人教A版數(shù)學(選擇性必修一講義)第31講3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)(學生版+解析)

第06講3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)課程標準學習目標①理解與掌握拋物線的幾何性質(zhì)。②通過對拋物線幾何性質(zhì)來解決與圓錐曲線有關(guān)的點、線、面積、周長的相關(guān)計算問題。③會解決與拋物線有關(guān)的弦、定點、定值與取值范圍問題的處理。通過本節(jié)課的學習，要求掌握拋物線的性質(zhì)，并能解決與之相關(guān)的計算與證明問題知識點01：拋物線的簡單幾何性質(zhì)標準方程（）（）（）（）圖形范圍，，，，對稱軸軸軸軸軸焦點坐標準線方程頂點坐標離心率通徑長知識點02：直線與拋物線的位置關(guān)系設(shè)直線:,拋物線:（）,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于的方程(1)若,當時,直線與拋物線相交,有兩個交點;當時,直線與拋物線相切,有一個切點;當時,直線與拋物線相離,沒有公共點.(2)若,直線與拋物線有一個交點,此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.因此直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.【即學即練1】（2023·全國·高三專題練習）直線與拋物線的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】A【詳解】直線過定點，∵，∴在拋物線內(nèi)部，∴直線與拋物線相交，故選：A．知識點03：直線和拋物線1、拋物線的通徑(過焦點且垂直于軸的弦)長為.2、拋物線的焦點弦過拋物線（）的焦點的一條直線與它交于兩點，，則①，；②；③.【即學即練2】（2023秋·四川成都·高二?？计谀┮阎獟佄锞€，其焦點到其準線的距離為，過焦點且傾斜角為的直線交拋物線于兩點，（1）求拋物線的方程及其焦點坐標；（2）求.【答案】（1），焦點坐標為；（2）8.【詳解】解：（1）拋物線的焦點到其準線的距離為，得，所以拋物線的方程為，焦點坐標為.（2）過焦點且傾斜角為的直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組消去可得，則，所以.說明：拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準距）（1）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（2）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則；（3）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（4）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則.題型01拋物線的簡單性質(zhì)【典例1】（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學?？茧A段練習）拋物線C與拋物線關(guān)于軸對稱，則拋物線C的準線方程是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）對拋物線，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點為 B．開口向上，焦點為C．開口向右，焦點為 D．開口向右，焦點為【典例3】（2023秋·高二課時練習）根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程：（1）焦點是；（2）準線方程是；（3）焦點到準線的距離是．【變式1】（2023秋·陜西西安·高二?？计谀佄锞€，下列描述正確的是A．開口向上，焦點為 B．開口向上，焦點為C．開口向右，焦點為 D．開口向右，焦點為【變式2】（2023春·湖南長沙·高二長沙市明德中學校考期中）若拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，則的值．題型02直線與拋物線的位置關(guān)系【典例1】（2023秋·高二課時練習）已知直線，拋物線，l與有一個公共點的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條D．1條、2條或3條【典例2】（多選）（2023·全國·高三專題練習）若經(jīng)過點的直線與拋物線恒有公共點，則C的準線可能是（

）．A． B．C． D．【典例3】（2023春·湖北孝感·高二校聯(lián)考階段練習）已知M是拋物線上一點，則點M到直線的最短距離為．【典例4】（2023秋·廣西北海·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，其準線方程為．(1)求拋物線的方程；(2)不過原點的直線與拋物線交于不同的兩點，且，求的值．【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線與直線有且僅有一個交點，則（

）A．4 B．2 C．0或4 D．8【變式2】（多選）（2023秋·安徽阜陽·高二統(tǒng)考期末）若直線與拋物線只有一個交點，則的可能取值為（

）A．2 B． C． D．0【變式3】（2023秋·廣東廣州·高二校考期末）已知拋物線的一條切線方程為，則的準線方程為．【變式4】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓，設(shè)直線l同時與橢圓和拋物線各恰有一個公共交點，求直線l的方程．題型03拋物線的弦長【典例1】（2023秋·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，過點的直線交拋物線于兩點，且弦被點平分.(1)求直線的方程；(2)求弦的長度.【典例2】（2023秋·高二課時練習）直線與拋物線交于兩點，求線段AB的長．【變式1】（2023春·安徽滁州·高二?？奸_學考試）已知動圓過定點，且與直線：相切，圓心的軌跡為．(1)求動點的軌跡方程；(2)過點作傾斜角為的直線交軌跡于，兩點，求．【變式2】（2023春·四川成都·高二成都外國語學校?？茧A段練習）已知拋物線的準線方程為.(1)求的值；(2)直線交拋物線于、兩點，求弦長.題型04拋物線的中點弦和點差法【典例1】（2023秋·陜西咸陽·高二?？计谀┮阎獟佄锞€，過點引拋物線的一條弦，使它恰在點處被平分，則這條弦所在的直線的方程為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023春·寧夏吳忠·高二吳忠中學?？计谥校┮阎獟佄锞€是拋物線上的點，且.(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，求直線的方程.【變式1】（2023秋·甘肅慶陽·高二?？计谀┮阎c，若拋物線的一條弦AB恰好是以P為中點，則弦AB所在直線方程是．【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習）已知頂點在原點，焦點在軸上的拋物線過點．(1)求拋物線的標準方程；(2)過點作直線交拋物線于A、B兩點，使得Q恰好平分線段AB，求直線AB的方程．題型05拋物線的焦點弦【典例1】（2023·遼寧朝陽·朝陽市第一高級中學?？寄M預測）過拋物線：焦點的直線與交于，兩點，過點向拋物線的準線作垂線，垂足為，則（

）A． B． C．18 D．20【典例2】（2023春·湖北孝感·高二統(tǒng)考開學考試）已知曲線C位于y軸右側(cè)，且曲線C上任意一點P與定點的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1．(1)求曲線C的軌跡方程；(2)若直線l經(jīng)過點F，與曲線C交于A，B兩點，且，求直線l的方程．【典例3】（2023·全國·模擬預測）已知點在拋物線上，記為坐標原點，，以為圓心，為半徑的圓與拋物線的準線相切．(1)求拋物線的方程；(2)記拋物線的焦點為，過點作直線與直線垂直，交拋物線于，兩點，求弦的長．【變式1】（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？计谥校┻^拋物線的焦點且傾斜角為的直線被拋物線截得的弦長為.【變式2】（2023春·廣東汕尾·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線過點（）．(1)求C的方程；(2)若斜率為的直線過C的焦點，且與C交于A，B兩點，求線段的長度．【變式3】（2023春·貴州黔東南·高二?？茧A段練習）已知拋物線的焦點關(guān)于拋物線的準線的對稱點為．(1)求拋物線的方程；(2)過點作斜率為4直線，交拋物線于，兩點，求．題型06拋物線的定值、定點、定直線問題【典例1】（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）過點作拋物線在第一象限部分的切線，切點為A，F(xiàn)為的焦點，為坐標原點，的面積為1．(1)求的方程；(2)過點作兩條互相垂直的直線和，交于C，D兩點，交于P，Q兩點，且M，N分別為線段CD和PQ的中點．直線MN是否恒過一個定點？若是，求出該定點坐標；若不是，說明理由．【典例2】（2023·河南信陽·信陽高中校考三模）已知拋物線上一點到焦點的距離為3.

(1)求，的值；(2)設(shè)為直線上除，兩點外的任意一點，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點，和，，試判斷，，，四點縱坐標之積是否為定值？若是，求該定值；若不是，請說明理由.【典例3】（2023·廣西·統(tǒng)考一模）已知拋物線和圓，傾斜角為45°的直線過的焦點且與相切．(1)求p的值：(2)點M在的準線上，動點A在上，在A點處的切線l2交y軸于點B，設(shè)，求證：點N在定直線上，并求該定直線的方程．

【變式1】（2023春·河北·高二校聯(lián)考期末）已知為拋物線上一點，，為的中點，設(shè)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點作直線交曲線E于點M、N，點為直線l：上一動點．問是否存在點使為正三角形？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．【變式2】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知點是拋物線：的焦點，縱坐標為2的點在上，以為圓心、為半徑的圓交軸于，，.(1)求拋物線的方程；(2)過作直線與拋物線交于，，求的值.【變式3】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線E：（p>0），過點的兩條直線l1，l2分別交E于AB兩點和C，D兩點．當l1的斜率為時，(1)求E的標準方程：(2)設(shè)G為直線AD與BC的交點，證明：點G必在定直線上．題型07拋物線的向量問題【典例1】（2023·四川成都·成都七中?？寄M預測）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，過右側(cè)的點作，垂足為，且．

(1)求點的軌跡的方程；(2)過點的動直線交軌跡于，設(shè)，證明：為定值．【典例2】（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預測）已知點M到點的距離比它到直線l：的距離小，記動點M的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)若過點F的直線交E于，兩點，則在x軸的正半軸上是否存在點P，使得PA，PB分別交E于另外兩點C，D，且？若存在，請求出P點坐標，若不存在，請說明理由.【變式1】（2023·河北衡水·模擬預測）已知點在拋物線上，過點的直線與相交于兩點，直線分別與軸相交于點.(1)當弦的中點橫坐標為3時，求的一般方程;(2)設(shè)為原點，若，求證:為定值.【變式2】（2023春·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學?？计谥校┮阎c，直線交y軸于點H，點M是l上的動點，過點M且垂直于l的直線與線段MF的垂直平分線交于點P．(1)求點P的軌跡C的方程：(2)若A、B為軌跡C上的兩個動點，且，證明直線AB必過定點，并求出該定點．題型08拋物線的三角形問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為，點在拋物線C上，且.(1)求拋物線C的標準方程；(2)若直線與拋物線交于兩點，求的面積.【典例2】（2023春·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)拋物線，過焦點的直線與拋物線交于點，.當直線垂直于軸時，.

(1)求拋物線的標準方程.(2)已知點，直線，分別與拋物線交于點，.①求證：直線過定點；②求與面積之和的最小值.【變式1】（2023春·四川內(nèi)江·高二威遠中學校校考階段練習）已知拋物線，其焦點F到準線的距離為2.(1)求拋物線的標準方程；(2)若O為坐標原點，斜率為2且過焦點F的直線l交此拋物線于A、B兩點，求的面積.【變式2】（2023春·四川達州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上任意一點M到焦點F的距離比M到y(tǒng)軸的距離大1．(1)求E的標準方程；(2)，，交E于A，C兩點，交E于B，D兩點．求四邊形ABCD的面積的最小值．

A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·北京·高三專題練習）已知拋物線，經(jīng)過點P的任意一條直線與C均有公共點，則點P的坐標可以為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知為雙曲線與拋物線的交點，則點的橫距離為4，過點作直線交于，兩點，則（

）A．的準線為 B．的大小可能為C．的最小值為8 D．三、填空題11．（2023春·安徽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為，過的動直線與拋物線交于兩點，滿足的直線有且僅有一條，則．12．（2023春·江西九江·高二德安縣第一中學?？计谥校┻^拋物線的焦點作一直線交拋物線于、兩點，則的值是．四、解答題13．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線：的焦點為，為上一點，為準線上一點，，(1)求的方程；(2)，，是上的三點，若，求點到直線距離的最大值．14．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）在平面直角坐標系中，拋物線上一點P的橫坐標為4，且點P到焦點F的距離為5．(1)求拋物線的方程；(2)若直線交拋物線于A，B兩點（位于對稱軸異側(cè)），且，求證：直線l必過定點．B能力提升1．（2023秋·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）拋物線有如下光學性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點射出，則的面積為（

）A．4 B． C． D．2．（2023·河北·校聯(lián)考三模）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，在數(shù)學發(fā)展的歷史長河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個兩千多年的古老圖形，蘊藏著很多性質(zhì)．已知拋物線，過焦點的弦的兩個端點的切線相交于點，則下列說法正確的是（

）A．點必在直線上，且以為直徑的圓過點B．點必在直線上，但以為直徑的圓不過點C．點必在直線上，但以為直徑的圓不過點D．點必在直線上，且以為直徑的圓過點3．（2023·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學校聯(lián)考模擬預測）已知在四面體中，，點E在內(nèi)運動（含邊界位置），記平面與平面所成的角為，若，則的最大值為.4．（2023春·山東青島·高二統(tǒng)考期中）在坐標平面內(nèi)，拋物線的準線為，點是上一點，且，垂足為，連接交于點，則直線在軸上的截距為；若點到的距離為，則.C綜合素養(yǎng)1．（2023秋·云南大理·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，已知拋物線：經(jīng)過點，直線：與拋物線C交于M，N兩點.(1)求拋物線C的方程；(2)當時，若對任意滿足條件的實數(shù)，都有（m，n為常數(shù)），求的值.2．（2023春·貴州黔東南·高三?？茧A段練習）已知拋物線的焦點為，點，點在上，且是以為頂點的等腰三角形，其周長為10.(1)求拋物線的標準方程；(2)若過點的直線與交于A，兩點，點與A，不共線，判斷是否存在實數(shù)，使得直線，與直線交于點，，且以線段為直徑的圓過原點，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

第06講3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)課程標準學習目標①理解與掌握拋物線的幾何性質(zhì)。②通過對拋物線幾何性質(zhì)來解決與圓錐曲線有關(guān)的點、線、面積、周長的相關(guān)計算問題。③會解決與拋物線有關(guān)的弦、定點、定值與取值范圍問題的處理。通過本節(jié)課的學習，要求掌握拋物線的性質(zhì)，并能解決與之相關(guān)的計算與證明問題知識點01：拋物線的簡單幾何性質(zhì)標準方程（）（）（）（）圖形范圍，，，，對稱軸軸軸軸軸焦點坐標準線方程頂點坐標離心率通徑長知識點02：直線與拋物線的位置關(guān)系設(shè)直線:,拋物線:（）,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于的方程(1)若,當時,直線與拋物線相交,有兩個交點;當時,直線與拋物線相切,有一個切點;當時,直線與拋物線相離,沒有公共點.(2)若,直線與拋物線有一個交點,此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.因此直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.【即學即練1】（2023·全國·高三專題練習）直線與拋物線的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】A【詳解】直線過定點，∵，∴在拋物線內(nèi)部，∴直線與拋物線相交，故選：A．知識點03：直線和拋物線1、拋物線的通徑(過焦點且垂直于軸的弦)長為.2、拋物線的焦點弦過拋物線（）的焦點的一條直線與它交于兩點，，則①，；②；③.【即學即練2】（2023秋·四川成都·高二?？计谀┮阎獟佄锞€，其焦點到其準線的距離為，過焦點且傾斜角為的直線交拋物線于兩點，（1）求拋物線的方程及其焦點坐標；（2）求.【答案】（1），焦點坐標為；（2）8.【詳解】解：（1）拋物線的焦點到其準線的距離為，得，所以拋物線的方程為，焦點坐標為.（2）過焦點且傾斜角為的直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組消去可得，則，所以.說明：拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準距）（1）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（2）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則；（3）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（4）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則.題型01拋物線的簡單性質(zhì)【典例1】（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學?？茧A段練習）拋物線C與拋物線關(guān)于軸對稱，則拋物線C的準線方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵拋物線C與拋物線關(guān)于軸對稱，∴拋物線C的方程為，∴拋物線C的準線方程是.故選：C.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）對拋物線，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點為 B．開口向上，焦點為C．開口向右，焦點為 D．開口向右，焦點為【答案】A【詳解】由題知，該拋物線的標準方程為，則該拋物線開口向上，焦點坐標為.故選：A.【典例3】（2023秋·高二課時練習）根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程：（1）焦點是；（2）準線方程是；（3）焦點到準線的距離是．【答案】（1）；（2）；（3）或.【詳解】（1）由題意可知拋物線的焦點在軸的正半軸上，設(shè)拋物線的標準方程為，則，可得，所以，拋物線的標準方程為；（2）由題意可知拋物線的焦點在軸的正半軸上，設(shè)拋物線的標準方程為，則，可得，因此，拋物線的標準方程為；（3）拋物線的焦點到準線的距離為，所以，拋物線的標準方程為或.【變式1】（2023秋·陜西西安·高二?？计谀佄锞€，下列描述正確的是A．開口向上，焦點為 B．開口向上，焦點為C．開口向右，焦點為 D．開口向右，焦點為【答案】B【詳解】解：因為拋物線，可知化為標準式為拋物線，2p=1/4，故焦點在y軸上，開口向上，焦點坐標為，選B【變式2】（2023春·湖南長沙·高二長沙市明德中學?？计谥校┤魭佄锞€的焦點與雙曲線的右焦點重合，則的值．【答案】6【詳解】試題分析：根據(jù)題意，由于雙曲線的右焦點坐標為，因此可知拋物線的焦點,故答案為6題型02直線與拋物線的位置關(guān)系【典例1】（2023秋·高二課時練習）已知直線，拋物線，l與有一個公共點的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條D．1條、2條或3條【答案】C【詳解】聯(lián)立直線和拋物線方程可得，整理可得，直線l與有一個公共點等價于方程只有一個實數(shù)根，當時，方程為僅有一解，符合題意；當時，一元二次方程僅有一解，即，解得，所以滿足題意得直線有三條，即，和.故選：C【典例2】（多選）（2023·全國·高三專題練習）若經(jīng)過點的直線與拋物線恒有公共點，則C的準線可能是（

）．A． B．C． D．【答案】BD【詳解】由題意得，點在拋物線上或其內(nèi)部，則，解得，∴其準線為.故選:BD．【典例3】（2023春·湖北孝感·高二校聯(lián)考階段練習）已知M是拋物線上一點，則點M到直線的最短距離為．【答案】/【詳解】設(shè)，則點M到直線的距離，當時取等號.故答案為：【典例4】（2023秋·廣西北?！じ叨y(tǒng)考期末）已知拋物線，其準線方程為．(1)求拋物線的方程；(2)不過原點的直線與拋物線交于不同的兩點，且，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）準線為，，拋物線的方程為；（2）設(shè)，聯(lián)立，得，，得，則，因為，則，則，即，或，經(jīng)檢驗，當時，直線過坐標原點，不合題意，又，符合題意；綜上，m的值為．【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線與直線有且僅有一個交點，則（

）A．4 B．2 C．0或4 D．8【答案】C【詳解】聯(lián)立得：，當時，交點為，滿足題意；當時，由，解得，綜上可知：或，故選：C【變式2】（多選）（2023秋·安徽阜陽·高二統(tǒng)考期末）若直線與拋物線只有一個交點，則的可能取值為（

）A．2 B． C． D．0【答案】BD【詳解】聯(lián)立，消去可得，∵直線與拋物線只有一個交點，或.故選：BD.【變式3】（2023秋·廣東廣州·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的一條切線方程為，則的準線方程為．【答案】【詳解】由，消去得，由題意，解得，則拋物線方程為：，所以拋物線的準線方程為：，即．故答案為：．【變式4】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓，設(shè)直線l同時與橢圓和拋物線各恰有一個公共交點，求直線l的方程．【答案】或【詳解】由題，直線的斜率存在，并設(shè)方程為，聯(lián)立整理得，由可得，整理得，聯(lián)立整理得，由可得，化簡得，則有，由可得解得，所以或，所以直線的方程為或.題型03拋物線的弦長【典例1】（2023秋·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，過點的直線交拋物線于兩點，且弦被點平分.(1)求直線的方程；(2)求弦的長度.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)則，由，可得所以，得直線的方程為.（2）聯(lián)立方程，得，得，所以【典例2】（2023秋·高二課時練習）直線與拋物線交于兩點，求線段AB的長．【答案】．【詳解】解：拋物線，直線，將直線方程代入到拋物線方程中，得：，整理得：，設(shè)，，，，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：，，所以弦長．【變式1】（2023春·安徽滁州·高二?？奸_學考試）已知動圓過定點，且與直線：相切，圓心的軌跡為．(1)求動點的軌跡方程；(2)過點作傾斜角為的直線交軌跡于，兩點，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)，由動圓過定點，且與直線：相切，，整理得，故動點的軌跡方程為．（2）設(shè)，，直線的方程為，則由，整理得,．【變式2】（2023春·四川成都·高二成都外國語學校?？茧A段練習）已知拋物線的準線方程為.(1)求的值；(2)直線交拋物線于、兩點，求弦長.【答案】(1)2；(2).【詳解】（1）拋物線的準線方程為，依題意，，解得，所以的值為2.（2）由（1）知，拋物線，設(shè)點，，由消去y得：，，則，，所以.題型04拋物線的中點弦和點差法【典例1】（2023秋·陜西咸陽·高二?？计谀┮阎獟佄锞€，過點引拋物線的一條弦，使它恰在點處被平分，則這條弦所在的直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】易知直線l的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k，直線l交拋物線于M，N兩點，設(shè)，則，兩式相減得，整理得，因為MN的中點為，則，所以，所以直線l的方程為即.故選：A【典例2】（2023春·寧夏吳忠·高二吳忠中學?？计谥校┮阎獟佄锞€是拋物線上的點，且.(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，求直線的方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，在拋物線中，，由幾何知識得，，解得：，故拋物線的方程為：.（2）由題意及（1）得，直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則，兩式相減得，整理得，因為的中點為，∴，∴直線的方程為：，即，經(jīng)檢驗，滿足題意.【變式1】（2023秋·甘肅慶陽·高二?？计谀┮阎c，若拋物線的一條弦AB恰好是以P為中點，則弦AB所在直線方程是．【答案】【詳解】時，，在拋物線內(nèi)部（含焦點的部分），設(shè)，，由，相減得，∴，即，直線方程為，即，故答案為：．【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習）已知頂點在原點，焦點在軸上的拋物線過點．(1)求拋物線的標準方程；(2)過點作直線交拋物線于A、B兩點，使得Q恰好平分線段AB，求直線AB的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為頂點在原點，焦點在y軸上的拋物線過點，所以拋物線的焦點在y軸正半軸，設(shè)其方程為，將點代入可得，所以，所以拋物線的標準方程為，（2）拋物線中，時，，在拋物線內(nèi)部，可以為弦的中點．設(shè)點，直線斜率為點在拋物線上，所以所以，即，所以直線方程為．經(jīng)檢驗，直線符合題意.題型05拋物線的焦點弦【典例1】（2023·遼寧朝陽·朝陽市第一高級中學?？寄M預測）過拋物線：焦點的直線與交于，兩點，過點向拋物線的準線作垂線，垂足為，則（

）A． B． C．18 D．20【答案】B【詳解】依題意拋物線的準線為，即，解得，所以拋物線方程為，則焦點為，又，所以，解得，所以，所以，所以直線的方程為，由，消去整理得，解得、，即，所以.故選：B【典例2】（2023春·湖北孝感·高二統(tǒng)考開學考試）已知曲線C位于y軸右側(cè)，且曲線C上任意一點P與定點的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1．(1)求曲線C的軌跡方程；(2)若直線l經(jīng)過點F，與曲線C交于A，B兩點，且，求直線l的方程．【答案】(1)；(2)或．【詳解】（1）由題意動點與定點的距離和它到直線的距離相等，所以，曲線C是以F為焦點，直線為準線的拋物線（去掉頂點），，所以曲線C的軌跡方程是；（2）若直線斜率不存在，則不合題意，因此直線斜率存在，設(shè)直線方程為，代入曲線C方程整理得，設(shè)，則，，所以直線方程為，即或．【典例3】（2023·全國·模擬預測）已知點在拋物線上，記為坐標原點，，以為圓心，為半徑的圓與拋物線的準線相切．(1)求拋物線的方程；(2)記拋物線的焦點為，過點作直線與直線垂直，交拋物線于，兩點，求弦的長．【答案】(1)(2)【詳解】（1）拋物線的焦點為，準線方程為，依題意可得，解得或，又、、，所以，所以拋物線方程為.（2）由（1）可得，，，因為直線直線，所以，所以直線的方程為，即，由，消去整理得，設(shè)，，所以，所以，所以.【變式1】（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？计谥校┻^拋物線的焦點且傾斜角為的直線被拋物線截得的弦長為.【答案】【詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，直線的傾斜角為，設(shè)直線與拋物線交于兩點，則直線的方程為，代入得，則，，，，，則，故答案為：【變式2】（2023春·廣東汕尾·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線過點（）．(1)求C的方程；(2)若斜率為的直線過C的焦點，且與C交于A，B兩點，求線段的長度．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵拋物線過點，∴．又∵，∴，上故的方程為．（2）設(shè)，，由（1）知，拋物線的焦點為，∵直線的斜率為，且過點，∴直線的方程為，

聯(lián)立得，則．

∴，故線段的長度為．【變式3】（2023春·貴州黔東南·高二校考階段練習）已知拋物線的焦點關(guān)于拋物線的準線的對稱點為．(1)求拋物線的方程；(2)過點作斜率為4直線，交拋物線于，兩點，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）該拋物線的焦點坐標為，準線方程為，因為關(guān)于拋物線的準線的對稱點為，所以有；（2）直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，設(shè)，因此有，則有題型06拋物線的定值、定點、定直線問題【典例1】（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）過點作拋物線在第一象限部分的切線，切點為A，F(xiàn)為的焦點，為坐標原點，的面積為1．(1)求的方程；(2)過點作兩條互相垂直的直線和，交于C，D兩點，交于P，Q兩點，且M，N分別為線段CD和PQ的中點．直線MN是否恒過一個定點？若是，求出該定點坐標；若不是，說明理由．【答案】(1)(2)直線MN恒過定點．【詳解】（1）由題，，設(shè)切點，則切線方程為，,的坐標代入，得，解得，由于，所以，由的面積，解得，所以的方程為．（2）由題意可知，直線和斜率都存在且均不為0，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，聯(lián)立方程組消去并整理得，，則，設(shè)，，則，，所以，因為為CD中點，所以，同理可得，所以，直線MN的方程為，整理得，所以，直線MN恒過定點．【典例2】（2023·河南信陽·信陽高中?？既＃┮阎獟佄锞€上一點到焦點的距離為3.

(1)求，的值；(2)設(shè)為直線上除，兩點外的任意一點，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點，和，，試判斷，，，四點縱坐標之積是否為定值？若是，求該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)，(2)定值為64【詳解】（1）根據(jù)拋物線的定義，到準線的距離為3，∴，∴；∴拋物線的焦點坐標為，∴，∴；（2）設(shè)，過點的直線方程設(shè)為，由得，，若直線，的斜率分別為，，設(shè)，，，的縱坐標分別為，，，，∴，，∵到的距離，∴，∴，，∴，∴，，，四點縱坐標之積為定值，且定值為64.【典例3】（2023·廣西·統(tǒng)考一模）已知拋物線和圓，傾斜角為45°的直線過的焦點且與相切．(1)求p的值：(2)點M在的準線上，動點A在上，在A點處的切線l2交y軸于點B，設(shè)，求證：點N在定直線上，并求該定直線的方程．【答案】(1)；(2)證明見解析，定直線方程為.【詳解】（1）由題得拋物線的焦點坐標為，設(shè)直線l1的方程為，由已知得圓的圓心，半徑，因為直線l1與圓相切，所以圓心到直線的距離，即，解得或（舍去）．所以.（2）依題意設(shè)，由（1）知拋物線方程為，所以，所以，設(shè)A，），則以A為切點的切線l2的斜率為所以切線l2的方程為．令，即l2交y軸于B點坐標為，所以，∴，∴．設(shè)N點坐標為（x，y），則，所以點N在定直線上．

【變式1】（2023春·河北·高二校聯(lián)考期末）已知為拋物線上一點，，為的中點，設(shè)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點作直線交曲線E于點M、N，點為直線l：上一動點．問是否存在點使為正三角形？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；【詳解】（1）設(shè)，則因為點B在拋物線上，即，化簡得，所以曲線E的方程為．（2）假設(shè)存在點使為正三角形．當MN垂直于y軸時，不符合題意；當MN不垂直于y軸時，設(shè)直線MN：，MN的中點為，聯(lián)立得：，∴，，，∴，∴，，∴，∵為正三角形，∴，即，∴，PK：，令，∴所以存在點使為正三角形．

【變式2】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）已知點是拋物線：的焦點，縱坐標為2的點在上，以為圓心、為半徑的圓交軸于，，.(1)求拋物線的方程；(2)過作直線與拋物線交于，，求的值.【答案】(1)(2)2【詳解】（1）由題知，點的橫坐標為，∴，，∴，∴，解得，∴拋物線的方程為.

（2）由（1）知，設(shè)，，直線的方程為，代入，整理得，∴，即，∴，，∴.

【變式3】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線E：（p>0），過點的兩條直線l1，l2分別交E于AB兩點和C，D兩點．當l1的斜率為時，(1)求E的標準方程：(2)設(shè)G為直線AD與BC的交點，證明：點G必在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）當?shù)男甭蕿闀r，得方程為，由,消元得，，，；由弦長公式得，即，解得或（舍去），滿足，從而的標準方程為.（2）法一：因為l1，l2分別交E于AB兩點和C，D兩點，所以直線斜率存在設(shè)直線的方程為，設(shè)，由，消去得，則.設(shè)直線的方程為，同理，消去得可得．直線方程為，即，化簡得，同理，直線方程為，因為在拋物線的對稱軸上，由拋物線的對稱性可知，交點必在垂直于軸的直線上，所以只需證的橫坐標為定值即可．由消去，因為直線與相交，所以，解得，所以點的橫坐標為2，即直線與的交點在定直線上．法二：設(shè)直線方程為，由消去得，設(shè)，則．設(shè)直線的方程為，同理可得．直線方程為，即，化簡得，同理，直線方程為，．因為在拋物線的對稱軸上，由拋物線的對稱性可知，交點必在垂直于軸的直線上，所以只需證的橫坐標為定值即可．由消去，因為直線與相交，所以，解得，所以點的橫坐標為2，即直線與的交點在定直線上．題型07拋物線的向量問題【典例1】（2023·四川成都·成都七中?？寄M預測）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，過右側(cè)的點作，垂足為，且．

(1)求點的軌跡的方程；(2)過點的動直線交軌跡于，設(shè)，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由題意，直線與軸交于點，過右側(cè)的點作，可得，設(shè)，則，因為，可得，即，整理得.（2）當直線的斜率存在，可設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，因為直線與曲線交于兩點，則，且，因為，可得，所以；當直線的斜率不存在，此時直線，聯(lián)立方程組，解得，不妨設(shè)，此時，可得，綜上可得，為定值.

【典例2】（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預測）已知點M到點的距離比它到直線l：的距離小，記動點M的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)若過點F的直線交E于，兩點，則在x軸的正半軸上是否存在點P，使得PA，PB分別交E于另外兩點C，D，且？若存在，請求出P點坐標，若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為點M到點的距離比它到直線l：的距離小，所以點M到點的距離等于它到直線l：的距離，則點M的軌跡為以為焦點，以為準線的拋物線，則曲線E的方程為.（2）設(shè)，由得：，且，得，即，所以，代入拋物線方程，得，整理得，同理可得故是方程的兩根，，由韋達定理可得①，由題意，直線AB的斜率一定存在，故設(shè)直線AB的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得，易得，由韋達定理可得②，由①②可得，故在x軸的正半軸上存在一點滿足條件.

【變式1】（2023·河北衡水·模擬預測）已知點在拋物線上，過點的直線與相交于兩點，直線分別與軸相交于點.(1)當弦的中點橫坐標為3時，求的一般方程;(2)設(shè)為原點，若，求證:為定值.【答案】(1)或(2)證明見解析【詳解】（1）由點在拋物線上，所以，所以拋物線的方程為.設(shè)直線的方程為.由，得.依題意，解得且.且.因為弦的中點橫坐標為3，所以，即，解得或，所以的一般方程為或.（2）直線的方程為，又，令，得點的縱坐標為.所以，同理得點的坐標為.由，得，.所以.所以，即為定值.【變式2】（2023春·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學校考期中）已知點，直線交y軸于點H，點M是l上的動點，過點M且垂直于l的直線與線段MF的垂直平分線交于點P．(1)求點P的軌跡C的方程：(2)若A、B為軌跡C上的兩個動點，且，證明直線AB必過定點，并求出該定點．【答案】(1)(2)證明見解析，定點【詳解】（1）由題意，則點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，所以軌跡方程.（2）設(shè)直線，聯(lián)立，而①，∴，則，由，即滿足①式，∴直線：必過點.題型08拋物線的三角形問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為，點在拋物線C上，且.(1)求拋物線C的標準方程；(2)若直線與拋物線交于兩點，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由拋物線的定義可得，因為，所以，解得，故拋物線的標準方程為.（2）設(shè)，由（1）知.由，得，,則，，所以,所以,因為點到直線的距離,所以的面積為.【典例2】（2023春·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)拋物線，過焦點的直線與拋物線交于點，.當直線垂直于軸時，.

(1)求拋物線的標準方程.(2)已知點，直線，分別與拋物線交于點，.①求證：直線過定點；②求與面積之和的最小值.【答案】(1)(2)①證明見解析；②.【詳解】（1）由題意，當直線垂直于軸時，，代入拋物線方程得，則，所以，即，所以拋物線.（2）（i）設(shè)，，直線，與拋物線聯(lián)立，得，因此，.設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立，得，因此，，則.同理可得.所以.因此直線，由對稱性知，定點在軸上，令得，，所以直線過定點.（ii）因為，，所以，當且僅當時取到最小值.【變式1】（2023春·四川內(nèi)江·高二威遠中學校?？茧A段練習）已知拋物線，其焦點F到準線的距離為2.(1)求拋物線的標準方程；(2)若O為坐標原點，斜率為2且過焦點F的直線l交此拋物線于A、B兩點，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由焦點F到準線的距離為2，即，故拋物線的標準方程為；（2）由（1）知：，則直線為，即，聯(lián)立拋物線可得：，則，，所以，又O到直線的距離，所以.【變式2】（2023春·四川達州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上任意一點M到焦點F的距離比M到y(tǒng)軸的距離大1．(1)求E的標準方程；(2)，，交E于A，C兩點，交E于B，D兩點．求四邊形ABCD的面積的最小值．【答案】(1)(2)32【詳解】（1）拋物線的焦點，準線．∵拋物線上任意一點M到焦點F的距離比M到y(tǒng)軸的距離大1．根據(jù)拋物線的定義可知，，∴，∴拋物線E的標準方程為.（2）由題可知均有斜率且斜率不為零，且過焦點，

設(shè)，，，設(shè)，由，消可得，∴，，∴，∴，同理可得，∴，當且僅當時取等號，∴四邊形ABCD面積的最小值為32．A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·北京·高三專題練習）已知拋物線，經(jīng)過點P的任意一條直線與C均有公共點，則點P的坐標可以為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】在軸上，所以在拋物線外部，將代入拋物線中，則，所以在拋物線外部，將代入拋物線中，則，所以在拋物線外部，將代入拋物線中，則，所以在拋物線內(nèi)部，將選項中的點分別在直角坐標系中畫出來，只有點在拋物線內(nèi)部，故當點位于點處，此時經(jīng)過點P的任意一條直線與C均相交，故均有公共點，故選：D2．（2023秋·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知為雙曲線與拋物線的交點，則點的橫坐標為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【詳解】依題意，，則由解得，所以點的橫坐標為3.故選：A3．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線與圓交于A，B兩點，則（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【詳解】由對稱性易得A，B橫坐標相等且大于0，聯(lián)立得，解得，則，將代入可得，則.故選：C.4．（2023春·河南焦作·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線C：的焦點為F，A是C上一點，O為坐標原點，若，則的面積為（

）A． B．3 C． D．6【答案】A【詳解】依題意作下圖：

設(shè)，，所以，可得，由，解得，所以，所以.故選：A.5．（2023秋·高二課時練習）拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點到焦點的距離是6，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．或【答案】B【詳解】由已知，拋物線開口向左，設(shè)其方程為,，則準線方程為，由拋物線的定義知，點到焦點的距離是，所以，所以拋物線的方程是：，故選：B.6．（2023秋·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）過拋物線的焦點作直線，交拋物線于，兩點，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】如圖所示，由題得，拋物線的準線方程為.所以.故選：C

7．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考期末）過點作兩條直線分別交拋物線于，兩點，記直線，的斜率分為，，若，，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為點作兩條直線分別交拋物線于，兩點，在拋物線上，所以直線斜率一定不為，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，與聯(lián)立方程可得：，即，所以，則，所以①，，所以②，由①②可得：，所以，故.故選：A.8．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線的焦點為，過的直線交于點，分別在點處作的兩條切線，兩條切線交于點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】顯然直線的斜率存在，因此設(shè)直線的方程為，，由得，因此，故.因為，所以過與相切的直線方程分別為：、，因此由得，即，所以.因為，所以，因此，所以的取值范圍是.故選:C.二、多選題9．（2023春·甘肅武威·高二武威第六中學?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點為F，點P為C上任意一點，若點，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．的最小值為2B．拋物線C關(guān)于x軸對稱C．過點M與拋物線C有一個公共點的直線有且只有一條D．點P到點M的距離與到焦點F距離之和的最小值為4【答案】AB【詳解】設(shè)，則，，又拋物線的焦點為，對A，由題可知，時，等號成立，所以的最小值是1，A錯；對B，拋物線的焦點在軸上，拋物線關(guān)于軸對稱，B錯；對C，由題知點在拋物線的內(nèi)部（含有焦點的部分），因此過與對稱軸平行的直線與拋物線只有一個公共點，其他直線與拋物線都有兩個公共點，C正確；對D，記拋物線的準線為，準線方程為，過作于，過作于，則，，所以當三點共線，即與重合時，最小，最小值為．D正確．故選：AB．10．（2023春·安徽·高二校聯(lián)考期末）已知為坐標原點，拋物線的焦點到其準線的距離為4，過點作直線交于，兩點，則（

）A．的準線為 B．的大小可能為C．的最小值為8 D．【答案】ACD【詳解】由題意得，，則的準線為，故A正確；,設(shè)，整理得，，所以，，，所以，故B錯誤；，當時，的最小值為8，故C正確；∵，∴，故D正確.故選：ACD.三、填空題11．（2023春·安徽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為，過的動直線與拋物線交于兩點，滿足的直線有且僅有一條，則．【答案】2【詳解】設(shè)交點坐標為過的直線為，與拋物線聯(lián)立可得，，故．，故當時，動直線有且僅有一條，即，故．故答案為：2.12．（2023春·江西九江·高二德安縣第一中學校考期中）過拋物線的焦點作一直線交拋物線于、兩點，則的值是．【答案】【詳解】由題意知，拋物線焦點坐標為，從而設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立方程，得，，，.所以.故答案為：.四、解答題13．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線：的焦點為，為上一點，為準線上一點，，(1)求的方程；(2)，，是上的三點，若，求點到直線距離的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）如圖所示：由題意可知，因為，，由，，可得，由拋物線的定義可知，，解得．則的方程為.（2）如圖所示：在拋物