第二十五章 銳角的三角比（40道壓軸題專練）

第二十五章銳角的三角比（40道壓軸題專練）壓軸題型一銳角的三角比的意義1．（2022春·九年級單元測試）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC、AB上一點，且AF＝BE，AE與DF交于點G，連接CG．若CG＝BC，則AF：FB的比為（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：42．（2023春·江蘇南京·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A＝60°，將紙片折疊，點A，D分別落在點，處，且經(jīng)過點B，EF為折痕，當(dāng)⊥CD時，的值為（

）A． B． C． D．3．（2020·重慶璧山·校考一模）△ABC中，∠ACB=45°，D為AC上一點，AD=5，連接BD，將△ABD沿BD翻折至△EBD，點A的對應(yīng)點E點恰好落在邊BC上．延長BC至點F，連接DF，若CF=2，tan∠ABD=，則DF長為（）A． B． C．5 D．74．（2023·湖北孝感·統(tǒng)考三模）如圖，在邊長為2正方形中，點為邊中點，連接與對角線交于點，連接，且與交于點．則下列結(jié)論：①；②；③若點是上的一動點，連接，則最小值是；④．其中正確的個數(shù)是（

）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個5．（2023春·江西·九年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點在軸上，連接，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若是直角三角形，點的橫坐標(biāo)為．6．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點，則m的值為．7．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，菱形的邊，，E是的中點，F(xiàn)是邊上一點，將四邊形沿直線折疊，A的對應(yīng)點為，當(dāng)?shù)拈L度最小時，的長是．8．（2023春·山東濟南·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=4，E是AD的中點，將這張紙片依次折疊兩次；第一次折疊紙片，使B點落在E點，折痕為N；第二次折疊紙片，使N點與E點重合，點C在C'處，折痕為FH.則tan∠EHF=·9．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）探索發(fā)現(xiàn)；（1）如圖1，在中，；求證：；初步應(yīng)用：（2）如圖2，在中，，，，連接、；求證：．遷移拓展：（3）如圖3，在中，，H為上一點使，過H作交AB于G，，求的值；

10．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，，兩點分別在和的延長線上運動，且始終保持，連接交于點，過點作，垂足為．

(1)如圖（1），若，求的長；(2)如圖（2），求證：的長是定值；(3)如圖（2），若是的中點，直接寫出的值．壓軸題型二求銳角的三角比的值1．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，為邊上的點，為等邊三角形，，，則的值為（）

A． B． C． D．2．（2023春·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形的邊長為，是邊上一點，連接，將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到、交于，連接交于，連接，若，，則的長為（

）A．4 B．5 C．6 D．4或63．（2023春·安徽黃山·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）矩形紙片中，，將紙片對折，使頂點A與頂點C重合，得折痕，將紙片展開鋪平后再進行折疊，使頂點B與頂點D重合，得折痕，展開鋪平后如圖所示．若折痕與較小的夾角記為，則的值是（

）A． B． C． D．4．（2023春·四川自貢·九年級?？茧A段練習(xí)）已知的面積為，，．若的頂點都在雙曲線（）上，且過坐標(biāo)原點，則（

）A． B． C． D．5．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，，點C是射線上的動點，連接，作，，動點E在延長線上，，連接，，當(dāng)，時，的長是．

6．（2023·四川成都·?？既＃┤鐖D，在菱形中，，點為邊中點，點在邊上，將四邊形沿直線翻折，使的對應(yīng)邊為，當(dāng)時，的值為．

7．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是正方形，點，在坐標(biāo)軸上，點，是射線上一點，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，是點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點，當(dāng)時，則點的坐標(biāo)為．

8．（2023·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，已知在中，，，點D在邊上，連接．以為斜邊作，且，，邊的中點F恰好落在邊上．若，則．

9．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，是斜邊的中線，E是射線上的一個動點，連接，將射線繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°，交射線于點F．

(1)點E在線段上時：①求的度數(shù)；②線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為；(2)點E在線段的延長線上時，②中的結(jié)論是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出新的結(jié)論，畫出圖形，并證明．(3)若，，請直接寫出線段的長．10．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）在平行四邊形中（頂點按逆時針方向排列），為銳角，且．(1)如圖1，求邊上的高的長．(2)是邊上的一動點，點同時繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得點．①如圖2，當(dāng)點落在射線上時，求的長．②當(dāng)是直角三角形時，求的長．壓軸題型三解直角三角形1．（2023春·浙江溫州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，以其三邊為邊向外作正方形，連結(jié)，交于點，過點作于點．過點作交延長線于點，，，則的值為（）

A．30 B．11 C． D．2．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）在中，，，點D是點B關(guān)于的對稱點，連接，，E，F(xiàn)是，上兩點，作，，垂足分別為M，N，若，，則的值是（）A． B．5 C． D．3．（2023春·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，點、、分別在、，上，則周長的最小值為（

）

A．15 B． C． D．204．（2023春·安徽合肥·九年級校考階段練習(xí)）在中，，，，于點，一束光線從點出發(fā)，經(jīng)過邊反射后，再經(jīng)邊反射，最后回到點，則光線經(jīng)過的最短路程為（

）

A． B． C． D．5．（2023春·上海浦東新·八年級校考期末）如圖，兩條寬度都為1的紙條，交叉重疊放在一起，它們的夾角，它們重疊部分（圖中陰影部分的面積是．

6．（2023·上海·模擬預(yù)測）如圖，已知中，，點是的中點，將沿所在的直線翻折，點落在點處，，且交于點，的值為．7．（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，點在邊上，點在射線上，將沿翻折，使得點落在點處，當(dāng)且時，的長為．8．（2023·上?！ひ荒＃┬露x：有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形.如圖，已知在對余四邊形中，，，，，那么邊的長為．9．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，在中，，，，，平分交邊于點D，點E是邊上的一個動點（不與B、C重合），F(xiàn)是邊上一點，且，與相交于點G．

(1)求證：；(2)設(shè)，，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(3)當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，求的長．10．（2023·上海寶山·一模）如圖1，在中，，，．點D、E分別在邊、上（不與端點重合），和交于點，滿足．(1)求證：；(2)如圖2，當(dāng)時，求的長；(3)當(dāng)是等腰三角形時，求的值．壓軸題型四解直角三角形的應(yīng)用1．（2023春·海南儋州·九年級專題練習(xí)）某公園有一座古塔，古塔前有一個斜坡坡角，斜坡高米，是平行于水平地面的一個平臺、小華想利用所學(xué)知識測量古塔的高度，她在平臺的點處水平放置一平面鏡，她沿著方向移動，當(dāng)移動到點時，剛好在鏡面中看到古塔頂端點的像，這時，測得小華眼睛與地面的距離米，米，米，米，已知，根據(jù)題中提供的相關(guān)信息，古塔的高度約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A． B． C． D．2．（2023秋·山東濟南·九年級期末）5G時代，萬物互聯(lián)．互聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、人工智能與各行業(yè)應(yīng)用深度融合，助力數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展，共建智慧生活．網(wǎng)絡(luò)公司在改造時，把某一5G信號發(fā)射塔建在了山坡的平臺上，已知山坡的坡度為．身高1.6米的小明站在A處測得塔頂M的仰角是，向前步行6米到達(dá)B處，再延斜坡步行6.5米至平臺點C處，測得塔頂M的仰角是，若在同一平面內(nèi)，且和分別在同一水平線上，則發(fā)射塔的高度約為（

）（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）A．17.3米 B．18.9米 C．65.0米 D．66.6米3．（2023春·海南儋州·九年級專題練習(xí)）高鐵沙坪壩站雙子塔為國內(nèi)首例在高鐵站上實施商業(yè)開發(fā)的綜合體．如圖，小南在與塔底同一高度的地面處測得塔頂?shù)难鼋菫椋酉聛?，他沿一條坡比為1:2.4的斜坡行進了156米后，在處測得塔頂?shù)难鼋菫椋c在同一平面內(nèi)，則小南測得的雙子塔的高度約為（

）米．（參考數(shù)據(jù)：，，）A．193 B．196 C．201 D．2064．（2023春·安徽·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，一艘船由港沿北偏東65°方向航行至港，然后再沿北偏西40°方向航行至港，港在港北偏東20°方向，則，兩港之間的距離為（

）.A． B． C． D．5．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在一次數(shù)學(xué)課外實踐活動中，某小組要測量一幢大樓的高度，如圖，在山坡的坡腳A處測得大樓頂部M的仰角是，沿著山坡向上走55米到達(dá)B處，在B處測得大樓頂部M的仰角是，斜坡的坡度（坡度是指坡而的鉛直高度與水平寬度的比），則大樓的高度為米．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）

6．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）長嘴壺茶藝表演是一項深受群眾喜愛的民俗文化，所用到的長嘴壺更是歷史悠久．圖1是某款長嘴壺模型放置在水平桌面l上的抽象示意圖，已知壺身，，壺嘴，且，，，則，如圖2，若長嘴壺中裝有若干茶水，繞點A轉(zhuǎn)動壺身，當(dāng)恰好倒出茶水時，，則此時出水口F到桌面的距離為cm．

7．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）圖1是一種雙層電腦支架實物圖，圖是其示意圖，，，為固定點，支杠，可分別繞著點，旋轉(zhuǎn)，點，分別在，上移動．，，，當(dāng)支點與點的距離為時，則點到的距離為，此時，再移動支點，當(dāng)點與點重合時，、兩點的水平距離是垂直距離的兩倍，則．

8．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，公園里有一燈桿垂直水平地面，燈架是一段劣弧，點為燈泡，與相切于點．小明調(diào)節(jié)帶支架的測角儀使得，，且測角儀的高為1.6m，在處測得點的仰角為．沿著向燈桿方向水平前進3m達(dá)到時(，，分別是點，，的對應(yīng)點）測得點的仰角也為，此時點恰好在點的正上方．則點距離地面的高度為m．若，則所在圓的半徑為．

9．（2023春·江西撫州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖1是折疊會議桌的實物圖，其側(cè)面可抽象成圖2，桌面可繞點轉(zhuǎn)動，，，．，點是點在地面的正投影．

(1)①桌面到地面的距離為______，______．②求桌腳的長；（結(jié)果精確到）(2)當(dāng)桌面繞點轉(zhuǎn)動到圖3所示的位置時，求點到地面的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，）10．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即）．小軍測量某建筑物高度的方法如下：在地面點E處平放一面鏡子，經(jīng)調(diào)整自己位置后，在點D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面的距離，，，求建筑物AB的高度．

【活動探究】觀察小軍的操作后，小明提出了一個測量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點D處不動，將鏡子移動至處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G，測出；再將鏡子移動至處，恰好通過鏡子看到廣告牌的底端A，測出．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面距離，，求這個廣告牌AG的高度．

【應(yīng)用拓展】小軍和小明討論后，發(fā)現(xiàn)用此方法也可測量出斜坡上信號塔AB的高度．他們給出了如下測量步驟（如圖）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動（小軍眼睛離地面距離），小明通過移動鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測出；③測出坡長；④測出坡比為（即）．通過他們給出的方案，請你算出信號塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．

第二十五章銳角的三角比（40道壓軸題專練）壓軸題型一銳角的三角比的意義1．（2022春·九年級單元測試）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC、AB上一點，且AF＝BE，AE與DF交于點G，連接CG．若CG＝BC，則AF：FB的比為（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4【答案】A【分析】作CH⊥DF于點H，證明△AGD≌△DHC，可得AG＝DH＝GH，tan∠ADG==．由此可解決此問題．【詳解】解：作CH⊥DF于點H，如圖所示，在△ADF和△BAE中，，∴△ADF和△BAE（SAS）．∴∠ADF＝∠BAE，又∠BAE＋∠GAD＝90°，∴∠ADF＋∠GAD＝90°，即∠AGD＝90°．又∵∠ADG＋∠CDG＝90°，∠HDC＋∠CDG＝90°，∴∠ADG＝∠HDC．在△AGD和△DHC中，，∴△AGD≌△DHC（AAS）．∴DH＝AG．又∵CG＝BC，BC＝DC，∴CG＝DC．∴GH＝DH，∴AG＝DH＝GH．∴tan∠ADG=，∴tan∠ADF=，∴AF=AB．即F為AB中點，∴AF：FB＝1：1．故選：A．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，學(xué)會添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇南京·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A＝60°，將紙片折疊，點A，D分別落在點，處，且經(jīng)過點B，EF為折痕，當(dāng)⊥CD時，的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】延長DC和，兩延長線相交于點G，利用菱形的性質(zhì)可證得∠A＝∠DCB＝60°，AB＝BC＝DC，利用折疊的性質(zhì)可得到∠D＝∠F＝120°，DF＝F，再證明∠CBG＝∠G＝30°，利用等角對等邊可得到BC＝CG，設(shè)CF＝x，DF＝y(tǒng)，用含x，y的代數(shù)式表示出DC，CG，F(xiàn)G的長，然后在Rt△FG中，利用解直角三角形可得到x與y的關(guān)系式，據(jù)此可求出CF與DF的比值．【詳解】解：延長DC和，兩延長線相交于點G，∵菱形ABCD，∠A＝60°，∴∠A＝∠DCB＝60°，AB＝BC＝DC∴∠BCG＝180°－60°＝120°，

∵將紙片折疊，點A，D分別落在點處，且經(jīng)過點B，EF為折痕，∴∠D＝∠F＝120°，DF＝F∵F⊥DC，∴∠FG＝90°，∴∠G＝90°－60°＝30°∴∠CBG＝180°－∠G－∠BCG＝180°－30°－120°＝30°∴∠CBG＝∠G∴BC＝CG，設(shè)CF＝x，DF＝y(tǒng)，則DC＝CG＝x＋y∴FG＝2x＋y，在Rt△FG中，．故選：A．【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的應(yīng)用．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意折疊中的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．（2020·重慶璧山·?？家荒＃鰽BC中，∠ACB=45°，D為AC上一點，AD=5，連接BD，將△ABD沿BD翻折至△EBD，點A的對應(yīng)點E點恰好落在邊BC上．延長BC至點F，連接DF，若CF=2，tan∠ABD=，則DF長為（）A． B． C．5 D．7【答案】B【分析】過作于，交于，作于．設(shè)，，由，可知．由折疊可知，平分，，得，在中，，得出，因此，，，所以，得，，，再由勾股定理．【詳解】解：如圖．過A作AH⊥BC于H，交BD于P，作DG⊥BC于G．設(shè)PH=x，AP=y，∵tan∠ABD=，∴BH=2HP=2x．由折疊可知，BD平分∠ABC，∴，∴AB=2y，在Rt△ABH中，AH2+BH2=AB2，即，（x+y）2+（2x）2=（2y）2，∴y=x，∴AB=，AH=AP+PH=+x=x，∵∠ACB=45°，AH⊥BC，∴CH=AH=BC=BH+CH=2x+=，∴，∴CD=7，∴DG=CG=7，∵CF=2，∴FG=7+2=9，∴DF==，故選：B．【點睛】本題考查了折疊問題，要熟練掌握角平分線的性質(zhì)．構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理、三角函數(shù)表示各線段數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造方程是解題的關(guān)鍵．4．（2023·湖北孝感·統(tǒng)考三模）如圖，在邊長為2正方形中，點為邊中點，連接與對角線交于點，連接，且與交于點．則下列結(jié)論：①；②；③若點是上的一動點，連接，則最小值是；④．其中正確的個數(shù)是（

）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】證明根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷①；證和導(dǎo)角可知②正確，根據(jù)對稱性得出的最小值為的長，勾股定理即可求解；證，可得④正確，【詳解】解：四邊形是正方形，點是的中點，，，，，，，故①正確，，，，，，，，，，故②正確；如圖所示，連接，點是對角線上的一動點，當(dāng)三點共線時，,故③正確點為邊中點，，，，設(shè)，，則，，則，，，，，解得，，，故④正確；故選：A．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，正切的定義，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·江西·九年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點在軸上，連接，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若是直角三角形，點的橫坐標(biāo)為．【答案】2或或【分析】分情況討論：①當(dāng)點在軸的正半軸上，且時，②當(dāng)點在軸的正半軸上，且時，③當(dāng)點在軸的負(fù)半軸上，且時，利用全等三角形及直角三角形的性質(zhì)和正切值求解即可．【詳解】解：，，，，設(shè)點，當(dāng)時，點在直線上（且不與點重合），點不能為直角頂點，①如圖，當(dāng)點在軸的正半軸上，且時，由旋轉(zhuǎn)可知，，，，，，，，，，，即點的橫坐標(biāo)為2；②如圖，當(dāng)點在軸的正半軸上，且時，過點作于點，則，由旋轉(zhuǎn)可知，，，，，，，，，，，，，，，，，即，解得：或（不合題意，舍去），點的橫坐標(biāo)為；③如圖，當(dāng)點在軸的負(fù)半軸上，且時，過點作于點，則，同理可得，，，，，同理可得，，，即，解得：或（不合題意，舍去），點的橫坐標(biāo)為；綜上所述，點的橫坐標(biāo)為2或或，故答案為：2或或．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，角的正切，解題的關(guān)鍵是熟練掌握知識點，注意分類討論思想的運用．6．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點，則m的值為．【答案】，．【分析】如圖，過點B作，交于點D，則過點B作軸，過點D作，過點C作，分別交于點E，F(xiàn)；分點C在x軸上方、下方種情況：（1）當(dāng)點C在x軸下方時：可求證，從而，得，，所以點D的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為；待定系數(shù)確定直線的解析式為，將點D的坐標(biāo)代入，求得m；（2）當(dāng)點C在x軸上方時，同理求解．【詳解】如圖，過點B作，交于點D，則過點B作軸，過點D作，過點C作，分別交于點E，F(xiàn)；當(dāng)點C在x軸下方時，

∵∴而∴又∴∴而，∴，∴點D的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為設(shè)直線的解析式為，將點代入得，，解得∴直線解析式為將點D的坐標(biāo)代入，得解得，，或（舍去）所以當(dāng)點C在x軸上方時，

同理可得∴而，∴，∴點D的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為代入直線的解析式，得解得，或，（舍去）所以綜上，，或故答案為：，．【點睛】本題考查相似三角形判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；結(jié)合已知，添設(shè)輔助線構(gòu)造相似三角形，從而求出相關(guān)線段是解題的關(guān)鍵．7．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）如圖，菱形的邊，，E是的中點，F(xiàn)是邊上一點，將四邊形沿直線折疊，A的對應(yīng)點為，當(dāng)?shù)拈L度最小時，的長是．【答案】【分析】由E是的中點可得，再根據(jù)題意可得點在以以E圓心、以半徑的弧上，則當(dāng)C，E，在一條直線上時，有最小值；過過點，設(shè)，由勾股定理列方程可得先求得，進而求得；再運用勾股定理可得，然后利用折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)可得即可解答．【詳解】解：∵E是的中點，∴，∵將四邊形沿直線折疊，A的對應(yīng)點為，∴點在以以E圓心、以半徑的弧上，∴當(dāng)C，E，在一條直線上時，有最小值，此時如圖：過點，設(shè)，∴，即，解得：，∴，∴∴∵菱形∴∴∵∴∴．故答案為．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、翻折的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、正切的定義等知識點，確定出取得最小值的條件是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·山東濟南·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=4，E是AD的中點，將這張紙片依次折疊兩次；第一次折疊紙片，使B點落在E點，折痕為N；第二次折疊紙片，使N點與E點重合，點C在C'處，折痕為FH.則tan∠EHF=·【答案】【分析】利用折疊的性質(zhì)，將所求的∠EHF轉(zhuǎn)化為求∠EBN，即可求解．【詳解】解：如下圖，連接BE，過點E作EG⊥BC于點G，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=，點E是AD的中點，∴AE=BG=AD=BC=，EG=AB=4，由折疊性質(zhì)可得：HF⊥EN，BE⊥MN，∠MEN=∠ABC=90°，∠EHF=∠NHF，∠BMN=∠EMN，∴HFME，∴∠NHF=∠EMN，∴∠EHF=∠BMN，∵∠EBN=90°-∠ABE=∠BMN，∴∠EHF=∠EBN，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了圖形折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，角度的轉(zhuǎn)化，三角函數(shù)等知識點，解題的關(guān)鍵在于推出∠EHF=∠EBN．9．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）探索發(fā)現(xiàn)；（1）如圖1，在中，；求證：；初步應(yīng)用：（2）如圖2，在中，，，，連接、；求證：．遷移拓展：（3）如圖3，在中，，H為上一點使，過H作交AB于G，，求的值；

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）3【分析】（1）先證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（2）先證明可得，進而得到即，再結(jié)合可證，則；由正弦的定義可得，再運用等量代換即可證明結(jié)論；（3）由平行線等分線段和比的性質(zhì)可得，即G是的中點；進而說明，設(shè)設(shè)，則，然后代入可得，最后代入計算即可【詳解】解：（1）在和中，，，∴，∴，∴；（2）∵，，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（3）∵，∴，即，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，即G是的中點，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得：，∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正弦的定義等知識點，靈活運用相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．10．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，，兩點分別在和的延長線上運動，且始終保持，連接交于點，過點作，垂足為．

(1)如圖（1），若，求的長；(2)如圖（2），求證：的長是定值；(3)如圖（2），若是的中點，直接寫出的值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)正切的定義可得，根據(jù)可得，即可求得；（2）過點作的平行線交于點，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得，，推得，根據(jù)正切的定義可得，，推得，，根據(jù)勾股定理可得，即可得到，即可證明；（3）根據(jù)（2）中結(jié)論求得，，，即可求得．【詳解】（1）∵在中，，∴∵，∴∵，∴即解得（2）過點作的平行線交于點，如圖：

∵∴∴又∴，∴同理∴∵∴∴∵∴在中，在中，，即又∵，∴故在中，，即故∵∴∴在中，故∴的長是定值（3）由（2）可知，，，∵是的中點故∴∴【點睛】本題考查了正切的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是做出輔助線構(gòu)建相似三角形．壓軸題型二求銳角的三角比的值1．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，為邊上的點，為等邊三角形，，，則的值為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】作于點，于點，解直角，得出，證明，得出，再求出，，然后利用正切函數(shù)定義即可求解．【詳解】如圖，作于點，于點，

∵，，∴，∴．∵為等邊三角形，∴，，∵，，∴，在與中，，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴．故選：．【點睛】此題考查了解直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義等知識，準(zhǔn)確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形以及直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形的邊長為，是邊上一點，連接，將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到、交于，連接交于，連接，若，，則的長為（

）A．4 B．5 C．6 D．4或6【答案】C【分析】將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，得出，，證明，得出，根據(jù)得出，進而得出，，根據(jù)，建立方程，解方程即可求解．【詳解】解：如圖所示，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到∴，，∵將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到∴∴是等腰直角三角形，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴∵∴在中，∴∴，設(shè)，則，∵∴∵∴即解得：∴∴∵∴解得：（舍去）故選：C．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，正切的定義，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·安徽黃山·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）矩形紙片中，，將紙片對折，使頂點A與頂點C重合，得折痕，將紙片展開鋪平后再進行折疊，使頂點B與頂點D重合，得折痕，展開鋪平后如圖所示．若折痕與較小的夾角記為，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接、、、，設(shè)，，由，得出的值，過點M作于點G，易得，進而求出，，結(jié)合根據(jù)，即可解題．【詳解】如圖，連接、、、，過點M作于點G，∵四邊形是矩形，，∴，，∴，∴，∴，設(shè)，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，由折疊可知，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查了矩形和折疊問題，讀懂題意正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·四川自貢·九年級?？茧A段練習(xí)）已知的面積為，，．若的頂點都在雙曲線（）上，且過坐標(biāo)原點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，且的面積為，求得，，，的長，設(shè)點，，，通過證得∽可得，再根據(jù)勾股定理求得A的坐標(biāo)滿足，從而可求得k的值．【詳解】解：如圖，過B點作軸，，，，，，，，∽，，，，，，，的面積為，，，，，，，設(shè)點，由雙曲線的對稱性可得，，，，，解得：．故選：A．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及相似三角形的綜合應(yīng)用，構(gòu)建三角形相似是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，，點C是射線上的動點，連接，作，，動點E在延長線上，，連接，，當(dāng)，時，的長是．

【答案】或【分析】如圖，過點C作于點T，過點D作交的延長線于點J，連接．由，可以假設(shè)，，證明，推出，，再利用勾股定理，構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：如圖，過點C作于點T，過點D作交的延長線于點J，連接，

∵，∴設(shè)，則，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴C，E，D，J四點共圓，∵，∴，∴，∵，∴，整理得：，∴，∴或，∴或5，故答案為：或5．【點睛】本題主要考查了勾股定理，三角形函數(shù)的應(yīng)用，三角形全等的判定和性質(zhì)，四點共圓，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，根據(jù)勾股定理列出方程．6．（2023·四川成都·?？既＃┤鐖D，在菱形中，，點為邊中點，點在邊上，將四邊形沿直線翻折，使的對應(yīng)邊為，當(dāng)時，的值為．

【答案】/【分析】過點D作于點K，設(shè)與的交點為E，延長交于點L，根據(jù)三角函數(shù)的意義，菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理計算即可．【詳解】過點D作于點K，設(shè)與的交點為E，延長交于點L，∵四邊形沿直線翻折，∴，∵，，∴，∴設(shè)，則，∴，∵點為邊中點，∴，∵四邊形是菱形，∴，，，∴，，，∵，，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，，∴設(shè)，∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，∴∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查銳角三角形函數(shù)，菱形，折疊，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角形函數(shù)的運用，菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理．7．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是正方形，點，在坐標(biāo)軸上，點，是射線上一點，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，是點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點，當(dāng)時，則點的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出點在線段的延長線上，然后求出、的長，從而求出的長，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出和的長，即可求出點的坐標(biāo)．【詳解】解：當(dāng)點在線段上時，∵點的坐標(biāo)為，四邊形是正方形，∴，，，在中，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∴，與相矛盾，故點不在線段上，當(dāng)點在線段的延長線上時，如圖，過點作軸于點，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，∴，由圖可知，，解方程組，解得，∴，設(shè)與軸交于點，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴點的坐標(biāo)為，故答案為：．

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)．正確得出點的位置是解題的關(guān)鍵．8．（2023·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，已知在中，，，點D在邊上，連接．以為斜邊作，且，，邊的中點F恰好落在邊上．若，則．

【答案】【分析】過點A作于點G，根據(jù)，等腰三角形性質(zhì)，得到，，根據(jù)，得到，根據(jù)，推出，得到，根據(jù)，，得到，，根據(jù)中點性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，推出，，根據(jù)正切定義得到，解得，得到．【詳解】解：過點A作于點G，如圖，

∵，，∴，，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵點F是的中點，∴，∴，∴，，解得：，，在中，，∴，解得：，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了等腰三角形，相似三角形，含的直角三角形，勾股定理，銳角三角函數(shù)等，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形等邊對等角與三線合一的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，含的直角三角形的邊的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，正切定義．9．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，是斜邊的中線，E是射線上的一個動點，連接，將射線繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°，交射線于點F．

(1)點E在線段上時：①求的度數(shù)；②線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為；(2)點E在線段的延長線上時，②中的結(jié)論是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出新的結(jié)論，畫出圖形，并證明．(3)若，，請直接寫出線段的長．【答案】(1)①的度數(shù)為45°；②(2)②中的結(jié)論不成立，此時線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為，證明見解析(3)線段的長為1或4【分析】（1）①由是等腰直角三角形及斜邊上的中線的性質(zhì)可得，設(shè)與的交點為M，再說明，即可得出的度數(shù)；②數(shù)量關(guān)系：，如圖，過點E作交于點H，由是等腰直角三角形，可得，，證明，可得結(jié)論；（2）②中的結(jié)論不成立，此時線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為，如圖，過點E作交于點H，由是等腰直角三角形，可得，，證明，可得結(jié)論；（3）當(dāng)點E在線段上時和點E在線段的延長線時兩種情況進行求解即可．【詳解】（1）解：①∵，，∴是等腰直角三角形，∵是斜邊的中線，∴，如圖，設(shè)與的交點為M，∴，∵射線繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°且交射線于點F，，∴，∴，∴，∴的度數(shù)為45°；②，如圖，過點E作交于點H，由①知：，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，故答案為：．

（2）②中的結(jié)論不成立，此時線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為，如圖，證明：過點E作交于點H，∵是等腰直角三角形，是斜邊的中線，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，，∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴．

（3）如圖，當(dāng)點E在線段上時，過點E作交于點H，過點E作于點G，∴，由②知：是等腰直角三角形，，，設(shè)，，∵，∴，∵是等腰直角三角形，，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，解得：，∴；

如圖，當(dāng)點E在線段的延長線時，過點E作交于點H，過點E作于點G，∴，由（2）知：是等腰直角三角形，，，設(shè)，，∵，∴，∵是等腰直角三角形，，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，解得：，∴；綜上所述，線段的長為1或4．

【點睛】本題是三角形綜合題，考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，運用了分類討論的思想．通過作適當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）在平行四邊形中（頂點按逆時針方向排列），為銳角，且．(1)如圖1，求邊上的高的長．(2)是邊上的一動點，點同時繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得點．①如圖2，當(dāng)點落在射線上時，求的長．②當(dāng)是直角三角形時，求的長．【答案】(1)8(2)①；②或【分析】（1）利用正弦的定義即可求得答案；（2）①先證明，再證明，最后利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列出方程即可；②分三種情況討論完成，第一種：為直角頂點；第二種：為直角頂點；第三種，為直角頂點，但此種情況不成立，故最終有兩個答案．【詳解】（1）解：在中，，在中，；（2）①如圖1，作于點，由（1）得，，則，作交延長線于點，則，

∴，∵，∴，由旋轉(zhuǎn)知，∴，設(shè)，則．∵，∴，∴，∴，即，∴，∴．②由旋轉(zhuǎn)得，，又因為，所以．情況一：當(dāng)以為直角頂點時，如圖2．

∵，∴落在線段延長線上．∵，∴，由（1）知，，∴．情況二：當(dāng)以為直角頂點時，如圖3．

設(shè)與射線的交點為，作于點．∵，∴，∵，∴，∴．又∵，∴，∴．設(shè)，則，∴∵，∴，∴，∴，∴，化簡得，解得，∴．情況三：當(dāng)以為直角頂點時，點落在的延長線上，不符合題意．綜上所述，或．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，正弦的定義，全等的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，理解記憶相關(guān)定義，判定，性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．壓軸題型三解直角三角形1．（2023春·浙江溫州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，以其三邊為邊向外作正方形，連結(jié)，交于點，過點作于點．過點作交延長線于點，，，則的值為（）

A．30 B．11 C． D．【答案】B【分析】設(shè)與交于點，利用正方形性質(zhì)可證得，得出，，設(shè)，，根據(jù)，可得，，利用勾股定理建立方程求解可得，再由，可得，利用等腰三角形性質(zhì)和解直角三角形可求得，再證明四邊形是矩形，得出，利用即可求得答案．【詳解】解：設(shè)與交于點，

四邊形、、均為正方形，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，，則，，，，，即，，，，，，，解得：或（舍去），，，，，、、三點共線，，，，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，．故選：B．【點睛】本題主要考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)定義等知識，利用勾股定理建立方程求得是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）在中，，，點D是點B關(guān)于的對稱點，連接，，E，F(xiàn)是，上兩點，作，，垂足分別為M，N，若，，則的值是（）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】作出相應(yīng)的圖形，由軸對稱的性質(zhì)可得，，，從而可求得，由勾股定理求得，再由平行線的性質(zhì)可得，可判定，則有，，再由線段的比即可求解．【詳解】解：如圖，

∵點D是點B關(guān)于的對稱點，，∴，，，∵，∴，即，解得：，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，，∴，，∴，，∵，∴，即，∴，∴，即．故選：A．【點睛】本題主要考查解直角三角形，軸對稱的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各邊的關(guān)系．3．（2023春·湖北武漢·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，點、、分別在、，上，則周長的最小值為（

）

A．15 B． C． D．20【答案】C【分析】分別作點E關(guān)于，的對稱點P，Q．連接，，，，，，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得出，，，，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得出，過點A作交于點M，再根據(jù)三線合一的性質(zhì)，得出，再根據(jù)余弦的定義，得出，進而得出，過點A作于點H，再根據(jù)正弦的定義，得出，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可得出周長的最小值為的長度．【詳解】解：分別作點E關(guān)于，的對稱點P，Q．連接，，，，，，

則，，，，∵，∴，即，∵，∴，過點A作交于點M，∵，∴，在中，，∴．過點A作于點H，在中，，∴的周長為：．故選：C．【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形、三角形的三邊關(guān)系，對“動點”進行兩次軸對稱變換是解決問題的難點．4．（2023春·安徽合肥·九年級?？茧A段練習(xí)）在中，，，，于點，一束光線從點出發(fā)，經(jīng)過邊反射后，再經(jīng)邊反射，最后回到點，則光線經(jīng)過的最短路程為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)最短路徑問題進行分析，根據(jù)銳角三角函數(shù)，三角形內(nèi)角和定理和勾股定理進行求解即可．【詳解】如圖，作點關(guān)于的對稱點，作點關(guān)于的對稱點，連接分別交，于點，，連接，，則即為最短路程．

∵于點，∴，∴，∴，，∴，∴在中，根據(jù)勾股定理得，故光線經(jīng)過的最短路程為．故選：C．【點睛】本題考查了最短路徑問題，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握最短路徑問題是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·上海浦東新·八年級?？计谀┤鐖D，兩條寬度都為1的紙條，交叉重疊放在一起，它們的夾角，它們重疊部分（圖中陰影部分的面積是．

【答案】【分析】如圖：過C作，，垂足為E，F(xiàn)，則重疊部分為平行四邊形，運用三角函數(shù)定義先求邊長，再根據(jù)平行四邊形的面積公式求解即可．【詳解】解：如圖：過C作，，垂足為E，F(xiàn)，由題意可得：，，∵，即，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴重疊部分（圖中陰影部分）的面積為．故答案為．

【點睛】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用，利用三角函數(shù)求出BC的長是解答本題的關(guān)鍵．6．（2023·上海·模擬預(yù)測）如圖，已知中，，點是的中點，將沿所在的直線翻折，點落在點處，，且交于點，的值為．【答案】【分析】連接，交于點，可設(shè)，，由直角三角形斜邊上的中線的定義可得是有斜邊上的中線，可得，，再由折疊的性質(zhì)可得，，，從而可求得，則可證得是以點為直角頂點的等腰直角三角形，故有，從而可求得，再由，，得，可求得，，即可求解．【詳解】解：連接，交于點，如圖，設(shè)，，是的中點，，是有斜邊上的中線，，即，，，，，即，，、關(guān)于對稱，，，，，．，，，，，是以點為直角頂點的等腰直角三角形，，，，，，，，故，在中，，在中，，，，，，故，，，，，，，，即的值為．【點睛】本題主要考查翻折變換（折疊問題），解答的關(guān)鍵是明確折疊的過程中相應(yīng)的邊或角之間的關(guān)系．7．（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，點在邊上，點在射線上，將沿翻折，使得點落在點處，當(dāng)且時，的長為．【答案】/【分析】求出，勾股定理求出，根據(jù)題意，易得：，，進而求出的長，過作，過點作，過點作，交于點，延長交于點，易得四邊形，四邊形均為矩形，分別求出，得到，設(shè)，則：，分別用含的式子，表示出，利用勾股定理求出的值，進而得解．【詳解】解：在中，，∴；，∵將沿翻折，使得點落在點處，當(dāng)且，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，過作，過點作，過點作，交于點，延長交于點，∵，∴，∴四邊形，四邊形均為矩形，∴，，∴，∴，設(shè)，則：，∴，，，連接，則：，在中，，即：，解得：，∴；故答案為：．【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形．本題難度大，綜合性強，根據(jù)題意，準(zhǔn)確的作圖，構(gòu)造特殊圖形，是解題的關(guān)鍵．8．（2023·上海·一模）新定義：有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形.如圖，已知在對余四邊形中，，，，，那么邊的長為．【答案】9【分析】連接AC，作交BC于E點，由，，可得AE=6，BE=8，并求出AC的長，作交AD于F點，可證，最后求得AF和DF的長，可解出最終結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接AC，作交BC于E點，，，，設(shè)AE=3x，BE=4x，，則，解得x=2，則AE=6，BE=8，又，CE=BC-BE=4，，作交AD于F點，，，，==，又，同理可得DF=3，CF=4，，AD=AF+DF=9．故答案為：9．【點睛】本題考查四邊形綜合問題，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定難度，熟練掌握直角三角形和勾股定理知識點，根據(jù)題意做出正確的輔助線是解決本題的關(guān)鍵．9．（2023·上海·一模）如圖，在中，，，，，平分交邊于點D，點E是邊上的一個動點（不與B、C重合），F(xiàn)是邊上一點，且，與相交于點G．

(1)求證：；(2)設(shè)，，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(3)當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，求的長．【答案】(1)見解析(2)y=(3)的長為1或【分析】（1）要證，只需證，只需證到，．由，平分∠ABC可證到；由可證到，問題解決．（2）作的垂直平分線交于點M，交于點N，易證，從而可以證到，可得．只需用x、y表示出、，問題就得以解決．（3）當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，可分和兩種情況討論．當(dāng)時，由可得，從而可以得到x與y的等量關(guān)系，再結(jié)合（2）中的y與x的關(guān)系就可求出x的值；當(dāng)時，易證，過點F作，垂足為H，則有，結(jié)合，就可得到x與y的等量關(guān)系，再結(jié)合（2）中的y與x的關(guān)系就可求出x的值．【詳解】（1）證明：∵平分，∴．∵，∴．∵，，，∴．∵，，∴．∴．（2）解：作的垂直平分線交于點M，交于點N，如圖2，

則有．在中，，則．∵垂直平分，∴．∴．∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∴．∵，，，∴．又∵，∴．∴．（3）解：①，如圖3，

∵（已證），∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∴．整理得：．則有．解得：（舍），．②，過點F作，垂足為H，如圖4，

∵，∴．∵，，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．在中，．∴．∴．∴．∴．整理得：．則有．∴，．∵，∴．綜上所述：當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，的長為1或．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、用因式分解法解一元二次方程、銳角三角函數(shù)的定義、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)等知識，綜合性非常強．而作的垂直平分線交于點M，進而證到是解決第二小題和第三小題的關(guān)鍵．10．（2023·上海寶山·一模）如圖1，在中，，，．點D、E分別在邊、上（不與端點重合），和交于點，滿足．(1)求證：；(2)如圖2，當(dāng)時，求的長；(3)當(dāng)是等腰三角形時，求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)或4【分析】（1）作于，解直角三角形，求得和，進而解直角三角形，求得，從而得出，進一步得出，從而，進一步得出結(jié)論；（2）作于，解直角三角形，求得，，解，得出，進而設(shè)，，，從而，進而由得，，進一步得出結(jié)果；（3）有兩種情形：當(dāng)時，可推出，作于，作于，進而證明，從而，，進而求得，根據(jù)（1）：，求得，進而求得，進一步得出結(jié)果；當(dāng)時，可推出，作于，可得出，同樣根據(jù)（1）求得，進一步得出結(jié)果．【詳解】（1）解：證明：如圖1，作于，，，，，，，，，，，，，，；（2）如圖2，作于，，，，，，，在中，，設(shè)，，，，由得，，，；（3）如圖3，當(dāng)時，，，，，作于，作于，，，，，，，，由（1）知：，，，；如圖4，當(dāng)時，，，作于，，，，，由（1）知：，，，，，綜上所述：或4．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)及分類，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定性質(zhì)，解直角三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是理清線段之間的關(guān)系．壓軸題型四解直角三角形的應(yīng)用1．（2023春·海南儋州·九年級專題練習(xí)）某公園有一座古塔，古塔前有一個斜坡坡角，斜坡高米，是平行于水平地面的一個平臺、小華想利用所學(xué)知識測量古塔的高度，她在平臺的點處水平放置一平面鏡，她沿著方向移動，當(dāng)移動到點時，剛好在鏡面中看到古塔頂端點的像，這時，測得小華眼睛與地面的距離米，米，米，米，已知，根據(jù)題中提供的相關(guān)信息，古塔的高度約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正切定義求出CE，延長GD交AB于點H，則BH＝DE＝1.8（米），DH＝BE＝BC+CE＝18（米），HG＝DH+DG＝26（米），證明△AHG∽△MNG，求出AH的長，則可求出答案．【詳解】解：在Rt△CDE中，tan∠DCE，∴0.9，∴CE＝2，延長GD交AB于點H，則BH＝DE＝1.8（米），DH＝BE＝BC+CE＝18（米），HG＝DH+DG＝26（米），∵∠AHG＝∠MNG＝90°，∠AGH＝∠MGN，∴△AHG∽△MNG，∴，即，∴AH＝19.5（米），∴AB＝AH+HB＝21.3（米）．答：古塔的高度AB為21.3米．故選：C．【點睛】此題考查了解直角三角形應(yīng)用﹣坡度坡角問題，相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·山東濟南·九年級期末）5G時代，萬物互聯(lián)．互聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、人工智能與各行業(yè)應(yīng)用深度融合，助力數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展，共建智慧生活．網(wǎng)絡(luò)公司在改造時，把某一5G信號發(fā)射塔建在了山坡的平臺上，已知山坡的坡度為．身高1.6米的小明站在A處測得塔頂M的仰角是，向前步行6米到達(dá)B處，再延斜坡步行6.5米至平臺點C處，測得塔頂M的仰角是，若在同一平面內(nèi)，且和分別在同一水平線上，則發(fā)射塔的高度約為（

）（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）A．17.3米 B．18.9米 C．65.0米 D．66.6米【答案】B【分析】如圖，設(shè)C點處垂線與B處視線交點為F，過點F作FL⊥MN于L，過點E作EI⊥MN于I，延長MN交AB的延長線于H，設(shè)，，利用三角形函數(shù)構(gòu)建方程求出x即可解決問題．【詳解】解：如圖，設(shè)C點處垂線與B處視線交點為F，過點F作FL⊥MN于L，過點E作EI⊥MN于I，延長MN交AB的延長線于H，設(shè)，，在中，∵，∴，∵，∴，，在中，，∵，，∴，則，在中，，∵，，∴，則，∴，解得．故選：B．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．3．（2023春·海南儋州·九年級專題練習(xí)）高鐵沙坪壩站雙子塔為國內(nèi)首例在高鐵站上實施商業(yè)開發(fā)的綜合體．如圖，小南在與塔底同一高度的地面處測得塔頂?shù)难鼋菫椋酉聛?，他沿一條坡比為1:2.4的斜坡行進了156米后，在處測得塔頂?shù)难鼋菫?，點在同一平面內(nèi)，則小南測得的雙子塔的高度約為（

）米．（參考數(shù)據(jù)：，，）A．193 B．196 C．201 D．206【答案】B【分析】過點D作于E，于F，連接AC，則，得到四邊形DEBF是矩形，求出DF，進而求出BC的高度．【詳解】分別過點D作于E，于F，連接AC，如圖所示：則，∴四邊形DEBF是矩形，∴，∵斜坡AD的坡比為1:2.4，∴，設(shè)，在中，，即，解得，(舍去)，∴(米)，(米)，∴(米)，(米)，∵，∴，∴，∴(米)，在，，∴，解得，(米)，∴(米)，∴(米)，故選：B．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意，結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．4．（2023春·安徽·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，一艘船由港沿北偏東65°方向航行至港，然后再沿北偏西40°方向航行至港，港在港北偏東20°方向，則，兩港之間的距離為（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意作BD垂直于AC于點D，根據(jù)計算可得，;根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意作BD垂直于AC于點D.可得AB=，所以可得因此可得故選B.【點睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算即可.5．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在一次數(shù)學(xué)課外實踐活動中，某小組要測量一幢大樓的高度，如圖，在山坡的坡腳A處測得大樓頂部M的仰角是，沿著山坡向上走55米到達(dá)B處，在B處測得大樓頂部M的仰角是，斜坡的坡度（坡度是指坡而的鉛直高度與水平寬度的比），則大樓的高度為米．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）

【答案】187【分析】過點B作，垂足為D，過點B作，垂足為E，根據(jù)題意可得：，根據(jù)已知可設(shè)米，則米，然后在中，利用勾股定理進行計算可求出和的長，再設(shè)米，則米，最后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出的長，進而列出關(guān)于y的方程，進行計算即可解答．【詳解】：過點B作，垂足為D，過點B作，垂足為E，

由題意得：，∵斜坡的坡度，∴設(shè)米，則米，在中，（米），∵米，∴，解得：，∴米，米，∴米，設(shè)米，∴米，在中，，（米），在中，，∴米，∴米，∴，解得：，∴（米），∴大樓的高度約為187米．故答案為：187．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題、坡度坡角問題等知識點，結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．6．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）長嘴壺茶藝表演是一項深受群眾喜愛的民俗文化，所用到的長嘴壺更是歷史悠久．圖1是某款長嘴壺模型放置在水平桌面l上的抽象示意圖，已知壺身，，壺嘴，且，，，則，如圖2，若長嘴壺中裝有若干茶水，繞點A轉(zhuǎn)動壺身，當(dāng)恰好倒出茶水時，，則此時出水口F到桌面的距離為cm．

【答案】【分析】過點D作，交于點G，過點A作，利用勾股定理求出即可得出，再由當(dāng)，過D點作，垂足為，過點作，垂足為，構(gòu)造，，解三角形即可。【詳解】解：如圖，過點D作，交于點G，過點A作，

∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴∴，∴，解得：（負(fù)值已舍去）∴，，∴，∵，，∴，∴∴，當(dāng)，過D點作，垂足為，過點作，垂足為，

∴，，∵，，∴，∴，∴在中，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即則此時出水口F到桌面的距離為．故答案為①，②．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）圖1是一種雙層電腦支架實物圖，圖是其示意圖，，，為固定點，支杠，可分別繞著點，旋轉(zhuǎn)，點，分別在，上移動．，，，當(dāng)支點與點的距離為時，則