《高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類）下冊 第2版》課件 9-7 最小二乘法

第九章多元函數(shù)微分學(xué)第七節(jié)最小二乘法

在許多工程和經(jīng)濟(jì)問題中，常常需要根據(jù)兩個(gè)變量的幾組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，來找出這兩個(gè)變量近似滿足的函數(shù)關(guān)系式，我們把這個(gè)近似的函數(shù)關(guān)系式稱為經(jīng)驗(yàn)公式。經(jīng)驗(yàn)公式建立以后，就可以把生產(chǎn)或?qū)嶒?yàn)中積累的某些經(jīng)驗(yàn)，提高到理論上加以分析。下面我們通過舉例來介紹常用的一種建立經(jīng)驗(yàn)公式的方法。例1某銀行為了解各營業(yè)所儲(chǔ)蓄人數(shù)x和存款y之間的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)了11個(gè)營業(yè)所儲(chǔ)蓄人數(shù)和存款的數(shù)據(jù)列表如下：編號(hào)12345678910112900510012001300125092072211004767805300270490135119140846417160103515試根據(jù)上面的數(shù)據(jù)建立存款y與儲(chǔ)蓄人數(shù)x之間的經(jīng)驗(yàn)公式y(tǒng)=f(x).解：首先，要確定y=f(x)類型.為此，我們建立直角坐標(biāo)系，取x為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描出各對數(shù)據(jù)的對應(yīng)點(diǎn).

從圖中可以看出，這些點(diǎn)基本上分布在一條直線附近，連線大致接近于這條直線。于是，我們可以認(rèn)為y=f(x)是線性函數(shù)，并設(shè)其中a,b為待定系數(shù).問題的關(guān)鍵是如何確定線性函數(shù)中的常數(shù)a,b.

因?yàn)檫@些點(diǎn)本來不在一條直線上，我們只能要求選取這樣的a,b，使得在相差都很小．處的函數(shù)值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)即要使偏差都很小.最小來保證每個(gè)偏差的絕對值都很小.可以考慮選取常數(shù)a,b，使得這種根據(jù)偏差的平方和為最小的條件來選擇常數(shù)a,b的方法稱為最小二乘法.為何是平方和最??？現(xiàn)在我們來研究，經(jīng)驗(yàn)公式

中的常數(shù)a,b滿足什么條件時(shí)，可以使得上述的最小.顯然，問題的實(shí)質(zhì)即是求關(guān)于a,b的二元函數(shù)的最小值問題.為此，解方程組

將括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)進(jìn)行整理合并，并把a(bǔ)和b分離出來，得根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以計(jì)算得到代入上述方程，即可得到常數(shù)a,b的值，即這樣便得到所得的經(jīng)驗(yàn)公式

擬合的效果圖如圖所示，可以看出，這些點(diǎn)的連線非常接近于經(jīng)驗(yàn)公式的直線.偏差的平方和為平方根為稱為均方誤差，它的大小在一定程度上反映了用經(jīng)驗(yàn)公式來近似表達(dá)原來函數(shù)關(guān)系的近似程度的好壞.例2在研究某單分子化學(xué)反應(yīng)速度時(shí)，得到下列數(shù)據(jù)：12345678369121518212457.641.931.022.716.612.28.96.5

其中t表示從實(shí)驗(yàn)開始算起的時(shí)間，y表示時(shí)刻t反應(yīng)物的量.試根據(jù)上述數(shù)據(jù)給出經(jīng)驗(yàn)公式

y=f(t).解：由化學(xué)反應(yīng)速度的理論知，y=f(t)是指數(shù)函數(shù)其中K,m為待定的常數(shù).對這批數(shù)據(jù)，我們先來驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論。為此，在兩邊取自然對數(shù)，得顯然，lny是關(guān)于t的線性函數(shù).我們把表里的取對數(shù)，把數(shù)據(jù)點(diǎn)描在坐標(biāo)系中.

可以看出，這些點(diǎn)的連線非常接近于一條直線，說明y=f(t)確認(rèn)是指數(shù)函數(shù).下面根據(jù)例1中的結(jié)論，定出常數(shù)k,m的值.由于其中m相當(dāng)于a，lnk相當(dāng)于b，則有通過表中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算得到將它們代入上式，即可得其中因此所求的經(jīng)驗(yàn)公式為由擬合效果圖可看出，這些點(diǎn)的連線非常接近于經(jīng)驗(yàn)公式的曲線.