2025年高考數(shù)學一輪復習：函數(shù)的對稱性

考點09函數(shù)的對稱性(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升

練+拓展沖刺練)

D1【考試提醒】

1.能通過平移，分析得出一般的軸對稱和中心對稱公式和推論2會利用對稱公式解決問

題.

di【知識點】

1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的對稱性(1)奇函數(shù)關(guān)于凰苴對稱，偶函數(shù)關(guān)于詡對稱.

(2)若/(X—2)是偶函數(shù)，則函數(shù)“X溷象的對稱軸為x=—2；若/(x—2)是奇函數(shù)，則函數(shù);(X)

圖象的對稱中心為(一2.0).

2.若函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱，則人。-x)=/(a+x)；

若函數(shù)y=/(x)滿足加一x)=~j[a+x),則函數(shù)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱.

3.兩個函數(shù)圖象的對稱

⑴函數(shù)y=/(x)與y=次-x)關(guān)于i軸對稱；

(2)函數(shù)y=/(x)與>=一/)關(guān)于x軸對稱;

(3)函數(shù)y=/(x)與y=一x)關(guān)于原點對稱.

唱【核心題型】

題型一軸對稱問題

函數(shù)歹=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱令/(X)=/(2Q—X)=/(Q+X);

,a~\~b

若函數(shù)y=/(x)滿足/(a+x)=/(b—x),則>=危)的圖象關(guān)于直線一成軸對稱.

【例題1】(2024?遼寧?一模)已知函數(shù)/(x+2)為偶函數(shù)，且當工22時,

/'(同=1。8[(--以+7),若〃。)>/3),則()

7

A.(Q+6-4)(。-6)<0B.(a+b-4)(a-b)>0

C.(a+b+4)((7-6)<0D.(a+b+4)(a-6)〉0

【答案】A

【分析】由題意判斷/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，結(jié)合當xN2時的函數(shù)解析式，判斷其

單調(diào)性，即可判斷/(x)在直線x=2兩側(cè)的增減，從而結(jié)合/(。)>/(6),可得|"2|平-2|,

化簡，即得答案.

【詳解】因為函數(shù)/(無+2)為偶函數(shù)，故其圖象關(guān)于〉軸對稱，則/(x)的圖象關(guān)于直線為=2

對稱，

當記2時，〃x)=bgJx2_4x+7),因為廣，-4x+7在[2,+◎上單調(diào)遞增且”7,

7

而V=log,在(0,+8)上單調(diào)遞減，故/(X)在[2,+◎上單調(diào)遞減，

則/(x)在(-*2]上單調(diào)遞增，

故由/(。)>/(6)可得|"2|<屹-2|,即

貝!J4-4a+4<〃-46+4,故(。+6-4)(。-6)<0,

故選：A

【變式1】(2024,四川瀘州?二模)定義域為R的函數(shù)〃x)滿足/(x+2)=f(x-2),當

x?-2,2]時,函數(shù)“力=4一/,設(shè)函數(shù)g(x)=e*T(_2<x<6),則方程-g(x)=0的

所有實數(shù)根之和為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】首先得到了3是以4為周期的周期函數(shù)，g(x)關(guān)于x=2對稱，在同一平面直角坐

標系中畫出昨g(x)與尸/(耳卜<-2,6])的圖象，數(shù)形結(jié)合判斷函數(shù)的交點，再根據(jù)對稱

性計算可得.

【詳解】因為定義域為R的函數(shù)〃x)滿足〃x+2)=/(x-2),即〃x+4)=/(x),

所以/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

又g(x)=e+T(-2<x<6),則g(4-x)=e"，。=e+T=g⑺,

所以g(x)關(guān)于x=2對稱，又g(-2)=g6=e+2T=[>(),

e

▽/、-|x-2|jex+2,2<x<6

又g(x)=e1_^，

[ex2,—2<x<2

又當2,2]時,函數(shù)/⑺=4-「2,所以/(—2)=/⑵=0,則/(6)=/(2)=0,

令/(x)-g(x)=0，即，(x)=g(x),

在同一平面直角坐標系中畫出〉=g(x)與y=/3(xe[-2,6])的圖象如下所示：

由圖可得y=g(X)與V=/'⑺(無e[-2,6])有4個交點，交點橫坐標分別為西,無2,三，Z，

且X]與匕關(guān)于x=2對稱，*2與迅關(guān)于x=2對稱，

所以無]+工4=4,無3+無2=4,

所以方程/'(x)-g(x)=0的所有實數(shù)根之和為玉+尤2+X3+匕=8.

【變式2】(2024?陜西安康?模擬預測)己知函數(shù)=公差不為0的等差數(shù)列｛%｝

的前”項和為5”.若〃％012)=/(%013)，則凡024=()

A.1012B.2024C.3036D.4048

【答案】B

【分析】先根據(jù)題中條件得到/2+-3=2,故％+%必=2,結(jié)合等差數(shù)列的前“項和公

式可得.

【詳解】由題可知函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，

因為｛。,｝的公差不為0，所以%012片％013

又因〃/2)=/(?3)，所以“助2；%。-=1,

23([+4)=2°24”+*)=,

所以?|012+。⑼3=2,故S2024=囁2024

故選：B

【變式3】(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)〃x)及其導數(shù)/'(x)的定義域為R,記

g(x)=r(x),且〃x),g(x+l)都為奇函數(shù).若/(-5)=2,則〃2023)=()

A.0B.--C.2D.-2

2

【答案】C

【分析】根據(jù)g(x)的性質(zhì)結(jié)合導數(shù)運算分析可知〃X)的圖象關(guān)于X=1對稱，結(jié)合奇函數(shù)分

析可知/(X)的周期為4,根據(jù)周期性運算求解.

【詳解】因為g(x+l)為奇函數(shù)，則g(l+x)=-g(l-x),

即g(1+X)+g(1-X)=0,可知g(x)=/(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，

可得/(l+x)+c=/(l-x)+c,即〃l+x)=/(l-x),

可知“X)的圖象關(guān)于X=1對稱，則/(x)=/(2-x),

又因為f(x)為奇函數(shù),則=,

可得/(x+4)=-/(x+2)=/(無)，可知“X)的周期為4,

所以〃2023)=〃507x4-5)=/(-5)=2.

故選：C.

題型二中心對稱問題

=

函數(shù)＞=危)的圖象關(guān)于點(。，6)對稱臺次。+x)一%)=2b齡2b~flx)fi2a—x);若函數(shù)y=

la-\~bc\

外)滿足次Q+X)+*—X)=C,則歹=於)的圖象關(guān)于點匕一，,成中心對稱.

【例題2】(2024?全國?模擬預測)設(shè)“X)是定義域為R的偶函數(shù)，且〃2x+l)為奇函數(shù).若

【答案】A

【分析】根據(jù)所給函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)周期，利用周期化簡即可得解.

【詳解】由/(2x+l)為奇函數(shù)，得/(2x+l)+/(-2x+l)=0,

得f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱,所以〃尤)=-/(2-力.

又因為是定義域為R的偶函數(shù)，所以〃x)=-〃2-x)=-/(x-2),

/(X)=-/(X-2)=/(X-4),

所以的周期為4,

【變式1】(2024?全國?模擬預測)定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足/(2-x)=-/(x),則

()

A./(x)=/(2+x)B./(-x)=〃2-x)

C./(x)=/(4-x)D.〃x-2)是奇函數(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)題中條件，可知/(2-力=一/(一x),/(2+x)=-/(-x)=-/(x),故A、B錯誤;

對于C令x=x+2,可得〃4+x)=〃x),繼而〃4-x)=〃x),C正確;對于D,/(x-2)

的圖象可由/(x)的圖象平移得到，從而得到/(x-2)的對稱中心，即可判斷D.

【詳解】因為〃2-x)=_/(x),〃x)為偶函數(shù)，

所以/(2-X)=-/(-X),/(2+X)=-/(-X)=-/(X),

所以A、B錯誤；

因為“X)是偶函數(shù)，所以/(2+切=-〃力,

所以/(4+x)=-/(x+2)=〃x),

而/(4-*)=〃-)=/(x),所以C正確;

因為〃2-x)=-J(x),

所以〃x)的圖象關(guān)于(1,0)中心對稱，

/'(x-2)的圖象可由的圖象向右平移2個單位長度得到，

則/(x-2)的圖象關(guān)于(3,0)對稱，不是奇函數(shù)，所以D錯誤.

故選：C.

【變式2】(2024,四川南充?二模)已知函數(shù)〃x)=\則函數(shù)y=〃x-l)+l的圖象()

A.關(guān)于點0,1)對稱B.關(guān)于點(-M)對稱

C.關(guān)于點(-1,0)對稱D.關(guān)于點(1,0)對稱

【答案】A

【分析】首先判斷函數(shù)=±為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)平移規(guī)則判斷即可.

X

【詳解】函數(shù)〃x)=j的定義域為{x|xwo},又/(_X)=—=_/(X),

所以/'(x)=：為奇函數(shù)，則函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于原點(0,0)對稱，

又y=/(x-l)+l的圖象是由〃x)=：的圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到，

所以函數(shù)J=+l的圖象關(guān)于點(1,1)對稱.

故選：A

【變式3】(23-24高三下?江蘇揚州?開學考試)定義在R上的函數(shù)丁=/(x)和y=g(x)的圖象

關(guān)于丁軸對稱，且函數(shù)V=/(x-2)+l是奇函數(shù)，則函數(shù)y=g(x)圖象的對稱中心為()

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(-2,1)D.(2,-1)

【答案】D

【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)的對稱性求解即可.

【詳解】由題意得函數(shù)＞="x-2)+l是奇函數(shù)，則y=/(x)關(guān)于(-2,-1)對稱，

另知函數(shù)y="X)和尸g(x)的圖象關(guān)于了軸對稱，故＞=g(x)關(guān)于(2,-1)對稱，

故選：D

題型三兩個函數(shù)圖象的對稱

b-a

函數(shù)V=/(Q+X)的圖象與函數(shù)y=/3—x)的圖象關(guān)于直線x=《一對稱.

【例題3】(2024上?北京?高二統(tǒng)考學業(yè)考試)在同一坐標系中，函數(shù)J=/(x)與昨-/(X)

的圖象()

A.關(guān)于原點對稱B.關(guān)于x軸對稱

C.關(guān)于了軸對稱D.關(guān)于直線了=》對稱

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)上點的關(guān)系即可得函數(shù)圖象的關(guān)系.

【詳解】當》=。時，了=/(。)與丁=-/(")互為相反數(shù)，

即函數(shù)y=/(x)與了=-/(x)的圖象關(guān)于x軸對稱.

故選：B.

【變式1](2024下?江蘇揚州?高三統(tǒng)考開學考試)定義在R上的函數(shù)y=〃x)和y=g(x)的

圖象關(guān)于了軸對稱，且函數(shù)＞=/(x-2)+l是奇函數(shù)，則函數(shù)＞=g(x)圖象的對稱中心為

()

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(—2,1)D.(2,-1)

【答案】D

【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)的對稱性求解即可.

【詳解】由題意得函數(shù)＞="x-2)+l是奇函數(shù)，則y=〃x)關(guān)于(-2,-1)對稱，

另知函數(shù)y=和kg(x)的圖象關(guān)于V軸對稱，故y=g(x)關(guān)于(2,-1)對稱，

故選：D

【變式2](2020上?安徽?高一校聯(lián)考期末)已知函數(shù)了=/(x-l)是定義在R上的奇函數(shù)，

函數(shù)〉=g(x)的圖象與函數(shù)了=/(%)的圖象關(guān)于直線x-＞=0對稱，那么了=g(x)的對稱中

心為()

A.(1,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(0,-1)

【答案】D

【解析】由奇函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖象的平移變換法則得出函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于(-1,0)

對稱

再根據(jù)函數(shù)〉=g(x)的圖象與函數(shù)V=/(x)的圖象關(guān)于直線x-y=0對稱，求出函數(shù)

y=g(x)的對稱中心.

【詳解】函數(shù)＞=/(x-l)是定義在R上的奇函數(shù)，則其圖象關(guān)于原點對稱

由于函數(shù)V=/(x-l)的圖象向左平移一個單位得到函數(shù)J=/(x)的圖象

貝I]函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于(-1,0)對稱

又因為函數(shù)〉=g(x)的圖象與函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x-y=0對稱

所以函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于(0,-1)對稱

故選：D

【點睛】本題主要考查了奇函數(shù)圖象的對稱性、函數(shù)圖象的平移變換以及反函數(shù)圖象的關(guān)系,

屬于中檔題.

【變式3】(2024高三?全國?專題練習)若函數(shù)y=/(x)的定義域為R,貝U函數(shù)尸危一1)與產(chǎn)

/U-x)的圖象關(guān)于直線()

A.x=0對稱B.y=0對稱C.x=l對稱D.對稱

【答案】C

【詳解】因為函數(shù)/(x—i)的圖象是/U)的圖象向右平移1個單位長度得至IJ,/(l-x)=/(-(%-

1))的圖象是/(一X)的圖象也向右平移1個單位長度得到；因為與H—x)的圖象是關(guān)于y軸

(直線x=0)對稱，所以函數(shù)y=/(x—1)與y=/(l—x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱.故選C.

B【課后強化】

基礎(chǔ)保分練

一、單選題

1.23-24高三上?寧夏銀川?階段練習)函數(shù)V=/(x)滿足對任意xeR都有〃x+2)=/(-%)

成立，函數(shù)了=/(%-1)的圖象關(guān)于點(1,。)對稱，且/(1)=4,貝U

/(2018)+/(2019)+/(2020)=()

A.-4B.0C.4D.8

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及周期性，逐步轉(zhuǎn)化計算，即可得到本題答案.

【詳解】因為函數(shù)N=〃x-1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，

所以函數(shù)＞=/(x)的圖象關(guān)于(0,0)對稱，即＞=為R上奇函數(shù)，

所以/(r)=-/(x),且"0)=0,

又因為“X+2)=/(-X)=_/(x),所以+4)=-f(x+2),

所以/(x+4)=〃x),則y=/(x)的周期為4,

因為〃x+2)=/(r),令x=0得，/(2)=/(0)=0

所以，/(2018)+f(2019)+/(2020)=/(2)+/(3)+/(4)

=/(0)+/(-1)+/(0)=-/(1)=-4.

故選：A

2.Q023?寧夏銀川?模擬預測)已知函數(shù)+b的圖象關(guān)于點(U)對稱，則6=

()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)對稱性可得〃x）+〃2-x）=2,由此可構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【詳解】???/（x）圖象關(guān)于點（U）對稱，??./（力+/（2-力=2,

又〃2-x）=（2-x）3+a（2-xj+（2-x）+6

=—丁+（Q+6）—（4a+13）x+10+4Q+b,

f（x）+/（2-x）=（2。+6*-（4a+12）x+10+4a+26=2,

2。+6=0

.,.<4。+12=0,解得：a=-3,b=2.

10+4a+2b=2

故選：D.

2一1一“+2x<—1

1,'則的圖象關(guān)于

（，L,X〉1,

A.點(1,-2)對稱B.點(-1,2)對稱C.直線尤=1對稱D.直線尤=-1對稱

【答案】B

【分析】根據(jù)g(x)是奇函數(shù)，可得g(x)關(guān)于原點對稱，進而根據(jù)〃x)=g(x+l)+2即可根

據(jù)平移求解.

【詳解】因為g(x)=/(xT)-2=，d<?

[-2,，%>0,

由于g(x)的定義域關(guān)于原點對稱，且g(-x)=-g(x),所以g(x)是奇函數(shù)，

所以/(x)=g(x+1)+2的圖象關(guān)于點(-1,2)對稱.

故選：B.

4.(2023?云南?模擬預測)已知函數(shù)g(”的定義域均為R,/(x+l)+/(x-l)=2,

g(x+2)是偶函數(shù)，且〃尤)+g(2+x)=4,g(2)=2,則()

A./(x)關(guān)于直線x=l對稱B.H(x)關(guān)于點(1,0)中心對稱

c.7(2023)=1D.Z/⑻=15

k=l

【答案】C

【分析】對于A,由g(x+2)是偶函數(shù)，且〃x)+g(2+x)=4,可得/(X)為偶函數(shù)，可求

得其對稱軸，對于B,再結(jié)合/(x+l)+/(x-1)=2,可得/(x)關(guān)于點(1,1)中心對稱，對于

CD,由前面的計算可得〃x)的周期為4,然后根據(jù)已知條件求出/(0)J(DJ(2)J(3),從

而可判斷.

【詳解】對于A,：g(x+2)是偶函數(shù)，；.g(2-x)=g(2+x),

又“x)+g(2+x)=4,x)+g(2-x)=4,

.■J(-x)=〃x),是偶函數(shù)，.?/(X)關(guān)于直線x=0對稱，所以A錯誤，

對于B,尤+2)+〃尤)=2,.?./(x+2)+/(-x)=2,.?./(X)關(guān)于點(1,1)中心對稱，所以B

錯誤，

對于CD,X/(-x+2)+/(-x)=2,/./(-x+2)=/(x+2),即/(x+4)=〃x),4是/⑴的

一個周期；

令x=0,可得〃0)+g(2)=4,

/(0)=2,”2)=0,又/(I)=1,/./(3)=1,

/(2023)=/(4x505+3)=/(3)=1,

15

S〃左)=4X3+/(1)+/⑵+43)=12+2=14,

后=1

所以C正確，D錯誤，

故選：C.

5.(2023?甘肅張掖?模擬預測)已知函數(shù)/0)的定義域為R,/(x-1)的圖象關(guān)于點(1,0)對

稱，/(3)=0,且對任意的士(-應0),x產(chǎn)七，滿足＜0,則不等式

(1)仆+1"0的解集為()

A.(-co,l]o[2,+oo)B.[-4,-l]u[0,l]

C.[-4,-l]u[l,2]D.[-4,-l]u[2,+co)

【答案】C

【分析】首先根據(jù)/(x-1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，得出(X)是定義在五上的奇函數(shù)，由對任

意的占，x2e(-?,0),x^x2,滿足〃：)[(*)<0,得出/(x)在(-'0)上單調(diào)遞減，然

后根據(jù)奇函數(shù)的對稱性和單調(diào)性的性質(zhì)，求解即可.

【詳解】???/(x-1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，???/(X)的圖象關(guān)于點(0,0)對稱，???/(X)是定

義在R上的奇函數(shù)，

???對任意的3，/e(-8,0),x產(chǎn)乙，滿足/⑻0,在(-8,0)上單調(diào)遞減，

所以f(x)在(0,+8)上也單調(diào)遞減，

又/⑶=0所以"-3)=0,且/⑼=0,

所以當xe(-e,-3)u(O,3)時,/(x)>0；當xe(-3,0)“3,+功時，/(x)<0,

x—1<0,或、［(()xW—x1+>104,3

所以由(x-l)〃x+l)20可得或工一1二0

—3<x+1<0

解得-4vx<-1或1WXW2,即不等式+。的解集為[-4TMi,2].

故選：C.

二、多選題

6.2024?全國?二模)已知〃尤)是定義在R上不恒為0的函數(shù)，〃》-1)的圖象關(guān)于直線x=l

對稱，且函數(shù)y的圖象的對稱中心也是「(龍)圖象的一個對稱中心，貝U()

x-2

A.點(-2,0)是的圖象的一個對稱中心

B.為周期函數(shù)，且4是〃x)的一個周期

C./(4-x)為偶函數(shù)

D./(31)+/(35)=2

【答案】AC

【分析】根據(jù)給定條件，借助平移變換分析函數(shù)A》)的性質(zhì)，再逐項推理判斷得解.

【詳解】由〃x-l)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，得函數(shù)/(x)關(guān)于y對稱，即/⑴為偶函數(shù)，

/(-x)=/(x),

顯然函數(shù)>圖象的對稱中心為原點，則函數(shù)>=義的圖象的對稱中心為(2,0),即

%x-2

/(2+x)+/(2-x)=0,

對于A/(-2+》)+/(-27)=/(27)+/(2+0=0,則(-2,0)是/(對圖象的一個對稱中心,

A正確；

對于B,由/(2+x)+/(2-x)=0,</(4+x)+/(-x)=0,即/(x+4)=-/(尤)，

/(x+8)=-/(x+4)=/(x),/(x)是周期函數(shù)，8是該函數(shù)的一個周期,

若4是/(x)的一個周期，則/(x+4)=〃x),而〃x+4)=-/(x),從而/(x)=0與已知矛盾，

B錯誤；

對于C,/(4-%)=/[-8+(4-x)]=/(-4-x)=/(4+x),因此〃4-x)為偶函數(shù)，C正確；

對于D,由/(2+x)+/(2-x)=0,得/⑶+/(1)=0,

則/(31)+/(35)=/(8x4-l)+/(8x4+3)=/(-1)+/(3)=/(1)+/(3)=0,D錯誤.

故選：AC

7.(2024?江蘇南通?二模)已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為R,7(尤)的圖象關(guān)于點(2,

0)對稱，g(0)=g(2)=l,g(x+y)+g(x-y)=g(x)/(y),則()

A./(x)為偶函數(shù)B.g(x)為偶函數(shù)C.g(-l-x)=-g(-l+x)

D.g(l-x)=g(l+x)

【答案】ACD

【分析】由賦值法，函數(shù)奇偶性，對稱性對選項一一判斷即可得出答案.

【詳解】令〉=一九則8(苫7)+8(》+夕)=8。)/(->),注意到g(x)不恒為0,

故/(力=/(-力,故A正確；

因為“X)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱，所以"2)=0,

令x=0,昨2,得g(2)+g(-2)=g(0)/(2)=0,

故g(-2)=-l*g(2),故B錯誤；

令x=y=T,得g(-2)+g(0)=g(-l)/(-l)=0,

令》=>=1,得g(2)+g(0)=g(l)/(l)=2,故g(l),〃l)w0,

從而/(T)/0,故g(T)=。,

令x=—1,得g(T+y)+g(T-y)=0,化簡得g(T-y)=-g(T+y),故C正確；

令y=2,得g(x+2)+g(x-2)=0,而g(l-x)=-g(x-3)=g(l+x),故D正確.

故選：ACD.

【點睛】方法點睛：抽象函數(shù)的對稱性常有以下結(jié)論

（1）/（工+。）=/（6-力=>/（力關(guān)于）=二也軸對稱,

（2）/（工+°）+/伍-力=20=>/3關(guān)于］1^,0］中心對稱，

三、填空題

8.（2024?寧夏銀川?一模）已知偶函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，〃2）=2,且對任意

占應?0』，均有〃占+%）=〃%）+〃％）成立，若/⑺+/［，+/1:卜…

對任意〃eN*恒成立，貝"的最小值為.

【答案】5

【分析】先得到函數(shù)的周期，賦值法得到〃1）=1,從而得到

/⑺=1,/0=；,進而得到當心2時，/由=（，從而利用求和得到

/⑺+++…+/［（］=5一.，從而得到'的最小值.

【詳解】因為函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于直線x=0和X=2對稱，

所以〃X）=/（4-X）=/（X-4）,所以其周期T=Z1,

/（再+工2）=/（網(wǎng)）+/（%）中，令國=%=1得，f(2)=2〃1),

0T

又/⑵=2,解得〃1）=1,同理可得=

所以/（7）=/（3）=/⑴=1,/^=/（￡|=3，

府卜加和，⑴⑴+G

用=：，解得“u，

依次類推，可得當“22時，/囪=:，

7__7

所以/（7）+/口+心卜…+心］-%+21^=5.1

,12"'

1-----

2

又/（7）+/gj+/（：j+…對任意”

￡N*恒成立，故此5.

故答案為：5.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是得到〃7）=1,/[]=；，以及/（：]=（，由此即可順利得

解.

9.（23-24高三下?河南濮陽?開學考試）已知函數(shù)7'（x）的定義域為R,且/（4x+l）的圖象關(guān)

100

于點（0,2）中心對稱，若〃2+x）-〃2-x）+4x=0,則￡/（，）=.

i=l

【答案】-9700

【分析】先根據(jù)條件證明〃l+x）+/（l-x）=4,然后由I（2+x）-/（2-x）+4x=0證明

f（n-2）+/（M）=12-4n,再由此證明-3）+〃4”一2）+/（4〃-1）+/（4?）=28-32?,

10025

最后由?（。=￡（，（4，-3）+〃4，_2）+/（4，-1）+〃旬）得到結(jié)果.

Z=1Z=1

【詳解】對任意xeR,由于4x+leR,且函數(shù)/（x）的定義域為R,

故點（無J（4x+1））在曲線y=〃4x+l）上，且曲線y=/（4x+l）關(guān)于點（0,2）中心對稱，

故點（一x,4-〃4x+l））也在曲線了=/（4x+l）上，從而4-〃4x+l）=/（-4x+l）,

從而對任意xeR有〃l+4x）+/（l-4x）=4.

從而對任意xeR,由jeR知711+4.￡|+/■“一4.：）=4,即〃l+x）+/（l-x）=4.

根據(jù)條件又有〃2+X）-/（2-X）+4X=0,Bp/（2+x）-/（2-x）=-4x.

現(xiàn)在對任意的整數(shù)”，我們有：

/（?）=/（2+（?-2））

=/（2-（?-2））-4（?-2）

=/（4-?）+8-4?

=/（1+（3-?））+8-4?

=4-/（1-（3-?））+8-4?

=-/（?-2）+12-4?,

所以-2）+/（冷=12-4",從而有：

/（4〃-3）+/（4〃—2）+/（4〃-1）+/（甸

=（/（4H-3）+/（4?-1））+（/（4n-2）+/（4n））

=12-4（4n-l）+12-4（4n）

=28-32〃.

故有：

100

￡r（z）=/（l）+/（2）+...+/（100）

i=\

=（/（l）+/（2）+/（3）+/（4））+（/（5）+/（6）+/（7）+/（8））+...+（/（97）+/（98）+/（99）+/（100））

25

=^（/（4z-3）+/（4/-2）+/（4/-1）+/（4Z））

Z=1

25

=2（28-32，）

i=\

25

=28.25-32*

Z=1

=28-25-32-1.（l+25）-25

=-9700.

故答案為：-9700.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是對函數(shù)方程的處理，通過其中x取值的任意性，代入合

適的值得到關(guān)鍵條件.

四、解答題

10.（2024高三?全國?專題練習）下列函數(shù)是否存在對稱軸或?qū)ΨQ中心？

（2"x）=（ex—e-切；

4

（3）/（x）=2x+—.

【答案】⑴存在對稱中心

（2）存在對稱軸

⑶存在對稱軸

【詳解】:*H=X+1+L7W的圖象關(guān)于點（0,1）中心對稱.

T丫

（2）因為/U）=（ex—1》產(chǎn)滿足/（—x）=/（x）,所以7（x）的圖象關(guān)于y軸對稱.

（3）因為/W=2x+總滿足加一x）=/（l+x）,所以徹的圖象關(guān)于直線x=l對稱.

【考查意圖】函數(shù)對稱性的判斷.

11.(2024?湖南■二模)已函數(shù)。(x)=*3+砌*+fex+c(a,b,ceR),其圖象的對稱中心為(1,-2).

(1)求"b-c的值；

⑵判斷函數(shù)/(x)的零點個數(shù).

【答案】⑴-3

⑵答案見解析

【分析】(1)由/'(x)的圖象關(guān)于(1,-2)對稱，得至lJ/(x+l)+/(-x+l)=-4,列出方程組即

可求解；

(2)由⑴得到函數(shù)“X)的解析式，求出了'(X),利用△判斷/'(x)=0根的情況，分類討

論確定零點的個數(shù).

【詳解】(1)因為函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(1,-2)中心對稱，故y=/(x+l)+2為奇函數(shù)，

從而有〃x+l)+2+/(f+l)+2=0,即/(x+l)+/(r+l)=-4,

/(x+l)=(x+1)3+a(x+l)2+b(x+l)+c+(。+3)、2+(26Z+ZJ+3)X+{7+Z7+C+1,

/(1—x)=(l—x)3+Q(1—x)2+b(l—x)+c=—+(〃+3)X2—(2a+b+3)x+a+b+c+l,

2〃+6=0Q=-3

所以,解得

2〃+2b+2c+2=—4b+c=0

所以。-6-。=-3；

(2)由(1)可矢口，f(x)=x3-3x2-cx+c,f'(x)=3x2-6x-c,A=36+12c,

①當c4-3時，A=36+12cW0,f'(x)>0,所以/(x)在R上單調(diào)遞增,

/(l)=-2<0,/(3)=27-3x9-3c+c=-2c>0,

；?函數(shù)/(x)有且僅有一個零點；

②當_3<c<0時，X]+x2=2>0,-x2=—^>0,

/'(x)=0有兩個正根，不妨設(shè)再<々，則3x；-6X]-c=0,

二函數(shù)〃x)在占)單調(diào)遞增，在(再,乙)上單調(diào)遞減，在(X2,+8)上單調(diào)遞增,

/(xj=x；—3x；-(再一D(3x；-6xJ=-2再(x；-3再+3)<0,/(3)=-2c>0,

???函數(shù)/（X）有且僅有一個零點；

③當c=0時，/（x）=x3-3x2,

令/⑺=/-3/=0,解得x=0或x=3,

龍）有兩個零點；

④當c>0時，Xj+x2=2,Xj-x2=--|<0,

f'（x）=0有一個正根和一個負根，不妨設(shè)Xl<0<x2,

二函數(shù)〃x）在（-8,xj上單調(diào)遞增，在（占,%）上單調(diào)遞減，在（乙，+8）上單調(diào)遞增，

〃尤1）>/（0）=。>0,/（無2）<〃1）=-2<0,

???函數(shù)/（X）有且僅有三個零點；

綜上，當c>0時，函數(shù)/（X）有三個零點；

當c=0時，函數(shù)/（x）有兩個零點；

當c<0時，函數(shù)/（x）有一個零點.

12.（2024高三下?浙江杭州?專題練習）已知函數(shù)/（x）=——關(guān)于點（-U）中心對稱.

x+a

（1）求函數(shù)“X）的解析式；

（2）討論g（x）=x（〃x））2在區(qū)間（0,+s）上的單調(diào)性；

⑶設(shè)％=1,%+]=/（%）,證明：2-2|21n??-ln7|<l.

【答案】（1）/（司=葉|

⑵答案見解析

⑶證明見解析

【分析】（1）由中心對稱函數(shù)的性質(zhì)得出即可；

（2）利用導數(shù)分析其單調(diào)性即可；

21

（3）將要證明的不等式利用對數(shù)運算變形為In半〈嚴，再用數(shù)學歸納法結(jié)合（2）證明

即可.

【詳解】(1)因為函數(shù)〃x)=5關(guān)于點(-1,1)中心對稱,

x+a

所以〃-l-x)+/(-l+x)=2,即一1一：+7+1+》+7=2,

a-l-x-1+x+a

48

取X=2,可得-H---7=2,解得Q=]或Q=7(舍去)，

a-3a+\

所以a=l,/(x)=^4，

x+1

(2)因為g(x)=x(/(x))2,x>0,

所以g'"3+2xx*x6

3

(x+行(x+1)

因為x+7>O,(x+l『>0,(x-2)2+3>3,所以g'(x)>0恒成立,

所以g(x)=x(〃x))2在區(qū)間(0,+動上單調(diào)遞增.

(3)證明：要證2"」21na“-ln7|<l,即證ln3<白，

當〃=1時，In<2]—?=>In,=In7<Ine?=2,成立,

即證即證In9t<gln與，

,2

由題意得4>0,貝IJ即證In號a.<In冬，

777

q+7

因為。1=1,?！?1=/(?！?=

?！?1'

(%-⑺。-⑺

an+i~幣=~一下=

a”+1

由4>0,即〃〃-V7與%+i-行異號，

I—I—171a7a

當%>夜，0<an+i<V7,即證ln=—<111萬，即證二一<下,

。〃+177。〃+177

2

即證?！ā?>7行，即證47+?！▅>70,

1+?！?/p>

由(2)可知，當%>V7,g(a”)>g(方)=7行成立.

2/72

當〃〃+i〉0<%<，即證InT<In,即證：］<,

7%7%

即證知。3<7近，即證用(土衛(wèi)］<7行，

U+qJ

由(2)可知，當Q〈a“〈5gg〈g⑼=15成立.

綜上，得證.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：(1)若函數(shù)/(x)滿足〃"-x)+〃〃z+x)=2",則對稱中心為

(“〃)；

(2)判斷符合函數(shù)的單調(diào)性時，常用導數(shù)判斷；

(3)證明數(shù)列不等式，可用數(shù)學歸納法證明，分別取當”=1時的特例和〃>1的一般情況證

明.

綜合提升練

一、單選題

1.(2024?云南昆明?一模)已知函數(shù)〃x)=ex+e2r,則下列說法正確的是()

A.“X)為增函數(shù)B.〃x)有兩個零點

C.“X)的最大值為2eD.V=/(x)的圖象關(guān)于x=l對稱

【答案】D

【分析】利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合選項依次計算，即可求解.

【詳解】A：/(x)=e，-e2r,令/(x)=0,得x=l,

當x<l時，/'(x)<0,當x>l時，r(x)>o,

所以函數(shù)/(x)在(-s,l)上單調(diào)遞減，在(1,+s)上單調(diào)遞增，故A錯誤；

B：由選項A知，函數(shù)/(X)在(-8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

且/⑴=2e>0,所以函數(shù)/(X)在R上沒有零點，故B錯誤；

C:由選項A知，函數(shù)/(X)在(-8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以〃x)min=/⑴=2e，即函數(shù)〃無)的最小值為2e，故C錯誤；

D：〃2-x)=e2T+e，=/(x),所以函數(shù)/⑴圖象關(guān)于直線x=1對稱，故D正確.

故選：D

2.(2024?河南新鄉(xiāng)?二模)已知函數(shù)“X)滿足〃x+y+l)=/(x)+/(v),則下列結(jié)論一定

正確的是()

A./(x)+l是奇函數(shù)B./(x-1)是奇函數(shù)

C.是奇函數(shù)D./(x+1)是奇函數(shù)

【答案】B

【分析】利用賦值法推得〃x)+/(-2-x)=0,從而得到/(x)的對稱性，再利用函數(shù)圖象平

移的性質(zhì)可判斷B,舉反例排除ACD,由此得解.

【詳解】因為/(x+y+l)=/(x)+/(y),

令x=y=T,可得/(-1)=/(一1)+/(-1),則〃-1)=0；

令y=-2-x,則/(-I)="x)+〃一2-x)=0,

故"X)的圖象關(guān)于點(-1,0)對稱，

則/(尤-1)的圖象關(guān)于點(0,0)對稱，即/(x-1)是奇函數(shù)，故B正確；

對于C,令工=〉=0,可得〃i)=〃o)+〃o),則〃0)=g/(l),

當/⑴?2時，/(0)-1^0,此時〃x)-1不可能是奇函數(shù)，

由于無法確定了⑴的值，故〃x)-l不一定是奇函數(shù)，故C錯誤；

對于AD,取〃x)=x+l,滿足題意，但易知D錯誤；

故選：B.

3.Q024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/⑺:白，g(x)=ei-e'+l,則〃尤)與g(x)

的圖象交點的縱坐標之和為()

A.4B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】分別判斷函數(shù)與g(x)的對稱性與單調(diào)性，進而求解即可.

【詳解】因為函數(shù)p(x)=:為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(0,。)對稱，且P(x)在(-嗎0),(0,+s)

上單調(diào)遞減，

所以〃X)的圖象關(guān)于點(1,1)對稱，且/(x)在(-8,1),(1,+Q上單調(diào)遞減.

因為函數(shù)q(x)=e、-er為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(0,0)對稱，且為R上的增函數(shù)，

所以g(x)=q(x-l)+l的圖象關(guān)于點(1,1)對稱，且為R上的增函數(shù).

從而“X)與g(x)的圖象有兩個關(guān)于點(1,1)對稱的交點，故兩交點的縱坐標之和為2.

故選：B.

4.(2024?全國?模擬預測)若定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(|x|)=〃x),且

/(2+x)+/(2-x)=6,/(3)=6,則下列結(jié)論錯誤的是()

A./(8+x)=/(x)B.〃x)的圖象關(guān)于直線x=4對稱

C."201)=3D.>=〃x+2)-3是奇函數(shù)

【答案】C

【分析】本題考查抽象函數(shù)的圖象與性質(zhì)內(nèi)容，根據(jù)已有條件/(w)=/(x)和

/(2+x)+/(2-x)=6,/(3)=6,以及x的任意性結(jié)合函數(shù)奇偶性和周期性概念、對稱性的

判定知識去進行轉(zhuǎn)化推理即可.

【詳解】由/(|x|)=〃x)n〃r)=/G),所以〃2-x)=/(x-2)

又〃2+x)+/(2-x)=6,所以〃4+x)+〃x)=6,且/(8+x)+〃4+x)=6,

所以〃8+x)=〃x),故A正確

由A可得，〃8+x)=〃f),所以/(x)的圖象關(guān)于直線x=4對稱，故B正確

由A可得，〃x)是周期為8的函數(shù)，/(201)=/(1),

又由〃2+x)+〃2-x)=6J(3)=6,得/(3)+/(1)=6,所以"201)=/⑴=0,故C錯

誤

對于D,由/(2+必+〃2-力=6=〃”的圖象關(guān)于點(2,3)對稱，

所以了=/(尤+2)-3的圖象關(guān)于原點對稱，故D正確，

故選：C.

5.(23-24高三下?山東荷澤?階段練習)已知函數(shù)〃無)定義域為R,且

/(2+x)-/(2-x)=-4x,/(l+3x)關(guān)于(0,2)對稱，則/(2025)=()

A.-4046B.4046C.1D.0

【答案】A

【詳解】令g(x)=/(x)+2x,通過條件得到g(x)的對稱性，進而得到其周期，再通過賦值

求出g⑴，進而通過/(2025)=g(2025)-2x2025計算求解即可.

【解答】由題設(shè)條件得/(2+x)+2(2+x)=/(2-x)+2(2-x),

令g(x)=/(x)+2龍,有g(shù)(2+x)=g(2-x),

則g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，

因為/(l-3x)+/(l+3x)=4,有/(l-3x)+2(l-3x)+/(l+3x)+2(l+3x)=8,即

g(l-3x)+g(l+3x)=8,

則g(x)的圖象關(guān)于(1,4)對稱?

所以g(x)+g(2-x)=8,又g(2+x)=g(2-x),

所以g(x)+g