《高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類）下冊(cè) 第2版》習(xí)題及答案 第九章習(xí)題答案

習(xí)題9-1（A）1．求下列各函數(shù)的表達(dá)式：（1）設(shè)函數(shù)，求，．解：，．（2）設(shè)函數(shù)，已知時(shí)，，求及的表達(dá)式．解：由時(shí)，，有，即，所以；而．（3）設(shè)函數(shù)，求．解：．（4）設(shè)函數(shù)，求的表達(dá)式．解：（方法1）因?yàn)?，所以．（方?）令，則，于是，所以．2．求下列各函數(shù)的定義域，并作定義域草圖：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）由且，得定義域．（2）由及，有，得定義域．（3）由，有，得定義域．（4）由，有，或，得定義域．3．求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解：（1）．（2）．（3）因?yàn)橛薪?，而，所以．?）．（5）（6）．4．證明下列極限不存在：（1）；（2）．證明：（1）沿取極限，則，當(dāng)取不同值時(shí)，該極限值不同，所以極限不存在．（2）沿取極限，；沿取極限，．由于，所以極限不存在．習(xí)題9-1（B）1．某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品在甲、乙兩個(gè)市場(chǎng)銷售，銷售價(jià)格分別為（單位：元），兩個(gè)市場(chǎng)的銷售量各自是銷售價(jià)格的均勻遞減函數(shù)，當(dāng)售價(jià)為10元時(shí)，銷售量分別為2400、850件，當(dāng)售價(jià)為12元時(shí)，銷售量分別為2000、700件．如果生產(chǎn)該產(chǎn)品的成本函數(shù)是，試用表示該廠生產(chǎn)此產(chǎn)品的利潤(rùn)．解：根據(jù)已知，設(shè)，由時(shí)，；時(shí)，，有得，于是．由時(shí)，；時(shí)，，有得，于是．兩個(gè)市場(chǎng)銷售該產(chǎn)品的收入為，該產(chǎn)品的成本．根據(jù)利潤(rùn)等于收入減去成本，得．2．求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）．（2）法1：令，則當(dāng)時(shí)，，所以．法2：因?yàn)闀r(shí)，與是等價(jià)無窮小，所以．（3）因?yàn)?，而，，根?jù)“夾逼準(zhǔn)則”得．（4）令，則當(dāng)時(shí)，（其中在區(qū)間內(nèi)任意變化），所以．3．證明極限不存在．證明：沿取極限，；沿取極限，．因此，極限不存在．4．討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性．解：沿取極限，由，有，所以函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)．

習(xí)題9-2（A）1.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．解：（1），．（2），．（3），．（4），．（5），．（6），．（7），由變量的對(duì)稱性，得．（8），．（9），，．（10），，．2.求曲線在點(diǎn)處的切線與軸正向的夾角．解：，，用表示曲線在點(diǎn)處的切線與軸正向的夾角，則，所以．3.設(shè)，求及．解：因?yàn)?，所以，因?yàn)椋裕?.求下列函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)：（1）設(shè)，求.解：（2）設(shè)，求，和；解：，，，，，．5.驗(yàn)證：（1）設(shè)函數(shù)，證明．證：因?yàn)?，，，，，，所以，．?）設(shè)，求證.證明：原結(jié)論成立．習(xí)題9-2（B）1．設(shè)一種商品的需求量是其價(jià)格及某相關(guān)商品價(jià)格的函數(shù)，如果該函數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)，稱為需求對(duì)價(jià)格的彈性、為需求對(duì)價(jià)格的交叉彈性．如果某種數(shù)碼相機(jī)的銷售量與其價(jià)格及彩色噴墨打印機(jī)的價(jià)格有關(guān)，為，當(dāng)，時(shí)，求需求對(duì)價(jià)格的彈性、需求對(duì)價(jià)格的交叉彈性．解：由，，有，，當(dāng)，時(shí)，需求對(duì)價(jià)格的彈性：，需求對(duì)價(jià)格的交叉彈性：．2.設(shè)，求，.解：.3.設(shè)函數(shù)證明在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都不存在．證：因?yàn)闃O限不存在，極限不存在，所以在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都不存在．4.設(shè)，求，和．解：，，，，．5.設(shè)函數(shù)，證明．證明：將函數(shù)改寫為，則，，由變量的對(duì)稱性，有，，所以．習(xí)題9-3（A）1．求下列函數(shù)的全微分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解：（1）因?yàn)椋?，所以．?）因?yàn)?，，所以．?）因?yàn)?，，所以．?）因?yàn)?，，所以?）因?yàn)椋?，所以．?）因?yàn)?，，，所以?.求函數(shù)在點(diǎn)處的全微分．解:在點(diǎn)處，分別有因此，我們有3.求函數(shù)當(dāng)，時(shí)的全微分．解因?yàn)?，，，，所以?.求函數(shù)在點(diǎn)處當(dāng)時(shí)的全微分．解由于所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)（2，1）處的全微分為習(xí)題9-3（B）1.計(jì)算的近似值．解：設(shè)函數(shù)．顯然，要計(jì)算的值是函數(shù)在時(shí)的函數(shù)值取因?yàn)樗杂晒降茫?．計(jì)算的近似值．解：考慮函數(shù)，取，而，，、、，則．3.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)點(diǎn)處討論偏導(dǎo)數(shù)的存在性、偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性以及函數(shù)的可微性．解：因?yàn)?，，所以在點(diǎn)處函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且．再討論可微性，函數(shù)在處的全增量用表示，則，記，則不存在（沿取極限，其值為；沿取極限，其值為），所以函數(shù)在點(diǎn)處不可微．進(jìn)而得偏導(dǎo)（函）數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)（若偏導(dǎo)（函）數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，根據(jù)可微的充分條件，則函數(shù)在點(diǎn)可微，與函數(shù)不可微矛盾）．

習(xí)題9-4（A）1.求下列函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)：（1）設(shè)函數(shù)，求；（2）設(shè)函數(shù)，而，，求全導(dǎo)數(shù)；（3）設(shè)函數(shù)而是的可微函數(shù)，求．解：（1）=.（2）（3）2.求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)：（1）設(shè)函數(shù)，而，，求和；（2）設(shè)函數(shù)，求和．解：（1），，（2）這是冪指函數(shù)求導(dǎo)，為方便求導(dǎo)，將它寫作復(fù)合函數(shù)，為此令，則，．3.求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)（其中函數(shù)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)）：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1），．（2），．（3），．（4），，．4.設(shè)函數(shù)，其中是可微函數(shù)，證明．證：因?yàn)椋?，所以?.設(shè)函數(shù)，其中是可微函數(shù)，證明．證：因?yàn)?，，所以?.利用全微分形式的不變性求函數(shù)的全微分．解令，由一階全微分形式的不變性，我們有，注意到又都是的函數(shù)，并且將它們帶入上式，得習(xí)題9-4（B）1.求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)（其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）：（1）；（2）；解：（1），，，，．（2），，，，．2.設(shè)函數(shù)，其中函數(shù)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求．解：，．3.設(shè)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且.求，并證明解由鏈?zhǔn)椒▌t，得于是有

習(xí)題9-5（A）1.若函數(shù)分別由下列方程確定，分別求：（1）；（2）；（3）；解（1）法1：設(shè)，則，所以法2：方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，解得．（2）方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，解得．（3）令則2.設(shè)由方程所確定的隱函數(shù)，求解令，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以，.3.設(shè)函數(shù)，而函數(shù)由方程確定，求全導(dǎo)數(shù)．解：方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，得，．4.若函數(shù)分別由下列方程確定，求及．（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）法1：設(shè)，則，所以．法2：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，有，得，方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，有，得．（以下都按方法2作）（2）方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，得，方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，得（或由變量的對(duì)稱性，得）．（3）方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，有，即，而，所以，得，由變量對(duì)稱性有．（4）方程改寫為，方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，有，得，方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，有，得．5.設(shè)，求.解：令則6.若函數(shù)，，都是由方程確定的隱函數(shù)，其中有一階連續(xù)非零的偏導(dǎo)數(shù)，證明．證：因?yàn)?，所以?.若是的函數(shù)，并由確定，求.解：令因此，，習(xí)題9-5（B）1.設(shè)函數(shù)，而函數(shù)、分別由方程及確定，求全導(dǎo)數(shù)．解：方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，得，方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，得，所以．2．設(shè)函數(shù)，而由方程確定，求．解：方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，用、代入，有，得．于是，所以．3．設(shè)，求，，.解：令則把看成的函數(shù)對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)得整理得把看成的函數(shù)對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)得整理得把看成的函數(shù)對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)得整理得4.若函數(shù)由方程確定，求．解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，有，得，由變量的對(duì)稱性，得．法１：等式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，即所以．法２：．5.設(shè)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，方程（其中是非零常數(shù)）確定是的隱函數(shù)，且，求.解：令因此.6.求由下列方程組所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)：（1）求和．（2）求及．解：（1）方程組兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有消去，有，得，而．（2）方程組兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有（1）（2），有，得，再代入到（2）之中得．方程組兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有與前面解法類似，得，．

習(xí)題9-6（A）1.求下列函數(shù)的極值：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）定義域?yàn)槿矫?，并且函?shù)處處可微．由得唯一駐點(diǎn)．，，根據(jù)二元函數(shù)極值的充分條件，點(diǎn)是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為，該函數(shù)無極小值．（2）定義域?yàn)槿矫?，并且函?shù)處處可微．由即得函數(shù)的所有駐點(diǎn)是．，對(duì)上述諸點(diǎn)列表判定：所以函數(shù)的極大值為，極小值為．（3）定義域?yàn)槿矫?，并且函?shù)處處可微．由得唯一駐點(diǎn)．，、、，，根據(jù)二元函數(shù)極值的充分條件，點(diǎn)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值，該函數(shù)無極大值．（4）定義域?yàn)槿矫?，函?shù)處處可微．由得唯一駐點(diǎn)．由于在點(diǎn)處函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)不存在，不能用定理8.2判定，為此根據(jù)極值的定義，當(dāng)（即非點(diǎn)）時(shí)，所以點(diǎn)是該函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為，該函數(shù)無極小值．2.求函數(shù)的極值．解：由，解出在點(diǎn)處，所以函數(shù)在處由極小值.3.求曲面上到原點(diǎn)距離最近的點(diǎn)．解：設(shè)，則，解出因?yàn)槭窃跁r(shí)的唯一駐點(diǎn)，由題意可知在的曲面上存在與原點(diǎn)距離最小的點(diǎn)，所以即為所求的點(diǎn)．4.將正數(shù)12分成三個(gè)正數(shù)之和使得為最大.解令,則解得唯一駐點(diǎn)，故最大值為5.用面積為12（m2）鐵板做一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋水箱，問如何設(shè)計(jì)容積最大？解設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為，體積為，則目標(biāo)函數(shù)為（），附加條件是．設(shè)（），由得唯一可能極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際意義，當(dāng)長(zhǎng)方體表面積一定是其體積有最大值，所以當(dāng)長(zhǎng)、寬都為2（m），高為1（m）時(shí)無蓋長(zhǎng)方體水箱容積最大(此時(shí)體積為4（m3）)．6.在斜邊長(zhǎng)為的直角三角形中，求周長(zhǎng)最大的三角形及其周長(zhǎng)．解：設(shè)兩直角邊長(zhǎng)分別為，三角形周長(zhǎng)為，則目標(biāo)函數(shù)是（），附加條件為．設(shè)，由在時(shí)得唯一可能極值點(diǎn)，由實(shí)際意義，斜邊長(zhǎng)為一定的直角三角形中，周長(zhǎng)有最大值，所以當(dāng)兩直角邊長(zhǎng)都為（即等腰直角三角形）時(shí)，其周長(zhǎng)最大，且最大周長(zhǎng)為．7.有一寬為24的長(zhǎng)方形鐵板，把它折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽．問怎么折才能使斷面的面積最大．解設(shè)折起來的邊長(zhǎng)為，傾角為（圖8-17），那么梯形的下底長(zhǎng)為，上底長(zhǎng)為，高為，所以斷面的面積為，即.為求其最大值，我們先來解方程組由于，將上述方程組兩邊約分，得解這個(gè)方程組，得根據(jù)題意，斷面面積的最大值一定存在，又由的定義，因此最大值點(diǎn)只可能在區(qū)域的內(nèi)部或開邊界上取到．但當(dāng)時(shí)，的最大值為72．因此，該函數(shù)的最大值只能在區(qū)域的內(nèi)點(diǎn)處取得，而它只有一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，因此可以斷定是其最大值．即將鐵板折起8，并使其與水平線成角時(shí)所得斷面面積最大．習(xí)題9-6（B）1.求由方程確定的函數(shù)的極值..解將方程兩邊分別對(duì)求偏導(dǎo)由函數(shù)取極值的必要條件知,駐點(diǎn)為,將上方程組再分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù),故,函數(shù)在有極值.將代入原方程,有（舍去）.此時(shí)，,所以為極大值.2.求二元函數(shù)在直線，軸和軸所圍成的閉區(qū)域上的最大值與最小值.解令得區(qū)域內(nèi)唯一駐點(diǎn),且,再求在邊界上的最值在邊界和上,在邊界上，即，于是,由,得比較后可知為最大值,為最小值.3.求橢圓上豎坐標(biāo)的最小值與最大值．解：目標(biāo)函數(shù)為，附加條件是，及．設(shè)，由得可能極值點(diǎn).由于橢圓是有界閉曲線，它的豎坐標(biāo)一定有最小值與最大值，所以當(dāng)時(shí)最小，且最小值為，當(dāng)時(shí)最大，且最大值為．4.平面截圓柱面得一橢圓周，求此橢圓周上到原點(diǎn)的最近點(diǎn)及最遠(yuǎn)點(diǎn)．解這是求空間中既在平面也在圓柱面上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離或函數(shù)的最大值與最小值．因此函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，條件及都是變量滿足的約束條件．為此構(gòu)造拉格朗日函數(shù).解方程組解得可能極值點(diǎn)為于是，經(jīng)過比較得到，到原點(diǎn)的距離最近點(diǎn)為到原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)點(diǎn)是習(xí)題9-71.為了弄清楚某企業(yè)利潤(rùn)和產(chǎn)值的函數(shù)關(guān)系，我們把該企業(yè)從2010年到2019年間的利潤(rùn)（百萬元）和產(chǎn)值（百萬元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)列表如下：年份20102011201220132014201520162017201820194.925.004.934.904.904.954.984.995.025.021.671.701.681.661.661.681.691.701.701.71試根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)建立利潤(rùn)與產(chǎn)值之間的經(jīng)驗(yàn)公式解：各個(gè)數(shù)據(jù)的偏差平方和為令整理得：計(jì)算得，，，代入方程，有解得所以，經(jīng)驗(yàn)公式為2.已知有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù):01234-2-101235.235.936.737.438.4試用最小二乘法作二次多項(xiàng)式擬合該組數(shù)據(jù).解：各個(gè)數(shù)據(jù)的偏差平方和為令整理得：計(jì)算得，代入方程，有解得所以，經(jīng)驗(yàn)公式為

總習(xí)題九1.在“充分、必要、充分必要、無關(guān)”四者中選擇一個(gè)正確的填入下列空格內(nèi)：（1）二元函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)是該函數(shù)在點(diǎn)可微的_________條件，是該函數(shù)在點(diǎn)極限存在的________條件，是該函數(shù)在點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在的________條件，是該函數(shù)在點(diǎn)有定義的_________條件．（2）二元函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)及存在是在該點(diǎn)可微的________條件.在點(diǎn)可微是函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)及存在的________條件.（3）二元函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)及存在，且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是在該點(diǎn)處可微分的________條件.解答：（1）必要充分無關(guān)充分（2）必要充分（3）充分2.單項(xiàng)選擇題：（1）設(shè)函數(shù)，在原點(diǎn)處及（）；（A）都不存在（B）都存在，但不相等（C）都存在，且都等于0（D）都存在，且都等于1（2）若函數(shù)，則（）；（A）（B）（C）（D）解：（1）選A，事實(shí)上：因?yàn)椴淮嬖冢圆淮嬖?，由變量的?duì)稱性，也不存