高考數(shù)學(xué)（理）一輪總復(fù)習(xí)作業(yè)-雙曲線（一）

題組層級快練（六十五）

22

1.雙曲線36+1n2-P=l（°<m<3）的焦距為（）

A.6B.12

C.36D.2^/36-2m2

答案B

解析c2=36—m2+m2=36,?,=6.雙曲線的焦距為12.

2.雙曲線8kx2—ky2=8的一個焦點是（0,3）,則k的值是（）

A.1B.-1

「逅D—亞

J33

答案B

解析以2一警=1,焦點在y軸上，c=3,解得k=-1.

3.已知雙曲線用一？=l（a>0）的離心率為2,貝I]a=（）

dJ

A.2B坐

C.坐D,1

答案D

22

解析因為雙曲線的方程為苕x一5v=1,所以e?=l+3至=4,因此a?=l,a=l.選D.

aJd

22

4.（2017?北京西城期末）mn〈0是方程*+[=l表示實軸在x軸上的雙曲線的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析當(dāng)mn<0時，分m<0,n>0和m>0,n<0兩種情況.

222

①當(dāng)m<0,n>0時，方程宗+；=1表示焦點在y軸上的雙曲線；②當(dāng)m>0,n<0時，方程專

+、■=：!表示焦點在x軸上的雙曲線.因此，當(dāng)mn<0時，方程專+；=1不一定表示實軸在

22

x軸上的雙曲線.方程專+彳=1表示實軸在x軸上的雙曲線時，m>0,n<0,必定有mn<0.

22

由此可得：mn<0是方程*+±=1表示實軸在x軸上的雙曲線的必要而不充分條件.故選

B.

5.（2017?河北邢臺摸底）雙曲線x2—4y2=—1的漸近線方程為（）

A.x±2y=0B.y±2x=0

C.x±4y=0D.y±4x=0

答案A

22

解析依題意，題中的雙曲線即〒一x2=l,因此其漸近線方程是〒一x2=0,即x±2y=0,

44

選A.

6.（2018?湖北孝感一中月考）設(shè)點P是雙曲線?爺=30,b>0）上一點，F(xiàn)i，F(xiàn)2分別是雙

曲線的左、右焦點，已知PFIJ_PF2，M|PFI|=2|PF2|,則雙曲線的一條漸近線方程是（）

A.y=:"\^2xB.y=:*\^3x

C.y=2xD.y=4x

答案C

解析由雙曲線的定義可得|PB|—|PF2|=2a,又|PFI|=2|PF2|,#|PF2|=2a,|PFi|=4a.在Rt

222222

△PF1F2中，|FIF2|=|PFI|+|PF2|,.,.4c=16a+4a,即d=5a?,則b?=4a2,即b=2a,

則雙曲線走一，=1的一條漸近線方程為y=2x.故選C.

7.（2018?安徽屯溪一中模擬）已知雙曲線的離心率為坐,且其頂點到其漸近線的距離為零,

則雙曲線的方程為（）

答案D

解析當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)雙曲線方程為a一3=1（a>。，b>0）.雙曲線的離心率為e=^=

dDa

尸尸答

二號理，漸近線方程為y=±*=±9x.

I坐a|rr-

由題意，頂點到漸近線的距離為C一=午,解得a=2,

W1

..）=小，，雙曲線的方程為會一1'=1.

當(dāng)焦點在y軸上時，設(shè)雙曲線方程為，-3=l(a>0,b>0).雙曲線的離心率為e=^=^yl+^2

=亞

—2，

..q=坐，漸近線方程為y=±!x=±乎x,由題意可知：頂點到漸近線的距離為回

紅料，解得a=2,..4=小，

22

.,.雙曲線的方程為亍一年=1.

v2y2y2x2

綜上可知，雙曲線的方程為\=1或1=1.故選D.

22.

8.已知點Fi，F(xiàn)2分別是雙曲線xQ—v%=l(a>0,b>0)的左、右焦點，過點Fi且垂直于x軸的

直線與雙曲線交于A,B兩點，若AABF?是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是

()

A.(1,3)B.(小，2/)

C.(1+陋，+8)D.(1,1+A/2)

答案D

b2

兀ac?—a??

解析依題意，0<NAF2FI<Z，故O<tan/AF2F1<1,則五即e—]<2,e2-2e-

1<0,(e-l)2<2,所以l<e<l+地，故選D.

9.已知雙曲線mx?—ny』l(m>0,n>0)的離心率為2,則橢圓mx2+ny2=l的離心率為()

A.fB坐

C亞D”

。3u3

答案B

解析由已知雙曲線的離心率為2,得=2.

解得m=3n.又m>0,n>0,/.m>n,BP->―

故由橢圓mx2+ny2=l,得寧+牛=1.

nm

n3n加

，所求橢圓的離心率為e=

1—3?

10.已知雙曲線的方程為最一A=l（a>0,b>0）,雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離為田

c（c為雙曲線的半焦距長），則雙曲線的離心率為（）

。5

解析雙曲線點一,=1的漸近線為:土卡=0,焦點A（c,0）到直線bx—ay=0的距離為

=殺：，則c2—a2=-c2,得e2=*e=|,故選B.

H.（2018?成都市高三二診）設(shè)雙曲線C：?一W=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為B，F(xiàn)2,

以F1F2為直徑的圓與雙曲線左支的一個交點為P.若以O(shè)Fi（O為坐標(biāo)原點）為直徑的圓與PF,

相切，則雙曲線C的離心率為（）

—3+2

A.^2

C.小

如圖，在圓O中，F(xiàn)1F2為直徑，P是圓。上一點，所以PF|±PF2,

設(shè)以O(shè)FI為直徑的圓的圓心為M,且圓M與直線PF2相切于點Q,則

M（-1,0）,MQ±PF2,所以PF/MQ,所以霜皆，即高=右

OpOp4C*2Op

222

可得|PFi|=至，所以|PF2|=^+2a,X|PFi|+|PF2|=|FIF2|,所以勺+（丁+2a）2=4c?,即

->kr,/H3+6^/23—6A/2.,,,

7e2—6e—9=0,解侍e=-e=---尸一（舍去）.故選D.

22

12.（2018?貴陽市高三檢測）雙曲線x/一言v=l（a>0,b>0）的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、

左、右”四個區(qū)域（不含邊界），若點（2,1）在“右”區(qū)域內(nèi)，則雙曲線離心率e的取值范圍

是（）

55,

c.(1,4)D.q,+8)

答案B

解析依題意，注意到題中的雙曲線專一3=i的漸近線方程為丫=±3,且“右”區(qū)域是不

dDd

卜<?，2bb1

等式組〈K所確定，又點(2,1)在“右”區(qū)域內(nèi)，于是有1<多，即因此題中的雙

baa/

(yf

曲線的離心率e=\^l+(號)2金(坐,+8),選B.

22

13.已知曲線方程工*一T=1,若方程表示雙曲線，則正的取值范圍是________.

A十2八十1T1

答案九v—2或Q*—1

22

解析?方程=1表示雙曲線,(k+2)(k+l)>0,解得入v—2或X>—1.

A-I-ZA-I-1

22l

14.(2016?北京)已知雙曲線x於一v%=l(a>0,b>0)的一條漸近線為2x+y=0,一個焦點為(小，

0),貝!)a=；b=.

答案12

解析由題意知，漸近線方程為y=-2x,由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及性質(zhì)可知當(dāng)=2,由c=小，

c2=a2+b2,可得b=2,a=l.

15.(2015?課標(biāo)全國II,文)已知雙曲線過點(4,小),且漸近線方程為丫=±幺，則該雙曲線

的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案\—y2=l

解析方法一：因為雙曲線過點(4,小)，且漸近線方程為y=±%,故點(4,3)在直線y

f42_(A/3)2

1、x2v2Ja2b2—1)

=/的下方.設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為薦一S=l(a>0,b>0),所以《解得

2aDb_l

、@一2'

fa—2,x2

b=1故雙曲線方程為5一y2=l.

12

方法二：因為雙曲線的漸近線方程為y=±1x,故可設(shè)雙曲線為全x一y2=MX>0),又雙曲線過

L42LX2

點(4,小)，所以4—(市)2=九，所以入=1,故雙曲線方程為4—y2=i.

x2

16.(2018?湖南長沙模擬)P是雙曲線C：,一y2=l右支上一點，直線1是雙曲線C的一條漸

近線，P在1上的射影為Q,Fi是雙曲線C的左焦點，則|PF||+|PQ|的最小值為.

答案2g+1

解析設(shè)右焦點為F2,—|PF2|=2啦，

：.|PFI|=|PF2|+2由，：.|PFI|+|PQ|=|PF2|+2小+|PQ].當(dāng)且僅當(dāng)Q,P,F2三點共線，且P

在F2,Q之間時，|PF2|十|PQ|最小，且最小值為F2到1的距離.

由題意得1的方程為y=±^x,F2巾,0),F2至U1的距離d=l,；.|PQ|+|PFi|的最小值為2^2

+1.

17.如圖所示，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，F(xiàn)HF2分別為左、

右焦點，雙曲線的左支上有一點P,ZF1PF2=^,且△PF1F2的面積為2餡，八,

3a&

又雙曲線的離心率為2,求該雙曲線的方程./I\

3x?

口木22.1

22

解析設(shè)雙曲線的方程為x$—式v=1,

c,0),F2(C,0),P(xo,yo).

JI

222

在△PF1F2中,由余弦定理，#|F1F2|=|PF1|+|PF2|-2|PF1|?|PF2|-cosy

2

=(|PFI|-|PF2|)+|PFI|?|PF2|.

22

即4c=4a+|PFi|?|PF2|.

又?.?SZIPFIF2=2V5,

.'.^|PFI|?|PF2|?si修=2小.

/.|PFi|?|PF2|=8.

.?.4/=4a?+8,即b2=2.

又e=￡=2,a2=弓.

a3

???所求雙曲線方程為號3x2一5/=1.

18.(2018?上海崇明一模)已知點Fi，F(xiàn)2為雙曲線C：x2一0=1的左、右焦點，過F2作垂直

于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線C于點M,ZMFIF2=30°.

⑴求雙曲線C的方程；

(2)過雙曲線C上任意一點P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為Pi,P2,求11?而2

的值.

答案(1)X2-^=1(2)1

解析(1)設(shè)F2,M的坐標(biāo)分別為(、/l+b2,0),(VT+b5,yo)(yo>O),

2

因為點M在雙曲線C上，所以l+b?—泮=1,則yo=b2,

所以|MF2|=b2.

2

在Rt/XMFzFi中，ZMFIF2=30°,|MF2|=b,所以|MFi|=2b2.

由雙曲線的定義可知：|MFi|—|MF?|=b2=2,

故雙曲線C的方程為X2—^-=1.

(2)由條件可知：兩條漸近線分別為h：也x—y=0,12:&x+y=0.

設(shè)雙曲線C上的點P(xo,yo)兩條漸近線的夾角為0,由題意知cos。=1■.則點P到兩條漸近

線的距離分別為明|=普產(chǎn)，叫|=電鏟.

因為P(xo,yo)在雙曲線C：X2-2-=1±,所以2X()2—y()2=2.

22

^lV2xo-yol虛xo+yo||2x0—yol12

所以PPi-PP2=---------『cose=-3------3=9.

|備選題|

1.(2015?廣東，理)已知雙曲線C：/一心=1的離心率e=a，且其右焦點為F2(5,0),則雙

曲線C的方程為()

.x2x2

A,431161

_x2x2y2

r———工―=1P)———工—=1

。1691u341

答案C

解析因為雙曲線C的右焦點為F2(5,0),所以c=5.

_c5

因為離心率匕=￡=不所以a=4.

又a2+b2=c2,所以b2=9.

故雙曲線C的方程為專一5=1.

2.若雙曲線?一5=1的離心率為小，則其漸近線方程為()

A.y=±2xB.y=

1

C.y=±^xD.y=±2^

答案B

解析由離心率為可知c=4a,...b=啦a..??漸近線方程為y=±3c=±^「x,故選B.

3.(2015?天津，文)已知雙曲線$-8=l(a>0,b>0)的一個焦點為F(2,0),且雙曲線的漸近

線與圓(x—2)2+y2=3相切，則雙曲線的方程為()

2

29Xy2

1

1310-139

x2v2

C百一y2=lD.x2——1

答案D

解析雙曲線的一條漸近線方程為y=*，即bx—ay=0.

<c2=a2+b2,

c=2,

由題意，得《解得a2=l,b2=3,

從而雙曲線的方程為x2-^-=l.

22

4.設(shè)Fi，F(xiàn)2分別為雙曲線x於一v石=l(a>0,b>0)的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得

0

|PFi|+|PF2|=3b,|PFi|?|PF2|=4ab,則該雙曲線的離心率為()

A-3B-3

9

C.4D.3

答案B

2

解析由雙曲線的定義，得||PFi|—|PF2||=2a.又|PFi|+|PF2|=3b,frtU(|PFi|+|PF2|)-(|PFi|

2222222

-|PF2|)=9b-4a,即4|PFi|?|PF2|=9b-4a.X4|PF!|?|PF2|=9ab,因此9b-4a=9ab,

即9日一空—4=0，則年+1)爵一4)=0,解得*襄=一^■舍去)，則雙曲線的離心率e

3

5.(2015?廣東改編)已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F(3,0),離心率等于］,則C的

方程是()

X2

B-Z5=1

D1上—i

D2小一1

答案B

解析由曲線C的右焦點為F（3,0）,知c=3.

3c3

由離心率e=5，知g=5，貝Ia=2.

乙dZ

故b2=c2—a2=9—4=5.

所以雙曲線C的方程為3一9=1.

6.（2016?天津）已知雙曲線5=l（b>0）,以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓

與雙曲線的兩條漸近線相交于A,B,C,D四點，四邊形ABCD的面積為2b,則雙曲線的

方程為（）

BX

441

內(nèi)_上=1

J441121

答案D

解析根據(jù)圓和雙曲線的對稱性，可知四邊形ABCD為矩形.雙曲線的漸近線方程為y=±與

b4

x,圓的方程為x?+y2=4,不妨設(shè)交點A在第一象限，由y=",x?+y2=4得XA=1J不不,

yA=^=p,故四邊形ABCD的面積為4XAYA=著券=2b,解得b2=12,故所求的雙曲線

方程為，一方=1,選D.

22

7.（2017?邯鄲調(diào)研）已知F為雙曲線xq—v%=l（a>0,b>0）的左焦點，c為雙曲線的半焦距,

定點G（0,c）,若雙曲線上存在一點P滿足|PF|=|PG|,則雙曲線的離心率的取值范圍是（）

A.他,+8）B.（1,V2）

C.電+8）D.（1,小）

答案A

解析若雙曲線上存在點P滿足|PF|=|PG|,則必須滿足FG的中垂線與雙曲線有交點，則P

是線段FG中垂線與雙曲線的交點，因為直線FG的方程為丫=*+5所以線段FG中垂線的

方程為y=-x,又雙曲線的漸近線方程為y=+^x,則一"一1,即，>1,所以1+*>啦,

所以雙曲線的離心率的取值范圍為（也，+8）.

22

8.（2018?遼寧撫順重點高中協(xié)作校一模）當(dāng)雙曲線M：奈一廣士=1（-2Wm<0）的焦距取得

4111IU

最小值時，雙曲線M的漸近線方程為（）

A.y=±\[2x

D.y=±^x

C.y=±2x

答案C

解析c2=m2+2m+6=(m+1)2+5^5,當(dāng)且僅當(dāng)m=—1時取等號，此時a2=m2=l,b2

=2m+6=4,所以詈2,即雙曲線的漸近線方程為y=±2x,故選C.

9.（2018?遼寧師大附中期中）如圖，F(xiàn)i,F2是雙曲線C：於一在=1值>0,

b>0）的左、右兩個焦點.若直線y=x與雙曲線C交于P,Q兩點，且

四邊形PFIQF2為矩形，則雙曲線的離心率為（）

A.2+也B.2+^/6

C、2+也D.、2+乖

答案C

解析將y=x代入，一5=1,可得x=七#|，.由矩形的對角線長相等，得也

=c,/.2a2b2=(b2-a2)c2,2a2(c2-a2)=(c2-2a2)c2,/.2(e2-l)=e4-2e2,.,.e4-4e2+2=

0,又：e>：l,：.e2=2+y/2,e=、2+也.故選C.

22

10.（2018?河南八市重點高中模擬）已知Fi，F(xiàn)2分別是雙曲線x不一v心=l（b>0）的左、右焦點,

P為雙曲線上的一點，若NFIPF2=120°,且AFiPF2的三邊長成等差數(shù)列，則雙曲線的漸

近線的斜率是（）

A.土乎B.土乎

C.土平D.土平

答案D

m—n=4

解析不妨設(shè)P點在第一象限，|PFi|=m,|PF2|=n,則由已知得<m2+n2+mn=（2c）2,所

、n+2c=2m

以C2—9C+14=0,解得c=7或c=2（舍去），由b2=c2—a?得b=34，則雙曲線的漸近線的

斜率是苦，故選D.

11.（2018?天津一中模擬）已知雙曲線方一，=l（a>0,b>0）的一條漸近線平行于直線1：x+2y

+5=0,且雙曲線的一個焦點在直線1上，則雙曲線的方程為（）

A2L_r=]B2￡2_2T=

從2051n,5201

3x2_3y2_3x2_3y2_

e-25100-1"10025-1

答案A

22

解析因為雙曲線於x一言v=l(a>0,b>0)的一條漸近線平行于直線1：x+2y+5=0,且雙曲線

r

_b=_l

a2'（a=2、萬22

的一個焦點在直線1上，所以<c=5,得fb—W'所以雙曲線的方程為去一L

.a2+b2=c2,

22

12.（2018?蘭州市高考診斷）已知Fi，F(xiàn)2為雙曲線C：x於一v仔=l（a>0,b>0）的左、右焦點，點

P為雙曲線C右支上一點，直線PFi與圓x?+y2=a2相切，M|PF2|=|FIF2|,則雙曲線C的離

心率為（）

A.邛B.|

5

CqD.2

答案c

解析設(shè)直線PF1與圓相切于點M,：|PF2|=|FIF2|,...△PF1F2為等腰三角形，二間乂尸"

|PFi|,：在Rt4FiMO（O為坐標(biāo)原點）中，|FIM|2=|FIOF—a2=c2—a?,.,.|FiM|=b=3PFi|①，

c5

又|PFi|=|PF2|+2a=2c+2a②，c2=a2+b2@,故由①②③得，e===Q.故選C.

aJ

13.（2018?福建漳州一中期中）已知雙曲線5=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為Fi，F(xiàn)2,

若雙曲線右支上存在一點P,使得F2關(guān)于直線PR的對稱點恰在y軸上，則該雙曲線的離心

率e的取值范圍為（）

A,2^3-2s

A.l<e<B.e>2-

C.e>y[3D.l<e<小

答案B

解析設(shè)點F2（C,0）,由于F2關(guān)于直線PFi的對稱點M恰在y軸上，不妨設(shè)M在y軸正半

軸上，由對稱性可得，|MFI|=|FIF2|=2C,則|MO|=N4C2—C2=V5C,則NMFF2=60°,Z

PFIF2=30°,設(shè)直線PFi：y=（x+c）'代入雙曲線方程，可得（3b2—a?）x2—2ca2x—a2c2

—3a2b2=0,則方程有兩個異號實數(shù)根,則有3b2—a2>0,即有3b2=3c?—3a?>a2,即c>哈,

則有.故選B.

aJ

22

14.（2016?課標(biāo)全國I）已知方程蜷入一五之二=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距

離為4,則n的取值范圍是（）

A.(-1,3)B.(-1,小)

C.(0,3)D.(0,小)

答案A

解析由題意得（m2+n）（3m2—n）>0,解得一m2<n<3m2,又由該雙曲線兩焦點間的距離為4,

得m2+n+3m2—n=4,即m?=l,所以一l<n<3.

15.（2017?濟寧模擬）如圖所示，正六邊形ABCDEF的兩個頂點A,D為雙灰——長

曲線的兩個焦點，其余4個頂點都在雙曲線上，則該雙曲線的離心率是\D

A.V3+1B.V3-1Bc

C.y[3D.^2

答案A

解析令正六邊形的邊長為m,則有|AD|=2m,|AB|=m,|BD|=〈5m,該雙曲線的離心率

等于----------=,-~m-=-\[3+1

JHABI-IBDII小m—m'

16.（2013?全國I）已知雙曲線C：1=l（a>0,b>0）的離心率為坐，則C的漸近線方程

為（）

A.y=±3B.y=±^x

C.y=±/xD.y=±x

答案C

/.a2=4b2,）=1.???漸近線方程為丫=當(dāng).

dzz

17.（2018?山東滕州月考）已知雙曲線會一^=1的左、右焦點分別為Fi,F2,若雙曲線的左

支上有一點M到右焦點F2的距離為18,N是MF2的中點，O為坐標(biāo)原點，則|NO|等于（）

C.2D.4

答案D

x2v2

解析由雙曲線萬一甘=1,知a=5,由雙曲線定義|MF2|—|MFi|=2a=10,得|MFi|=8,

|NO|=||MFi|=4.

18.（2018?湖南六校聯(lián)考）已知雙曲線千一\=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為Fi、F2,以

FF2為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為（3,4）,則此雙曲線的方程為（）

,x2X23^

A.9141

x2y2x2V2

"161u'431

答案C

解析由已知可得交點（3,4）到原點O的距離為圓的半徑，則半徑[=[32+42=5,故c=5,

a2+b2=25,又雙曲線的一條漸近線y=&過點（3,4）,故3b=4a,可解得b=4,a=3,故

d

選c.

19.（2018?杭州學(xué)軍中學(xué)模擬）過雙曲線Ci：，一5=