《復(fù)變函數(shù)與積分變換》本科詳細(xì)筆記

《復(fù)變函數(shù)與積分變換》本科詳細(xì)筆記第一章：復(fù)數(shù)及其運(yùn)算1.1復(fù)數(shù)的基本概念復(fù)數(shù)是數(shù)學(xué)中的一種擴(kuò)展，它包含實(shí)部和虛部。通常形式為z=x+yiz=x+yi，其中xx和yy是實(shí)數(shù)，ii是虛數(shù)單位，滿(mǎn)足i2=?1i2=?1。實(shí)部（Realpart）:

Re(z)=xRe(z)=x虛部（Imaginarypart）:

Im(z)=yIm(z)=y復(fù)數(shù)的表示方法：標(biāo)準(zhǔn)形式:

z=x+yiz=x+yi極坐標(biāo)形式:

z=r(cos?θ+isin?θ)z=r(cosθ+isinθ)，這里

r=∣z∣=x2+y2r=∣z∣=x2+y2?

是模長(zhǎng)，θθ

是輻角。指數(shù)形式:

z=reiθz=reiθ表1-1復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)描述相等若

a+bi=c+dia+bi=c+di，則

a=c,b=da=c,b=d加法(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i減法(a+bi)?(c+di)=(a?c)+(b?d)i(a+bi)?(c+di)=(a?c)+(b?d)i乘法(a+bi)(c+di)=(ac?bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di)=(ac?bd)+(ad+bc)i共軛z￣=a?biz=a?bi模z+z￣=2xz+z=2x輻角arg?(z)=tan??1(ba)arg(z)=tan?1(ab?)1.2復(fù)平面與復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)平面是一個(gè)二維坐標(biāo)系，橫軸代表實(shí)部，縱軸代表虛部。每個(gè)復(fù)數(shù)都可以在復(fù)平面上找到唯一對(duì)應(yīng)的一個(gè)點(diǎn)。向量表示：復(fù)數(shù)可以視為從原點(diǎn)指向該點(diǎn)的向量。旋轉(zhuǎn)和平移：復(fù)數(shù)的加減可理解為向量的合成；復(fù)數(shù)乘以一個(gè)單位復(fù)數(shù)相當(dāng)于向量的旋轉(zhuǎn)。1.3復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算加法與減法：復(fù)數(shù)的加法遵循實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分分別相加的原則。減法則遵循實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分分別相減的原則。乘法：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘時(shí)，利用分配律將其實(shí)部和虛部分別相乘后組合起來(lái)。特別地，當(dāng)兩復(fù)數(shù)的模相同且輻角之差為直角時(shí)，其乘積為純虛數(shù)。除法：通過(guò)分子分母同時(shí)乘以分母的共軛來(lái)簡(jiǎn)化表達(dá)式，從而得到商的形式。例題：計(jì)算(2+3i)+(4?5i)(2+3i)+(4?5i)和(2+3i)?(4?5i)(2+3i)?(4?5i)。解:加法:

(2+3i)+(4?5i)=(2+4)+(3?5)i=6?2i(2+3i)+(4?5i)=(2+4)+(3?5)i=6?2i乘法:

(2+3i)?(4?5i)=8?10i+12i?15i2=8+2i+15=23+2i(2+3i)?(4?5i)=8?10i+12i?15i2=8+2i+15=23+2i1.4共軛復(fù)數(shù)對(duì)于任意復(fù)數(shù)z=x+yiz=x+yi，其共軛復(fù)數(shù)定義為z￣=x?yiz=x?yi。共軛復(fù)數(shù)具有以下性質(zhì)：z+z￣=2xz+z=2x（即兩倍的實(shí)部）z?z￣=x2+y2=∣z∣2z?z=x2+y2=∣z∣2（即模的平方）如果

zz

是實(shí)數(shù)，則

z￣=zz=z共軛復(fù)數(shù)在解決某些問(wèn)題時(shí)非常有用，比如求解復(fù)系數(shù)方程的根或者計(jì)算復(fù)積分中的留數(shù)。1.5復(fù)數(shù)的模與輻角模

∣z∣∣z∣

表示復(fù)數(shù)

zz

在復(fù)平面上到原點(diǎn)的距離，也稱(chēng)為復(fù)數(shù)的絕對(duì)值。輻角

θ=arg?(z)θ=arg(z)

是指從正實(shí)軸逆時(shí)針?lè)较虻綇?fù)數(shù)

zz

所在射線的角度。注意，輻角不是唯一的，因?yàn)樵黾踊驕p少

2π2π

的整數(shù)倍不會(huì)改變角度的位置。例題：給定復(fù)數(shù)z=3+4iz=3+4i，計(jì)算它的模和主輻角。解:模:

∣z∣=32+42=9+16=25=5∣z∣=32+42?=9+16?=25?=5主輻角:

θ=tan??1(43)θ=tan?1(34?)，由于

zz

位于第一象限，因此

θθ

是正值。1.6復(fù)指數(shù)形式歐拉公式eiθ=cos?θ+isin?θeiθ=cosθ+isinθ將三角函數(shù)與復(fù)數(shù)緊密聯(lián)系在一起。利用此公式，任何非零復(fù)數(shù)zz可以寫(xiě)成z=reiθz=reiθ的形式，其中r=∣z∣r=∣z∣，θ=arg?(z)θ=arg(z)。這種形式便于進(jìn)行復(fù)數(shù)的冪運(yùn)算以及對(duì)數(shù)運(yùn)算。例如，若要計(jì)算znzn，可以直接使用指數(shù)定律zn=(reiθ)n=rneinθzn=(reiθ)n=rneinθ。第二章：復(fù)變函數(shù)的概念2.1函數(shù)的定義域和值域定義域（Domain）是指函數(shù)能夠接受的所有輸入值組成的集合。值域（Range）則是這些輸入值經(jīng)過(guò)函數(shù)作用后產(chǎn)生的所有輸出值構(gòu)成的集合。對(duì)于復(fù)變函數(shù)f(z)f(z)，如果zz屬于某區(qū)域DD，則稱(chēng)DD為f(z)f(z)的定義域。值域可能覆蓋整個(gè)復(fù)平面或僅是一部分。2.2映射與圖像映射（Mapping）描述了如何將一個(gè)集合內(nèi)的元素轉(zhuǎn)換到另一個(gè)集合內(nèi)。圖像（Image）是由函數(shù)對(duì)定義域中每一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行變換后得到的新點(diǎn)集。考慮f(z)=z2f(z)=z2，它可以將整個(gè)復(fù)平面映射到自身，但會(huì)將上半平面映射到下半平面，反之亦然。2.3極限與連續(xù)性極限（Limit）的概念類(lèi)似于實(shí)分析中的定義，但需要同時(shí)考慮

zz

趨近于某點(diǎn)時(shí)的路徑。連續(xù)性（Continuity）意味著當(dāng)

zz

接近某點(diǎn)時(shí)，f(z)f(z)

也會(huì)接近對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。重要定理：如果f(z)f(z)在z0z0?處連續(xù)，并且存在L=lim?z→z0f(z)L=limz→z0??f(z)，那么f(z0)=Lf(z0?)=L。2.4復(fù)變函數(shù)的圖形表示雖然直接可視化復(fù)變函數(shù)較為困難，但我們可以通過(guò)繪制等高線圖、顏色編碼等方式來(lái)展示函數(shù)的行為。此外，研究函數(shù)沿特定路徑的變化也是很有幫助的。例題：考察函數(shù)f(z)=1zf(z)=z1?在不同路徑下的行為。當(dāng)

zz

沿著實(shí)軸正向移動(dòng)時(shí)，f(z)f(z)

的實(shí)部逐漸減小而虛部保持為零。當(dāng)

zz

沿著虛軸向上移動(dòng)時(shí)，f(z)f(z)

的實(shí)部變?yōu)榱愣摬恐饾u增大。第三章：解析函數(shù)3.1導(dǎo)數(shù)的定義對(duì)于復(fù)變函數(shù)f(z)f(z)，如果極限lim?h→0f(z+h)?f(z)hlimh→0?hf(z+h)?f(z)?存在，則稱(chēng)f(z)f(z)在zz點(diǎn)可導(dǎo)，并記作f′(z)f′(z)。Cauchy-Riemann條件是判斷復(fù)變函數(shù)是否可導(dǎo)的重要工具。設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，則f(z)f(z)在zz點(diǎn)可導(dǎo)當(dāng)且僅當(dāng)u,vu,v滿(mǎn)足：?u?x=?v?y,?u?y=??v?x?x?u?=?y?v?,?y?u?=??x?v?3.2解析性的Cauchy-Riemann條件解析（Analytic）函數(shù)是指在一個(gè)區(qū)域內(nèi)處處可導(dǎo)的函數(shù)。Cauchy-Riemann方程不僅用于檢驗(yàn)單個(gè)點(diǎn)處的可導(dǎo)性，而且確保了解析性在整個(gè)開(kāi)集上的成立。例題：驗(yàn)證f(z)=z2f(z)=z2是否為解析函數(shù)。解:設(shè)z=x+iyz=x+iy，則f(z)=(x+iy)2=x2?y2+2ixyf(z)=(x+iy)2=x2?y2+2ixy。令u=x2?y2,v=2xyu=x2?y2,v=2xy，容易驗(yàn)證u,vu,v滿(mǎn)足Cauchy-Riemann條件，故f(z)f(z)為解析函數(shù)。3.3調(diào)和函數(shù)如果一個(gè)實(shí)值函數(shù)u(x,y)u(x,y)滿(mǎn)足Laplace方程?2u?x2+?2u?y2=0?x2?2u?+?y2?2u?=0，則稱(chēng)uu為調(diào)和函數(shù)。重要結(jié)論：如果f(z)=u+ivf(z)=u+iv為解析函數(shù)，則u,vu,v均為調(diào)和函數(shù)，并且它們互為共軛調(diào)和函數(shù)。3.4初等解析函數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)如

P(z)=anzn+an?1zn?1+...+a1z+a0P(z)=an?zn+an?1?zn?1+...+a1?z+a0?

對(duì)所有

zz

都是解析的。有理函數(shù)由兩個(gè)多項(xiàng)式的比組成，除了分母為零的點(diǎn)外，在其余點(diǎn)上都是解析的。例題：證明f(z)=1z2+1f(z)=z2+11?在除去z=±iz=±i以外的所有點(diǎn)上是解析的。解:分母z2+1z2+1僅有兩個(gè)零點(diǎn)z=±iz=±i。因此，除了這兩個(gè)點(diǎn)外，f(z)f(z)在整個(gè)復(fù)平面上都是解析的。第四章：初等復(fù)變函數(shù)4.1指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)ezez是解析的，并且在整個(gè)復(fù)平面上都是定義良好的。對(duì)于任意復(fù)數(shù)z=x+yiz=x+yi，我們有：ez=ex+yi=ex(cos?y+isin?y)ez=ex+yi=ex(cosy+isiny)這里使用了歐拉公式eiθ=cos?θ+isin?θeiθ=cosθ+isinθ。周期性：由于

cos?ycosy

和

sin?ysiny

的周期為

2π2π，因此

ezez

在虛部上是周期性的，即

ez+2kπi=ezez+2kπi=ez

對(duì)于任何整數(shù)

kk

成立。性質(zhì)：e0=1e0=1；ez1+z2=ez1ez2ez1?+z2?=ez1?ez2?；(ez)n=enz(ez)n=enz。表4-1指數(shù)函數(shù)的重要性質(zhì)性質(zhì)描述周期性ez+2kπi=ezez+2kπi=ez單位值e0=1e0=1乘法法則ez1+z2=ez1ez2ez1?+z2?=ez1?ez2?冪法則(ez)n=enz(ez)n=enz4.2三角函數(shù)與雙曲函數(shù)三角函數(shù)在復(fù)數(shù)域中的定義如下：sin?z=eiz?e?iz2isinz=2ieiz?e?iz?cos?z=eiz+e?iz2cosz=2eiz+e?iz?它們保持了許多實(shí)數(shù)域中的性質(zhì)，如周期性和奇偶性。特別地，sin?zsinz和cos?zcosz都是周期為2π2π的解析函數(shù)。雙曲函數(shù)定義為：sinh?z=ez?e?z2sinhz=2ez?e?z?cosh?z=ez+e?z2coshz=2ez+e?z?雙曲函數(shù)同樣具有類(lèi)似實(shí)數(shù)域中的性質(zhì)，但沒(méi)有周期性。此外，通過(guò)比較可以發(fā)現(xiàn)，sin?iz=isinh?zsiniz=isinhz以及cos?iz=cosh?zcosiz=coshz。4.3對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)Log(z)Log(z)是指數(shù)函數(shù)的逆運(yùn)算。對(duì)于非零復(fù)數(shù)z=reiθz=reiθ，其主值對(duì)數(shù)定義為：Log(z)=ln?r+iθ,?π<θ≤πLog(z)=lnr+iθ,?π<θ≤π多值性：由于輻角

θθ

可以增加或減少

2πk2πk（kk

為整數(shù)），所以對(duì)數(shù)函數(shù)實(shí)際上是多值的。分支切割：通常選擇從原點(diǎn)到負(fù)實(shí)軸作為分支切割，使得

Log(z)Log(z)

在這個(gè)區(qū)域外是單值的。例題：計(jì)算Log(1+i)Log(1+i)的主值。解:1+i=2eiπ/41+i=2?eiπ/4因此，Log(1+i)=ln?2+iπ/4=12ln?2+iπ/4Log(1+i)=ln2?+iπ/4=21?ln2+iπ/44.4冪函數(shù)與根函數(shù)冪函數(shù)zaza（其中aa是復(fù)常數(shù)）可以通過(guò)對(duì)數(shù)函數(shù)來(lái)定義：za=eaLog(z)za=eaLog(z)多值性：如果

aa

不是整數(shù)，則

zaza

也是多值的。特殊情形：當(dāng)

aa

為正整數(shù)時(shí)，zaza

是單值的；當(dāng)

a=1/na=1/n

時(shí)，zaza

代表

zz

的

nn

次方根。例題：求解z3=8z3=8的所有解。解:設(shè)z=reiθz=reiθ，則r3e3iθ=8=8ei2kπr3e3iθ=8=8ei2kπ，從而得到r=2r=2且3θ=2kπ3θ=2kπ，k=0,1,2k=0,1,2。故解為zk=2ei2kπ/3zk?=2ei2kπ/3，k=0,1,2k=0,1,2。第五章：復(fù)積分5.1積分路徑與曲線積分復(fù)積分是在復(fù)平面上沿特定路徑進(jìn)行的積分。設(shè)f(z)f(z)是定義在簡(jiǎn)單閉合曲線CC上的連續(xù)函數(shù)，則積分定義為：∫Cf(z)?dz=lim?Δz→0∑f(zk)Δzk∫C?f(z)dz=limΔz→0?∑f(zk?)Δzk?其中，ΔzkΔzk?表示分割后的小段弧長(zhǎng)，而zkzk?是這些小段上的點(diǎn)。5.2Cauchy積分定理Cauchy積分定理指出，如果f(z)f(z)是在單連通區(qū)域內(nèi)解析的函數(shù)，那么沿該區(qū)域內(nèi)的任何簡(jiǎn)單閉合曲線CC的積分等于零：∮Cf(z)?dz=0∮C?f(z)dz=0這個(gè)定理表明，在解析區(qū)域內(nèi)，復(fù)積分的結(jié)果只依賴(lài)于起點(diǎn)和終點(diǎn)，而不依賴(lài)于具體的路徑。5.3Cauchy積分公式假設(shè)f(z)f(z)在包含點(diǎn)z0z0?的某個(gè)圓盤(pán)內(nèi)解析，那么對(duì)于圓盤(pán)內(nèi)的任意簡(jiǎn)單閉合曲線CC，有：f(z0)=12πi∮Cf(z)z?z0?dzf(z0?)=2πi1?∮C?z?z0?f(z)?dz這一定理提供了計(jì)算某些類(lèi)型復(fù)積分的有效方法，同時(shí)也揭示了解析函數(shù)的一些深刻性質(zhì)。5.4不同類(lèi)型的奇點(diǎn)根據(jù)奇點(diǎn)附近的局部行為，我們可以將奇點(diǎn)分為幾種類(lèi)型：可去奇點(diǎn)：如果存在有限極限

lim?z→z0(z?z0)f(z)=0limz→z0??(z?z0?)f(z)=0，則稱(chēng)

z0z0?

為可去奇點(diǎn)。極點(diǎn)：若

lim?z→z0(z?z0)mf(z)=L≠0limz→z0??(z?z0?)mf(z)=L=0

且

mm

為最小正整數(shù)，則

z0z0?

為

mm

階極點(diǎn)。本質(zhì)奇點(diǎn)：如果

z0z0?

既不是可去奇點(diǎn)也不是極點(diǎn)，則稱(chēng)為本質(zhì)奇點(diǎn)。例題：確定f(z)=1z2?1f(z)=z2?11?在z=1z=1處的奇點(diǎn)類(lèi)型。解:分母為零的地方是奇點(diǎn)。顯然，z=1z=1是一階極點(diǎn)，因?yàn)?z?1)f(z)=1z+1(z?1)f(z)=z+11?在z=1z=1附近有界且不為零。5.5留數(shù)定理留數(shù)定理提供了一種計(jì)算復(fù)積分的方法，特別是當(dāng)被積函數(shù)具有孤立奇點(diǎn)時(shí)。設(shè)f(z)f(z)在閉合曲線CC內(nèi)除了幾個(gè)孤立奇點(diǎn)之外都是解析的，則：∮Cf(z)?dz=2πi∑Res(f,aj)∮C?f(z)dz=2πi∑Res(f,aj?)其中，Res(f,aj)Res(f,aj?)表示f(z)f(z)在ajaj?處的留數(shù)。計(jì)算留數(shù)：如果

aa

是

f(z)f(z)

的一階極點(diǎn)，那么

Res(f,a)=lim?z→a(z?a)f(z)Res(f,a)=limz→a?(z?a)f(z)。對(duì)于更高階極點(diǎn)或本質(zhì)奇點(diǎn)，可以利用Laurent展開(kāi)式來(lái)找到相應(yīng)的系數(shù)。第六章：冪級(jí)數(shù)展開(kāi)6.1泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)是一種表示解析函數(shù)的方式，它允許我們將函數(shù)表達(dá)為無(wú)窮級(jí)數(shù)的形式。對(duì)于在z0z0?處解析的函數(shù)f(z)f(z)，其泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)為：f(z)=∑n=0∞f(n)(z0)n!(z?z0)nf(z)=∑n=0∞?n!f(n)(z0?)?(z?z0?)n這里的f(n)(z0)f(n)(z0?)表示f(z)f(z)在z0z0?處的第nn階導(dǎo)數(shù)。6.2Laurent級(jí)數(shù)Laurent級(jí)數(shù)是對(duì)泰勒級(jí)數(shù)的一種擴(kuò)展，它可以用來(lái)表示在某一點(diǎn)附近有孤立奇點(diǎn)的函數(shù)。對(duì)于這樣的函數(shù)f(z)f(z)，在其環(huán)形區(qū)域內(nèi)可以寫(xiě)成：f(z)=∑n=?∞∞cn(z?z0)nf(z)=∑n=?∞∞?cn?(z?z0?)n其中，cncn?為系數(shù)，可以通過(guò)積分公式計(jì)算得到。主要部分：負(fù)冪項(xiàng)之和，描述了奇點(diǎn)的行為。正則部分：非負(fù)冪項(xiàng)之和，類(lèi)似于泰勒級(jí)數(shù)。6.3收斂半徑對(duì)于泰勒級(jí)數(shù)或Laurent級(jí)數(shù)，其收斂性取決于一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)——收斂半徑RR。如果級(jí)數(shù)在∣z?z0∣<R∣z?z0?∣<R內(nèi)絕對(duì)收斂，而在∣z?z0∣>R∣z?z0?∣>R內(nèi)發(fā)散，則RR就是該級(jí)數(shù)的收斂半徑。計(jì)算方法：通常使用比值測(cè)試或根測(cè)試來(lái)估計(jì)收斂半徑。特殊情況：當(dāng)

R=∞R=∞

時(shí)，級(jí)數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上都收斂；當(dāng)

R=0R=0

時(shí)，級(jí)數(shù)僅在

z=z0z=z0?

處收斂。6.4單位圓周上的Laurent展開(kāi)考慮單位圓周∣z∣=1∣z∣=1上的函數(shù)f(z)f(z)，如果f(z)f(z)在單位圓內(nèi)部解析且在單位圓外部也有定義，那么它的Laurent展開(kāi)可以幫助分析邊界行為。內(nèi)展開(kāi)：針對(duì)單位圓內(nèi)部的展開(kāi)，形式為

∑n=0∞anzn∑n=0∞?an?zn。外展開(kāi)：針對(duì)單位圓外部的展開(kāi)，形式為

∑n=1∞bnz?n∑n=1∞?bn?z?n。通過(guò)這兩個(gè)展開(kāi)式，可以更深入地理解函數(shù)在邊界處的表現(xiàn)，這對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題非常有用。第七章：孤立奇點(diǎn)7.1可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)是指函數(shù)在該點(diǎn)的極限存在且有限，但函數(shù)本身在該點(diǎn)未定義或不解析。如果f(z)f(z)在z0z0?處有一個(gè)可去奇點(diǎn)，那么可以通過(guò)重新定義f(z0)f(z0?)使得f(z)f(z)在z0z0?處變?yōu)榻馕觥Ｐ再|(zhì)：如果

z0z0?

是

f(z)f(z)

的可去奇點(diǎn)，則存在某個(gè)鄰域內(nèi)的函數(shù)

g(z)g(z)，使得

f(z)=g(z)f(z)=g(z)

對(duì)于所有

z≠z0z=z0?

成立，并且

g(z)g(z)

在

z0z0?

處是解析的。例子：考慮

f(z)=sin?zzf(z)=zsinz?，當(dāng)

z→0z→0

時(shí)，lim?z→0f(z)=1limz→0?f(z)=1，因此

z=0z=0

是一個(gè)可去奇點(diǎn)。表7-1奇點(diǎn)類(lèi)型及其特征奇點(diǎn)類(lèi)型特征描述例子可去奇點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)的極限存在且有限，但函數(shù)本身在該點(diǎn)未定義或不解析f(z)=sin?zzf(z)=zsinz?極點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)附近有無(wú)窮大值，且可以表示為

(z?z0)?mg(z)(z?z0?)?mg(z)f(z)=1(z?2)3f(z)=(z?2)31?本質(zhì)奇點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)附近表現(xiàn)出復(fù)雜的非周期性行為，無(wú)法通過(guò)簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式形式表示f(z)=e1/zf(z)=e1/z7.2極點(diǎn)極點(diǎn)是另一種常見(jiàn)的奇點(diǎn)類(lèi)型。如果f(z)f(z)在z0z0?處的行為類(lèi)似于(z?z0)?m(z?z0?)?m的形式，其中mm是正整數(shù)，那么z0z0?被稱(chēng)為f(z)f(z)的mm階極點(diǎn)。一階極點(diǎn)：如果

f(z)f(z)

在

z0z0?

處的行為類(lèi)似于

(z?z0)?1(z?z0?)?1，則

z0z0?

是一階極點(diǎn)。高階極點(diǎn)：如果

f(z)f(z)

在

z0z0?

處的行為類(lèi)似于

(z?z0)?m(z?z0?)?m，其中

m>1m>1，則

z0z0?

是

mm

階極點(diǎn)。計(jì)算方法：一階極點(diǎn)的留數(shù)：Res(f,z0)=lim?z→z0(z?z0)f(z)Res(f,z0?)=limz→z0??(z?z0?)f(z)高階極點(diǎn)的留數(shù)：對(duì)于

mm

階極點(diǎn)，留數(shù)為

1(m?1)!lim?z→z0dm?1dzm?1[(z?z0)mf(z)](m?1)!1?limz→z0??dzm?1dm?1?[(z?z0?)mf(z)]例子：考慮f(z)=1(z?2)3f(z)=(z?2)31?，顯然z=2z=2是三階極點(diǎn)。7.3本質(zhì)奇點(diǎn)本質(zhì)奇點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)附近表現(xiàn)出非常復(fù)雜、不可預(yù)測(cè)的行為。根據(jù)Casorati-Weierstrass定理，如果z0z0?是f(z)f(z)的本質(zhì)奇點(diǎn)，那么在任何包含z0z0?的鄰域內(nèi)，f(z)f(z)可以取到除了可能一個(gè)例外之外的所有復(fù)數(shù)值。例子：f(z)=e1/zf(z)=e1/z

在

z=0z=0

處是一個(gè)典型的本質(zhì)奇點(diǎn)。在這個(gè)點(diǎn)附近，f(z)f(z)

可以取到任意大的模和任意小的模，而且沒(méi)有周期性的模式。7.4奇點(diǎn)分類(lèi)的應(yīng)用判斷函數(shù)的解析性：通過(guò)分析奇點(diǎn)的類(lèi)型，可以確定函數(shù)在哪些區(qū)域是解析的。計(jì)算積分：利用留數(shù)定理，可以有效地計(jì)算某些類(lèi)型的復(fù)積分。解決物理問(wèn)題：許多物理現(xiàn)象（如流體力學(xué)中的渦旋）可以通過(guò)研究函數(shù)的奇點(diǎn)來(lái)建模和分析。第八章：留數(shù)理論8.1留數(shù)的計(jì)算留數(shù)是復(fù)變函數(shù)在奇點(diǎn)附近的局部行為的一種度量。對(duì)于解析函數(shù)f(z)f(z)在z0z0?處的留數(shù)，記作Res(f,z0)Res(f,z0?)，其計(jì)算方法如下：一階極點(diǎn)：Res(f,z0)=lim?z→z0(z?z0)f(z)Res(f,z0?)=limz→z0??(z?z0?)f(z)高階極點(diǎn)：Res(f,z0)=1(m?1)!lim?z→z0dm?1dzm?1[(z?z0)mf(z)]Res(f,z0?)=(m?1)!1?limz→z0??dzm?1dm?1?[(z?z0?)mf(z)]本質(zhì)奇點(diǎn)：通常需要使用Laurent展開(kāi)來(lái)找到主要部分的系數(shù)。例子：計(jì)算f(z)=ezz2?1f(z)=z2?1ez?在z=1z=1和z=?1z=?1處的留數(shù)。解:在

z=1z=1

處，f(z)=ez(z?1)(z+1)f(z)=(z?1)(z+1)ez?，這是一個(gè)一階極點(diǎn)，所以留數(shù)為：

Res(f,1)=lim?z→1(z?1)ez(z?1)(z+1)=e2Res(f,1)=limz→1?(z?1)(z?1)(z+1)ez?=2e?在

z=?1z=?1

處，同樣是一階極點(diǎn)，留數(shù)為：

Res(f,?1)=lim?z→?1(z+1)ez(z?1)(z+1)=e?1?2=?12eRes(f,?1)=limz→?1?(z+1)(z?1)(z+1)ez?=?2e?1?=?2e1?8.2應(yīng)用留數(shù)計(jì)算實(shí)積分留數(shù)定理提供了一種強(qiáng)大的工具來(lái)計(jì)算某些類(lèi)型的實(shí)積分。特別是對(duì)于形如∫?∞∞f(x)?dx∫?∞∞?f(x)dx的積分，可以通過(guò)構(gòu)造合適的閉合路徑并應(yīng)用留數(shù)定理來(lái)求解。Jordan引理：如果

f(z)f(z)

滿(mǎn)足

∣f(z)∣≤M/∣z∣p∣f(z)∣≤M/∣z∣p（其中

M>0M>0，p>0p>0），并且

f(z)f(z)

在上半平面內(nèi)只有有限個(gè)奇點(diǎn)，那么：

lim?R→∞∫CRf(z)eiαz?dz=0limR→∞?∫CR??f(z)eiαzdz=0

其中

CRCR?

是半徑為

RR

的半圓路徑。例子：計(jì)算∫?∞∞dxx2+1∫?∞∞?x2+1dx?。解:考慮函數(shù)f(z)=1z2+1f(z)=z2+11?，它在z=iz=i和z=?iz=?i處有一階極點(diǎn)。選擇上半平面的半圓路徑CRCR?，應(yīng)用留數(shù)定理：∮Cf(z)?dz=2πi?Res(f,i)=2πi?12i=π∮C?f(z)dz=2πi?Res(f,i)=2πi?2i1?=π由于CRCR?包含兩個(gè)部分：實(shí)軸上的積分和半圓弧上的積分。根據(jù)Jordan引理，當(dāng)R→∞R→∞時(shí)，半圓弧上的積分趨于零，因此：∫?∞∞dxx2+1=π∫?∞∞?x2+1dx?=π8.3含有無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的情形當(dāng)被積函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處也有奇點(diǎn)時(shí)，需要特別處理。通常的做法是引入一個(gè)新的變量w=1/zw=1/z，將原積分轉(zhuǎn)換為關(guān)于ww的積分，然后應(yīng)用留數(shù)定理。無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)：如果

f(z)f(z)

在無(wú)窮遠(yuǎn)處有奇點(diǎn)，那么

f(1/w)f(1/w)

在

w=0w=0

處有奇點(diǎn)。此時(shí)，留數(shù)可以通過(guò)計(jì)算

Res(f(1/w),0)Res(f(1/w),0)

來(lái)得到。例子：計(jì)算∫?∞∞x2(x2+1)2?dx∫?∞∞?(x2+1)2x2?dx。解:引入w=1/zw=1/z，則dw=?1z2dzdw=?z21?dz。積分變?yōu)椋骸?∞∞x2(x2+1)2?dx=∫γ(1/w)2[(1/w)2+1]2(?1w2)dw∫?∞∞?(x2+1)2x2?dx=∫γ?[(1/w)2+1]2(1/w)2?(?w21?)dw其中γγ是單位圓周?；?jiǎn)后得到：∫γ1(w2+1)2?dw∫γ?(w2+1)21?dw這個(gè)積分可以通過(guò)計(jì)算w=iw=i和w=?iw=?i處的留數(shù)來(lái)求解。最終結(jié)果為π/2π/2。第九章：保形映射9.1保形映射的概念保形映射是一種特殊的復(fù)變函數(shù)，它不僅保持角度不變，而且還保持方向不變。也就是說(shuō)，保形映射是解析的且導(dǎo)數(shù)不為零。性質(zhì)：如果

f(z)f(z)

是保形映射，那么

f′(z)≠0f′(z)=0，并且

f(z)f(z)

將小區(qū)域內(nèi)的形狀和大小進(jìn)行保形變換。9.2分式線性變換分式線性變換（也稱(chēng)為M?bius變換）是最基本的保形映射之一，形式為：f(z)=az+bcz+df(z)=cz+daz+b?其中a,b,c,da,b,c,d是復(fù)常數(shù)，且ad?bc≠0ad?bc=0。性質(zhì)：分式線性變換將直線映射為直線或圓周。它將圓周映射為圓周或直線。分式線性變換保持交比不變。例子：考慮f(z)=z?iz+if(z)=z+iz?i?，它可以將上半平面映射到單位圓內(nèi)部。9.3Riemann映射定理簡(jiǎn)介Riemann映射定理指出，任何單連通且不是整個(gè)復(fù)平面的開(kāi)集都可以通過(guò)保形映射與單位圓盤(pán)一一對(duì)應(yīng)。重要性：這個(gè)定理保證了每個(gè)單連通區(qū)域都有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的幾何模型——單位圓盤(pán)。應(yīng)用：Riemann映射定理在流體力學(xué)、電動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，特別是在研究邊界條件下的物理現(xiàn)象時(shí)。9.4特殊區(qū)域間的映射從上半平面到單位圓盤(pán)：可以通過(guò)變換

f(z)=z?iz+if(z)=z+iz?i?

實(shí)現(xiàn)。從單位圓盤(pán)到單位圓盤(pán)：可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移實(shí)現(xiàn)。從矩形區(qū)域到上半平面：可以通過(guò)橢圓函數(shù)實(shí)現(xiàn)。例子：將矩形區(qū)域{z:0<Re(z)<1,0<Im(z)<1}{z:0<Re(z)<1,0<Im(z)<1}映射到上半平面。解:可以使用Jacobi橢圓函數(shù)sn(u,k)sn(u,k)來(lái)實(shí)現(xiàn)這一映射。具體地，設(shè)z=u+ivz=u+iv，則映射為：w=sn(Ku,k)w=sn(Ku,k)其中KK是完全橢圓積分的第一類(lèi)，kk是模參數(shù)。第十章：Fourier變換10.1Fourier級(jí)數(shù)Fourier級(jí)數(shù)是一種將周期函數(shù)表示為一系列正弦和余弦函數(shù)之和的方法。對(duì)于一個(gè)周期為2π2π的函數(shù)f(x)f(x)，其Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)為：f(x)=a02+∑n=1∞(ancos?(nx)+bnsin?(nx))f(x)=2a0??+∑n=1∞?(an?cos(nx)+bn?sin(nx))系數(shù)計(jì)算：a0=1π∫?ππf(x)?dxa0?=π1?∫?ππ?f(x)dxan=1π∫?ππf(x)cos?(nx)?dxan?=π1?∫?ππ?f(x)cos(nx)dxbn=1π∫?ππf(x)sin?(nx)?dxbn?=π1?∫?ππ?f(x)sin(nx)dx表10-1Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)描述周期性f(x+2π)=f(x)f(x+2π)=f(x)正交性∫?ππcos?(mx)cos?(nx)?dx=πδmn∫?ππ?cos(mx)cos(nx)dx=πδmn?∫?ππsin?(mx)sin?(nx)?dx=πδmn∫?ππ?sin(mx)sin(nx)dx=πδmn?∫?ππcos?(mx)sin?(nx)?dx=0∫?ππ?cos(mx)sin(nx)dx=0收斂條件如果

f(x)f(x)

在

[?π,π][?π,π]

上分段連續(xù)且有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則其Fourier級(jí)數(shù)在每一點(diǎn)收斂于

f(x)f(x)

的平均值10.2Fourier變換及其性質(zhì)Fourier變換是將非周期函數(shù)表示為頻率譜的方法。對(duì)于函數(shù)f(t)f(t)，其Fourier變換定義為：F(ω)=F{f(t)}=∫?∞∞f(t)e?iωt?dtF(ω)=F{f(t)}=∫?∞∞?f(t)e?iωtdt逆變換：通過(guò)逆Fourier變換可以恢復(fù)原函數(shù)：

f(t)=F?1{F(ω)}=12π∫?∞∞F(ω)eiωt?dωf(t)=F?1{F(ω)}=2π1?∫?∞∞?F(ω)eiωtdω重要性質(zhì)：線性性：F{af(t)+bg(t)}=aF(ω)+bG(ω)F{af(t)+bg(t)}=aF(ω)+bG(ω)平移性質(zhì)：F{f(t?t0)}=e?iωt0F(ω)F{f(t?t0?)}=e?iωt0?F(ω)縮放性質(zhì)：F{f(at)}=1∣a∣F(ωa)F{f(at)}=∣a∣1?F(aω?)對(duì)稱(chēng)性：F{F(t)}=2πf(?ω)F{F(t)}=2πf(?ω)卷積定理：F{f(t)?g(t)}=F(ω)G(ω)F{f(t)?g(t)}=F(ω)G(ω)，其中

f(t)?g(t)f(t)?g(t)

表示卷積例子：計(jì)算矩形脈沖f(t)={1,∣t∣<T/20,其他f(t)={1,0,?∣t∣<T/2其他?的Fourier變換。解:F(ω)=∫?T/2T/2e?iωt?dt=e?iωt?iω∣?T/2T/2=2sin?(ωT/2)ω=2Tsinc(ωT/2)F(ω)=∫?T/2T/2?e?iωtdt=?iωe?iωt???T/2T/2?=ω2sin(ωT/2)?=2Tsinc(ωT/2)10.3Fourier逆變換Fourier逆變換用于從頻域信號(hào)恢復(fù)時(shí)域信號(hào)。給定頻域信號(hào)F(ω)F(ω)，可以通過(guò)以下公式得到時(shí)域信號(hào)f(t)f(t)：f(t)=12π∫?∞∞F(ω)eiωt?dωf(t)=2π1?∫?∞∞?F(ω)eiωtdω應(yīng)用：在信號(hào)處理、圖像處理、通信等領(lǐng)域，F(xiàn)ourier逆變換常用于重建原始信號(hào)。數(shù)值方法：實(shí)際中通常使用快速傅里葉變換（FFT）來(lái)高效地進(jìn)行Fourier變換和逆變換的計(jì)算。例子：已知頻域信號(hào)F(ω)=2Tsinc(ωT/2)F(ω)=2Tsinc(ωT/2)，求其時(shí)域信號(hào)f(t)f(t)。解:根據(jù)Fourier逆變換公式：f(t)=12π∫?∞∞2Tsinc(ωT/2)eiωt?dωf(t)=2π1?∫?∞∞?2Tsinc(ωT/2)eiωtdω利用sinc函數(shù)的性質(zhì)，可以驗(yàn)證結(jié)果為f(t)={1,∣t∣<T/20,其他f(t)={1,0,?∣t∣<T/2其他?。10.4應(yīng)用實(shí)例信號(hào)處理：通過(guò)Fourier變換分析信號(hào)的頻譜成分，去除噪聲或提取特定頻率的信號(hào)。圖像處理：利用二維Fourier變換進(jìn)行圖像壓縮、濾波等操作。通信系統(tǒng)：在調(diào)制解調(diào)過(guò)程中，F(xiàn)ourier變換幫助設(shè)計(jì)高效的傳輸方案。物理問(wèn)題：解決熱傳導(dǎo)方程、波動(dòng)方程等問(wèn)題時(shí)，F(xiàn)ourier變換提供了有力的工具。第十一章：Laplace變換11.1Laplace變換的定義Laplace變換是一種將時(shí)間域函數(shù)轉(zhuǎn)換到復(fù)頻域的方法，特別適用于解決微分方程。對(duì)于函數(shù)f(t)f(t)，其Laplace變換定義為：F(s)=L{f(t)}=∫0∞f(t)e?st?dtF(s)=L{f(t)}=∫0∞?f(t)e?stdt其中s=σ+iωs=σ+iω是復(fù)變量。收斂區(qū)域：Laplace變換的積分必須在某個(gè)區(qū)域內(nèi)收斂，這個(gè)區(qū)域稱(chēng)為收斂區(qū)域（ROC）。11.2基本性質(zhì)線性性：L{af(t)+bg(t)}=aF(s)+bG(s)L{af(t)+bg(t)}=aF(s)+bG(s)微分性質(zhì)：L{f′(t)}=sF(s)?f(0)L{f′(t)}=sF(s)?f(0)積分性質(zhì)：L{∫0tf(τ)?dτ}=F(s)sL{∫0t?f(τ)dτ}=sF(s)?平移性質(zhì)：L{eatf(t)}=F(s?a)L{eatf(t)}=F(s?a)卷積定理：L{f(t)?g(t)}=F(s)G(s)L{f(t)?g(t)}=F(s)G(s)例子：計(jì)算單位階躍函數(shù)u(t)u(t)的Laplace變換。解:L{u(t)}=∫0∞e?st?dt=e?st?s∣0∞=1sL{u(t)}=∫0∞?e?stdt=?se?st??0∞?=s1?11.3Laplace逆變換Laplace逆變換用于從復(fù)頻域信號(hào)恢復(fù)時(shí)域信號(hào)。給定F(s)F(s)，可以通過(guò)以下公式得到f(t)f(t)：f(t)=L?1{F(s)}=12πilim?T→∞∫γ?iTγ+iTF(s)est?dsf(t)=L?1{F(s)}=2πi1?limT→∞?∫γ?iTγ+iT?F(s)estds其中γγ是位于收斂區(qū)域內(nèi)的實(shí)數(shù)。部分分式分解：常用的方法是將

F(s)F(s)

分解為簡(jiǎn)單分式，然后利用已知的Laplace變換對(duì)進(jìn)行逆變換。查表法：利用Laplace變換表直接查找常見(jiàn)函數(shù)的逆變換。例子：已知F(s)=1s(s+1)F(s)=s(s+1)1?，求其時(shí)域信號(hào)f(t)f(t)。解:將F(s)F(s)進(jìn)行部分分式分解：1s(s+1)=As+Bs+1s(s+1)1?=sA?+s+1B?解得A=1,B=?1A=1,B=?1，因此：F(s)=1s?1s+1F(s)=s1??s+11?利用查表法：f(t)=L?1{1s?1s+1}=u(t)?e?tu(t)=(1?e?t)u(t)f(t)=L?1{s1??s+11?}=u(t)?e?tu(t)=(1?e?t)u(t)11.4應(yīng)用于解微分方程Laplace變換提供了一種有效的方法來(lái)求解線性微分方程?；静襟E如下：對(duì)微分方程兩邊取Laplace變換。利用初始條件簡(jiǎn)化方程。解出未知函數(shù)的Laplace變換

F(s)F(s)。對(duì)

F(s)F(s)

進(jìn)行逆變換得到

f(t)f(t)。例子：解初值問(wèn)題y′′(t)+4y(t)=0,y(0)=1,y′(0)=0y′′(t)+4y(t)=0,y(0)=1,y′(0)=0。解:取Laplace變換：

L{y′′(t)}+4L{y(t)}=0L{y′′(t)}+4L{y(t)}=0

s2Y(s)?sy(0)?y′(0)+4Y(s)=0s2Y(s)?sy(0)?y′(0)+4Y(s)=0代入初始條件：

s2Y(s)?s+4Y(s)=0s2Y(s)?s+4Y(s)=0

Y(s)(s2+4)=sY(s)(s2+4)=s

Y(s)=ss2+4Y(s)=s2+4s?逆變換：

y(t)=L?1{ss2+4}=cos?(2t)y(t)=L?1{s2+4s?}=cos(2t)第十二章：Z變換12.1Z變換的引入Z變換是離散時(shí)間信號(hào)的一種數(shù)學(xué)工具，類(lèi)似于連續(xù)時(shí)間信號(hào)的Laplace變換。對(duì)于離散時(shí)間序列x[n]x[n]，其Z變換定義為：X(z)=Z{x[n]}=∑n=?∞∞x[n]z?nX(z)=Z{x[n]}=∑n=?∞∞?x[n]z?n其中zz是復(fù)變量。收斂區(qū)域：Z變換的級(jí)數(shù)必須在某個(gè)區(qū)域內(nèi)絕對(duì)收斂，這個(gè)區(qū)域稱(chēng)為收斂區(qū)域（ROC）。12.2性質(zhì)線性性：Z{ax[n]+by[n]}=aX(z)+bY(z)Z{ax[n]+by[n]}=aX(z)+bY(z)時(shí)移性質(zhì)：Z{x[n?k]}=z?kX(z)Z{x[n?k]}=z?kX(z)尺度變換：Z{anx[n]}=X(a?1z)Z{anx[n]}=X(a?1z)卷積定理：Z{x[n]?y[n]}=X(z)Y(z)Z{x[n]?y[n]}=X(z)Y(z)，其中

x[n]?y[n]x[n]?y[n]

表示離散卷積差分性質(zhì)：Z{x[n]?x[n?1]}=(1?z?1)X(z)Z{x[n]?x[n?1]}=(1?z?1)X(z)例子：計(jì)算單位脈沖序列δ[n]δ[n]的Z變換。解:Z{δ[n]}=∑n=?∞∞δ[n]z?n=1Z{δ[n]}=∑n=?∞∞?δ[n]z?n=112.3Z逆變換Z逆變換用于從Z域信號(hào)恢復(fù)時(shí)域離散信號(hào)。給定X(z)X(z)，可以通過(guò)以下公式得到x[n]x[n]：x[n]=Z?1{X(z)}=12πj∮CX(z)zn?1?dzx[n]=Z?1{X(z)}=2πj1?∮C?X(z)zn?1dz其中CC是包圍所有極點(diǎn)的閉合路徑。部分分式分解：將

X(z)X(z)

分解為簡(jiǎn)單分式，然后利用已知的Z變換對(duì)進(jìn)行逆變換。長(zhǎng)除法：對(duì)于有理函數(shù)，可以使用長(zhǎng)除法來(lái)求逆變換。查表法：利用Z變換表直接查找常見(jiàn)序列的逆變換。例子：已知X(z)=zz?0.5X(z)=z?0.5z?，求其時(shí)域序列x[n]x[n]。解:部分分式分解：X(z)=zz?0.5=11?0.5z?1X(z)=z?0.5z?=1?0.5z?11?利用查表法：x[n]=Z?1{11?0.5z?1}=(0.5)nu[n]x[n]=Z?1{1?0.5z?11?}=(0.5)nu[n]12.4在離散信號(hào)處理中的應(yīng)用數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)：利用Z變換設(shè)計(jì)和分析數(shù)字濾波器。信號(hào)采樣與重構(gòu)：通過(guò)Z變換分析采樣過(guò)程中的頻率響應(yīng)。系統(tǒng)穩(wěn)定性分析：通過(guò)研究Z變換的極點(diǎn)位置判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性?？刂评碚摚涸陔x散控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和分析中，Z變換提供了重要的工具。第十三章：多值函數(shù)13.1多值函數(shù)的定義多值函數(shù)是指對(duì)于一個(gè)自變量zz，存在多個(gè)可能的函數(shù)值。在復(fù)變函數(shù)中，許多重要的函數(shù)都是多值的，例如對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和某些類(lèi)型的根函數(shù)。例子：考慮

f(z)=zf(z)=z?，對(duì)于任意非零復(fù)數(shù)

z=reiθz=reiθ，其平方根可以表示為：

f(z)=reiθ/2f(z)=r?eiθ/2

但是由于輻角

θθ

可以增加或減少

2π2π

的整數(shù)倍，因此

zz?

實(shí)際上有兩個(gè)不同的值。13.2分支點(diǎn)與分支割線分支點(diǎn)是多值函數(shù)的一個(gè)關(guān)鍵概念。如果函數(shù)在某點(diǎn)附近的行為表現(xiàn)出多值性，則該點(diǎn)稱(chēng)為分支點(diǎn)。為了處理這種多值性，通常引入分支割線（branchcut），將復(fù)平面分割成不同的區(qū)域，使得在每個(gè)區(qū)域內(nèi)函數(shù)是單值的。選擇分支割線：常見(jiàn)的選擇是沿著負(fù)實(shí)軸從原點(diǎn)到無(wú)窮遠(yuǎn)，這樣可以確保輻角

θθ

在

(?π,π](?π,π]

范圍內(nèi)。Riemann面：通過(guò)引入Riemann面，可以將多值函數(shù)視為在不同層面上的單值函數(shù)。表13-1常見(jiàn)多值函數(shù)及其分支點(diǎn)函數(shù)類(lèi)型定義域分支點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)

Log(z)Log(z)z≠0z=0z=0z=0冪函數(shù)

zazaz≠0z=0z=0z=0

(當(dāng)

aa

不是整數(shù)時(shí))根函數(shù)

znnz?z≠0z=0z=0z=0

(當(dāng)

n>1n>1

且為奇數(shù)時(shí))13.3Riemann面Riemann面是一種幾何結(jié)構(gòu)，用于處理多值函數(shù)的多值性問(wèn)題。它將復(fù)平面擴(kuò)展為多個(gè)層面，每個(gè)層面對(duì)應(yīng)于函數(shù)的一個(gè)分支。通過(guò)這種方式，多值函數(shù)可以在每個(gè)層面上被視為單值函數(shù)。構(gòu)造方法：對(duì)于給定的多值函數(shù)，可以通過(guò)切割復(fù)平面并連接這些切割來(lái)構(gòu)造Riemann面。應(yīng)用：Riemann面不僅幫助理解多值函數(shù)的性質(zhì)，還在代數(shù)幾何和復(fù)分析中有廣泛應(yīng)用。例子：考慮f(z)=log?zf(z)=logz，其Riemann面由無(wú)限多個(gè)層面組成，每個(gè)層面之間的過(guò)渡通過(guò)沿負(fù)實(shí)軸的分支割線實(shí)現(xiàn)。13.4多值函數(shù)的例子對(duì)數(shù)函數(shù)：Log(z)=ln?∣z∣+iarg?(z)Log(z)=ln∣z∣+iarg(z)，其中

arg?(z)arg(z)

是輻角，具有周期性。冪函數(shù)：za=ealog?zza=ealogz，當(dāng)

aa

不是整數(shù)