2024年人教版初中九年級數(shù)學(xué)上冊同步講義：點、直線、圓與圓的位置關(guān)系（學(xué)生版）

第22課點'直線'圓與圓的位置關(guān)系

課程標(biāo)準(zhǔn)

(1)理解點與圓的位置關(guān)系由點到圓心的距離決定；會畫三角形的外接圓，熟識相關(guān)概念.

(2)理解直線與圓的各種位置關(guān)系，會用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系；

(3)了解兩個圓相離(外離、內(nèi)含)，兩個圓相切(外切、內(nèi)切)，兩圓相交，圓心距等概念.理解兩圓的位

置關(guān)系與d、n、n等量關(guān)系的等價條件并靈活應(yīng)用它們解題.

知識點01點和圓的位置關(guān)系

1.點和圓的三種位置關(guān)系：

由于平面上圓的存在，就把平面上的點分成了三個集合，即圓內(nèi)的點，圓上的點和圓外的點，這三類點各

具有相同的性質(zhì)和判定方法；設(shè)。。的半徑為r,點P到圓心的距離為d,則有

(1)點P在圓內(nèi)OO

⑵點P在圓上OO

(3)點P在圓外。。

2.三角形的外接圓

經(jīng)過三角形的的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形的交點,

叫做三角形的,三角形的外心到三角形的距離相等.

【注意】

(1)點和圓的位置關(guān)系和點到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知

道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系；

(2)的三個點確定一個圓.

知識點02直線和圓的位置關(guān)系

1.直線和圓的三種位置關(guān)系：

⑴相交：直線與圓有時，叫做直線和圓相交.這時直線叫做圓的.

(2)相切：直線和圓有時，叫做直線和圓相切.這時直線叫做圓的,唯一的公共點叫做.

(3)相離：直線和圓時，叫做直線和圓相離.

2.直線與圓的位置關(guān)系的判定和性質(zhì).

直線與圓的位置關(guān)系能否像點與圓的位置關(guān)系一樣通過一些條件來進(jìn)行分析判斷呢？

由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(圓心)

的位置關(guān)系.下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與

圓心的距離大于半徑.

如果。。的半徑為r,圓心。到直線/的距離為d,那么

⑴直線1和e。相交=；

⑵直線1和e。相切o；

(3)直線1和e。相離O；

這三個命題從左邊到右邊反映了直線與圓的位置關(guān)系所具有的性質(zhì)；從右邊到左邊則是直線與圓的位置關(guān)

系的判定.

知識點03圓和圓的位置關(guān)系

1.圓與圓的五種位置關(guān)系的定義

兩圓外離：兩個圓沒有公共點，且時，叫做這兩個圓外離.

兩圓外切：兩個圓,并且除了這個公共點外，每個圓上的點都在另一個圓的時，叫做這兩

個圓外切.這個唯一的公共點叫做切點.

兩圓相交：兩個圓有時，叫做這兩圓相交.

兩圓內(nèi)切：兩個圓，并且除了這個公共點外，一個圓上的點都在另一個圓的時，叫做這兩

個圓內(nèi)切.這個唯一的公共點叫做切點.

兩圓內(nèi)含：兩個圓,且一個圓上的點都在另一個圓的時，叫做這兩個圓內(nèi)含.

@eQ?(

外離外切

相交

◎

內(nèi)切內(nèi)含同心圓

2.兩圓的位置與兩圓的半徑、圓心距間的數(shù)量關(guān)系：

設(shè)。01的半徑為口，半徑為必兩圓心OQ2的距離為d,貝U：

兩圓外離O__________

兩圓外切O

兩圓相交O

兩圓內(nèi)切。__________

兩圓內(nèi)含O__________

【注意】

(1)圓與圓的位置關(guān)系，既考慮它們公共點的個數(shù)，又注意到位置的不同,若以兩圓的公共點個數(shù)分類,

又可以分為：相離(含外離、內(nèi)含)、相切(含內(nèi)切、外切)、相交；

(2)內(nèi)切、外切統(tǒng)稱為相切，唯一的公共點叫作切點；

(3)具有內(nèi)切或內(nèi)含關(guān)系的兩個圓的半徑不可能相等，否則兩圓重合.

考法01點與圓的位置關(guān)系

【典例1］已知。。的半徑為2a”，點尸到圓心。的距離為4C",則點尸和。。的位置關(guān)系為（）

A.點尸在圓內(nèi)B.點尸在圓上C.點尸在圓外D.不能確定

【即學(xué)即練】已知。。的半徑是4,OP=1,則點P與。O的位置關(guān)系是（）.

A.點P在圓內(nèi)B.點P在圓上C.點尸在圓外D.不能確定

【典例2】已知。。的半徑為3cm,點尸在。。內(nèi)，則。尸不可能等于（）

A.1cmB.1.5cmC.2cmD.3cm

【即學(xué)即練】已知。。的半徑為5cm,P為。。外一點，則OP的長可能是（）.

A.6cmB.4cmC.3cmD.5cm

考法02直線與圓的位置關(guān)系

【典例3］己知。。的半徑是7cm,點。到同一平面內(nèi)直線/的距離為6.9cm,則直線/與。。的位置關(guān)系

是（）

A.相交B.相切C.相離D.無法判斷

【即學(xué)即練】已知一條直線與圓有公共點，則這條直線與圓的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相切C.內(nèi)交D.相切或相交

【典例4】已知圓與直線有兩個公共點，且圓心到直線的距離為4,則該圓的半徑可能為（）

A.2B.3C.4D.5

【即學(xué)即練】RtAABC中，ZC=90°,AC=6,AB=10,若以點C為圓心r為半徑的圓與42所在直線相

交，則廠可能為（）

A.3B.4C.4.8D.5

考法03三角形的外接圓

【典例5】如圖，△ABC是。。的內(nèi)接三角形，若NQ4C=20。，則N3=（）

A

A.40°B.60°C.70°D.80°

【即學(xué)即練】如圖，。。是等邊△ABC的外接圓，若A5=3,則。。的半徑是（）

A，1

B.4

3

【典例6】如圖，sinA=-,BC=6,則MBC外接圓的直徑為（）

A.8B.10C.4D.5

【即學(xué)即練】如圖，△ABC的外接圓半徑為8,ZACB=60°,則AB的長為（）

A.85/3B.4石C.6D.4

考法04圓與圓的位置關(guān)系

【典例7】如果兩圓的直徑分別為6和14,圓心距為4,那么這兩圓的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)含B.內(nèi)切C.相交D.外切

【即學(xué)即練】及△ABC中，已知/。=90。,3。=3,4?=4,以點A、B、C為圓心的圓分別記作圓A、圓8、

圓C,這三個圓的半徑長都是2,那么下列結(jié)論中，正確的是（）

A.圓A與圓。相交B.圓3與圓。外切C.圓A與圓3外切D.圓A與圓5外離.

【典例8】如果。0］與。Q內(nèi)含，Q1Q=4,的半徑是3,那么的半徑可以是（）

A.5B.6C.7D.8

【即學(xué)即練】已知。Oi和。Ch相切，直徑為9cm,。。2直徑為4cm,則O1O2長為（）

A.5cm或13cmB.2.5cm

C.6.5cmD.2.5cm或6.5cm

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.已知。。的半徑為3cm,點A到圓心。的距離為2cm,那么點A與。。的位置關(guān)系是（)

A.點A在。O內(nèi)B.點A在。O上C.點A在。。外D.不能確定

2.已知。。的半徑為3,點尸在。。外，則。尸的長可以是（）

A.1B.2C.3D.4

3.若圓。的半徑為4,Q4=6,則符合題意的圖形可能是（）

4.半徑為5的四個圓按如圖所示位置擺放，若其中有一個圓的圓心到直線/的距離為4,則這個圓可以是

A.QOiB.QO2

5.平面內(nèi)，。。的半徑為3,若點P在。。外，則。尸的長可能為（

A.4B.3C.2D.1

6.直角三角形的兩邊長分別為16和12,則此三角形的外接圓半徑是（）

A.8或6B.10或8C.10D.8

7.。。的直徑長為10,。4為8,則點A與。。的位置關(guān)系為.

8.。。的半徑為3cm,如果圓心。到直線/的距離為d,且d=5cm,那么和直線/的位置關(guān)系是

9.如圖，在矩形ABCQ中，AB=6cm,AD=8cm,

⑴若以A為圓心，6cm長為半徑作。A（畫圖），則8、C、。與圓的位置關(guān)系是什么？

（2）若作。A,使C、。三點至少有一個點在。A內(nèi)，至少有一點在。A外，則。A的半徑，的取值范圍是

10.在中，ZC=90°,BC=4,AC=3,

（1）斜邊A8上的高為；

（2）以點C為圓心，廠為半徑作。C

①若直線A3與。C沒有公共點，直接寫出廠的取值范圍；

②若邊與。C有兩個公共點，直接寫出r的取值范圍；

③若邊AB與0c只有一個公共點，直接寫出廠的取值范圍.

題組B能力提升練

1.已知：在AABC中，ZA：ZB：NC=1：2：3,以B為圓心，8C長為半徑的08與AC邊的位置關(guān)系

A.相離B.相切C.相交D.不能確定

2.已知。。的半徑為3,圓心。到直線/的距離為5,則直線/與。。的位置關(guān)系是（

A.相離B.相交C.相切D.無法確定

3.尸、。是直線/上的兩個不同的點，且。尸=5,。。的半徑為5,下列敘述正確的是（）

A.點P在。。外

B.點。在。。外

C.直線/與。。一定相切

D.若。。=5,則直線/與。。相交

4.直角A48C,ZBAC=90°,AB=S,AC=6,以A為圓心，4.8長度為半徑的圓與直線的公共點的個

數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.不能確定

5.如圖，是。。的一條半徑，點尸是OA延長線上一點，過點尸作。。的切線尸2,點B為切點.若

PA=l,PB=2,則半徑04的長為（）

6.實驗學(xué)校的花壇形狀如圖所示，其中，等圓。。/與。。2的半徑為3米，且。。/經(jīng)過。。2的圓心已

知實線部分為此花壇的周長，則花壇的周長為（

A.4兀米B.6兀米

7.若兩個圓的半徑分別為3和4,圓心之間的距離是5,則這兩個圓的位置關(guān)系是.

8.如圖，直線AB,CO相交于點。，ZAOC=30°,圓尸的半徑為1c%,動點P在直線AB上從點。左側(cè)

且距離O點6cm處，以lcm/s的速度向右運動，當(dāng)圓P與直線CD相切時，圓心P的運動時間為s.

C

9.在RhABC中，ZC=90°,ZB=30°,。是A3上的一點，OA^m,。。的半徑為r,當(dāng)r與相滿足怎樣

的關(guān)系時，

(1)AC與。。相交?

(2)AC與。。相切？

(3)AC與。。相離?

10.如圖所示，。01和002相交于A,B兩點，過點A的直線分別交兩圓于點C,D,點M是CD的中點,

直線BM分別交兩圓于點E,F,連接CE.

⑴求證CE〃DF；

⑵求證ME=MF.

題組C培優(yōu)拔尖練

1.點尸到。。的最近點的距離為2cm,最遠(yuǎn)點的距離為7cm,則。。的半徑是()

A.5cm或9cmB.2.5cm

C.4.5cmD.2.5cm或4.5cm

2.已知。A與。8外切，OC與0A,QB都內(nèi)切，且AB=7,AC=8,BC=9,那么。C的半徑長是（）

A.12B.11C.10D.9

3.已知點。是△ABC的外心，若N8OC=70。,則NBAC的度數(shù)為（）

A.35°B.110°C.35°或145°D.35°或110°

4.已知圓a、圓Q的半徑不相等，圓a的半徑長為5,若圓。2上的點A滿足AQ=5,則圓。|與圓。2的

位置關(guān)系是（）

A.相交或相切B.相切或相離C.相交或內(nèi)含D.相切或內(nèi)含

5.圓的半徑是7cm,如果圓心與直線上某一點的距離是6.5cm,那么該直線和圓的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相切C.相交D.相交或相切

3

6.如圖，已知直線尤一3,與無軸、y軸分別交于A、B兩點，P是以C（0,1）為圓心，1為半徑的

圓上一動點，