2025年高考數(shù)學復習之冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)

2025年高考數(shù)學復習新題速遞之幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)

一.選擇題（共8小題）

1.（2024秋?靖遠縣月考）已知函數(shù)/（x）=log2（2-x）的值域是（0,+8）,則/（x）的定義域為（）

A.(-8,1)B.(-8,2)C.(1,2)D.(-8,0)

2.（2024秋?東城區(qū)校級月考）根據(jù)有關資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限/約為3361,而可觀測宇宙中

M

普通物質的原子總數(shù)N約為1085,則下列各數(shù)中與否最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：值3y0.48）

A.1088B.1078C.1068D.1058

3.(2024秋?青島月考)已知集合4={衛(wèi)丫=歷(4-x)},B={1,2,3,4,5},則()

A.{5}B.{1,2,3}C.{1,2,3,4}D.{1,2,3,4,5}

4.(2024?南開區(qū)模擬)已知a=logb2,b=log2c=(1)3,貝I]()

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.b>c>a

5.（2024?七星區(qū)校級模擬）已知實數(shù)a,b,c滿足a=（界，be==%則（

)

A.B.C.c<a<bD.c〈b〈a

6.(2024?珠海模擬)已知〃>0且QTM,下列等式正確的是()

6

a2

ZAx?f2C/-3=C/--6JB-/?-Q-aCv

a3

3i

C.a6+a3—a789D.a-2=

>3

7.(2024?南昌開學)已知log2m-log2〃=l,貝I()

A.mn=2B.m-n=2C.2m=nD.m=2n

8.（2024?南昌開學）算術基本定理也稱素因數(shù)分解定理，它是這樣描述的：任何一個大于1的自然數(shù)N,

可以唯一分解成有限個素數(shù)的乘積，如果不考慮這些素數(shù)在乘積中的順序，那么這個乘積形式是唯一

的.記N=pi°i>P2"2i?p/成（其中Pi是素數(shù),pi<p2<-<pk,i,蛇N*,IW/WA,4是正整數(shù)），這樣的

分解稱為自然數(shù)N的標準素數(shù)分解式，則60的標準素數(shù)分解式是（）

A.2X5X6B.22X15C.2X3X10D.22X3X5

二.多選題（共4小題）

（多選）9.（2024秋?沙依巴克區(qū)校級月考）下列命題正確的是（）

A.命題：“Wxe（1,+8）,都有7>1"的否定為"mxe（-8,i],使得/wi

B.將函數(shù)y=/（-x）的圖象向左平移1個單位得到函數(shù)-x-1）的圖象，二者值域相同

C.若基函數(shù)/（x）=/（a￡R）經(jīng)過點4，2）,則函數(shù)/（x）為奇函數(shù)，且在定義域上為減函數(shù)

D.已知a=log20.3,b=203,c=sin2,則a,b,c的大小關系為cz<c<b

（多選）10.（2024?未央?yún)^(qū)校級開學）下列運算結果為1的有（）

11_1

A.e2e4e-8B.Ig2.+lg5

21

C.83—92D.Iog23Xlog34Xlog42

（多選）11.（2024春?西湖區(qū)校級期末）圍棋是我國發(fā)明的古老的也是最復雜的智力競技活動之一.現(xiàn)代

圍棋棋盤共有19行19歹U，361個格點，每個格點上可能出現(xiàn)黑子、白子、空三種情況，因此整個棋盤

上有3361種不同的情況，下面對于數(shù)字3361的判斷正確的是（參考數(shù)據(jù)：伙3po.4771）（）

A.3361的個位數(shù)是3B.3361的個位數(shù)是1

C.3361是173位數(shù)D.3361是172位數(shù)

（多選）12.（2024秋?武漢月考）下列選項正確的是（）

A.命題‘勺苫>0,/+x+l20”的否定是Vx<0,/+x+l<0

B.滿足2,3｝的集合加的個數(shù)為4

C.已知x=/g3,y=lg5,貝!J/g45=2x+y

D.已知指數(shù)函數(shù)/（x）且aWl）的圖象過點（2,4）,則Zogaa=1

三.填空題（共4小題）

13.（2024?珠海模擬）109316=

log32

14.（2024?湖南開學）已知幕函數(shù)/（x）=（機2+機-5）;1m一1在（0,+8）上單調(diào)遞減，則機=.

11

15.（2024秋?重慶月考）若x>0,y>0,且Iog2x=log5y=/g（x+y）,則一+—=______.

“"'xy

16.（2023秋?貴陽期末）塞函數(shù)無）=（m2-2m-2）/在區(qū)間（0,+^）上單調(diào)遞增，則實數(shù)機的

值為.

四.解答題（共4小題）

17.（2023秋?福州月考）己知函數(shù)無）=/+6（a>0且aWl,6為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點P（l,5）,Q

（2,11）.

（1）求a,b的值；

（2）設函數(shù)g（無）=loga（2x+l）+logbx,求g（x）在［1,4］上的值域.

18.（2024?漳州開學）先化簡、再求值：（1一§+七"*一密，其中/+2x-13=0.

人XT"人I乙

*121+iOfls3

19.(2024春?昭通月考)(1)化簡：log49-log38+lne~+IgO.Ol+6；

tan(-1500)-cos(-5700)-cos(-1140°)

-tan(-210o)-sin(-690°)

20.(2024?靈壽縣校級開學)因式分解：

(1)4?-64；

(2)(?+2x)2-2(X2+2X)-3.

2025年高考數(shù)學復習新題速遞之幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)（2024年9

月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

1.（2024秋?靖遠縣月考）己知函數(shù)/（X）=log2（2-x）的值域是（0,+8）,則無）的定義域為（）

A.（-8,1）B.（-8,2）C.（1,2）D.（-8,o）

【考點】對數(shù)函數(shù)的定義域.

【專題】轉化思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【答案】A

【分析】結合對數(shù)函數(shù)的性質計算即可得.

【解答】解：因為/（x）的值域是（0,+8）,

所以2-尤＞1,解得尤＜1.

故選：A.

【點評】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質應用，屬于基礎題.

2.（2024秋?東城區(qū)校級月考）根據(jù)有關資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361,而可觀測宇宙中

普通物質的原子總數(shù)N約為1（）85,則下列各數(shù)中與正最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：磔心0.48）

A.1088B.1078C.1068D.1O58

【考點】對數(shù)運算求值.

【專題】轉化思想；轉化法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件，結合對數(shù)的運算性質，即可求解.

M3361

【解答】解：設;；=x=77啟，

N1085

鼻361

兩邊同時取對數(shù)可得，Igx=仞施=361⑷3-85《88,

故與U最接近的是1O88.

故選：A.

【點評】本題主要考查對數(shù)的運算性質，屬于基礎題.

3.（2024秋?青島月考）己知集合4=國〉=加（4-x）},B=（l,2,3,4,5},則（）

A.{5}B.{1,2,3}C.{1,2,3,4}D.[1,2,3,4,5）

【考點】對數(shù)函數(shù)的定義域；求集合的交集.

【專題】轉化思想；轉化法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件，結合交集的定義，即可求解.

【解答】解：集合A={尤|y=/w（4-x）]=[x\x<4},B=[1,2,3,4,5},

則ACB={1,2,3}.

故選：B.

【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題.

4.（2024?南開區(qū)模擬）已知a=log四2,b=log2c-（1）3,則（）

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.b>c>a

【考點】對數(shù)值大小的比較.

【專題】轉化思想；轉化法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【答案】c

【分析】根據(jù)已知條件，結合指數(shù)、對數(shù)的運算性質，即可求解.

【解答】解：a=log^2>log^y/3=1,

b=log2與<log21=0,

Q<c=

故a>c>b.

故選：C.

【點評】本題主要考查指數(shù)、對數(shù)的運算性質，屬于基礎題.

5.（2024?七星區(qū)校級模擬）已知實數(shù)a,b,c滿足a=

A.b<a<cB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a

【考點】對數(shù)值大小的比較.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【答案】B

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.

【解答】解：

i5i1i

0<(^)3<(^)e<(A)°=1,：.o<a<b<l,

.(》c—[c=log匿>logi^=L

：?a〈b〈c.

故選：B.

【點評】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質，屬于基礎題.

6.(2024?珠海模擬)已知〃>0且下列等式正確的是()

A/23=6B--n2

a3

3i

C.a6+a3—c^D.a~2--=

一

【考點】有理數(shù)指數(shù)幕及根式化簡運算求值.

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【答案】D

【分析】ABC選，利用指數(shù)幕的運算法則判斷，。選項，由分數(shù)指數(shù)塞的定義得到。正確.

【解答】解：A選項，。>0且aWl,故/2?『=鼠2+3=4,A錯誤；

d

8選項，〃>0且“W1,故不■=Y-？=。3,3錯誤；

c選項，a+iw/,c錯誤；

311

D選項，〃>0且〃W1,故a2=—=-?=,D正確.

a2[加

故選：D.

【點評】本題主要考查了指數(shù)幕的運算性質的應用，屬于基礎題.

7.(2024?南昌開學)已知log2M-log2〃=l,貝!J()

A.mn=2B.m-n=2C.2m=nD.m=2n

【考點】對數(shù)運算求值.

【專題】轉化思想；轉化法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【答案】D

【分析】根據(jù)對數(shù)運算求得正確答案.

【解答】解：log2m-log2n=log2

所以一=2,m=2n.

n

故選：D.

【點評】本題主要考查對數(shù)的運算性質，屬于基礎題.

8.(2024?南昌開學)算術基本定理也稱素因數(shù)分解定理，它是這樣描述的：任何一個大于1的自然數(shù)N,

可以唯一分解成有限個素數(shù)的乘積，如果不考慮這些素數(shù)在乘積中的順序，那么這個乘積形式是唯一

的.idN=pial*p2a2-7n欣(其中pi是素數(shù)，pi<p2<-<pk,i,依N*,IWIWA,)是正整數(shù))，這樣的

分解稱為自然數(shù)N的標準素數(shù)分解式，則60的標準素數(shù)分解式是()

A.2X5X6B.22X15C.2X3X10D.22X3X5

【考點】有理數(shù)指數(shù)幕及根式化簡運算求值.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【答案】D

【分析】由算術基本定理直接分解即可.

【解答】解：60=4X15=22X3X5.

故選：D.

【點評】本題主要考查了新定義問題，屬于基礎題.

二.多選題(共4小題)

(多選)9.(2024秋?沙依巴克區(qū)校級月考)下列命題正確的是()

A.命題：“vxe(1,+8),都有/>i”的否定為“mxe(-口，使得/wi”

B.將函數(shù)y=/(-x)的圖象向左平移1個單位得到函數(shù)-X-1)的圖象，二者值域相同

C.若幕函數(shù)/(x)=/經(jīng)過點4，2),則函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，且在定義域上為減函數(shù)

D.已知a=log20.3,b=203,c=sin2,則a,b,c的大小關系為a<c<b

【考點】求幕函數(shù)的解析式；對數(shù)值大小的比較；求全稱量詞命題的否定；函數(shù)的圖象與圖象的變換.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【答案】BD

【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題可判斷A，根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律可判斷8,根據(jù)

辱函數(shù)的性質可判斷C,根據(jù)對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)的性質可判斷D

【解答】解：對于A,命題：“Vxe(1,+8),都有7>1”的否定為Txe(1,+8),使得/W1”，

故A錯誤；

對于8,將函數(shù)y=/(-x)的圖象向左平移1個單位得到函數(shù)>=/[-(x+1)]=/(-X-1)的圖象,

二者值域相同，故B正確；

對于C,若幕函數(shù)/（x）=x°（o￡R）經(jīng)過點（吉，2）,

貝女》。=2,

解得a=-苗

所以/（X）=%-3=顯然函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，但是在定義域上不單調(diào)，故C錯誤；

對于。，因為。=k>g20.3<log21=0,Z?=2°-3>2O=1,0<sin2<l,

所以。<（?<6,故￡）正確.

故選：BD.

【點評】本題主要考查了命題的否定，考查了函數(shù)圖象的變換，以及募函數(shù)的性質，屬于中檔題.

（多選）10.（2024?未央?yún)^(qū)校級開學）下列運算結果為1的有（）

11_1

A.e2e4e-8B.Ig2+lg5

21

C.83—92D.Iog23Xlog34Xlog42

【考點】對數(shù)的運算性質；有理數(shù)指數(shù)募及根式化簡運算求值.

【專題】計算題；對應思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【答案】BCD

【分析】由對數(shù)運算及指數(shù)運算的性質化簡即可.

1111,115

+

【解答】解：對于選項A,62646-8=624-8=68^1,故A錯誤；

對于選項2,/g2+/g5=/gl0=l,故2正確；

21

對于選項C,83-92=4-3=1,故C正確；

對于選項￡>,log23Xlog34Xlog42=log24Xlog42=1,故Z）正確.

故選：BCD.

【點評】本題主要考查了有理數(shù)指數(shù)幕的運算性質，考查了對數(shù)的運算性質，屬于基礎題.

（多選）11.（2024春?西湖區(qū)校級期末）圍棋是我國發(fā)明的古老的也是最復雜的智力競技活動之一.現(xiàn)代

圍棋棋盤共有19行19歹！J,361個格點，每個格點上可能出現(xiàn)黑子、白子、空三種情況，因此整個棋盤

上有3361種不同的情況，下面對于數(shù)字3361的判斷正確的是（參考數(shù)據(jù)：伙3心0.4771）（）

A.3361的個位數(shù)是3B.3361的個位數(shù)是1

C.3361是173位數(shù)D.3361是172位數(shù)

【考點】對數(shù)的運算性質.

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【答案】AC

【分析】歸納推理可判斷3361的個位數(shù)字，結合對數(shù)的運算性質可判斷3361的位數(shù).

【解答】解：由31=3,32=9,33=27,34=81,3$=243,…個位數(shù)分別為3,9,7,1,3,…以4為

周期循環(huán)往復，

因為3614-4的余數(shù)為1,故3361的個位數(shù)與31的個位數(shù)相同，

即3361的個位數(shù)為3,故A正確，B錯誤;

因為這3361=361盤3七361X0.4771=172.2331,

所以3361^101722331=IO0'2331X1002,

因為ioO2331e（1,2）,

所以3361為173位數(shù)，故c正確，D錯誤.

故選：AC.

【點評】本題主要考查了對數(shù)的運算性質，考查了歸納推理，屬于中檔題.

（多選）12.（2024秋?武漢月考）下列選項正確的是（）

A.命題“ic>0,f+x+120”的否定是Vx<0,AX+KO

B.滿足2,3｝的集合M的個數(shù)為4

C.已知x=/g3,y=lg5,貝!]/g45=2x+y

D.已知指數(shù)函數(shù)/（x）=/（a>0且aWl）的圖象過點（2,4）,則/。外企=1

【考點】由指數(shù)函數(shù)的解析式求解參數(shù)；對數(shù)的運算性質；求存在量詞命題的否定.

【專題】函數(shù)思想；轉化思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；簡易邏輯；數(shù)學運算.

【答案】BC

【分析】對于A,命題的前提發(fā)生變化；對于8,求出滿足條件的集合個數(shù)即可；對于C,由題意計算

出/g45=/g5+/g9=/g5+2/g3=2x+y即可判斷；對于，先求出a,再算出=訝即可判斷.

【解答】解：對于A,存在量詞命題的否定是全稱命題，但前提條件不變，

所以命題'勺尤>0,/+x+l》O”的否定是Vx>0,/+x+l<0,

故選項A錯誤；

對于8,滿足｛1｝UMU｛1,2,3｝的集合M的個數(shù)為23-1=4,

故選項8正確；

對于C,X=lg3,y=lg5,所以lg45=Ig5+lg9=Ig5+2lg3=2x+y,

故選項C正確；

對于。，己知指數(shù)函數(shù)了（無）—ax（a>0且aWl）的圖象過點（2,4）,

所以/=4,。=2,所以/出&｝故選項。錯誤.

故選：BC.

【點評】本題考查存在性命題否定，判斷集合的子集的個數(shù)，對數(shù)的運算，指數(shù)函數(shù)的判定與求值.

三.填空題（共4小題）

13.（2024?珠海模擬）109316=4.

log32

【考點】對數(shù)運算求值.

【專題】轉化思想；轉化法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【答案】4.

【分析】利用對數(shù)運算求解.

【解答】解：等當=穿=警￡=4.

20g32log3220g32

故答案為：4.

【點評】本題主要考查對數(shù)的運算，屬于基礎題.

14.（2024?湖南開學）已知幕函數(shù)/（無）=2+機-5）的「I在（0,+8）上單調(diào)遞減，則m=-3.

【考點】募函數(shù)的單調(diào)性與最值.

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【答案】-3.

【分析】先根據(jù)函數(shù)是基函數(shù)計算求參得出相=-3或m=2,最后結合函數(shù)的單調(diào)性計算得出符合題

意的參數(shù).

【解答】解：由題意可得/（x）=（毋+機-5）0一1為幕函數(shù)，則機2+機-5=1,解得機=-3或機=2.

當m=2時，無）=尤為增函數(shù)，不符合題意；

當機=-3時，f（x）=x”在（0,+8）單調(diào)遞減，符合題意.

故答案為：-3.

【點評】本題主要考查了塞函數(shù)性質的應用，屬于基礎題.

11

15.（2024秋?重慶月考）若無>0,y>0,且Iog2x=log5y=/g（x+y）,則一+—=1.

xy

【考點】指數(shù)式與對數(shù)式的互化.

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【答案】1.

【分析】由已知結合指數(shù)及對數(shù)的轉化關系及指數(shù)的運算性質即可求解.

【解答】解：若x>0,y>0,

令log”=log5y=/g(x+y)=t,

則x=2‘，y=5‘，x+y=10'，

因為xy=2/?5f=10/=x+y,

1x+y

貝卜+-=---=1.

xyxy

故答案為：1.

【點評】本題主要考查了指數(shù)與對數(shù)的轉化關系及指數(shù)幕的運算性質的應用，屬于基礎題.

16.(2023秋?貴陽期末)塞函數(shù)/(x)=(m2-2祖-2)/在區(qū)間(0,+^)上單調(diào)遞增，則實數(shù)根的

值為3.

【考點】累函數(shù)的概念；幕函數(shù)的單調(diào)性與最值.

【專題】轉化思想；轉化法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【答案】3.

【分析】根據(jù)哥函數(shù)的定義與單調(diào)性可得出關于m的等式與不等式，即可解得實數(shù)m的值.

【解答】解：因為暴函數(shù)/(無)=(m2-2m-2)/在區(qū)間(0,+-)上單調(diào)遞增，

(m2—2m-2=1

則，解得機=3.

[m>0

故答案為：3.

【點評】本題主要考查不函數(shù)的定義，屬于基礎題.

四.解答題(共4小題)

17.(2023秋?福州月考)已知函數(shù)無)=〃+b(a>0且aWl,b為常數(shù))的圖象經(jīng)過點P(l,5),Q

(2,11).

(1)求a,b的值；

(2)設函數(shù)g(尤)=loga(2x+l)+logw,求g(x)在口，4]上的值域.

【考點】對數(shù)函數(shù)的圖象；函數(shù)的值域.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【答案】⑴6=5,a=2；

(2)[1,4].

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可得解；

(2)利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)性的加減性質即可得解.

【解答】解：(1)因為/(尤)=〃+b的圖象經(jīng)過點P(1,5),Q(2,11),

所以卜:+9=乙兩式相減得a2-a-6=0,

(a2+h=11

又〃>0且aWl,解得〃=3或-2(舍去)，則。=5,a=2；

(2)由(1)得g(x)=log3(2x+l)+10g2X,

因為函數(shù)y=log3(2x+l)在［1,4］上單調(diào)遞增，函數(shù)y=logzx在［1,4］上單調(diào)遞增，

所以g(x)在［1,4］上單調(diào)遞增，

貝!Jg(x)max=g(4)=log3(2X4+1)+log24=2+2=4,

g(x)min=g(1)=log3(2X1+1)+log21=1+0=1,

故g(x)在［1,4］上的值域為［1,4］.

【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，是基礎題.

18.(2024?漳州開學)先化簡、再求值：(1—■!)一白歲—雷，其中W+2x-13=0.

【考點】有理數(shù)指數(shù)幕及根式化簡運算求值.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【分析】利用指數(shù)幕的運算性質，結合數(shù)學公式化簡，再代入求值.

【解答】解：(1—各十三歲一第

_x—2上(X—2)_x+4

-x.(x+2)(x—2)%+2

_X—2(x+2)(x—2)x+4

一x(X-2)2X+2

_x+2%+4

-xx+2

7

_(x+2)-x(x+4)

—x(x+2)

4

X2+2X"

???/+2x-13=0,

.*.X2+2X=13,

原式=

【點評】本題主要考查了有理數(shù)指數(shù)塞的運算性質，屬于基礎題.

21+l03

19.(2024春?昭通月考)(1)化簡：log49-log38+lne~+IgO.Ol+6^6；

tan(-150°)-cos(-570°)-cos(-11400)

tan(-210°)-sm(-690°)

【考點】對數(shù)的運算性質；運用誘導公式化簡求值.

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；三角函數(shù)的求值；數(shù)學運算.

【答案】(1)17；

遮

(2)—.

2

【分析】(1)利用指數(shù)與對數(shù)運算性質運算即可得解；

(2)利用誘導公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值即可.

21+l963

【解答】解：(1)log49-log38+lne~+IgO.Ol+f,0

22log63

=log223?3log32—2lne+lgl0~+6x6

=k)g23?31og32-2-2+6X3=3-4+18=17；

tan(-150°)-cos(-570°)-cos(-11400)

-tan(-210°)-sm(-690°)

_tan(-180°+300)-cos(-5400-300)-cos(-3x3600-60°)

=tan(-180o-30°)-sin(-2x360o+30°)

_￡加30°?(一cos30°)?cos60°

——tan30°-sin30°

二4x(一里岡二后

【點評】本題主要考查了對數(shù)的運算性質，考查了誘導公式的應用，屬于基礎題.

20.(2024?靈壽縣校級開學)因式分解：

(1)4/-64；

(2)(?+2x)2-2(?+2r)-3.

【考點】有理數(shù)指數(shù)塞及根式化簡運算求值.

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【答案】(1)4/-64=4(x-4)(x+4)；

(2)(?+2x)2-2(X2+2X)-3=(x+3)(x-1)(x+l)2.

【分析】(1)結合平方差公式即可求解；(2)結合十字相乘法即可求解.

【解答】解：(1)4/-64=4(x2-16)=4(x-4)(x+4)；

(2)(JT+2X)2-2(X2+2X)-3=(x2+2x-3)(x2+2x+l)=(x+3)(x-1)(x+1)2

【點評】本題主要考查了因式分解方法的應用，屬于基礎題.

考點卡片

1.求集合的交集

【知識點的認識】

由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與8的交集，記作AAB.

符號語言：4「12={尤|尤&4,且底8}.

AC2實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素.

當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集.

運算性質：

①②AC0=0.③AnA=A.④AClBUA,AC匹2.

【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解.不能把“或”與“且”混

用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖.

【命題方向】

掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集.

已知集合4={淤2位+120},8={x|/-尤-6<0},則AC2=（）

解:因為4={底2q+1>0}=*成僅2-1},-6<0}={x|-2<x<3},

所以"B={-1,0,1,2）.

故選：D.

2.求全稱量詞命題的否定

【知識點的認識】

一般地，對于含有一個量詞的全稱命題的否定，有下面的結論：

全稱命題P：VxeM,p（X）它的否命題r°：BX0E.M,rp（xo）.

【解題方法點撥】

寫全稱命題的否定的方法：（1）更換量詞，將全稱量詞換為存在量詞，即將“任意”改為“存在”；（2）

將結論否定，比如將“〉”改為“W”.值得注意的是，全稱命題的否定的特稱命題.

【命題方向】

全稱量詞命題否定的求解在代數(shù)和幾何中廣泛存在.例如，代數(shù)中關于實數(shù)性質的全稱命題的否定，幾何

中關于圖形性質的全稱命題的否定等.這類題型要求學生能夠靈活運用邏輯思維進行否定命題的改寫和判

斷.

寫出命題“V尤ez,|x|6N"的否定：.

解：因為特稱命題的否定為全稱命題，

所以命題“wxez,|x|eN”的否定是Fxez,|尤|硒命

故答案為：BxGZ,|x|gN.

3.求存在量詞命題的否定

【知識點的認識】

一般地，對于含有一個量詞的特稱命題的否定，有下面的結論：

特稱命題p：BXOEM,p（X0）它的否命題r/7：yjX&M,rp（無）.

【解題方法點撥】

寫特稱命題的否定的方法：（1）更換量詞，將存在量詞換為全稱量詞，即將“存在”改為“任意”；（2）

將結論否定，比如將“〉”改為“W”.值得注意的是，特稱命題的否定的全稱命題.

【命題方向】

存在量詞命題否定的求解在代數(shù)和幾何中廣泛存在.例如，代數(shù)中關于方程解的存在性命題的否定，幾何

中關于圖形性質的存在性命題的否定等.這類題型要求學生能夠靈活運用邏輯思維進行否定命題的改寫和

判斷.

寫出下列存在量詞命題的否定：

（1）某箱產(chǎn)品中至少有一件次品；

（2）方程/-8x+15=0有一個根是偶數(shù)；

（3）SxGR,使7+x+lWO.

解：（1）某箱產(chǎn)品中都是正品；

（2）方程--8X+15=0每一個根都不是偶數(shù)；

（3）VA￡R,使/+尤+1>0.

4.函數(shù)的值域

【知識點的認識】函數(shù)值的集合（/'（無）|XCA｝叫做函數(shù)的值域.A是函數(shù)的定義域.

【解題方法點撥】（1）求函數(shù)的值域

此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法

等.

無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域.

（2）函數(shù)的綜合性題目

此類問題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識相結合的題目.

此類問題要求考生具備較高的數(shù)學思維能力和綜合分析能力以及較強的運算能力.

在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強.

（3）運用函數(shù)的值域解決實際問題

此類問題關鍵是把實際問題轉化為函數(shù)問題，從而利用所學知識去解決.此類題要求考生具有較強的分析

能力和數(shù)學建模能力.

【命題方向】函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點內(nèi)容之一，有時在函數(shù)與導數(shù)的壓軸題中出現(xiàn),

是?？碱}型.

5.函數(shù)的圖象與圖象的變換

【知識點的認識】

函數(shù)圖象的作法：通過如下3個步驟（1）列表；（2）描點；（3）連線.

解題方法點撥：一般情況下，函數(shù)需要同解變形后，結合函數(shù)的定義域，通過函數(shù)的對應法則，列出表格，

然后在直角坐標系中，準確描點，然后連線（平滑曲線）.

命題方向：一般考試是以小題形式出現(xiàn)，或大題中的一問，常見考題是，常見函數(shù)的圖象，有時結合函數(shù)

的奇偶性、對稱性、單調(diào)性知識結合命題.

圖象的變換

1.利用描點法作函數(shù)圖象

其基本步驟是列表、描點、連線.

首先：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質（奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性

等）.

其次：列表（尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等），描點，連線.

2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

（1）平移變換：

y=f（x）a>0,右移a個單位（a<0,左移⑷個單位）=>y=/（x-a）；

y=f（x）b>0,上移6個單位（/?<0,下移|6|個單位）=>y=/（尤）+b.

（2）伸縮變換：

0<d<l>伸長為原來對倍

--------------------------------f~>

y=f（x）3,縮短法來叱尸”3尤）；

y=/（x）A>1,伸為原來的A倍（0<4<1,縮為原來的A倍）=尸4/（尤）.

（3）對稱變換：

y=f(無)關于x軸對稱=>y=-f(尤)；

y=/(無)關于y軸對稱今y=/(-無)；

y=f(x)關于原點對稱=>y=-/(-x).

(4)翻折變換：

y=/(x)去掉y軸左邊圖，保留y軸右邊圖，將y軸右邊的圖象翻折到左邊ny=/(|x|)；

y=/(無)留下x軸上方圖將x軸下方圖翻折上去y=|/1(尤)|.

【解題方法點撥】

1、畫函數(shù)圖象的一般方法

(1)直接法：當函數(shù)表達式(或變形后的表達式)是熟悉的基本函數(shù)或解析幾何中熟悉的曲線時，可根

據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作出.

(2)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作

出，但要注意變換順序，對不能直接找到熟悉函數(shù)的要先變形，并應注意平移變換與伸縮變換的順序對變

換單位及解析式的影響.

(3)描點法：當上面兩種方法都失效時，則可采用描點法.為了通過描少量點，就能得到比較準確的圖

象，常常需要結合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質討論.

2、尋找圖象與函數(shù)解析式之間的對應關系的方法

(1)知圖選式：

①從圖象的左右、上下分布，觀察函數(shù)的定義域、值域；

②從圖象的變化趨勢，觀察函數(shù)的單調(diào)性；

③從圖象的對稱性方面，觀察函數(shù)的奇偶性；

④從圖象的循環(huán)往復，觀察函數(shù)的周期性.

利用上述方法，排除錯誤選項，篩選正確的選項.

(2)知式選圖：

①從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；

②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；

③從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.

④從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復.

利用上述方法，排除錯誤選項，篩選正確選項.

注意聯(lián)系基本函數(shù)圖象和模型，當選項無法排除時，代特殊值，或從某些量上尋找突破口.

3、(1)利有函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質

從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向

趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等.

(2)利用函數(shù)的圖象研究方程根的個數(shù)

有關方程解的個數(shù)問題常常轉化為兩個熟悉的函數(shù)的交點個數(shù)；利用此法也可由解的個數(shù)求參數(shù)值.

【命題方向】

(1)1個易錯點--圖象變換中的易錯點

在解決函數(shù)圖象的變換問題時，要遵循“只能對函數(shù)關系式中的x,y變換”的原則，寫出每一次的變換所

得圖象對應的解析式，這樣才能避免出錯.

(2)3個關鍵點--正確作出函數(shù)圖象的三個關鍵點

為了正確地作出函數(shù)圖象，必須做到以下三點：

①正確求出函數(shù)的定義域；

②熟練掌握幾種基本函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、形如>=尤+

的函數(shù)；

③掌握平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換、周期變換等常用的方法技巧，來幫助我們簡化作圖過

程.

(3)3種方法--識圖的方法

對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面來獲取圖中所提供的

信息，解決這類問題的常用方法有：

①定性分析法，也就是通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，利用這一特

征來分析解決問題；

②定量計算法，也就是通過定量的計算來分析解決問題；

③函數(shù)模型法，也就是由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題.

6.累函數(shù)的概念

【知識點的認識】

累函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y=V叫做募函數(shù)，其中尤是自變量，。是常數(shù).

P

解析式：y=xa=@

定義域：當〃為不同的數(shù)值時，塞函數(shù)的定義域的不同情況如下：

1.如果。為負數(shù)，則x肯定不能為0,不過這時函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定，即如果q為

偶數(shù)，則X不能小于0,這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù)；

2.如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù).

當x為不同的數(shù)值時，幕函數(shù)的值域的不同情況如下：

1.在X大于。時，函數(shù)的值域總是大于。的實數(shù).

2.在x小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù).

而只有。為正數(shù)，0才進入函數(shù)的值域.

由于尤大于0是對a的任意取值都有意義的.

7.求募函數(shù)的解析式

【知識點的認識】

幕函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y=/叫做幕函數(shù)，其中x是自變量，。是常數(shù).對于幕函數(shù)，我們只研究a

1

=1,2,3,-，-1時的圖像與性質.

2

【解題方法點撥】

-根據(jù)已知條件設定募函數(shù)的形式，代入已知條件，求解指數(shù)a.

-寫出塞函數(shù)的解析式，驗證解析式的正確性.

【命題方向】

題目包括辨識累函數(shù)的形式，分析幕函數(shù)的特征及應用題.

若累函數(shù)＞=/(無)的圖像過點(孝，2),則函數(shù)y=f(x)的解析式為.

解：募函數(shù)尸“無)=獷的圖像過點(孝，2),

V2

(——)a=2,

2

解得a=-2,

則函數(shù)＞=/(x)的解析式為/(x)=x~2.

故答案為：f(x)=X-2.

8.嘉函數(shù)的單調(diào)性與最值

【知識點的認識】

一、累函數(shù)定義：

一般地，函數(shù)y=/(flGR)叫做暴函數(shù)，其中X是自變量，。是常數(shù).

(1)指數(shù)是常數(shù)；

(2)底數(shù)是自變量；

(3)函數(shù)式前的系數(shù)都是1；

(4)形式都是>=/,其中。是常數(shù).

二、募函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對比

式子名稱

aXy

指數(shù)函數(shù)：y底數(shù)指數(shù)基值

=cf

幕函數(shù)：y=指數(shù)底數(shù)基值

三、五個常用事函數(shù)的圖象和性質

(1)y—x；(2)y=f；(3)y—x-,(4)y=%2；(5)>=尤

231y=x1

尸工y=xy=x

y=%2

定義域RRR[0,+8){小#0}

值域R[0,+8)R[0,+8){y|y#0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

單調(diào)性增%e[0,+8)時，增增xG(0,+8)

增時，減

xE(-8,0]xG(-0°,0)

時，減時，減

公共點(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)

四、幕函數(shù)的性質

(1)所有的幕函數(shù)在(0,+8)都有定義，并且函數(shù)圖象都通過點(1,1).

(2)如果。>0,則幕函數(shù)的圖象過點(0,0),(1,1),并在［0,+8)上為增函數(shù).

(3)如果。<0,則幕函數(shù)的圖象過點(1,1),并在(0,+8)上為減函數(shù).

(4)當。為奇數(shù)時，幕函數(shù)為奇函數(shù)，當a為偶數(shù)時，幕函數(shù)為偶函數(shù).

9.有理數(shù)指數(shù)塞及根式化簡運算求值

【知識點的認識】

根式與分數(shù)指數(shù)累

m__

規(guī)定：an—1y/a^(〃>0,m,尤N,n>l)

11*

CL”=-=——(a>0,n€N，〃>1)

annJ/a

0的正分數(shù)指數(shù)塞等于0,0的負分數(shù)指數(shù)幕沒有意義

有理數(shù)指數(shù)塞

(1)新的有關概念：

①正分數(shù)指數(shù)嘉：an=(〃>0,m,及EN*,且〃>1)；

7nli.

②負分數(shù)指數(shù)幕：a~n=~rn=(a>0,m,neN,且〃>1)；

③0的正分數(shù)指數(shù)事等于0,0的負分數(shù)指數(shù)幕無意義.

(2)有理數(shù)指數(shù)累的性質：

①〃々s=〃Ks(〃>0,r,seQ);

②(/)s=ars(。>0,r,sEQ)；

(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,rEQ).

【解題方法點撥】

mii

-利用an-—m—nj—^(〃>0,m,n€N,且九>1)進行互化.

-利用指數(shù)運算法則，taam-an=am+n.S)〃=〃儂進行化簡.

-利用根式運算法則，$D-\/a-Vb=赤=卜進行化簡.

-驗證化簡和運算結果的正確性.

【命題方向】

題目通常涉及有理數(shù)指數(shù)幕及根式的化簡和求值，結合具體問題進行運算和應用.

計算：(21)°-5-0,752+6-2x(務4=

解:Q護-0.752+6-2*(第4=[(|)2嚴_給2+嘉><[(|)3代=(|產(chǎn)。.5_(射+正》

,23X(4)_3913_47

⑺3-2-16+36X2-