平面解析幾何-2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)易錯重難提升【新高考版】（含解析）

(8)平面解析幾何

2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)易錯重難提升【新高考版】

易混重難知識

1.兩條直線平行與垂直的判定：設(shè)兩條直線44的斜率分別為勺，

(1)/]〃4O勺=%2；(2)4，4O不2=-1.

2.直線的方程：

=

(1)點斜式：Jok(x-xo).(2)斜截式：y=kx+b.

(3)兩點式：——=~.(4)截距式：—+—=1(<27^0,Z?7^0).

%一%馬一玉ab

(5)一般式：Ax+By+C=Q(A,3不同時為0).

3.直線的交點坐標與距離公式

①一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組++,若方程組有唯一解，則兩

i

yA1x-rB2y+C2=0

條直線相交，此解就是交點的坐標；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平

行.

22

②兩點<(芭，/),4(%，y2)間的距離公式I明1=^-xj+(y2-yj.

③點到直線的距離：點々(/，為)到直線/：上+為+c=o的距離d=心+聯(lián)：。

A/A2+B2

④兩條平行直線間的距離：若直線k，4的方程分別為k-.Ax+By+C^Q,l2:Ax+By+C2=Q,

則兩平行線的距離d=尸一卬.

VA2+B2

4.判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法：

(1)代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：A>0=相交，A<0=相

離，A=0=相切.

(2)幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑廠的大小)：設(shè)圓心到直線的距離為d,則

相交，d>r。相離，d=r=相切.

5.圓與圓的位置關(guān)系：設(shè)圓&半徑為心圓。2半徑為攻

圓心距與兩圓半徑的關(guān)系兩圓的位置關(guān)系

1。。2IV「為1內(nèi)含

101021=1/I-1內(nèi)切

引<002<4+馬|相交

|。。2R…?外切

|002因4+4?外離

6.橢圓的方程與簡單幾何性質(zhì)

焦點在X軸上焦點在y軸上

2222

標準方程餐+3=1(。>6>0)=+2=1(。”>。)

abab

一般方程AX2+B/=1(A>0,B>0,A^B)

焦點坐標耳(-c,0),工(c,0)￡(0「c),月(0?

^(-0,0),A,(a,0)4(0,-a),4(0,a)

頂點坐標

4(0,詢也(。,份4(——0),與(瓦。)

范圍|x|Wa,\y\<b|x|Wb,\y\<a

長軸長144|=2a

「.|=2b

短軸長

焦距WKI=2c

e=-=.l—^-(0<e<l)，

離心率a\a

e越接近于1,橢圓越扁；€越接近于0,橢圓越圓

7.雙曲線的幾何性質(zhì)

焦點在X軸上焦點在y軸上

2222

標準方程—7-7^-=1(^>0,Z?>0)A一2=1(。>0,Z?>0)

abab

焦點坐標-(-c,0)，K(c,0)耳（0「C），K（O?

頂點坐標A(-a,0),4(a,0)4(0,-a),4(0,a)

范圍\x\>a\y\>a

對稱性關(guān)于X軸、y軸對稱，關(guān)于原點對稱

實、虛軸長實軸長為2a,虛軸長為2b

離心率雙曲線的焦距與實軸長的比e=￡

a

一x

漸近線方程y=+—x

ab

8.拋物線的幾何性質(zhì)

標準方程y2=2Px(p>0)y2=-2px(p>0)x2-2py(p>0)x2=-2py(p>0)

范圍%>0,yeRx<0,yGR%eR,y>0%eR,y<0

pPp

準線x=----x=—y=y=

22-22

隹占g,0)(4,0)(o,g（0，-9

八、、八、、

對稱性關(guān)于X軸對稱關(guān)于y軸對稱

頂點(0,0)

離心率e=l

ppp7“

焦半徑長%+5F+萬

焦點弦長%+%]+p-(%+xJ+p坊+y+P-(%+x)+p

易錯試題提升

1.過點（-1,2）且與直線2x-3y+4=0垂直的直線方程為（）

A.3%+2y+7=0B.3x+2y—1=0

C.2x-3y+5=0D.2x—3y+8=0

2.在平面直角坐標系xOy中，已知A是圓&：/+（,_3）2=I上的一點，B,。是圓

。2：（%-4）2+；/=4上的兩點，則/BAC的最大值為（）

A.-B.-C.-D.—

6323

22

3.已知雙曲線c：三-方=l（q>0,6>0）的離心率為2,左、右焦點分別為qF2,6到漸近

線的距離為3,過尸2的直線/1%軸，與雙曲線C的右支交于A,5兩點，則的面積為

（）

A.9B.24C.36D.72

2

4.已知R為橢圓C：］+y2=i的右焦點，P為。上一點，。為圓加"2+（”4）2=1上一點，

則|PQ|-忱刊的最小值為（）

-2-\/62>/6C—5+2^/^D.-7+2^/^

5.已知拋物線C：y2=8%的焦點為尸,5（-1,4）,點尸（孫”）是拋物線C上一動點,^\\AP\+m

的最小值是（）

A.3B.5C.7D.8

6.已知橢圓C:1+g=l的左右焦點為耳，F(xiàn)2,P為橢圓C上一點，NPFB弋,則耳月

的面積為（）

A.A/3B.lC.3D.2相

7.已知拋物線C：9=8%的焦點為R過點R作兩條互相垂直的直線4，小且直線&分

別與拋物線C交于A,3和。，E,則四邊形AD3E面積的最小值是（）

A.32B.64C.128D.256

8/是雙曲線c：二-匕=l（a>0,>>0）的左焦點，。是坐標原點，直線丫=且％與雙曲線C

?b-3

的左、右兩支分別交于P,Q兩點，且|FO|=|尸耳，則雙曲線的離心率為（）

A.0+1B.后+iC.且±1D.走±1

33

22

9.（多選）已知橢圓c：斗+斗=l（a>>>0）的左、右焦點分別為耳，F(xiàn),上頂點為8（0,加），

ab

離心率為也，若M,N為C上關(guān)于原點對稱的兩點，則（）

2

AC的標準方程為X+d=i

42

419

B------+------>—

I阿R|-4

C-kBM,kBN=-g

D.四邊形MF{NF2的周長隨MN的變化而變化

10.（多選）已知。為坐標原點，點R為拋物線C：V=4x焦點，點P（4,4）,直線

/:尤=72+1交拋物線C于A,3兩點（不與尸點重合），則以下說法正確的是（）

A.|M|>1

B.存在實數(shù)粗，使得NA03（巴

2

C.若赤=2萬，貝1]〃，=土變

J4

D.若直線以與的傾斜角互補，則加=—2

11.已知圓。:爐+產(chǎn)―4%+2緲+3=。關(guān)于直線x+2y-6=0對稱，圓C交y于A,3兩點，則

---

12.已知拋物線C：>2=8%的焦點為R/（4,0）,過點M作直線x+（a-耳-2=0的

垂線，垂足為。，點P是拋物線C上的動點，則歸刊+|PQ|的最小值為_____________..

13.已知橢圓C:三+斗=1（">>>0），。的上頂點為A,兩個焦點為片，F(xiàn)2,離心率為L過￡

ab2

且垂直于A月的直線與C交于。，E兩點，△"火的周長是13,貝1||。同=.

22

14.已知雙曲線0：1—4=1（?！?]〉0）的離心率為夜,右焦點為F（2,0）.

-27c2

（1）求雙曲線c的標準方程.

(2)過點R的直線/與雙曲線C的右支交于A,3兩點，在無軸上是否存在點P,使得

麗.而為定值?若存在.求出該定值；若不存在，請說明理由.

15.已知橢圓￡■：二+匕=i(q>b>0)的離心率為更，A、C分別是E的上、下頂點，B,D分

a-b-3

別是E的左、右頂點，|AC|=4.

(1)求E的方程；

(2)設(shè)尸為第一象限內(nèi)E上的動點，直線PD與直線交于點直線以與直線y=-2交

于點N.求證：MN//CD-

答案以及解析

1.答案：B

解析：直線2x—3y+4=0的斜率為：，

所以與直線2x-3y+4=0垂直的直線斜率為-9,

故由點斜式可得y—2=—T(x+1)，即3無+2y—1=0,

故選：B.

2.答案：B

解析：由點A是圓C]：/+(y—3)2=1上的一點，B,C是圓4了+丁2=4上的兩點,

可得圓心C](0,3),C2(4,0),半徑彳=1,r2=2,

根據(jù)題意，當(dāng)點A與圓的距離最短時，且過A與圓。2：(%-4)2+V=4相切時，

此時/BAC取得最大值,此時|AC21mhi=|CC|—1=432+42—1=4,

nJMsinZBAC=-=-,所以/癡。2=巴，所以N3AC=巴.

242263

故選：B.

e=%=2卜=6

解析：由題知，設(shè)雙曲線的焦距為2c，則b=3,解得b=3,

a2+b2=c2c=2相

.??雙曲線C：；—！=1，耳'2百,0),每(260).

22

將%=2指代入C：A-巳=1,解得y=±3指,二|陰=6一，

的面積為gEK|.|AB|=gx46x6G=36.

故選：C.

4.答案：D

解析：如圖，由題可知，圓M的圓心坐標為（0,4）,半徑為1,

設(shè)橢圓C的左焦點為E,即后卜2也0）,

則|PQ|—|P司=|PQ|—（2a—|尸目）=|P0+1—6,

故要求|PQ|-|P目的最小值，即求|PQ|+|P￡|的最小值，

所以|PQ|+|五目的最小值等于|ME|-1=78+16-1=2#-1,

即|P2|-|PF\的最小值為_7+2指，

故選：D.

5.答案：A

解析：由題意得網(wǎng)2,0）,

由拋物線焦半徑公式可知，加=歸同-2,

故|AP|+m=|AP|+|尸青-2,顯然連接AR與拋物線交點為「，

此時|AP|+|PF|取得最小值,即當(dāng)A,P,尸三點共線時,|AP|+附最小,

最小值為\AF\=J（-l_2）2+（4-0）2=5，

故|人耳+機=|/1?|+歸目-2的最小值為3.

故選：A

6.答案：A

解析：由題意得，=4-3=1,解得c=l,

由橢圓定義可得|?制+戶閭=4,閨囚=2,

由余弦定理得cos/P耳片」PR:閨9勾，

2附IM用

因為歸閭=4—戶用，/PFE.，

所以爪謂也型=g解得冏=2，

則S△呻2=；附|?閨圖sinN尸耳耳=qx2x2x*=^.

故選：A.

7.答案：C

解析：由題意拋物線的焦點為尸（2,0）,顯然[斜率存在且不為°，

設(shè)直線6方程為y=A（x-2）,設(shè)4（再,%）,B（x2,K）＞由A"2），得

[y=8%

左2龍2_（4左之+8）龍+4左2=o

QQ

則%+%=4+正，BP\AB\=X1+X2+4=8+—,

設(shè)直線4的方程為丁=-工（%-2），設(shè)。（毛，%），。（%4，、4）

k

貝(J尤3+乙=4+8左2,即|6|=項+2+4=8+8左2,

418+部8+/1

.-.S=^\AB\\CD\8k2)=322+k2+x——=128,當(dāng)且僅當(dāng)

2"2+2版k2

7

k2』，即左=±i時等號成立.

K

故選：C.

8.答案：C

解析：因為直線y=YE%與雙曲線C的左、右兩支分別交于P,。兩點,

3

所以/。。E=4?0/=30°，

因為歸0|=|尸同=c,所以/FPO=/POP=30°，

所以/0/7=120。，

過尸作尸G,%軸于點G,在Rt△尸產(chǎn)G中，|PF|=c，ZPFG=60°，

所以|FG|=gc，|PG|=V3

——c

2

所以點P的坐標為1-3c,-"c1,

122J

22

因為點尸在雙曲線。：=-3=1（口＞0,。＞0）上，

cib

93

2C2

以

所-c-

44化間得—3a=2=4a%2'

一-

2

所以9(。2-/)c_3a2c2=4/伍2-,整理得9c4_16a2c2+4,=。，

所以9e4—16e2+4=0,所以e?=.士^⑹-4x4x9=8±2/,

189

因為e〉l，所以/_8+25_(S+1),所以e=也土1,

-=~3

故選：C

9.答案：ABC

解析：由題意得，上頂點為僅0,0)，離心率為Y1,故6=c=B"2,

2

故C的標準方程為看+廿=1，顯然A正確,

42

連接摩，NF2,由對稱性得用=|A*|,

結(jié)合橢圓的定義得|5|+|N用=I孫I+pw閭=2a=4,

引)〉工(4+1+2M.%)-2,

故％嬴+|附環(huán)四時)少+1+"+1可)-4(VRIRI4

當(dāng)且僅當(dāng)|摩|=|,|八圜=\時取等，故B正確，

22

設(shè)/(%,%),N(-%,-%),而上+2^_=i，故端=4-2%2,

故%=3,凝”段1

故須M=工^-7=支?^2"2,故C正確,

4一2%2

玉)%0%02

易知四邊形幽N區(qū)的周長為打庫|+|八*|+|川用+|N國=8，為定值，故D錯誤.

故選：ABC.

10.答案：ACD

解析：由已知，拋物線c：>2=4%，."=2,告=1，焦點打1,0）,

不妨設(shè)為A（X，yJ，*々,%），設(shè)43到準線的距離分別為應(yīng)，dB，

對于A,?.?由標準方程知，拋物線頂點在原點，開口向右，為20，

由拋物線的定義|E4|=Z=X]+5=Xj+121，故選項A正確；

對于B,~4x消去x,化簡得9_4沖—4=0（八>0），

x=my+1

222

則%+%=4掰，乂%=-4,；尸=4%，...x=2L，=

416

,.,04=（玉，％）,。5=（%2，%），OA-OB—xrx2+yxy2=1一4二一3<0，

cosNAOB=cos[OA,OB^=答?崗<0,ZAOB>]，

二.不存在實數(shù)如使得4403〈巴，選項B錯誤；

2

對于C,AF=（1-^,-^）>FB=（X2-l,y2），

?.?衣=2麗，乂）=2（/-1，%）=（2尤2-2,2%），=2%

又;由選項B判斷過程知其+%=4加，x%=-4，

解得X=2A/^,y2=—A/2?加=或％=—,y2=^2>m=—，

44

,若衣=2而，則根=土也，選項C正確；

4

對于D,由題意，石片4,%力4,%/4,%力4，

直線以與尸3的傾斜角互補時，斜率均存在，且左以=-4網(wǎng)，

.??二=一匚，代入斗=豆，/=反，化簡得%+%+8=0，

1

Xj-4X2-444

由選項B的判斷知，yl+y2=4m,.-.4m+8=o>

.,.加=—2，故選項D正確.

1L答案：2

解析：圓+y2-4x+2〃y+3=0,(x-2)2+(y+a)2=a2+1圓心C(2,-〃)，半徑

r=V?2+1，

因為圓C關(guān)于直線x+2y-6=0對稱，所以2+2x（-a）-6=0，解得。=—2,

所以（x-2『+（y-2『=5，圓心C（2,2）,半徑廠=6，

則圓心C（2,2）到y(tǒng)軸的距離d=2,所以|陰=24—解=2.

故答案為：2

12.答案：。

2

解析：由%+,_君））_瘋?_2=0得。卜_6）+%_6》_2=0，

所以直線x+（a——底—2=0過點A3,6）.

連接AM,則｝=2，由題意知點。在以AM為直徑的圓上,

設(shè)Q（x,y），所以點Q的軌跡方程為卜-|J+卜-咚1=1（不包含點卜,6））,

記圓口-2丫+心_旬=i的圓心為J2,回，過點Q,P,N分別作準線％=—2的垂線,

I2M2JI22J

垂足分別為3,D,S,連接。。，則

|PF|+|PQ|=\PD\+\PQ\>\DQ\>|QB|>|NS|-1=|+2-1=y,當(dāng)且僅當(dāng)3,P,Q,N四點共線

且點。在PN中間時等號同時成立，所以歸目+|PQ|的最小值為2.

故答案為：11.

2

13.答案：6

解析：如圖，連接4耳，DF2,EF2,

2a2

所以"2=1—C2=302,

因為|/闿=|A閭=a=2c=|耳閭，所以為等邊三角形,

又QE1A6,所以直線DE為線段A片的垂直平分線，

所以AD=D鳥，AE=附，

則△4￡）￡的周長為1A0+I/歸1+1。石1=

\DF2\+\EF2\+\DE\^\DF2\+\EF2\

”13

=4a=13=〃=—，

4

13

..c——，

8

而/班K=30°，所以直線DE的方程為y=7(%+c)'

22

代入橢圓。的方程工+工=1，得13f+Sex-32c2-0，

4c23c2

Qr32c2

設(shè)。EK，%），則%+%=一三"ML"，

所以DE=J1+；］］（石+九2『-4匹馬'4%8c丫/(32c2)]48c

-----4義----------

13J(13)\13

故答案為：6.

14.答案：（1）H_f=i

22

（2）見解析

aa=-72,

解析：（1）由題意可得c=2,解得＜

b=0,

c2=a2+b2,

則雙曲線C的標準方程為X—2i=i.

22

（2）由題意可知直線/的斜率不為0,設(shè)直線/:%=加丁+2,A（5,yJ,川玉，％），P（xo,O）,

x=my+2

聯(lián)立fy2_,整理得(m2—1)y2+4〃2y+2=0,

三工一

則4m2

因為？A=（玉一九0,乂）,~8=（%2-%0，%），所以

西?麗=(玉-%)(%一%)+Xy2=(7孫+2-/)(叼2+2-/)+Xy2

=(〃/+1)%%+m(2一飛)(%+y2)+xo—4入0+4.

寸夕4m后代入上式,

2

4B——??2(irr+l)4m(2-x0)―2)瓶2—%：+4%0—2

^PAPB=+XQ-4XQ+4=

m2-11m2-11m2—1

若麗?