人教A版數(shù)學(選擇性必修一講義)第23講2.5.2圓與圓的位置關系(學生版+解析)

第10講2.5.2圓與圓的位置關系課程標準學習目標①掌握兩圓位置關系的判定的代數(shù)方法與幾何方法。②會應用兩圓的位置關系求與兩圓有關的幾何量問題。通過本節(jié)課的學習，會判斷兩圓的位置關系，會求與兩圓位置有關的點的坐標、公共弦長及公共弦所在的直線方程，能求與兩圓位置關系相關的綜合問題.知識點01：圓與圓的位置關系1、圓與圓的位置關系(1)圓與圓相交，有兩個公共點；(2)圓與圓相切(內切或外切)，有一個公共點；(3)圓與圓相離(內含或外離)，沒有公共點.圖象位置關系圖象位置關系外離外切相交內切內含2、圓與圓的位置關系的判定2.1幾何法設的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為.①當時，兩圓相交；②當時，兩圓外切；③當時，兩圓外離；④當時，兩圓內切；⑤當時，兩圓內含.2.2代數(shù)法設::聯(lián)立消去“”得到關于“”的一元二次方程，求出其①與設設相交②與設設相切（內切或外切）③與設設相離（內含或外離）【即學即練1】（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習）圓O：與圓C:的位置關系是（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內切【答案】C【詳解】圓是以為圓心，半徑的圓，圓:改寫成標準方程為，則圓是以為圓心，半徑的圓，則，=3，所以兩圓外切，故選：.知識點02：圓與圓的公共弦1、圓與圓的公共弦圓與圓相交得到的兩個交點，這兩點之間的線段就是兩圓的公共弦.2、公共弦所在直線的方程設::聯(lián)立作差得到：即為兩圓共線方程3、公共弦長的求法代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求其長．幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長．【即學即練2】（2022秋·高二課時練習）已知圓與圓，求兩圓的公共弦所在的直線方程（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】將兩個圓的方程相減，得3x－4y＋6＝0.故選：D.知識點03：圓與圓的公切線1、公切線的條數(shù)與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內公切線兩種．（1）兩圓外離時，有2條外公切線和2條內公切線，共4條；（2）兩圓外切時，有2條外公切線和1條內公切線，共3條；（3）兩圓相交時，只有2條外公切線；（4）兩圓內切時，只有1條外公切線；（5）兩圓內含時，無公切線．2、公切線的方程核心技巧：利用圓心到切線的距離求解【即學即練3】（2022秋·貴州遵義·高二習水縣第五中學校聯(lián)考期末）圓與圓的公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為5；圓的圓心坐標為，半徑為3，所以兩圓的圓心距為，因為，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線有2條.故選：B.知識點04：圓系方程(1)以為圓心的同心圓圓系方程：；(2)與圓同心圓的圓系方程為；(3)過直線與圓交點的圓系方程為4過兩圓，圓：交點的圓系方程為（，此時圓系不含圓：）特別地，當時，上述方程為一次方程.兩圓相交時，表示公共弦方程；兩圓相切時，表示公切線方程.【即學即練4】（2022秋·高二單元測試）求過兩圓和圓的交點，且圓心在直線上的圓的方程.【答案】【詳解】設圓的方程為，則，即，所以圓心坐標為，把圓心坐標代入得，解得，所以所求圓的方程為．題型01判斷圓與圓的位置關系【典例1】（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習）圓O：與圓C:的位置關系是（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內切【典例2】（2023春·安徽·高二池州市第一中學校聯(lián)考階段練習）圓與圓的位置關系是（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內切【典例3】（多選）（2023春·甘肅蘭州·高二蘭大附中?？茧A段練習）已知圓和圓，則下列結論正確的是（

）A．圓與圓外切B．直線與圓相切C．直線被圓所截得的弦長為2D．若分別為圓和圓上一點，則的最大值為10【變式1】（2023春·江蘇揚州·高二統(tǒng)考開學考試）圓與圓的位置關系為（

）．A．相交 B．內切 C．外切 D．外離【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知圓：，圓：，則與的位置關系是（

）A．外切 B．內切 C．相交 D．外離題型02求兩圓交點坐標【典例1】（2022·高二課前預習）圓與圓的交點坐標為（

）A．和 B．和C．和 D．和【典例2】（2022秋·貴州遵義·高二遵義一中?？茧A段練習）圓：和圓：交于，兩點，則線段的垂直平分線的方程是______.【變式1】（2023秋·青海西寧·高二?？计谀﹫A與的交點坐標為______.【變式2】（2022·高二課時練習）圓與圓的交點坐標為___________.題型03由圓的位置關系確定參數(shù)【典例1】（2023秋·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知圓：與圓：有公共點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·陜西西安·高二長安一中?？计谀┮阎獌蓤A和恰有三條公切線，若，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·河北衡水·衡水市第二中學?？既＃┤魣A和有且僅有一條公切線，則______；此公切線的方程為______【變式1】（2023秋·高二課時練習）若兩圓和圓相交，則的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【變式2】（2023秋·高一單元測試）已知圓與圓內切，則的最小值為_______題型04由圓與圓的位置關系確定圓的方程【典例1】（2023·河南商丘·商丘市實驗中學校聯(lián)考模擬預測）已知圓，圓過點且與圓相切于點，則圓的方程為__________.【典例2】（2023·河南焦作·統(tǒng)考模擬預測）已知圓，的圓心都在坐標原點，半徑分別為與．若圓的圓心在軸正半軸上，且與圓，均內切，則圓C的標準方程為_________．【典例3】（2023春·江西宜春·高二統(tǒng)考階段練習）已知圓(1)若直線過定點，且與圓相切，求直線的方程；(2)若圓的半徑為3，圓心在直線上，且與圓外切，求圓的方程．【變式1】（2023·全國·高三專題練習）經(jīng)過點以及圓與交點的圓的方程為______．【變式2】（2023·高二課時練習）已知圓和圓，求過兩圓交點，且面積最小的圓的方程．題型05相交圓的公共弦方程【典例1】（2023·河南·統(tǒng)考二模）若圓與圓的公共弦的長為1，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023春·安徽池州·高三池州市第一中學?？茧A段練習）已知，直線為上的動點，過點作的切線，切點為，當最小時，直線的方程為__________.【變式1】（2023春·全國·高二衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習）已知圓：過圓：的圓心，則兩圓相交弦的方程為______.【變式2】（2023·天津和平·耀華中學校考二模）圓與圓的公共弦所在的直線方程為______．題型06兩圓的公共弦長【典例1】（2023·天津濱海新·統(tǒng)考三模）已知圓：與圓：，若兩圓相交于，兩點，則______【典例2】（2023秋·湖南張家界·高二統(tǒng)考期末）已知兩圓，．(1)取何值時兩圓外切？(2)當時，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．【變式1】（2023春·福建廈門·高二廈門一中?？茧A段練習）已知圓與圓有兩個公共點、，且，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·浙江·高三專題練習）已知圓與交于兩點.若存在，使得，則的取值范圍為___________.題型07圓的公切線條數(shù)【典例1】（2023·全國·高三專題練習）圓：與圓：公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【典例2】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）已知圓：的圓心到直線的距離為，則圓與圓：的公切線共有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【典例3】（2023秋·河北保定·高二統(tǒng)考期末）若圓與圓恰有兩條公共的切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【典例4】（2023春·四川眉山·高二四川省眉山第一中學?？奸_學考試）已知圓：與：恰好有4條公切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式1】（2023·全國·高三專題練習）若圓與圓有且僅有3條公切線，則=（

）A．14 B．28 C．9 D．【變式2】（2023秋·上海楊浦·高二復旦附中?？计谀﹥蓚€圓：與：恰有三條公切線，則的最大值為（

）A． B． C．6 D．－6【變式3】（2023·全國·模擬預測）已知圓，圓，則同時與圓和圓相切的直線有（

）A．4條 B．3條 C．2條 D．0條【變式4】（2023春·青海西寧·高二校考開學考試）圓與圓的公切線條數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3題型08圓的公切線方程【典例1】（多選）（2023·高二課時練習）已知圓，圓，則下列是，兩圓公切線的直線方程為（

）A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知圓與圓恰有兩條公切線，則滿足題意的一個的取值為____；此時公切線的方程為__________.【典例3】（2023·全國·高三專題練習）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程___________.【變式1】（2023秋·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）已知圓：與圓：相內切，則與的公切線方程為（

）A． B．C． D．【變式2】（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學?？寄M預測）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程___________.題型09圓的公切線長【典例1】（2022秋·廣東云浮·高二校考期中）已知圓的方程為，圓的方程為.(1)判斷圓與圓是否相交，若相交，求過兩交點的直線方程及兩交點間的距離；若不相交，請說明理由.(2)求兩圓的公切線長.【變式1】（2022·高二課時練習）求圓與圓的內公切線所在直線方程及內公切線的長．A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)B．的最大值為C．兩個圓心所在的直線斜率為D．兩個圓公共弦所在直線的方程為10．（2023春·甘肅蘭州·高二蘭大附中?？茧A段練習）已知圓和圓，則下列結論正確的是（

）A．圓與圓外切B．直線與圓相切C．直線被圓所截得的弦長為2D．若分別為圓和圓上一點，則的最大值為10三、填空題11．（2023秋·高一單元測試）已知圓與圓內切，則的最小值為_______12．（2023·天津·高三專題練習）已知圓與圓外切，此時直線被圓所截的弦長為__________．四、解答題13．（2023秋·高二課時練習）如圖，已知點A、B的坐標分別是，點C為線段AB上任一點，P、Q分別以AC和BC為直徑的兩圓的外公切線的切點，求線段PQ的中點的軌跡方程.

14．（2023秋·河北保定·高二統(tǒng)考期末）已知圓與圓(1)求證：圓與圓相交；(2)求兩圓公共弦所在直線的方程；(3)求經(jīng)過兩圓交點，且圓心在直線上的圓的方程．B能力提升1．（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學校考模擬預測）已知圓和兩點，，若圓C上至少存在一點P，使得，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江嘉興·?？寄M預測）已知動直線與圓交于，兩點，且．若與圓相交所得的弦長為，則的最大值與最小值之差為（

）A． B．1 C． D．23．（2023·北京通州·統(tǒng)考模擬預測）在平面直角坐標系內，點O是坐標原點，動點B，C滿足，，A為線段中點，P為圓任意一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高三專題練習）已知平面內的動點，直線：，當變化時點始終不在直線上，點為：上的動點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．C綜合素養(yǎng)1．（2023春·上海黃浦·高二上海市敬業(yè)中學?？计谥校┮阎本€，圓.(1)證明：直線與圓相交；(2)設直線與的兩個交點分別為、，弦的中點為，求點的軌跡方程；(3)在（2）的條件下，設圓在點處的切線為，在點處的切線為，與的交點為.證明：Q，A，B，C四點共圓，并探究當變化時，點是否恒在一條定直線上?若是，請求出這條直線的方程；若不是，說明理由.2．（2023春·上海黃浦·高二格致中學校考階段練習）已知圓和圓(1)若圓與圓相交于兩點，求的取值范圍，并求直線的方程（用含有的方程表示）(2)若直線與圓交于兩點，且，求實數(shù)的值3．（2023·上海·高二專題練習）已知圓C：（x+1）2+y2＝a（a＞0），定點A（m，0），B（0，n），其中m，n為正實數(shù)．(1)當a＝m＝n＝3時，判斷直線AB與圓C的位置關系；(2)當a＝4時，若對于圓C上任意一點P均有PA＝λPO成立（O為坐標原點），求實數(shù)m，λ的值；(3)當m＝2，n＝4時，對于線段AB上的任意一點P，若在圓C上都存在不同的兩點M，N，使得點M是線段PN的中點，求實數(shù)a的取值范圍．

第10講2.5.2圓與圓的位置關系課程標準學習目標①掌握兩圓位置關系的判定的代數(shù)方法與幾何方法。②會應用兩圓的位置關系求與兩圓有關的幾何量問題。通過本節(jié)課的學習，會判斷兩圓的位置關系，會求與兩圓位置有關的點的坐標、公共弦長及公共弦所在的直線方程，能求與兩圓位置關系相關的綜合問題.知識點01：圓與圓的位置關系1、圓與圓的位置關系(1)圓與圓相交，有兩個公共點；(2)圓與圓相切(內切或外切)，有一個公共點；(3)圓與圓相離(內含或外離)，沒有公共點.圖象位置關系圖象位置關系外離外切相交內切內含2、圓與圓的位置關系的判定2.1幾何法設的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為.①當時，兩圓相交；②當時，兩圓外切；③當時，兩圓外離；④當時，兩圓內切；⑤當時，兩圓內含.2.2代數(shù)法設::聯(lián)立消去“”得到關于“”的一元二次方程，求出其①與設設相交②與設設相切（內切或外切）③與設設相離（內含或外離）【即學即練1】（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習）圓O：與圓C:的位置關系是（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內切【答案】C【詳解】圓是以為圓心，半徑的圓，圓:改寫成標準方程為，則圓是以為圓心，半徑的圓，則，=3，所以兩圓外切，故選：.知識點02：圓與圓的公共弦1、圓與圓的公共弦圓與圓相交得到的兩個交點，這兩點之間的線段就是兩圓的公共弦.2、公共弦所在直線的方程設::聯(lián)立作差得到：即為兩圓共線方程3、公共弦長的求法代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求其長．幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長．【即學即練2】（2022秋·高二課時練習）已知圓與圓，求兩圓的公共弦所在的直線方程（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】將兩個圓的方程相減，得3x－4y＋6＝0.故選：D.知識點03：圓與圓的公切線1、公切線的條數(shù)與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內公切線兩種．（1）兩圓外離時，有2條外公切線和2條內公切線，共4條；（2）兩圓外切時，有2條外公切線和1條內公切線，共3條；（3）兩圓相交時，只有2條外公切線；（4）兩圓內切時，只有1條外公切線；（5）兩圓內含時，無公切線．2、公切線的方程核心技巧：利用圓心到切線的距離求解【即學即練3】（2022秋·貴州遵義·高二習水縣第五中學校聯(lián)考期末）圓與圓的公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為5；圓的圓心坐標為，半徑為3，所以兩圓的圓心距為，因為，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線有2條.故選：B.知識點04：圓系方程(1)以為圓心的同心圓圓系方程：；(2)與圓同心圓的圓系方程為；(3)過直線與圓交點的圓系方程為4過兩圓，圓：交點的圓系方程為（，此時圓系不含圓：）特別地，當時，上述方程為一次方程.兩圓相交時，表示公共弦方程；兩圓相切時，表示公切線方程.【即學即練4】（2022秋·高二單元測試）求過兩圓和圓的交點，且圓心在直線上的圓的方程.【答案】【詳解】設圓的方程為，則，即，所以圓心坐標為，把圓心坐標代入得，解得，所以所求圓的方程為．題型01判斷圓與圓的位置關系【典例1】（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習）圓O：與圓C:的位置關系是（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內切【答案】C【詳解】圓是以為圓心，半徑的圓，圓:改寫成標準方程為，則圓是以為圓心，半徑的圓，則，=3，所以兩圓外切，故選：.【典例2】（2023春·安徽·高二池州市第一中學校聯(lián)考階段練習）圓與圓的位置關系是（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內切【答案】C【詳解】兩圓化為標準形式，可得與圓，可知半徑，，于是，而，故兩圓相交，故選：.【典例3】（多選）（2023春·甘肅蘭州·高二蘭大附中?？茧A段練習）已知圓和圓，則下列結論正確的是（

）A．圓與圓外切B．直線與圓相切C．直線被圓所截得的弦長為2D．若分別為圓和圓上一點，則的最大值為10【答案】ACD【詳解】圓化為，圓心坐標為，半徑為2，圓化為，圓心坐標為，半徑為3.因為兩個圓的圓心距為，等于兩個圓半徑的和，所以兩個圓外切，正確.圓的圓心到直線的距離為，所以直線與圓不相切，錯誤.圓的圓心到直線的距離為，直線被圓所截得的弦長為，C正確.若分別為圓和圓上一點，則的最大值為，正確.故選：ACD【變式1】（2023春·江蘇揚州·高二統(tǒng)考開學考試）圓與圓的位置關系為（

）．A．相交 B．內切 C．外切 D．外離【答案】B【詳解】由題意可得，故兩圓的圓心分別為：，設兩圓半徑分別為，則，易知，故兩圓內切.故選：B【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知圓：，圓：，則與的位置關系是（

）A．外切 B．內切 C．相交 D．外離【答案】C【詳解】圓的圓心為，圓的圓心為，所以所以圓與的位置關系是相交.故選:C.題型02求兩圓交點坐標【典例1】（2022·高二課前預習）圓與圓的交點坐標為（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【詳解】由,可得，即，代入，解得或，故得或,所以兩圓的交點坐標為和,故選:C【典例2】（2022秋·貴州遵義·高二遵義一中?？茧A段練習）圓：和圓：交于，兩點，則線段的垂直平分線的方程是______.【答案】【詳解】圓方程為，圓方程為，則圓心分別為，，兩圓相交于兩點，則線段AB的垂直平分線即為直線，，則直線的方程為，即，故答案為：【變式1】（2023秋·青海西寧·高二校考期末）圓與的交點坐標為______.【答案】和【詳解】聯(lián)立，兩式相減得，將其代入中得或，進而得或，所以交點坐標為故答案為：和【變式2】（2022·高二課時練習）圓與圓的交點坐標為___________.【答案】【詳解】聯(lián)立兩個圓的方程：，方程帶入，先得到，在聯(lián)立，得到，解得或，對應的值為或，于是得到兩圓交點：.故答案為：.題型03由圓的位置關系確定參數(shù)【典例1】（2023秋·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知圓：與圓：有公共點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題知：，，，，.因為和有公共點，所以，解得.故選：C【典例2】（2023秋·陜西西安·高二長安一中?？计谀┮阎獌蓤A和恰有三條公切線，若，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，即，圓心，；，即，圓心，半徑；兩圓恰有三條公切線，即兩圓外切，故，即，.當且僅當，即，時等號成立.故選：A【典例3】（2023·河北衡水·衡水市第二中學?？既＃┤魣A和有且僅有一條公切線，則______；此公切線的方程為______【答案】1【詳解】如圖，

由題意得與相內切，又，所以，所以，解得，所以，．聯(lián)立，解得所以切點的坐標為，故所求公切線的方程為，即．故答案為：1；【變式1】（2023秋·高二課時練習）若兩圓和圓相交，則的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【答案】B【詳解】圓與圓相交，兩圓的圓心距大于兩圓的半徑之差的絕對值且小于半徑之和，即，所以.解得或.故選：B【變式2】（2023秋·高一單元測試）已知圓與圓內切，則的最小值為_______【答案】2【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓的圓心距，兩圓內切，，可得，所以．當且僅當時，取得最小值，的最小值為2．故答案為：2．題型04由圓與圓的位置關系確定圓的方程【典例1】（2023·河南商丘·商丘市實驗中學校聯(lián)考模擬預測）已知圓，圓過點且與圓相切于點，則圓的方程為__________.【答案】【詳解】如圖所示：過點和的直線方程為，以點和點為端點的線段的垂直平分線為.由得，則圓的半徑，所以圓的方程為.故答案為：【典例2】（2023·河南焦作·統(tǒng)考模擬預測）已知圓，的圓心都在坐標原點，半徑分別為與．若圓的圓心在軸正半軸上，且與圓，均內切，則圓C的標準方程為_________．【答案】【詳解】解：依題意可知圓心的橫坐標為，半徑為，故圓的標準方程為.故答案為：.【典例3】（2023春·江西宜春·高二統(tǒng)考階段練習）已知圓(1)若直線過定點，且與圓相切，求直線的方程；(2)若圓的半徑為3，圓心在直線上，且與圓外切，求圓的方程．【答案】(1)或(2)或【詳解】（1）圓化為標準方程為，所以圓C的圓心為，半徑為①若直線的斜率不存在，即直線為，符合題意．②若直線的斜率存在，設直線的方程為即由題意知，圓心到已知直線的距離等于半徑2，所以，即，解得，所以直線方程為綜上，所求直線的方程為或（2）依題意，設又已知圓C的圓心為，半徑為2，由兩圓外切，可知，所以，解得或所以或，所以所求圓D的方程為或【變式1】（2023·全國·高三專題練習）經(jīng)過點以及圓與交點的圓的方程為______．【答案】【詳解】聯(lián)立，整理得，代入，得，解得或，則圓與交點坐標為，設經(jīng)過點以及的圓的方程為,則，解得，故經(jīng)過點以及圓與交點的圓的方程為，故答案為：【變式2】（2023·高二課時練習）已知圓和圓，求過兩圓交點，且面積最小的圓的方程．【答案】【詳解】設兩圓交點為A、B，則以AB為直徑的圓就是所求的圓．聯(lián)立，可得直線AB的方程為．又圓M的圓心，圓N的圓心所以兩圓圓心連線的方程為．解方程組，可得圓心坐標為．圓心到直線AB的距離為，圓M的半徑為，弦AB的長為，則所求圓的半徑為，所以所求圓的方程為．題型05相交圓的公共弦方程【典例1】（2023·河南·統(tǒng)考二模）若圓與圓的公共弦的長為1，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】將兩圓方程相減可得直線的方程為，即，因為圓的圓心為，半徑為，且公共弦的長為，則到直線的距離為，所以，解得，所以直線的方程為，故選：D.【典例2】（2023春·安徽池州·高三池州市第一中學?？茧A段練習）已知，直線為上的動點，過點作的切線，切點為，當最小時，直線的方程為__________.【答案】【詳解】圓的方程可化為，則圓心，半徑，可得點到直線的距離為，所以直線與圓相離，依圓的知識可知，四點四點共圓，且，所以，原題意等價于取到最小值，當直線時，，此時最小.的直線方程為：，與聯(lián)立，解得：，即，則的中點為，所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即直線的方程為.故答案為：.【變式1】（2023春·全國·高二衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習）已知圓：過圓：的圓心，則兩圓相交弦的方程為______.【答案】【詳解】圓：的圓心坐標為，因為圓過圓的圓心，所以，所以，所以：，兩圓的方程相減可得相交弦方程為.故答案為：.【變式2】（2023·天津和平·耀華中學校考二模）圓與圓的公共弦所在的直線方程為______．【答案】【詳解】聯(lián)立，兩式相減得.故答案為：題型06兩圓的公共弦長【典例1】（2023·天津濱海新·統(tǒng)考三模）已知圓：與圓：，若兩圓相交于，兩點，則______【答案】【詳解】圓的方程為，即①，又圓：②，②－①可得兩圓公共弦所在的直線方程為圓的圓心到直線的距離，所以．故答案為:.【典例2】（2023秋·湖南張家界·高二統(tǒng)考期末）已知兩圓，．(1)取何值時兩圓外切？(2)當時，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．【答案】(1)(2)兩圓的公共弦所在直線的方程為，兩圓的公共弦的長為【詳解】（1）因為圓的標準方程為，所以兩圓的圓心分別為，，半徑分別為，.當兩圓外切時，圓心距為半徑之和，則，結合，解得；（2）當時，圓的一般方程為兩圓一般方程相減得：，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為圓圓心到的距離為故兩圓的公共弦的長為．【變式1】（2023春·福建廈門·高二廈門一中校考階段練習）已知圓與圓有兩個公共點、，且，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】對于圓，有，可得，圓的標準方程為，圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，且，因為兩圓有兩個公共點、，則，即，將兩圓方程作差可得，因為，則直線過圓心，所以，，解得，滿足.因此，.故選：C.【變式2】（2023·浙江·高三專題練習）已知圓與交于兩點.若存在，使得，則的取值范圍為___________.【答案】【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑若兩圓相交，則，所以，即，又兩圓相交弦所在直線方程為：即所以圓心到直線的距離，圓心到直線的距離，則弦長，所以，則，所以，若存在，使得，則，即，所以的取值范圍為.故答案為：.題型07圓的公切線條數(shù)【典例1】（2023·全國·高三專題練習）圓：與圓：公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】根據(jù)題意，圓：，即，其圓心為，半徑；圓：，即，其圓心為，半徑，兩圓的圓心距，所以兩圓相外切，其公切線條數(shù)有3條．故選：C．【典例2】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）已知圓：的圓心到直線的距離為，則圓與圓：的公切線共有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】B【詳解】圓：的圓心為，半徑為a，所以圓心到直線的距離為，解得或．因為，所以.所以圓：的圓心為，半徑為．圓：的標準方程為，圓心坐標為，半徑，圓心距，所以兩圓相內切．所以兩圓的公切線只有1條.故選：B．【典例3】（2023秋·河北保定·高二統(tǒng)考期末）若圓與圓恰有兩條公共的切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，所以，半徑，由，所以，半徑為，因為圓與圓恰有兩條公共的切線，所以這兩個圓相交，于是有，而，所以m的取值范圍為，故選：A【典例4】（2023春·四川眉山·高二四川省眉山第一中學?？奸_學考試）已知圓：與：恰好有4條公切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為圓：與：恰好有4條公切線，所以圓與外離，所以，解得或，即實數(shù)的取值范圍是.故選：D.【變式1】（2023·全國·高三專題練習）若圓與圓有且僅有3條公切線，則=（

）A．14 B．28 C．9 D．【答案】A【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，因為圓與圓有且僅有3條公切線，所以兩圓外切，則，即，解得.故選：A.【變式2】（2023秋·上海楊浦·高二復旦附中校考期末）兩個圓：與：恰有三條公切線，則的最大值為（

）A． B． C．6 D．－6【答案】A【詳解】由已知可得，圓的方程可化為，圓心為，半徑；圓的方程可化為，圓心為，半徑.因為圓與圓恰有三條公切線，所以兩圓外切.所以有，即，所以.又，當且僅當時，等號成立，所以.故選：A.【變式3】（2023·全國·模擬預測）已知圓，圓，則同時與圓和圓相切的直線有（

）A．4條 B．3條 C．2條 D．0條【答案】B【詳解】由圓，則圓心，半徑；由圓，整理可得，則圓心，半徑；由，則兩圓外切，同時與兩圓相切的直線有3條.故選：B.【變式4】（2023春·青海西寧·高二?？奸_學考試）圓與圓的公切線條數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】由圓方程，可得圓心，半徑；由圓方程，可得圓心，半徑.所以，，且，所以兩圓相交，公切線條數(shù)為2.故選：C.題型08圓的公切線方程【典例1】（多選）（2023·高二課時練習）已知圓，圓，則下列是，兩圓公切線的直線方程為（

）A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． D．【答案】ACD【詳解】圓M的圓心為M（2，1），半徑．圓N的圓心為N（－2，－1），半徑．圓心距，兩圓相離，故有四條公切線．又兩圓關于原點O對稱，則有兩條切線過原點O，設切線方程為y＝kx，則圓心到直線的距離，解得k＝0或，對應方程分別為y＝0，4x－3y＝0．另兩條切線與直線MN平行，而，設切線方程為，則，解得，切線方程為，．故選：ACD．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知圓與圓恰有兩條公切線，則滿足題意的一個的取值為____；此時公切線的方程為__________.【答案】5（答案不唯一）和（答案與前空的答案有關聯(lián)）【詳解】圓的圓心為，半徑為5.因為圓與圓恰有兩條公切線，所以圓與圓相交.即.又，所以，所以可取(答案不唯一.滿即可).此時.因為的圓心為，半徑為5，的圓心為，半徑為5，所以可設公切線的方程為，且與兩圓圓心所在的直線平行，解得，又因為是公切線，所以圓心到直線距離等于半徑，即，解得.所以當時，公切線的方程為和.故答案為:5；和.【典例3】（2023·全國·高三專題練習）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程___________.【答案】或或（三條中任寫一條即可）【詳解】圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為；與的距離為，所以兩圓外切.過與的直線方程為.由圖可知，直線是兩圓的公切線，由解得，設，設兩圓的一條公切線方程為，到直線的距離為，即，解得，所以兩圓的一條公切線方程為，即.由兩式相減并化簡得，所以兩圓的公切線方程為或或.故答案為：或或（三條中任寫一條即可）【變式1】（2023秋·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）已知圓：與圓：相內切，則與的公切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】圓：的圓心，圓：可化為，，則其圓心為，半徑為，因為圓與圓相內切，所以，即，故.由，可得，即與的公切線方程為.故選：D【變式2】（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學?？寄M預測）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程___________.【答案】（答案不唯一，或均可以）【詳解】圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為4，圓心距為，所以兩圓外切，如圖，有三條切線，易得切線的方程為；因為，且，所以，設，即，則到的距離，解得（舍去）或，所以；可知和關于對稱，聯(lián)立，解得在上，在上取點，設其關于的對稱點為，則，解得，則，所以直線，即，綜上，切線方程為或或.故答案為：（答案不唯一，或均可以）題型09圓的公切線長【典例1】（2022秋·廣東云浮·高二?？计谥校┮阎獔A的方程為，圓的方程為.(1)判斷圓與圓是否相交，若相交，求過兩交點的直線方程及兩交點間的距離；若不相交，請說明理由.(2)求兩圓的公切線長.【答案】(1)兩圓相交，，；(2).【詳解】（1）圓A：，圓：，兩圓心距，∵，∴兩圓相交，將兩圓方程左、右兩邊分別對應相減得：，此即為過兩圓交點的直線方程.設兩交點分別為、，則垂直平分線段，∵A到的距離，∴.（2）設公切線切圓A、圓的切點分別為，，則四邊形是直角梯形.∴，∴.【變式1】（2022·高二課時練習）求圓與圓的內公切線所在直線方程及內公切線的長．【答案】或，8【詳解】，，，．設內公切線與連心線交于點，則在軸上且．設，可得，．設內公切線所在直線方程為，即．由，得．所以內公切線所在直線方程為或．內公切線的長為．A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎一、單選題1．（2023春·天津北辰·高二天津市第四十七中學?？茧A段練習）設圓，圓，則圓，的位置（

）A．內切 B．相交 C．外切 D．外離【答案】D【詳解】圓，化為，圓心為，半徑為；圓，化為，圓心為，半徑為；兩圓心距離為：，，圓與外離，故選：D.2．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）已知圓和交于A，B兩點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】將和相減得直線，點到直線的距離，所以．故選：B3．（2023秋·湖南郴州·高二統(tǒng)考期末）與兩圓和都相切的直線有（

）條A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】由題意知，，所以圓心距,所以兩圓相離，公切線有4條.故選：D.4．（2023秋·貴州黔東南·高二凱里一中?？计谀┮阎獔A與圓有兩個交點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意知，圓心與圓心，則圓心距，因為圓與圓有兩個交點，則圓與圓相交，則，解得．故選：B.5．（2023秋·高一單元測試）已知點是圓上的一點，過點作圓的切線，則切線長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】切線長，所以當取得最小值時，切線長取得最小值.當共線且點在之間時，最小，由于,所以min，所以.故選：.

6．（2023春·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）已知點P為直線上的一點，M，N分別為圓：與圓：上的點，則的最小值為（

）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】B【詳解】如圖所示，由圓，可得圓心，半徑為，圓，可得圓心，半徑為，可得圓心距，如圖，，所以，當共線時，取得最小值，故的最小值為.

故選：B7．（2023·全國·高三專題練習）圓：與圓：公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】根據(jù)題意，圓：，即，其圓心為，半徑；圓：，即，其圓心為，半徑，兩圓的圓心距，所以兩圓相外切，其公切線條數(shù)有3條．故選：C．8．（2023秋·安徽滁州·高二校聯(lián)考期末）已知圓：，為直線：上的一點，過點作圓的切線，切點分別為，，當最小時，直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由圓的知識可知，，，，四點共圓，且，所以，又，當時，此時取得最小值，此時直線的方程為，即，，解得，即.所以的中點為，所以以為直徑的圓的方程為，又圓：，即，兩圓的方程相減可得：，即直線的方程為．故選：D二、多選題9．（2023秋·高一單元測試）點在圓：上，點在圓：上，則（

）A．的最小值為B．的最大值為C．兩個圓心所在的直線斜率為D．兩個圓公共弦所在直線的方程為【答案】AC【詳解】根據(jù)題意，圓：，其圓心，半徑，圓：，即，其圓心，半徑，則圓心距，兩圓外離，不存在公共弦，故D不正確；的最小值為，最大值為，故A正確，B不正確；對于C，圓心，圓心，則兩個圓心所在直線斜率，故C正確，故選：AC.10．（2023春·甘肅蘭州·高二蘭大附中校考階段練習）已知圓和圓，則下列結論正確的是（

）A．圓與圓外切B．直線與圓相切C．直線被圓所截得的弦長為2D．若分別為圓和圓上一點，則的最大值為10【答案】ACD【詳解】圓化為，圓心坐標為，半徑為2，圓化為，圓心坐標為，半徑為3.因為兩個圓的圓心距為，等于兩個圓半徑的和，所以兩個圓外切，正確.圓的圓心到直線的距離為，所以直線與圓不相切，錯誤.圓的圓心到直線的距離為，直線被圓所截得的弦長為，C正確.若分別為圓和圓上一點，則的最大值為，正確.故選：ACD三、填空題11．（2023秋·高一單元測試）已知圓與圓內切，則的最小值為_______【答案】2【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓的圓心距，兩圓內切，，可得，所以．當且僅當時，取得最小值，的最小值為2．故答案為：2．12．（2023·天津·高三專題練習）已知圓與圓外切，此時直線被圓所截的弦長為__________．【答案】【詳解】由題意可得：，即圓的圓心為，半徑為，即圓心到直線的距離為，故所截弦長為．故答案為：四、解答題13．（2023秋·高二課時練習）如圖，已知點A、B的坐標分別是，點C為線段AB上任一點，P、Q分別以AC和BC為直徑的兩圓的外公切線的切點，求線段PQ的中點的軌跡方程.

【答案】【詳解】過C作，交于點，則是兩圓的內公切線，因為直線為兩圓的外公切線，由切線長知識可得，，，所以是線段PQ的中點，設，則，，，連接，，，，則又因為，，，,所以，，所以，，從而可得，所以，所以，所以，因為點是線段上任一點，和為直徑，所以，所以線段PQ的中點的軌跡方程為.

14．（2023秋·河北保定·高二統(tǒng)考期末）已知圓與圓(1)求證：圓與圓相交；(2)求兩圓公共弦所在直線的方程；(3)求經(jīng)過兩圓交點，且圓心在直線上的圓的方程．【答案】