第二十四章 相似三角形（11個(gè)知識歸納）

第二十四章相似三角形（11個(gè)知識歸納）知識歸納知識點(diǎn)一、線段的比與成比例線段線段的比兩條線段長度的比叫做兩條線段的比.注意：求兩條線段的比時(shí)必須統(tǒng)一單位）．成比例線段四條線段、、、中，如果，那么這四條線段、、、叫做成比例線段，簡稱比例線段．知識點(diǎn)二、比例的性質(zhì)基本性質(zhì)合比的性質(zhì)等比性質(zhì)知識點(diǎn)三、黃金分割黃金分割若線段AB上一點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC與BC（AC>BC），如果，這時(shí)稱點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，這個(gè)比值稱為黃金比，它的值為．知識點(diǎn)四、相似圖形相似圖形在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similarfigures).要點(diǎn)詮釋：(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí)，兩個(gè)圖形是全等；相似多邊形如果兩個(gè)多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形．要點(diǎn)詮釋：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)．（2）相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比．知識點(diǎn)五、平行線分線段成比例定理定理三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。圖形：幾何語言：∵l1∥l2∥l3，∴，，推論平行于三角形一邊截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例。圖形：幾何語言：∵DE∥BC，∴，，知識點(diǎn)六、相似三角形的判定預(yù)備定理平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．判定1有兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．判定2兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．判定3三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似直角三角形的特殊判定若一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．知識點(diǎn)七、相似三角形的性質(zhì)性質(zhì)1相似三角形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等。性質(zhì)2相似三角形的周長比等于相似比?！?，則由比例性質(zhì)可得：類似地，我們還可以得到：相似多邊形周長的比等于相似比。性質(zhì)3相似三角形的面積比等于相似比的平方?！祝瑒t分別作出與的高和，則要點(diǎn)詮釋：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的。如果把兩個(gè)相似多邊形分成若干個(gè)相似的三角形，我們還可以得到：相似多邊形面積的比等于相似比的平方。性質(zhì)4相似三角形的對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線之比等于相似比。要點(diǎn)詮釋：要特別注意“對應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對應(yīng)線段。知識點(diǎn)八、位似圖形定義兩個(gè)相似圖形，如果對應(yīng)點(diǎn)的連線交于同一點(diǎn)，對應(yīng)邊平行或在同一直線上，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比．性質(zhì)位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比都等于相似比．畫位似圖形的步驟確定位似中心；連結(jié)原圖形中關(guān)鍵點(diǎn)與位似中心的線段（或延長線）；按相似比進(jìn)行取點(diǎn)；（4）順次連接各點(diǎn)，所得的圖形就是所求的圖形。知識點(diǎn)九、相似三角形模型模型一：A、8模型已知：，結(jié)論模型二：共邊共角型已知：，結(jié)論：模型三：一線三角型模型四：相似與旋轉(zhuǎn)模型五：垂直相似結(jié)論①△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC； ②△ADC∽△ACB，AC2＝AD·AB； ③△CDB∽△ACB，CB2＝BD·BA.知識點(diǎn)十向量的相關(guān)概念1、平面向量的相關(guān)概念（1）向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；（2）向量的長度：向量的大小也叫做向量的長度（或向量的模）；（3）零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作；（4）相等的向量：方向相同且長度相等的兩個(gè)向量叫做相等的向量；（5）互為相反向量：方向相反且長度相等的兩個(gè)向量叫做互為相反向量；（6）平行向量：方向相同或相反的兩個(gè)向量叫做平行向量．2、平面向量的加減法則（1）幾個(gè)向量相加的多邊形法則；（2）向量減法的三角形法則；（3）向量加法的平行四邊形法則．3、實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算設(shè)k是一個(gè)實(shí)數(shù)，是向量，那么k與相乘所得的積是一個(gè)向量，記作．（1）如果，且，那么的長度；的方向：當(dāng)k>0時(shí)與同方向；當(dāng)k<0時(shí)與反方向．（2）如果k=0或，那么．4、實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算律設(shè)m、n為實(shí)數(shù)，則（1）；（2）；（3）．5、平行向量定理如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)m，使．6、單位向量單位向量：長度為1的向量叫做單位向量．設(shè)為單位向量，則．單位向量有無數(shù)個(gè)；不同的單位向量，是指它們的方向不同．對于任意非零向量，與它同方向的單位向量記作．由實(shí)數(shù)與向量的乘積可知：，．知識點(diǎn)十一向量的線性運(yùn)算1、向量的線性運(yùn)算向量加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘以及它們的混合運(yùn)算叫做向量的線性運(yùn)算．如、、、等，都是向量的線性運(yùn)算．一般來說，如果、是兩個(gè)不平行的向量，是平面內(nèi)的一個(gè)向量，那么可以用、表示，并且通常將其表達(dá)式整理成的形式，其中x、y是實(shí)數(shù)．2、向量的合成與分解如果、是兩個(gè)不