2x卜;1+

當(dāng)卜in2x|=:時，/（x）取得最大值，且最大值為,，A選項錯誤；

因為y=|sin2x|,y=cos4x的最小正周期均為所以「（力的最小正周期為］B選項正

確；

答案第4頁，共11頁

=sin2(""+cos4

因為了in2rfl-cos4xGZ),所以曲線y=/(%)

關(guān)于直線x=§（左eZ）軸對稱，C選項正確;

令g（x）=16/（x）-17=0,得/（冷=\,貝牛由2乂=；土",

結(jié)合函數(shù);Hsin2x|（OWxW兀）的圖象，可知方程卜畝2耳=；±*在[。,可上有8個不同的實根,

D選項錯誤；

故選：BC.

12.--

2

【分析】先求得/（一1）=|，再將X=g代入Sin[?+己），求解即可.

【詳解】解：因為/（—1）=2-1+1=j

71

=-cos—=

6T~

故答案為：q

2

13.2V2

【分析】根據(jù)對數(shù)的換底公式，結(jié)合基本不等式即可求解.

【詳解】由于。>1,所以3>0,

lga+logJ00=lga+-^->2/2,當(dāng)且僅當(dāng)皿=二，即0=1（）?時，等號成立.

IgaIga

故答案為：2近

14.--/-0.6

5

【分析】構(gòu)造函數(shù)〃x）=2sinx+cosx（xe[0,2兀）），畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)三角恒等變換、

三角函數(shù)圖象的對稱性等知識求得正確答案.

【詳解】設(shè)/(x)=2sinx+cos%(x￡[0,2兀))，/(0)=2sin0+cos0=1,

答案第5頁，共11頁

所以x=0是方程2sinx+cosx=l在［0,2兀)內(nèi)的一個解，不妨設(shè)a=0,

畫出/(%)的圖象以及V=1的圖象如下圖所示,

/(%)=2sinx+cosx=J~5sin(x+0),

其中sinp=5,cos。=卡，tan。=：,

jrTT

結(jié)合圖象，令x+e=解得％=1一夕,

.a+/3B7i°_

貝n!](一=5=,_9,/?=兀_2夕,

所以cos(a—/)=cos(—/)=cos/=cos(兀一20)

=-cos2c°=si-n20一cos2—IJ

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查三角函數(shù)方程的求解，關(guān)鍵在于函數(shù)圖象的對稱性和輔助角公

式的靈活運用.題目要求方程在特定區(qū)間內(nèi)有兩個不同的解，因此需要學(xué)生對三角函數(shù)的圖

象特性及其對稱性進(jìn)行深入分析，適合用來訓(xùn)練學(xué)生對三角函數(shù)圖象及恒等變換的綜合應(yīng)用

能力.

71

15.(1)C=-

【分析】(1)由余弦定理結(jié)合特殊角的三角函數(shù)求解即可;

(2)由正弦定理可得仍=1,再由基本不等式得到c21,然后由正弦定理得到半徑的最小值,

再求出面積即可;

【詳解】(1)^a2+b2=ab+c2,所以cosc/+/c2」

2ab2

因為Ce(O,K),所以C=%

(2)因為bcsiiU=sinC,所以必c=c,

答案第6頁，共11頁

所以=1.

由/+/=ab+H,^c2=a2+b2-ab>lab-ab=ab=\,則c之L

當(dāng)且僅當(dāng)。=6=1時，等號成立.

設(shè)V/3C外接圓的半徑為R,則嬴T=耳，則八萬，

sin§3V3

所以V/BC外接圓的面積的最小值為應(yīng)?2=].

222

16.(1儲的方程為土+匕=lg的方程為X?-匕=1

(2)1

【分析】(1)由尸片，尸區(qū),結(jié)合橢圓、雙曲線定義列方程即可求解；

(2)確定方程，聯(lián)立￡方程，求得。坐標(biāo)，即可求解.

【詳解】(1)因為附|=5+1,班卜6-1,尸百，時,所以閨閭=歷步而｝=4,

記耳(-c,0),月(c,0),則c=2.

由橢圓的定義可得，2a=忸制+|尸閶=26,。=6,8=8-P=3

由雙曲線的定義可得，2機(jī)=|尸周一|尸工|=2,m=l,〃2=c2-m2=3.

222

2

所以G的方程為y+^-=l,C2的方程為X-^-=l.

(2)由題意得/(o,G),8(-1,0),則直線的方程為廣島+收

設(shè)。(國,乂).

>=島+如，6

聯(lián)立/得獷+7》=0,所以%=一j所以必=一任

丁萬一’

7

所以⑷=

2

17.(1)證明見解析

0、3月

13

【分析】(I)由題意可證明平面BCC百〃平面//?？?，利用面面平行的性質(zhì)可得用G〃42,

答案第7頁，共11頁

同理可得44〃￡2,進(jìn)而可證結(jié)論;

_______7

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)441=人，利用4耳=2G，可求得"=],求得平面48?。

與平面ABCD的法向量，利用向量法可求得平面44Goi與平面ABCD所成二面角的正弦

值.

【詳解】(1)因為四邊形為菱形，所以3C///。，

又ADu平面AXADDX,BC(X平面AtADDt,

所以8C〃平面AlADDl,

又BBJ/AA1,/4€=平面4力。，,84(/平面4/。2，所以A8"/平面44Q2，

因為84nBe=8,BB],BCu平面BCCB，所以平面5CC百〃平面，/?？?，

因為平面4B￡Q口平面BCCRi=BC，平面Q平面AXADDX=AXDX,

所以呂C"/4A，

同理可得4月//￡。，所以四邊形44G2為平行四邊形.

(2)由題意得=2,NC=2行.以菱形/BCD的中心O為坐標(biāo)原點，

OB,OC的方向分別為X/軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。孫z,

因為四邊形4片42為平行四邊形，所以藕=方高，

則(1,6,2-力=(1,6/-5),所以2T=心5,得h=；,

所以藕=[1,6,-|),病=[-1,6,；；

答案第8頁，共11頁

設(shè)平面481GA的法向量為々=（x/,z）,

則AXBX?〃1=(),AXDX?勺=0,

x+-~z—0,

即《

-x+y[^>y+~z—0,

令z=2,得=(3,0,2).

易知平面45C。的一個法向量為0=（0,0,1）,

2_2岳

貝二

”COS4,%713x1-13'

所以平面AXB{CXDX與平面ABCD所成二面角的正弦值為理

25

18.(1)-,-

v799

1649

【分析】（1）根據(jù)古典概型概率及互斥事件的概率公式計算即可;

（2）根據(jù)條件概率與全概率公式計算即可;

（3）討論第次換球后甲口袋中黑球的個數(shù)為1的情況下的三種情形，構(gòu)造等比數(shù)

列計算通項公式，再由等比數(shù)列求和公式結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)證明即可.

【詳解】（1）第1次換球后甲口袋有2個黑球，即從甲口袋取出的球為白球且從乙口袋取出

的球為黑球，

則口=2河1=方2

第1次換球后甲口袋有1個黑球，即從甲、乙口袋取出的球同為白球或同為黑球，

22115

貝nl!=—x-+-x-=

133339

（2）若第2次換球后甲口袋有2個黑球，則分2種情況：

①當(dāng)?shù)?次換球后甲口袋有1個黑球時，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球；

②當(dāng)?shù)?次換球后甲口袋有2個黑球時，第2次甲、乙口袋同取白球.

答案第9頁，共11頁

2116

所以02=%X—X一_FT).X

3318?

若第2次換球后甲口袋有1個黑球，則分3種情況:

①當(dāng)?shù)?次換球后甲口袋有0個黑球時，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球；

②當(dāng)?shù)?次換球后甲口袋有1個黑球時，第2次甲、乙口袋同取白球或同取黑球；

③當(dāng)?shù)?次換球后甲口袋有2個黑球時，第2次甲口袋取黑球且乙口袋取白球.

2,2211、249

所以夕2=(1—%—Pi)x-+^1xTx7x丁+P1X1二彳.

3333J301

(3)第"次換球后，甲口袋黑球的個數(shù)為1的情況：

①若第次換球后甲口袋有2個黑球，則第"次甲口袋取黑球且乙口袋取白球；

②若第1次換球后甲口袋有1個黑球，則第〃次甲、乙口袋同取黑球或同取白球;

③若第77-1次換球后甲口袋有0個黑球，則第〃次甲口袋取白球且乙口袋取黑球.

2(1122、/221

所以為=Pn-lX~+Qn-\X\~X~+~X~1+(1一夕〃〃一1X7廠(〃T，…

3\(3、

n即n縱”=-其縱「

又因為3-卷2，所以「是3以)一卷2為首項，1為公比的等比數(shù)列，

545L5J459

19.(1)證明見解析；(2)[1,+8)

【分析】(1)求差，然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，證明構(gòu)造的函數(shù)恒大于零即可；

(2)構(gòu)造函數(shù)"(尤basinZ-Ycosx,然后利用端點分析得到a21才可能滿足條件，然后

再去判斷其充分性即可.

【詳解】(1)令函數(shù)A(x)=