《高等數(shù)學（經(jīng)濟類）下冊 第2版》習題及答案 第十章 二重積分習題答案

習題10-1（A）1．設，其中；，其中，利用二重積分的幾何意義說明與的關系.解：由于，所以.2.用幾何意義計算下列二重積分值：（1），其中由直線及兩坐標軸圍成；解：由二重積分的幾何意義可知，為以為底，以為頂?shù)乃拿骟w的體積，如圖10-2所示，故.（2），其中：.解：由二重積分的幾何意義可知，此二重積分為以為底，以曲面為頂?shù)纳习肭虻捏w積，即.3．比較下列二重積分的大?。海?）與，其中由直線及兩坐標軸圍成；解：由于在積分區(qū)域上有，所以，故有.（2）與，其中：，；解：由于在積分區(qū)域上有，，所以，故有.（3）與，其中；解：由于在積分區(qū)域上有，所以，故有（4）與，其中是以點為頂點的三角形區(qū)域.解：由于在積分區(qū)域上有，所以，故有.4．估計下列二重積分的值：（1），其中；解：由于在積分區(qū)域上函數(shù)的最大值，最小值，且，由，故有即.（2），其中；解：由于在積分區(qū)域上函數(shù)的最大值，最小值，且，由，故有即.（3），其中.解：由于在積分區(qū)域上函數(shù)的最大值，最小值，且，由，故有即.習題10-1（B）利用二重積分的幾何意義說明：（1）當積分區(qū)域關于軸對稱，且函數(shù)滿足（即函數(shù)是變量的奇函數(shù)）時，有.解：由于積分區(qū)域是關于軸對稱，故可以把分成兩部分和，即，且與的面積相等，故.由于，即在與中關于軸對稱點上函數(shù)值符號相反．根據(jù)幾何意義是以（不妨設為頂、為底的曲頂柱體體積；而是以（這時為頂、而以為底的曲頂柱體體積的負值，并且這兩塊立體區(qū)域關于軸對稱，其體積值相等，如果記，則，所以．（2）當積分區(qū)域關于軸對稱，且函數(shù)滿足（即函數(shù)是變量的偶函數(shù)）時，有，其中為在的部分.解：由于積分區(qū)域是關于軸對稱，故可以把分成兩部分和，即，且與的面積相等，故，由于，即在與中關于軸對稱點上函數(shù)值相等．根據(jù)幾何意義是以（不妨設為頂、為底的曲頂柱體體積；同樣是以（這時為頂、而以為底的曲頂柱體體積，并且這兩塊立體區(qū)域關于軸對稱，其體積值相等，如果記，則，所以．并由此計算下列二重積分的值，其中.（1）；（2）；（3）.解：（1）由于且，積分區(qū)域是關于軸對稱所以.（2）由于且，積分區(qū)域是關于軸對稱，被積函數(shù)是關于的奇函數(shù)，所以.（3）由于且，積分區(qū)域是關于軸對稱，被積函數(shù)是關于的奇函數(shù)，所以.估計積分的值，其中.解：由于，且積分區(qū)域的面積，在上的最大值，最小值，故.判斷積分的符號，其中.解：當時，有，故，因此.

習題10-2（A）在下列區(qū)域上分別將二重積分化為直角坐標系下的二次積分：由直線，軸和軸圍成；解：.由拋物線和直線圍成；解：由解得故.由曲線及圍成；解：由解得，故.由拋物線及直線圍成；解：由解得，故.由不等式確定；解：.由不等式確定.解：.利用直角坐標計算下列二重積分：（1），其中由直線圍成；解：.（2），其中由直線，及圍成；解：.（3），其中由直線，，及圍成；解：.（4），其中由雙曲線及直線，圍成；解：.（5），其中由雙曲線及直線，圍成；解：.如果二重積分的被積函數(shù)是兩個函數(shù)與的乘積，即，并且積分區(qū)域，證明這個二重積分等于兩個定積分的乘積，即.并由此計算二重積分，其中，.解：（1）.（2）.交換下列累次積分的次序：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.計算下列二次積分：（1）；（2）.解：（1）.（2）.設平面薄片所占的閉區(qū)域由直線，和軸所圍成，它的面密度，求該薄片的質(zhì)量.解：由題意可得故所求平面薄片的質(zhì)量為.求由平面，，及所圍成的立體體積.解：由題意可知該立體體積，其中由軸、軸及直線圍成。所以.為修建高速公路，要在一山坡中開辟出一條長500米，寬20米的通道.據(jù)測量，以出發(fā)點一側(cè)為原點，往另一側(cè)方向為軸，往公路延伸方向為軸，且山坡的高度為（米）試計算所需挖掉的土方量.解：由題意可知，需要挖掉的土方量即為以為頂，以為底的曲頂柱體的體積，其中，即,其中，.故(立方米)即需要挖掉的土方量為立方米.習題10-2（B）在直角坐標系計算下列二重積分：（1），其中由拋物線，直線及軸圍成的閉區(qū)域；（2），其中是由所圍成的閉區(qū)域；（3），其中由直線，及所圍成的閉區(qū)域.解：（1）由解得，故.（2）由于是由所圍成，故.（3）因為，并且，，，所以.將下列累次積分或二重積分化為定積分：（1），其中在區(qū)間上連續(xù)；解：由于，，故將原積分交換積分次序可得.（2），其中由直線，及所圍成的閉區(qū)域，函數(shù)連續(xù).解：.交換積分次序：（1）；（2）.解：（1）積分區(qū)域，交換積分次序.（2）積分區(qū)域，交換積分次序為.設在上連續(xù)，并設，計算.解：由積分可知，積分區(qū)域為，交換累次積分的次序，由于,所以.又因為，所以.若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，區(qū)域為，，證明.證：由于積分區(qū)域為，，故該區(qū)域滿足關于直線對稱.將這個區(qū)域劃分為兩個區(qū)域為，，因此.從而有得證.

習題10-3（A）在極坐標系下，將二重積分化為二次積分,其中區(qū)域分別是：（1）；解：.（2）；解：.（3）由直線及圓圍成的第一象限部分；解：.（4）是圓的外部和圓的內(nèi)部圍成的在第一象限部分；解：由得，故有.（5）是兩圓域，的公共部分；解：由得，故有.（6）.解：.利用極坐標計算下列二重積分：（1），其中區(qū)域為，.解：.（2），其中是圍成的閉區(qū)域；解：.（3），其中；解：.（4），其中是由，及直線，圍成的位于第一象限部分的閉區(qū)域；解：.（5），其中是位于第一象限的圓域.解：.將下列直角坐標系下的二次積分化為極坐標系下的二次積分：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）.（2）.（3）.（4）.將下列極坐標系下的二次積分化為直角坐標系下的二次積分：（1）；（2）.解：（1）.（2）.習題10-3（B）在極坐標系下計算下列二重積分：（1），其中是圓域；解：由可知，其對應的極坐標方程為，故.（2），其中為圓域.解：由于，其中為圓域，為圓域.故.所以.計算以面上的圓周的閉區(qū)域為底，以曲面為頂?shù)那斨w體積.解：根據(jù)題意可知，其中積分區(qū)域是由圍城的圓域，故有.某水池呈圓形，半徑為5米，以中心為坐標原點，距中心距離為處的水深為米，試計算該水池的蓄水量.解：該水池的蓄水量，其中由圓圍成，故（立方米）所以該蓄水池的蓄水量為立方米.

習題10-4（A）計算，其中積分區(qū)域.解：.計算，其中是由曲線，在第一象限所圍成的區(qū)域.解：.計算，其中是由不等式，確定的無界區(qū)域.解：.習題10-4（B）1.討論并計算下列反常二重積分：（1），其中；（2），其中.解：（1）,當，即時，,當，即時，,所以，當時，此反常二重積分收斂于，其他情況下發(fā)散.（2）由于，故當，即時，,所以，當時，此積分收斂于，當時，此積分發(fā)散.

總習題十1.填空.（1）積分的值是；（2）設閉區(qū)域，則=.解：（1）填.此題需要交換積分次序才能計算所得的二次積分，得.（2）填.此題需用極坐標下計算重積分..2.計算下列二重積分:（1），其中是頂點分別為，，和的梯形閉區(qū)域；（2），其中；（3），其中是圓周所圍成的閉區(qū)域；（4），其中.解：（1）可以表示為，，于是.（2）由于，，故.（3）利用極坐標計算.在極坐標系中的，于是.（4）利用對稱性可知，，用極坐標計算.因此，原式.3.交換下列二次積分的次序:（1）；（2）；（3）.解：（1）所給的二次積分等于閉區(qū)域上的二重積分，其中.將表達為，，則得.（2）所給的二次積分等于閉區(qū)域上的