人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修一講義)第14講2.1.1傾斜角與斜率(學(xué)生版+解析)

第01講2.1.1傾斜角與斜率課程標準學(xué)習(xí)目標①理解直線的傾斜角與斜率的概念。②掌握直線的傾斜角的范圍與斜率存在的意義.。③了解直線的方向向量與直線、直線的斜率的關(guān)系。④會用兩點坐標求直線的斜率。⑤在平面直角坐標系中探索確定直線位置的幾何要素。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，理解直線的傾斜角與斜率的概念，了解直線的方向向量與直線的斜率的關(guān)系，會求直線的斜率與傾斜角，掌握確定直線的條件及直線傾斜角與斜率的取值范圍.知識點01：直線傾斜角的定義以軸為基準，軸正向與直線向上的方向之間所成的角叫做直線的傾斜角.（1）當(dāng)直線與軸平行或者重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為；所以傾斜角的取值范圍為：；特別地，當(dāng)直線與軸垂直時，直線的傾斜角為.（2）所有直線都有唯一確定的傾斜角，傾斜角表示的是直線的傾斜程度.知識點02：直線的斜率我們把一條直線的傾斜角（）的正切值叫做這條直線的斜率.斜率通常用字母表示，即（1）傾斜角不是的直線都有斜率，傾斜角不同，直線的斜率也不同；（2）傾斜角時，直線的斜率不存在。【即學(xué)即練1】（2023秋·湖南婁底·高二統(tǒng)考期末）已知直線的傾斜角是，則此直線的斜率是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為直線的傾斜角是，所以此直線的斜率是.故選:C.知識點03：斜率與傾斜角的聯(lián)系傾斜角（范圍）斜率（范圍）不存在【即學(xué)即練2】（2023秋·天津南開·高二天津市第九中學(xué)?？计谀﹫D中的直線的斜率分別為，則有（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由圖象可得，，故選：C知識點04：直線斜率的坐標公式如果直線經(jīng)過兩點，（），那么可得到如下斜率公式：（1）當(dāng)時，直線與軸垂直，直線的傾斜角，斜率不存在；（2）斜率公式與兩點坐標的順序無關(guān)，橫縱坐標的次序可以同時調(diào)換；（3）當(dāng)時，斜率，直線的傾斜角，直線與軸重合或者平行?！炯磳W(xué)即練3】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）經(jīng)過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)存在，1(2)存在，(3)不存在【詳解】（1）由題意，存在，直線AB的斜率．（2）由題意得，存在，直線CD的斜率．（3）∵，∴直線的斜率不存在．題型01求直線的傾斜角【典例1】（2023春·江蘇泰州·高二靖江高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線經(jīng)過，兩點，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·浙江溫州·高二統(tǒng)考期末）已知是直線的一個方向向量，則該直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【變式1】（2023秋·福建福州·高二統(tǒng)考期末）若直線的方向向量是，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若直線與直線平行，直線的斜率為，則直線的傾斜角為__________.題型02直線斜率的定義【典例1】（2023秋·天津濱海新·高二?？计谀┮阎本€的傾斜角是，則該直線的斜率是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·四川遂寧·高二校考期末）若直線的傾斜角為120°，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【變式1】（2023秋·貴州黔西·高二統(tǒng)考期末）已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．題型03斜率與傾斜角變化關(guān)系【典例1】（2023秋·高二課時練習(xí)）若如圖中的直線的斜率為，則（

）

A． B． C． D．【典例2】（2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中學(xué)?？计谀┫铝姓f法正確的是（

）A．直線的傾斜角越大，它的斜率越大； B．兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也相等；C．任何一條直線都有唯一的斜率； D．任何一條直線都有唯一的傾斜角．【變式1】（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水中學(xué)?？计谀┮阎本€經(jīng)過第二、四象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）.A． B． C． D．【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）（多選）如圖，在平面直角坐標系中有三條直線，，，其對應(yīng)的斜率分別為，，，則下列選項中錯誤的是（

）A． B．C． D．題型04已知兩點求斜率【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）分別判斷經(jīng)過下列兩點的直線的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出傾斜角；如果不存在，求出傾斜角．(1)；(2)；(3)；(4)．【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若經(jīng)過點和的直線的傾斜角是鈍角，則實數(shù)的取值范圍是________．【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知．(1)求直線和的斜率；(2)若點在線段（包括端點）上移動時，求直線的斜率的變化范圍．

題型05已知斜率求參數(shù)【典例1】（2023春·湖北荊州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）若直線經(jīng)過兩點，，且其傾斜角為135°，則的值為（

）A．0 B． C． D．【典例2】（2023春·山東濱州·高一?？茧A段練習(xí)）過點，的直線的斜率為1，那么的值為（

）A．1或4 B．4 C．1或3 D．1【變式1】（2023春·河南安陽·高二安陽一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知點，直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．【變式2】（2023秋·高二課時練習(xí)）過，兩點的直線的傾斜角為，求的值．題型06利用直線斜率處理共線問題【典例1】（2023秋·甘肅蘭州·高二蘭州西北中學(xué)校考期末）三點，，在同一條直線上，則值為（

）A．2 B． C．或 D．2或【典例2】（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知點，，，若線段，，不能構(gòu)成三角形，則的值是________.【變式1】（2023秋·山西臨汾·高二統(tǒng)考期末）若三點在同一直線上，則實數(shù)等于（

）A． B． C．6 D．12【變式2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知三點，，在同一條直線上，則實數(shù)的值為（

）A．0 B．5 C．0或5 D．0或-5題型07求斜率或傾斜角的取值范圍【典例1】（2023春·上海浦東新·高二上海市實驗學(xué)校?？计谥校┮阎獌牲c，，直線過點，若直線與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023秋·高二課時練習(xí)）直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍是__________．【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線過點，且與以、為端點的線段相交，則直線的斜率的取值范圍是__________．【典例4】（2023秋·湖北武漢·高二統(tǒng)考期末）經(jīng)過點作直線，且直線與連接點，的線段總有公共點，則直線的傾斜角的取值范圍是__________．【變式1】（2023春·四川宜賓·高二宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知,,直線過定點,且與線段相交,則直線的斜率的取值范圍是(

)A． B． C． D．或【變式2】（2023秋·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）已知坐標平面內(nèi)三點，為的邊上一動點，則直線斜率的變化范圍是（

）A． B．C． D．【變式3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線的方程為，，則直線的傾斜角范圍是（

）A． B．C． D．【變式4】（2023春·浙江溫州·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線斜率為，且，那么傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型08斜率公式的幾何意義的應(yīng)用【典例1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）若實數(shù)、滿足，，則代數(shù)式的取值范圍為______【典例2】（2023·湖南衡陽·?？寄M預(yù)測）點在函數(shù)的圖象上，當(dāng)，則的取值范圍為______.【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）點在函數(shù)的圖象上，當(dāng)時，的取值范圍是（

）A． B．C． D．A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若直線經(jīng)過點，則直線的傾斜角為（）A．0° B．30°C．60° D．90°2．（2023秋·高二課時練習(xí)）對于下列命題：①若是直線l的傾斜角，則；②若直線傾斜角為，則它斜率；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一直線都有斜率，但不一定有傾斜角．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023秋·江蘇南京·高二南京大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┤糁本€經(jīng)過，兩點，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致．如圖是閬中市盤龍山嘉陵江大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列．已知拉索上端相鄰兩個針的間距（，2，…，9）均為，拉索下端相鄰兩個針的間距（，2，…，9）均為．最短拉索的針，，滿足，，則最長拉索所在直線的斜率約為（

）（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）A． B． C． D．5．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知一直線經(jīng)過兩，，且傾斜角為，則的值為（）A．－6 B．－4C．0 D．66．（2023春·上海浦東新·高二上海師大附中?？茧A段練習(xí)）已知直線的傾斜角為，斜率為，那么“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2023秋·四川宜賓·高二四川省宜賓市南溪第一中學(xué)校?？计谀┰O(shè)直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點．有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近．為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標系，OO1，OO2，OO3，OO4分別是大星中心點與四顆小星中心點的連接線，α≈16°，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（

）A．0° B．1° C．2° D．3°二、多選題9．（2023秋·湖北黃石·高二校聯(lián)考期末）在下列四個命題中，錯誤的有（

）A．坐標平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率B．直線的傾斜角的取值范圍是C．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為D．若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為10．（2022春·湖南衡陽·高二衡陽市一中?？茧A段練習(xí)）已知經(jīng)過點和的直線的傾斜角，則實數(shù)的可能取值有（

）A．11 B．12 C．13 D．14三、填空題11．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線的傾斜角，直線與的交點為，直線和向上的方向所成的角為，如圖，則直線的傾斜角為________．

12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過原點的直線l與曲線交于不同的兩點A，B，過A，B作x軸的垂線，與曲線交于C，D兩點，則直線CD的斜率為__________．四、解答題13．（2023·全國·高二專題練習(xí)）求經(jīng)過下列兩點的直線的斜率，并判斷其傾斜角是銳角還是鈍角.（1）A(0，-1)，B(2，0)；（2）P(5，-4)，Q(2，3)；（3）M(3，-4)，N(3，-2).14．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知兩點，過點的直線與線段有公共點．(1)求直線的斜率的取值范圍；(2)求直線的傾斜角的取值范圍．B能力提升1．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）坐標平面內(nèi)有相異兩點，，經(jīng)過兩點的直線的的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·廣東深圳·高二深圳中學(xué)校考期中）已知點，，若點在線段AB上，則的取值范圍（

）(3)若是線段上一動點，求的取值范圍.

第01講2.1.1傾斜角與斜率課程標準學(xué)習(xí)目標①理解直線的傾斜角與斜率的概念。②掌握直線的傾斜角的范圍與斜率存在的意義.。③了解直線的方向向量與直線、直線的斜率的關(guān)系。④會用兩點坐標求直線的斜率。⑤在平面直角坐標系中探索確定直線位置的幾何要素。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，理解直線的傾斜角與斜率的概念，了解直線的方向向量與直線的斜率的關(guān)系，會求直線的斜率與傾斜角，掌握確定直線的條件及直線傾斜角與斜率的取值范圍.知識點01：直線傾斜角的定義以軸為基準，軸正向與直線向上的方向之間所成的角叫做直線的傾斜角.（1）當(dāng)直線與軸平行或者重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為；所以傾斜角的取值范圍為：；特別地，當(dāng)直線與軸垂直時，直線的傾斜角為.（2）所有直線都有唯一確定的傾斜角，傾斜角表示的是直線的傾斜程度.知識點02：直線的斜率我們把一條直線的傾斜角（）的正切值叫做這條直線的斜率.斜率通常用字母表示，即（1）傾斜角不是的直線都有斜率，傾斜角不同，直線的斜率也不同；（2）傾斜角時，直線的斜率不存在?！炯磳W(xué)即練1】（2023秋·湖南婁底·高二統(tǒng)考期末）已知直線的傾斜角是，則此直線的斜率是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為直線的傾斜角是，所以此直線的斜率是.故選:C.知識點03：斜率與傾斜角的聯(lián)系傾斜角（范圍）斜率（范圍）不存在【即學(xué)即練2】（2023秋·天津南開·高二天津市第九中學(xué)?？计谀﹫D中的直線的斜率分別為，則有（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由圖象可得，，故選：C知識點04：直線斜率的坐標公式如果直線經(jīng)過兩點，（），那么可得到如下斜率公式：（1）當(dāng)時，直線與軸垂直，直線的傾斜角，斜率不存在；（2）斜率公式與兩點坐標的順序無關(guān)，橫縱坐標的次序可以同時調(diào)換；（3）當(dāng)時，斜率，直線的傾斜角，直線與軸重合或者平行。【即學(xué)即練3】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）經(jīng)過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)存在，1(2)存在，(3)不存在【詳解】（1）由題意，存在，直線AB的斜率．（2）由題意得，存在，直線CD的斜率．（3）∵，∴直線的斜率不存在．題型01求直線的傾斜角【典例1】（2023春·江蘇泰州·高二靖江高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過，兩點，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，，則，.故選：D.【典例2】（2023秋·浙江溫州·高二統(tǒng)考期末）已知是直線的一個方向向量，則該直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為是直線的一個方向向量，故直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，故選：D【變式1】（2023秋·福建福州·高二統(tǒng)考期末）若直線的方向向量是，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由直線l的方向向量是得直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角是，故選：B.【變式2】（2023春·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若直線與直線平行，直線的斜率為，則直線的傾斜角為__________.【答案】/【詳解】直線的斜率為所以直線的傾斜角為，直線與直線平行所以直線的傾斜角為.故答案為：題型02直線斜率的定義【典例1】（2023秋·天津濱海新·高二?？计谀┮阎本€的傾斜角是，則該直線的斜率是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意知：直線的斜率.故選：A.【典例2】（2023秋·四川遂寧·高二?？计谀┤糁本€的傾斜角為120°，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】k=tan120°=.故選：B．【變式1】（2023秋·貴州黔西·高二統(tǒng)考期末）已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可得直線l的斜率.故選：D題型03斜率與傾斜角變化關(guān)系【典例1】（2023秋·高二課時練習(xí)）若如圖中的直線的斜率為，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)直線的傾斜角分別為，顯然，且，所以，又在上單調(diào)遞增，故，所以.故選：C【典例2】（2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中學(xué)?？计谀┫铝姓f法正確的是（

）A．直線的傾斜角越大，它的斜率越大； B．兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也相等；C．任何一條直線都有唯一的斜率； D．任何一條直線都有唯一的傾斜角．【答案】D【詳解】對于:直線的傾斜角,,所以錯誤；對于:兩直線的傾斜角相等為,斜率不存在,所以錯誤；對于:當(dāng)直線的傾斜角為時直線斜率不存在，所以錯誤；對于:任何一條直線都有唯一的傾斜角．所以正確.故選：.【變式1】（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水中學(xué)?？计谀┮阎本€經(jīng)過第二、四象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）.A． B． C． D．【答案】D【詳解】直線傾斜角的取值范圍是，又直線經(jīng)過第二、四象限，∴直線的傾斜角的取值范圍是，故選：D.【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）（多選）如圖，在平面直角坐標系中有三條直線，，，其對應(yīng)的斜率分別為，，，則下列選項中錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】由題圖可知，，，，且，可知A，B，C錯誤.故選：ABC．題型04已知兩點求斜率【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）分別判斷經(jīng)過下列兩點的直線的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出傾斜角；如果不存在，求出傾斜角．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)存在，斜率為，傾斜角為；(2)存在，斜率為，傾斜角為；(3)存在，斜率為，傾斜角為；(4)不存在.【詳解】（1）解：因為，所以經(jīng)過的直線斜率存在，所以斜率為，設(shè)傾斜角為，則，故，即傾斜角為（2）解：因為，所以經(jīng)過的直線斜率存在，所以斜率為，設(shè)傾斜角為，則，故，即傾斜角為.（3）解：因為，所以經(jīng)過的直線斜率存在，所以斜率為，設(shè)傾斜角為，則，故，即傾斜角為.（4）解：因為，所以經(jīng)過的直線斜率不存在，【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若經(jīng)過點和的直線的傾斜角是鈍角，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】，【詳解】因為直線的傾斜角是鈍角，所以斜率，解得．所以的取值范圍是，．故答案為：，．【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知．(1)求直線和的斜率；(2)若點在線段（包括端點）上移動時，求直線的斜率的變化范圍．【答案】(1)直線AB的斜率為，直線AC的斜率為(2)【詳解】（1）由斜率公式可得直線AB的斜率，直線AC的斜率，故直線AB的斜率為，直線AC的斜率為.（2）如圖所示，當(dāng)D由B運動到C時，直線AD的傾斜角增大且為銳角，直線AD的斜率由增大到，所以直線AD的斜率的變化范圍是．

題型05已知斜率求參數(shù)【典例1】（2023春·湖北荊州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）若直線經(jīng)過兩點，，且其傾斜角為135°，則的值為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【詳解】經(jīng)過兩點，的直線的斜率為，又直線的傾斜角為135°，∴，解得．故選：D【典例2】（2023春·山東濱州·高一?？茧A段練習(xí)）過點，的直線的斜率為1，那么的值為（

）A．1或4 B．4 C．1或3 D．1【答案】D【詳解】解：因為直線過點P(2，m)，Q(m，4)，且斜率為1，所以，解得，故選：D【變式1】（2023春·河南安陽·高二安陽一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知點，直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為直線的傾斜角為，，可得直線的斜率為，可得.故選：C【變式2】（2023秋·高二課時練習(xí)）過，兩點的直線的傾斜角為，求的值．【答案】.【詳解】因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率，又，整理得，解得或，當(dāng)時，，不符合，當(dāng)時，，符合，綜上：.題型06利用直線斜率處理共線問題【典例1】（2023秋·甘肅蘭州·高二蘭州西北中學(xué)?？计谀┤c，，在同一條直線上，則值為（

）A．2 B． C．或 D．2或【答案】D【詳解】由題意可得，因為A，B，C三點共線，所以，即，解得或．所以的值為2或．故選：D．【典例2】（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知點，，，若線段，，不能構(gòu)成三角形，則的值是________.【答案】【詳解】因為線段，，不能構(gòu)成三角形，所以三點共線，顯然直線的斜率存在，故，即，解得，故答案為：4【變式1】（2023秋·山西臨汾·高二統(tǒng)考期末）若三點在同一直線上，則實數(shù)等于（

）A． B． C．6 D．12【答案】C【詳解】因為，又，所以，即.故選：C.【變式2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知三點，，在同一條直線上，則實數(shù)的值為（

）A．0 B．5 C．0或5 D．0或-5【答案】C【詳解】因為三點，，在同一條直線上，且直線斜率存在，所以，解得或故選：C題型07求斜率或傾斜角的取值范圍【典例1】（2023春·上海浦東新·高二上海市實驗學(xué)校?？计谥校┮阎獌牲c，，直線過點，若直線與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】如圖所示：

若直線與線段相交，則或，因為，，所以直線的斜率取值范圍是.故選：A.【典例2】（2023秋·高二課時練習(xí)）直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍是__________．【答案】【詳解】如圖：

當(dāng)直線l的斜率，直線l的傾斜角的取值范圍為：.故答案為：.【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線過點，且與以、為端點的線段相交，則直線的斜率的取值范圍是__________．【答案】【詳解】如下圖所示：設(shè)過點且與軸垂直的直線交線段于點，設(shè)直線的斜率為，且，，當(dāng)點從點移動到點（不包括點）的過程中，直線的傾斜角為銳角，此時，；當(dāng)點從點（不包括點）移動到點的過程中，直線的傾斜角為鈍角，此時，.綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.故答案為：.【典例4】（2023秋·湖北武漢·高二統(tǒng)考期末）經(jīng)過點作直線，且直線與連接點，的線段總有公共點，則直線的傾斜角的取值范圍是__________．【答案】【詳解】解：如圖，，，，，，則使直線與線段有公共點的直線的斜率的范圍為，，又直線傾斜角的范圍是：，且直線l的傾斜角的范圍為．故答案為：．【變式1】（2023春·四川宜賓·高二宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知,,直線過定點,且與線段相交,則直線的斜率的取值范圍是(

)A． B． C． D．或【答案】D【詳解】畫出圖像,如圖:結(jié)合圖像可知,要保證線段與直線相交需滿足斜率的取值范圍:或故選:D.【變式2】（2023秋·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）已知坐標平面內(nèi)三點，為的邊上一動點，則直線斜率的變化范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】如圖所示，，因為為的邊上一動點，所以直線斜率的變化范圍是.故選：D.【變式3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線的方程為，，則直線的傾斜角范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】，則，設(shè)直線的傾斜角為，故，所以當(dāng)時，直線的傾斜角；當(dāng)時，直線的傾斜角；綜上所述：直線的傾斜角故選：B【變式4】（2023春·浙江溫州·高二校考階段練習(xí)）已知直線斜率為，且，那么傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：直線l的斜率為k，且，∴，.∴.故選：B.題型08斜率公式的幾何意義的應(yīng)用【典例1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）若實數(shù)、滿足，，則代數(shù)式的取值范圍為______【答案】【詳解】如圖，，，，則，.因為，可表示點與線段上任意一點連線的斜率，由圖象可知，，所以有.故答案為：.【典例2】（2023·湖南衡陽·?？寄M預(yù)測）點在函數(shù)的圖象上，當(dāng)，則的取值范圍為______.【答案】【詳解】由表示與點所成直線的斜率，又由是在部分圖象上的動點，如圖所示：可得，則，所以，即的取值范圍為.故答案為：.

【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）點在函數(shù)的圖象上，當(dāng)時，的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為點在函數(shù)的圖象上，所以時，；當(dāng)時，；故設(shè)而可看作函數(shù)的圖象上的點與點（-1，-2）連線的斜率，故時，,而,所以故選：B.A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若直線經(jīng)過點，則直線的傾斜角為（）A．0° B．30°C．60° D．90°【答案】A【詳解】因為兩點的縱坐標相等，所以直線平行于軸，所以直線的傾斜角為0°．故選：A2．（2023秋·高二課時練習(xí)）對于下列命題：①若是直線l的傾斜角，則；②若直線傾斜角為，則它斜率；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一直線都有斜率，但不一定有傾斜角．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】對于①：若是直線的傾斜角，則；滿足直線傾斜角的定義，則①正確；對于②：直線傾斜角為且，它的斜率；傾斜角為時沒有斜率，所以②錯誤；對于③和④：可知直線都有傾斜角，但不一定有斜率；因為傾斜角為時沒有斜率，所以③正確；④錯誤；其中正確說法的個數(shù)為2.故選：B.3．（2023秋·江蘇南京·高二南京大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）若直線經(jīng)過，兩點，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由直線經(jīng)過，兩點，可得直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則有，又，所以.故選：A.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致．如圖是閬中市盤龍山嘉陵江大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列．已知拉索上端相鄰兩個針的間距（，2，…，9）均為，拉索下端相鄰兩個針的間距（，2，…，9）均為．最短拉索的針，，滿足，，則最長拉索所在直線的斜率約為（

）（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）A． B． C． D．【答案】C【詳解】依題意，以直線為x軸，直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖，顯然，，因此點，直線的斜率為，由對稱性得直線的斜率為，所以最長拉索所在直線的斜率約為.故選：C5．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知一直線經(jīng)過兩，，且傾斜角為，則的值為（）A．－6 B．－4C．0 D．6【答案】C【詳解】直線經(jīng)過兩，，．又直線的傾斜角為，斜率一定存在，則直線的斜率為，即．故選：C．6．（2023春·上海浦東新·高二上海師大附中?？茧A段練習(xí)）已知直線的傾斜角為，斜率為，那么“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由直線的斜率可得，解得，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A7．（2023秋·四川宜賓·高二四川省宜賓市南溪第一中學(xué)校?？计谀┰O(shè)直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則有，，作出()的圖象，如圖所示：由此可得.故選：A.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點．有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近．為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標系，OO1，OO2，OO3，OO4分別是大星中心點與四顆小星中心點的連接線，α≈16°，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（

）A．0° B．1° C．2° D．3°【答案】C【詳解】∵O，O3都為五角星的中心點，∴OO3平分第三顆小星的一個角，又五角星的內(nèi)角為36°知：∠BAO3＝18°，過O3作x軸的平行線O3E，如下圖，則∠OO3E＝α≈16°，∴直線AB的傾斜角為18°－16°＝2°.故選：C二、多選題9．（2023秋·湖北黃石·高二校聯(lián)考期末）在下列四個命題中，錯誤的有（

）A．坐標平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率B．直線的傾斜角的取值范圍是C．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為D．若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為【答案】ABCD【詳解】對于A：當(dāng)直線與x軸垂直時，直線的傾斜角為，斜率不存在，所以A錯誤；對于B：直線傾斜角的取值范圍是，所以B錯誤；對于C：一條直線的斜率為，此直線的傾斜角不一定為，如的斜率為，它的傾斜角為，所以C錯誤；對于D：一條直線的傾斜角為時，它的斜率為或不存在，所以D錯誤.故選：ABCD10．（2022春·湖南衡陽·高二衡陽市一中校考階段練習(xí)）已知經(jīng)過點和的直線的傾斜角，則實數(shù)的可能取值有（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】ABC【詳解】由題可得，所以，結(jié)合選項可得實數(shù)的可能取值有11,12,13，故選:ABC.三、填空題11．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線的傾斜角，直線與的交點為，直線和向上的方向所成的角為，如圖，則直線的傾斜角為________．

【答案】【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，因為和向上的方向所成的角為，所以，，故．故答案為：.12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過原點的直線l與曲線交于不同的兩點A，B，過A，B作x軸的垂線，與曲線交于C，D兩點，則直線CD的斜率為__________．【答案】【詳解】設(shè)，，則點的坐標為，點的坐標