2025高考數(shù)學一輪復(fù)習知識清單：導數(shù)壓軸大題歸類 （原卷版）

專題08導數(shù)壓軸大題歸類

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目錄

題型一：不等式證明1：無參基礎(chǔ)思維型..........................................................1

題型二：不等式證明2：有參數(shù)型基礎(chǔ)證明.......................................................2

題型三：極值點偏移：和型......................................................................2

題型四：極值點偏移：積型......................................................................3

題型五：極值點偏移：含參型....................................................................3

題型六：極值點偏移：平方型....................................................................4

題型七：極值點偏移：非對稱型..................................................................5

題型八：比值代換型證明........................................................................5

題型九：三零點型不等式證明....................................................................6

題型十：三角函數(shù)型不等式證明..................................................................7

題型十一：零點與求參.........................................................................7

題型十二：三個零點型求參......................................................................8

題型十三：恒成立求參：三角函數(shù)型..............................................................8

題型十四：恒成立求參：整數(shù)解型................................................................9

題型十五：能成立求參：雙變量型...............................................................10

更突圍?錯;住蝗分

題型一：不等式證明1：無參基礎(chǔ)思維型

指I點I迷I津

證明不等式基礎(chǔ)思維：

1.移項到一側(cè)，證明函數(shù)的最值大于0(小于0)證明法

2.恒等變形，再證明新恒等式法。

1.(四川省金太陽普通高中高三第三次聯(lián)考數(shù)學)已知函數(shù)〃耳=加-(1+24卜+11?.

(1)討論〃尤)的單調(diào)性.

x7

(2)當〃=0時，證明：-P>--x2-2f(xY

x10v7

2.已知函數(shù)/(x)=3"Tni.

X

(1)討論函數(shù)以X)在［1,2］上的單調(diào)性;

(2)若。=—1,求證：/Xx)>—3x-2在(0,+8)上恒成立.

3.(2022.河南南陽?南陽中學?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=ae*-4x,aeR.

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當a=l時，求證：/(x)+x2+l>0.

題型二：不等式證明2：有參數(shù)型基礎(chǔ)證明

:指I點I迷I津

有參數(shù)型不等式證明：

通過參數(shù)庖圈，確定范教的單調(diào)性，然后利用最值敖縮證明不等式

I_________________________________________________________

1.(2024高三?全國?專題練習)設(shè)函數(shù)/(x)=e'-alnx.

⑴當。=1,求"X)在點(l,e)處的切線方程;

(2)證明：當a>0時，/(x)>2a-alna；

2.(2024,全國,周考真題)已知函數(shù)/'(x)=lnx+1.

⑴求/'(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當a<2時，證明：當尤>1時，"x)<ei恒成立.

3.(2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(%)=111%+依+1,。€11.

(1)討論“力的單調(diào)性；

(2)當aW2時，證明：^^<e2Y.

X

題型三：極值點偏移：和型

;指I點I迷I津

處理極值點偏移問題中的類似于玉+%>。的問題的基本步驟如下：

;①求導確定了(元)的單調(diào)性，得到4％的范圍；

②構(gòu)造函數(shù)尸(x)=〃x)-〃a-x),求導后可得網(wǎng)x)恒正或恒負；

③得到了(')與不)的大小關(guān)系后，將/4)置換為了(%)；

④根據(jù)巧與再所處的范圍，結(jié)合/(X)的單調(diào)性，可得到々與。-藥的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.

ny

1.(22-23高三?廣東深圳?階段練習)已知函數(shù)/(%)=F(QW0).

e

⑴若對任意的xeR,都有了(X)4L恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

e

(2)設(shè)/，"是兩個不相等的實數(shù),S.m=nem-n.求證：%+〃>2.

2.(22-23高三?陜西安康)已知函數(shù)/(x)=a(；：l)+；Y.

⑴當〃=1時，求曲線y=〃x)在點處的切線方程；

⑵若函數(shù)/(X)有兩個不同零點%,三,求a的取值范圍，并證明玉+為2>0.

3.(2023?河南平頂山?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=e*-xlnx-?x-l(aeR)有兩個零點.

⑴求a的取值范圍；

(2)設(shè)先,當是〃尤)的兩個零點，證明：％+無2>2.

題型四：極值點偏移：積型

:指I點I迷I津

處理極值點偏移問題中的類似于％N<。(『(％)=/(%))的問題的基本步驟如下：

：①求導確定/(X)的單調(diào)性，得到玉,受的范圍；

②構(gòu)造函數(shù)=求導可得網(wǎng)X)恒正或恒負；

③得到〃為)與/巴］的大小關(guān)系后，將/&)置換為外馬)；

④根據(jù)巧與手的范圍，結(jié)合/(X)的單調(diào)性，可得血與2的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.

1.(22-23高三上?北京房山,期中)己知函數(shù)/(x)=lnx-x

⑴求函數(shù)/⑺單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)+a,若玉?0,e］是函數(shù)g(x)的兩個零點,

①求。的取值范圍；

②求證：王Z<1.

11

2.(2024?廣東湛江?一模)已知函數(shù)〃x)=(l+lnx)el

⑴討論〃x)的單調(diào)性；

(2)若方程〃x)=l有兩個根不，巧，求實數(shù)a的取值范圍，并證明：占々>1.

3.(23-24高三?河南?階段練習)己知函數(shù)/(x)=；62-(2a+l)x+21nx(aeR).

⑴若/(X)有唯一極值，求。的取值范圍；

(2)當aWO時，若/(占人〃%),x^x2,求證：xtx2<4.

題型五：極值點偏移：含參型

指I點I迷I津

含參型極值點偏移：

1.消去參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問題去解決;

2.以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個變元的新的函數(shù).

1.(23-24高三上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習)已知函數(shù)〃尤)=In無+彳,〃eR.若函數(shù)有兩個不相等的零點玉,泡.

⑴求a的取值范圍；

(2)證明：%[+x2>4a.

2.(22-23高按?四川瀘州)已知函數(shù)g(x)=e=2a(x-l),e為自然對數(shù)的底數(shù).

⑴若函數(shù)g(x)在(L+8)上有零點，求a的取值范圍；

(2)當a>0,玉片々，且g(x；)=g(X2),求證：A,+x,<21n(2a).

3.(21-22高三?河南鄭州?)已知函數(shù)/'(x)=(ln尤一左-l)x(ZeR).

(1)當x>l時，求/(力的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若芯二多,且/(占)=/(%)，證明：再尤2<e2"

題型六：極值點偏移：平方型

指I點I迷I津

對于平方型，可以應(yīng)用對數(shù)平均不等式斥證明極值點偏移,

①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；

②將所得含對數(shù)的等式進行變形得到?,

inX]inX]

③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.

1.(2024?吉林?二模)在平面直角坐標系xOy中，RtA&LB的直角頂點A在x軸上，另一個頂點8在函數(shù)

=?圖象上

⑴當頂點8在無軸上方時，求RMOAB以x軸為旋轉(zhuǎn)軸，邊和邊。8旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體

的體積的最大值；

辦22

(2)已知函數(shù)g(x)=e"_ex+ar_l,關(guān)于x的方程/(x)=g(x)有兩個不等實根為,

(i)求實數(shù)。的取值范圍；

2

(ii)證明：.

2.(22-23高三?遼寧?模擬)已知函數(shù)=

⑴討論”元)的單調(diào)性；

(2)若(叫廣=(exj(e是自然對數(shù)的底數(shù))，且為>0,尤2>。，x產(chǎn)馬，證明：x；+xf>2.

3.(2023?廣東廣州?模擬預(yù)測)己知函數(shù)一加.

⑴討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性：

(2)若占,馬是方程〃x)=0的兩不等實根，求證：x；+%>2e；

題型七：極值點偏移：非對稱型

1.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=l-Inx-jaeR).

X

⑴求“X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若“X)有兩個零點為，巧，且玉<馬，求證：王君<e-a.

2.(22-23三■福建福州)已知函數(shù)/(x)=Inx-a(x—2)(aeR).

⑴試討論函數(shù)的單調(diào)性；

3

(2)若函數(shù)/(x)有兩個零點X1,x2(Xj<x2),求證：x,+3X2>—a+2.

3.(21-22高三?浙江?模擬)已知函數(shù)/(x)=lnx—X.

⑴求函數(shù)〃尤)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)y=/(x)的圖象與>=根(〃2€尺)的圖象交于4(小弘)，8(%,%),(芯<尤2)兩點，證明:

2Xj+x2>4-21n2.

題型八：比值代換型證明

指I點I迷I津

應(yīng)用對數(shù)平均不等式斥〈產(chǎn)子—〈上產(chǎn)證明極值點偏移：

inX]inx)，

①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；

②將所得含對數(shù)的等式進行變形得到戶一一；

in玉一in%2

③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.

構(gòu)造對數(shù)不等式時，比值代換是常見經(jīng)驗思維：

1.一般當有對數(shù)差時，可以運算得到對數(shù)真數(shù)商，這是常見的比值代換形式

2.兩個極值點(或者零點)，可代入得到兩個“對稱”方程

3.適當?shù)暮愕茸冃危蓸?gòu)造出“比值”型整體變量。

1.(2023?山西運城?山西省運城中學校校考二模)已知函數(shù)/(x)=d+2cos尤(尤)為函數(shù)Ax)的導函數(shù).

⑴討論函數(shù)人力的單調(diào)性；

(2)已知函數(shù)g(x)=/'(x)-5尤+5alnx,存在g(不)=片3),證明：xl+x2>2a.

2.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/(x)=ln尤+:辦z-(a+l)x,(aeR).

⑴當a=1時，判斷函數(shù)>=/(無)的單調(diào)性；

⑵若關(guān)于x的方程了(無)=：依2有兩個不同實根外,當,求實數(shù)。的取值范圍，并證明

3.(21-22高三?重慶?模擬)已知函數(shù)/0)=111彳-辦+6(0,6€1<)有兩個不同的零點%,9.

⑴求/(X)的最值;

(2)證明：xtx2<\.

題型九：三零點型不等式證明

指I點I迷I津

三個零點型不等式證明常見思維，關(guān)鍵是問題的轉(zhuǎn)化.證明不等式問題第一步轉(zhuǎn)化是消元，把三個根用一

個變量觀表示，第二步構(gòu)造新函數(shù)g(〃D,證明g(㈤的最小值g(%)>。，第三步由導數(shù)求得極小值點人的

范圍，并對g(乙)變形，第四步換元.=以/)，最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于/的多項式不等式，問題易于解決.

丁-7尸懣誣裙:琴簍:產(chǎn)蕤:藻茁癡51高薩王季前而謙著藪享希瓶廠

/(x)=a(x-1)+(a-1)Inx,a>2

已知函數(shù)2

(1)求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(%)=/⑴且“Hl,證明：Vxe(l,m),(a-l)lnx>#-l.

(3)記方程、-4x+31nx=-4的三個實根為占，/，馬，若占<馬<七，證明：x3-x2<2^.

2.(浙江省舟山中學2021-2022學年高二上學期12月月考數(shù)學試題)已知函數(shù)

"%)=(x+l)lnx+a(x—l),a￡R

(1)求函數(shù)y=r(x)的最小值；

(2)若“X)有三個零點占,無3,

①求a的取值范圍；

1113

②求證：嬴兀+嬴嬴金<—

a

3.已知"尤)=,二一，關(guān)于x的方程/(無)=〃，的不同實數(shù)解個數(shù)為k.

Inx,x>0

(1)求k分別為L2,3時，m的相應(yīng)取值范圍；

35

(2)若方程/(幻=用的三個不同的根從小到大依次為七,%2，入3，求證：%1+X3>x2--m--.

題型十：三角函數(shù)型不等式證明

:指I點I迷I津

對于含有三角翦數(shù)型不等人證明:

:1.證明思路和普通不等式一樣。

2.充分利用正余弦的有界性

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/x_sinx+cosx-1

1.(河南省開封市杞縣高中2023屆高三文科數(shù)學第一次摸底試題)已知函數(shù)‘⑴一"

⑴求函數(shù)〃尤)在(0,萬)內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)當xe[0,+oo)時,求證:f(x)<x.

7(x)=lnx+—

2.(云南民族大學附屬中學2022屆高三高考押題卷二數(shù)學(理)試題)已知函數(shù)x,

g(x)=e，+sinx,其中°eR.

⑴試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若。=1,證明：/(x)<^.

X

3.已知函數(shù)〃力=產(chǎn)〃+6sinx-l的圖象在原點處的切線方程為y=2x.

⑴求函數(shù)y=/(x)的解析式；

(2)證明：f(x)>2x.

題型十一：零點與求參

;指I點I迷I津

；函數(shù)零點的求解與判斷方法：

⑴直接求零點：令/(x)=0,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點.

(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間口力]上是連續(xù)不斷的曲線，且/(。方修)<0,還必須結(jié)合函

；數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.

⑶利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的

值，就有幾個不同的零點.

1.(23-24高三?廣東清遠?模擬)已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)/(0=?r+2冰，g(x)=3a2lnx+^.

⑴設(shè)兩曲線y=/(x),y=g。)有公共點為尸，且在點P處的切線相同，若。>0,求點尸的橫坐標；

(2)在(1)的條件下，求證:

⑶若6=0,Mx)=(“X)+誓-1尤2,函數(shù)拉⑺在定義域內(nèi)有兩個不同的零點外,馬，求實數(shù)。的取值范圍.

23a4

2.(23-24高三上?西藏林芝?期末)已知函數(shù)〃x)=e1"-l(aeR).

⑴討論函數(shù)“X)的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)〃無)在X=1處取得極值，不等式/'(x)Nbx-1對Vxe(o,y)恒成立，求實數(shù)6的取值范圍；

⑶若函數(shù)/(無)在定義域內(nèi)有兩個不同的零點，求實數(shù)。的取值范圍.

3.(22-23高三上,福建福州?階段練習)已知函數(shù)〃x)=lnx+ax3eR).

⑴當a=-l時，求〃尤)在點卜276))處的切線方程；

(2)若f(x)在(0K)上有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍.

題型十二：三個零點型求參

4

1.(23-24高三?湖北省直轄縣級單位?模擬)若函數(shù)/(了)="3-Zu+4,當x=2時，函數(shù)外元)有極值

⑴求函數(shù)的極值；

⑵若關(guān)于無的方程/(幻=左有三個零點，求實數(shù)上的取值范圍.

2.(23-24高三?云南玉溪?模擬)設(shè)〃x)=a(x-5)2+61nx,曲線y=〃x)在點(1"(功處的切線與y軸相交

于點(0,6).

⑴求實數(shù)。的值；

(2)若函數(shù)y=7(x)+〃有三個零點，求實數(shù)6的取值范圍.

4

3.(2022高三?河南南陽?專題練習)若函數(shù)/(尤)=。(》-1)3-6(了-1)+4,當x=3時，函數(shù)/(幻有極值-耳.

⑴求函數(shù)〃無)的解析式；

(2)若關(guān)于x的方程/(x)=k有三個零點，求實數(shù)k的取值范圍.

題型十三：恒成立求參：三角函數(shù)型

指I點I迷I津

不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：

一般地，已知函數(shù)y=/(x),xe[a,，|,y=g(x),x&[c,d]

<1)若%e[a,6],Vx2c總有“xJvgG)成立，故/⑴皿<g㈤1nto；

(2)若％e[a,可,叫目c,d],有<(%)<g(%)成立,故""1mx<g(%)1mx；

(3)若*e[a,可，叫e[c,d],有/(%)<g(%)成立,故(⑺1nto<g(%2)1nto;

(4)若％e[a,6],玉同c,d],有〃％)=g(%)，則"尤)的值域是g(x)值域的子集.

1.(2023,全國?高三專題練習)已知函數(shù)/'(x)=e*+acosx.

⑴若函數(shù)在區(qū)間(0,兀)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍.

jr

⑵當xe0,-時，26恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

2.(2023?河南洛陽?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(力=里，尤/-不如.

cosxI22J

⑴求“X)的最值;

jrjr\

(2)當xe一15)時，/(^)cosx-x(l+cosx)+o>0,求實數(shù)。的取值范圍.

3.(2023上?福建莆田?高三莆田第十中學?？计谥?已知函數(shù)-asinx.

⑴若曲線y=/(x)在點(0J(0))處的切線方程為y=0,判斷當尤>0時函數(shù)"X)的單調(diào)性;

(2)當。=2時，/0)±2°-5(<?€2)在工€[0,兀]恒成立，求c的最大值.

題型十四：恒成立求參：整數(shù)解型

:指I點I迷I津

；解決不等式恒成立問題，常用方法有：

：(1)將原不等式變形整理，分離參數(shù)，繼而構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題解決；

：(2)直接構(gòu)造函數(shù)，求導數(shù)，求解函數(shù)的最值，使得最小值恒大于(或大于等于)0或恒小于(或小于等于)

0,解不等式即可.

1.(2023?山東?山東省五蓮縣第一中學校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(月=《-41-工+1標)，其導函數(shù)為

「(%).

⑴若“力在(1,+8)不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若“X)對在(1,+8)恒成立，求實數(shù)a的最小整數(shù)值.e77.39)

2.(2023下?天津濱海新?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=lnx7nr2+(l-2〃?)x+l,(meR).

⑴若/(l)=-h求m的值及函數(shù)〃尤)的極值；

(2)討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性：

⑶若對定義域內(nèi)的任意x,都有/(x)〈。恒成立，求整數(shù)機的最小值.

3.(2023下?遼寧朝陽?高二校聯(lián)考期末)己知函數(shù)/(x)=ae「ln(x+2)(aeR),

(1)若。=-1,求的圖象在x=0處的切線方程；

⑵若/1(x)〉。對任意的xe(-2,+a:>)恒成立，求