人教A版數(shù)學(選擇性必修三講義)第02講6.2.1排列+6.2.2排列數(shù)(學生版+解析)

第02講6.2.1排列+6.2.2排列數(shù)課程標準學習目標①了解排列的意義。②掌握常見的排列處理方法。③會用排列的相關(guān)方法解決簡單的排列問題。④理解與掌握排列數(shù)公式⑤熟練應(yīng)用排列數(shù)公式及性質(zhì)求解與排列數(shù)有關(guān)的量，并能證明恒等式，求方程的解及不等式的解。⑥能解決一些簡單的實際問題.熟練應(yīng)用公式表達排列的相關(guān)關(guān)系，及求解常見的排列問題1.通過本節(jié)課學習，要求在掌握排列的意義基礎(chǔ)上，能解決簡單的排列問題；2能準確判斷排列問題；3.能準確用排列數(shù)公式表達排列的關(guān)系，并能應(yīng)用排列數(shù)的公式求解與排列有關(guān)的實際問題與數(shù)學問題；知識點01：排列（1）定義：一般地,從個不同元素中取出()個元素,并按照一定的順序排成一列,叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列.（2）相同排列：兩個排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.【即學即練1】（2023·全國·高二課堂例題）從5位同學中選3位排成一列，共有多少種不同的排法？【答案】60種【詳解】從5位同學中選3位排成一列，對應(yīng)于從5個不同元素中取出3個元素的一個排列，所以不同排法的種數(shù)是（種）.知識點02：排列數(shù)與排列數(shù)公式（1）定義：從個不同元素中取出()個元素的所有不同排列的個數(shù),叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù),用符號表示.（2）排列數(shù)公式①（連乘形式）：，，②（階乘形式），，（3）全排列：把個不同的元素全部取出的一個排列,叫做個元素的一個全排列,用符號表示.（4）階乘：正整數(shù)1到的連乘積,叫做的階乘,用符號表示.【即學即練2】（2023上·高二課時練習）將6本不同的書排成一排，有多少種不同的排法？【答案】720【詳解】將6本不同的書排成一排，一共有種不同的排法.【即學即練3】（2021·高二課時練習）證明，并用它來化簡．【答案】證明見詳解；【詳解】證明，即證.【即學即練4】（2023·江蘇·高二專題練習）解方程：.【答案】【詳解】由題設(shè)，則，所以，可得或，又且，則且，所以.題型01排列的定義【典例1】1（2023下·吉林長春·高二長春外國語學校?？茧A段練習）下面問題中，是排列問題的是（

）A．由1，2，3三個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)B．從40人中選5人組成籃球隊C．從100人中選2人抽樣調(diào)查D．從1，2，3，4，5中選2個數(shù)組成集合【典例2】（2023·高二課時練習）給出下列問題：①有10位同學，每兩人互通一次電話，共通了多少次電話？②有10位同學，每兩人互寫一封信，共寫了多少封信？③有10位同學，每兩人互握一次手，共握了多少次手？以上問題中，屬于排列問題的是．（寫出所有滿足要求的問題序號）【典例3】（2023·高二課時練習）下列問題屬于排列問題的是()①從10個人中選2人分別去種樹和掃地；②從10個人中選2人去掃地；③從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊；④從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個不同的數(shù)作冪運算．A．①④

B．①②

C．③④

D．①③④【變式1】（2023·全國·高二專題練習）判斷下列問題是否為排列問題：(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設(shè)來回的票價相同)；(2)選2個小組分別去植樹和種菜；(3)選2個小組去種菜；(4)選10人組成一個學習小組；(5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員；(6)某班40名學生在假期相互打電話．【變式2】（2022·高二課時練習）下列問題是排列問題嗎？(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格（假設(shè)來回的票價相同）；(2)某班40名學生在假期相互寫信；(3)會場有50個座位，要求選出3個座位，有多少種方法？若選出3個座位安排三位客人，又有多少種方法？(4)平面上有5個點，其中任意3個點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？可確定多少條射線？題型02排列的列舉問題【典例1】（2023·高二課時練習）北京、廣州、南京、天津4個城市相互通航，應(yīng)該有種機票．【典例2】（2023上·高二課時練習）寫出從a、b、c、d四個元素中任取兩個不同元素的所有排列．【典例3】（2023·高二課時練習）請列出下列排列：(1)從4個不同元素中任取3個元素的所有排列；(2)從7個不同元素中任取2個元素的所有排列．【變式1】（2023·江蘇·高二專題練習）從0，1，2，3這四個數(shù)字中，每次取出三個不同的數(shù)字排成一個三位數(shù)，能組成多少個不同的三位數(shù)？并寫出這些三位數(shù)．【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習）寫出下列問題的所有排列：(1)從1，2，3，4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個不同的兩位數(shù)？(2)由1，2，3，4四個數(shù)字能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？試全部列出.題型03排列數(shù)的計算、化簡與證明【典例1】（2023下·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實驗中學校考階段練習）可表示為（）A． B．C． D．【典例2】（多選）（2023上·河南·高二校聯(lián)考階段練習）下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【典例3】（2023·江蘇·高二專題練習）求不等式的解集．【變式1】（2023下·河北張家口·高二校聯(lián)考階段練習）可表示為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習）.【變式3】（2023·江蘇·高二專題練習）解不等式：題型04全排列問題【典例1】（2023上·高二課時練習）A，B，C三名同學照相留念，成“一”字形排隊，所有排列的方法種數(shù)為（

）A．3種 B．4種C．6種 D．12種【典例2】（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？计谀?名鄉(xiāng)村振興志愿者分配到科技助農(nóng)，文藝文化，科普宣傳和鄉(xiāng)村環(huán)境治理4個項目進行培訓（每個項目都有志愿者參加），每名志愿者只分配到1個項目，志愿者小王不去文藝文化項目，則不同的分配方案共有（

）A．12種 B．24種 C．18種 D．48種【典例3】（2023·上海閔行·統(tǒng)考一模）今年中秋和國慶共有連續(xù)天小長假，某單位安排甲、乙、丙三名員工值班，每天都需要有人值班．任選兩名員工各值天班，剩下的一名員工值天班，且每名員工值班的日期都是連續(xù)的，則不同的安排方法數(shù)為．【變式1】（2023下·云南曲靖·高二?？计谥校┤舭延⒄Z單詞“word”的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤共有（

）A．24種 B．23種 C．12種 D．11種【變式2】（2023下·黑龍江雞西·高二雞西實驗中學?？计谥校?月12日在雞西實驗中學報告廳開展了以“預(yù)防災(zāi)害風險，守護美好家園”為主題的消防安全知識專題講座，還要到3個學校開講，一個學校講一次，不同的次序種數(shù)為（

）A．3 B． C．9 D．6【變式3】（2023下·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習）8個完全相同的球放入編號1，2，3的三個空盒中，要求放入后3個盒子不空且數(shù)量均不同，則有種放法.題型05元素（位置）有限制條件的排列問題【典例1】（2023上·全國·高三專題練習）4個人排成一排，則甲不站兩邊的站法有（）A．8 B．10C．12 D．24【典例2】（2023上·湖南邵陽·高三統(tǒng)考期中）某班派遣五位同學到甲，乙，丙三個街道進行打掃活動，每個街道至少有一位同學去，至多有兩位同學去，且兩位同學去同一個街道，則不同的派遣方法有種.【典例3】（2023·全國·高三專題練習）某生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案有種．【典例4】（2023上·陜西漢中·高二校聯(lián)考階段練習）從等7人中選5人排成一排.（以下問題的結(jié)果均用數(shù)字作答）(1)若必須在內(nèi)，有多少種排法？(2)若都在內(nèi)，且必須相鄰，與都不相鄰，有多少種排法？【變式1】（2023上·江蘇·高三校聯(lián)考開學考試）甲、乙、丙等六人相約到電影院觀看電影《封神榜》，恰好買到了六張連號的電影票．若甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法種數(shù)為（

）A．360 B．480 C．600 D．720【變式2】（2023上·上海浦東新·高三上海市洋涇中學?？奸_學考試）電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中包含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告，要求首位必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）.【變式3】（2023上·高二單元測試）老師和學生共10人一起照相，其中1名老師、4名女生、5名男生，排成一行，要求男生、女生必須分性別站在一起，并且老師不站在兩端，那么不同站隊方式有種．【變式4】（2023上·高二課時練習）從7名運動員中選4名組成接力隊參加4×100米接力賽．問：甲、乙兩人都不跑中間兩棒的排法有多少種？題型06相鄰問題的排列問題【典例1】（2023上·黑龍江雞西·高三雞西市第一中學校?？计谀?023年杭州亞運會期間，甲?乙?丙3名運動員與4名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰?丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（

）A．720 B．960 C．1120 D．1440【典例2】（2023·山西臨汾·校考模擬預(yù)測）8名同學站成兩排參加文藝演出，要求兩排人數(shù)相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相鄰，則不同的排列方式共有（

）A．1152種 B．1728種 C．2304種 D．2880種【典例3】（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）現(xiàn)有，，，，五人排成一列，其中與相鄰，不排在兩邊，則共有種不同的排法（用具體數(shù)字作答）.【變式1】（2023·廣西·模擬預(yù)測）一排有6個插座，只有三個通電，那么恰有兩個不通電的相鄰的情況有（

）A．10種 B．12種 C．72種 D．144種【變式2】（2023·江蘇·統(tǒng)考三模）某人將斐波那契數(shù)列的前6項“1，1，2，3，5，8”進行排列設(shè)置數(shù)字密碼，其中兩個“1”必須相鄰，則可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有（

）A．120種 B．240種 C．360種 D．480種【變式3】（2023下·重慶南岸·高二?？计谥校┟磕?月初，高三的同學們都要拍畢業(yè)照，留下高中生活的美好見證.某班同學集體合影后有4位同學邀請兩位老師合影留念.若6人站成一排，兩位老師站在中間位置，甲乙兩位同學站在一起，則不同的站位方法有種.（用數(shù)字作答）題型07不相鄰排列問題【典例1】（2023·貴州銅仁·校聯(lián)考模擬預(yù)測）2023年夏天貴州榕江的村超聯(lián)賽火爆全國，吸引了國內(nèi)眾多業(yè)余球隊參賽．現(xiàn)有六個參賽隊伍代表站成一排照相，如果貴陽折耳根隊與柳州螺螄粉隊必須相鄰，同時南昌拌粉隊與溫江烤肉隊不能相鄰，那么不同的站法共有（

）種．A．144 B．72 C．36 D．24【典例2】（2023上·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學考試）已知來自甲、乙、丙三個學校的5名學生參加演講比賽，其中三個學校的學生人數(shù)分別為1、2、2.現(xiàn)要求相同學校的學生的演講順序不相鄰，則不同的演講順序的種數(shù)為（

）A．40 B．36 C．56 D．48【典例3】（多選）（2023下·高二單元測試）甲、乙、丙、丁四名同學和一名老師站成一排合影留念．要求老師必須站在正中間，且甲同學不與老師相鄰，則不同的站法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式1】（多選）（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學校校考期中）5人并排站成一行，如果甲、乙兩個人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)可以是（

）A． B． C．84 D．【變式2】（2023上·全國·高三專題練習），，，，五名學生按任意次序站成一排，其中和不相鄰，則不同的排法種數(shù)為（

）A．72 B．36 C．18 D．64【變式3】（2023下·海南·高二?？计谥校┉傊兄袑W一條校道路邊有7盞路燈，為了節(jié)約用電，學校決定每天晩上點亮其中的3盞路燈，但要求點亮的3盞路燈都不相鄰，不同的點亮方式有（

）種A．5 B．10 C．15 D．20【變式4】（2023·云南曲靖·?？既＃├蠋熍啪毠?jié)目需要4個男生和2個女生，將這六名學生隨機排成一排，2個女生不相鄰的排法為.題型08相鄰（不相鄰）排列綜合問題【典例1】（2023下·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學校?？计谥校╇娪啊堕L津湖》講述了在極寒嚴酷環(huán)境下，中國人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神為長津湖戰(zhàn)役勝利做出重要貢獻的故事，現(xiàn)有4名男生和3名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計算出結(jié)果）(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？(3)甲、乙兩位同學相鄰且都不與丙同學相鄰的坐法有多少種？【典例2】（2023下·山西晉中·高二?？计谥校┯屑?、乙、丙、丁、戊5位同學，求：(1)5位同學站成一排，甲、戊不在兩端有多少種不同的排法？(2)5位同學站成一排，要求甲乙必須相鄰，丙丁不能相鄰，有多少種不同的排法？【典例3】（2023下·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）有六位同學A，B，C，D，E，F(xiàn)站成一排照相，如果：(1)A，B兩人不排在一起，有幾種排法？(2)C，D兩人必須排在一起，有幾種排法？(3)E不在排頭，F(xiàn)不在排尾，有幾種排法？【變式1】（2023上·高二課時練習）4名男生、3名女生站成一排，分別求滿足下列條件的站法種數(shù)．(1)男生和女生均相鄰；(2)男生均相鄰；(3)女生均不相鄰；(4)男生與男生、女生與女生均不相鄰；(5)至少有兩個女生相鄰．【變式2】（2023下·北京東城·高二景山學校?？计谥校┟猩兔ò?、乙）站成一排表演節(jié)目．(1)若這名女生不能相鄰，有多少種不同的排法？(2)甲乙必須相鄰，有多少種不同的排法？(3)若甲不能站在左端，乙不能站在右端，有多少種不同的排法？【變式3】（2023下·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）有4名男生，3名女生，共7個人從左至右站成一排，在下列情況下，各有多少種不同的站法.(1)男生?女生各站在一起；(2)男生必須站在一起；(3)男生互不相鄰，且女生也互不相鄰.(4)最左端只能站某生甲或乙，最右端不能站某生甲，則有多少種不同的站法？題型09數(shù)字排列問題【典例1】（2023下·上海普陀·高二?？计谀┯脭?shù)字、、、、組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中能被整除的數(shù)共有個．（用數(shù)字作答）【典例2】（2023上·高二課時練習）用可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？其中能被5整除的五位數(shù)有多少個？【典例3】（2023下·廣東肇慶·高二統(tǒng)考期末）用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)．(1)這個五位數(shù)為奇數(shù)，則不同的五位數(shù)有多少個？（結(jié)果用數(shù)值表示）(2)要求3和4相鄰，則不同的五位數(shù)有多少個？（結(jié)果用數(shù)值表示）【變式1】（2023上·高二課時練習）用1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)共有多少個？【變式2】（2023上·高二課時練習）由數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有多少個？題型10排列的綜合應(yīng)用【典例1】（2023·全國·模擬預(yù)測）某中學進行數(shù)學競賽選拔考試，，，，，共5名同學參加比賽，決出第1名到第5名的名次.和去向教練詢問比賽結(jié)果，教練對說：“你和都沒有得到冠軍．”對說：“你不是最后一名.”從這兩個回答分析，5人的名次排列方式共有（

）A．54種 B．72種 C．96種 D．120種【典例2】（2023上·上海·高二?？茧A段練習）分別求下列情形的方法數(shù)：（用數(shù)字作答）(1)從4名男生4名女生中選出2男2女組成一個隊伍；(2)8個人排成一排，其中甲乙二人必須站在一起；(3)8個人排成一排，甲乙丙三人互相不能相鄰．【典例3】（2023上·高二課時練習）3名男生?4名女生排成一行.在下列要求下，分別求不同排列方法的種數(shù)：(1)甲不在最左邊，乙不在最右邊；(2)男生必須排在一起；(3)男生和女生相間排列；(4)在甲?乙兩人中間必須有3人.【變式1】（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）五名同學彝族新年期間去邛海濕地公園采風觀景，在觀鳥島濕地門口五名同學排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（

）A．12種 B．24種 C．48種 D．96種【變式2】（2023上·遼寧朝陽·高二建平縣實驗中學?？计谀?，1，2，3，4這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則：(1)可以組成多少個偶數(shù)？(2)可以組成多少個比13123大的數(shù)？【變式3】（2023上·高二課時練習）（1）配制某種染色劑，需要加入種有機染料、種無機染料和種添加劑，其中有機染料的添加順序不可以相鄰．為研究所有不同的添加順序?qū)θ旧Ч挠绊?，總共要試驗多少次？?）某展覽館計劃展出幅不同的畫，其中水彩畫幅、油畫幅、國畫幅．現(xiàn)排成一排陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端．問：有多少種不同的陳列方式？A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023下·北京通州·高二統(tǒng)考期中）計算：（

）A．30 B．60 C．90 D．1202．（2023下·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高二校考階段練習）等于（）A．107 B．323C．320 D．3483．（2023下·廣東江門·高二?？计谥校┯脭?shù)字1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（

）A．120 B．86 C．72 D．604．（2023·四川樂山·統(tǒng)考一模）“數(shù)獨九宮格”原創(chuàng)者是18世紀的瑞士數(shù)學家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡單，將1到9這九個自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個空格里，每個空格填一個數(shù)，且9個空格的數(shù)字各不相同，若中間空格已填數(shù)字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從大到小排列的，則不同的填法種數(shù)為（

）4A．70 B．120 C．140 D．1445．（2023·全國·模擬預(yù)測）甲、乙，丙、丁，戊5名同學進行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問成績，裁判說：“很遺憾，你倆都沒有得到冠軍．但都不是最差的．”從回答分析，5人的名次排列的不同情況可能有（

）A．27種 B．72種 C．36種 D．54種6．（2023·河南開封·統(tǒng)考一模）現(xiàn)要從6名學生中選4名代表班級參加學校的接力賽，已知甲確定參加比賽且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，則合適的選擇方法種數(shù)為（

）A．84 B．108 C．132 D．1447．（2023上·甘肅白銀·高三甘肅省靖遠縣第一中學校聯(lián)考階段練習）甲?乙?丙?丁等7人站成一排，其中甲?乙相鄰，丁與甲?乙?丙都不相鄰的站法共有（

）A．576種 B．448種 C．288種 D．224種8．（2023下·廣西防城港·高二防城港市高級中學校考期中）用數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若將組成的不重復(fù)的四位數(shù)按從小到大的順序排成一個數(shù)列則第85個數(shù)字為（

）A．2301 B．2304 C．2305 D．2310二、多選題9．（2023上·高二課時練習）(多選)用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的不同的所有四位數(shù)．下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．－10．（2023下·江西·高一江西師大附中?？茧A段練習）A、B、C、D、E五個人并排站在一起，則下列說法正確的有（

）A．若A、B兩人站在一起有48種方法B．若A、B不相鄰共有12種方法C．若A在B左邊有60種排法D．若A不站在最左邊，B不站最右邊，有72種方法三、填空題11．（2023上·上海長寧·高三上海市延安中學校考期中）從甲?乙等5人中任選3人參加三個不同項目的比賽，要求每個項目都有人參加，則甲?乙中至少有1人入選的不同參賽方案共有種.12．（2023上·廣東東莞·高三?？茧A段練習）某中學為慶祝建校130周年，高二年級派出甲?乙?丙?丁?戊5名老師參加“130周年辦學成果展”活動，活動結(jié)束后5名老師排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則排法共有種(用數(shù)字作答)．四、解答題13．（2023·全國·高二專題練習）解不等式：；14．（2023上·陜西漢中·高二西鄉(xiāng)縣第一中學?？茧A段練習）電影《志愿軍雄兵出擊》講述了在極其簡陋的裝備和極寒嚴酷環(huán)境下，中國人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神取得入朝作戰(zhàn)第一階段戰(zhàn)役的勝利，著名的“松骨峰戰(zhàn)斗”在該電影中就有場景.現(xiàn)有3名男生和4名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計算出結(jié)果）(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？(3)甲、乙兩位同學相鄰且都不與丙同學相鄰的坐法有多少種？B能力提升1．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？家荒＃?shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學家證明．四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)．設(shè)，其中a，b，c，d均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組的個數(shù)是．2．（2023下·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？茧A段練習）數(shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學家證明.四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù).設(shè)，其中均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組的個數(shù)是.3．（2023上·山東德州·高二校考階段練習）名男生和名女生站成一排．(1)甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？(2)甲、乙兩人必須站在兩端的站法有多少種？(3)男、女分別排在一起的站法有多少種？(4)男、女相間的站法有多少種？(5)甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？4．（2023·全國·高三專題練習）如圖，用四種不同的顏色給三棱柱的六個頂點涂色，要求每個點涂一種顏色．

(1)若每個底面的頂點涂色所使用的顏色不相同，則不同的涂色方法共有多少種？(2)若每條棱的兩個端點涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有多少種？5．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高二校考期中）有3名男生與4名女生，在下列不同條件下，分別求排法種數(shù).(1)全體排成一排，女生必須站在一起；(2)全體排成一排，男生互不相鄰；(3)全體排成一行，其中甲，乙，丙三人從左至右的順序不變第02講6.2.1排列+6.2.2排列數(shù)課程標準學習目標①了解排列的意義。②掌握常見的排列處理方法。③會用排列的相關(guān)方法解決簡單的排列問題。④理解與掌握排列數(shù)公式⑤熟練應(yīng)用排列數(shù)公式及性質(zhì)求解與排列數(shù)有關(guān)的量，并能證明恒等式，求方程的解及不等式的解。⑥能解決一些簡單的實際問題.熟練應(yīng)用公式表達排列的相關(guān)關(guān)系，及求解常見的排列問題1.通過本節(jié)課學習，要求在掌握排列的意義基礎(chǔ)上，能解決簡單的排列問題；2能準確判斷排列問題；3.能準確用排列數(shù)公式表達排列的關(guān)系，并能應(yīng)用排列數(shù)的公式求解與排列有關(guān)的實際問題與數(shù)學問題；知識點01：排列（1）定義：一般地,從個不同元素中取出()個元素,并按照一定的順序排成一列,叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列.（2）相同排列：兩個排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.【即學即練1】（2023·全國·高二課堂例題）從5位同學中選3位排成一列，共有多少種不同的排法？【答案】60種【詳解】從5位同學中選3位排成一列，對應(yīng)于從5個不同元素中取出3個元素的一個排列，所以不同排法的種數(shù)是（種）.知識點02：排列數(shù)與排列數(shù)公式（1）定義：從個不同元素中取出()個元素的所有不同排列的個數(shù),叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù),用符號表示.（2）排列數(shù)公式①（連乘形式）：，，②（階乘形式），，（3）全排列：把個不同的元素全部取出的一個排列,叫做個元素的一個全排列,用符號表示.（4）階乘：正整數(shù)1到的連乘積,叫做的階乘,用符號表示.【即學即練2】（2023上·高二課時練習）將6本不同的書排成一排，有多少種不同的排法？【答案】720【詳解】將6本不同的書排成一排，一共有種不同的排法.【即學即練3】（2021·高二課時練習）證明，并用它來化簡．【答案】證明見詳解；【詳解】證明，即證.【即學即練4】（2023·江蘇·高二專題練習）解方程：.【答案】【詳解】由題設(shè)，則，所以，可得或，又且，則且，所以.題型01排列的定義【典例1】1（2023下·吉林長春·高二長春外國語學校?？茧A段練習）下面問題中，是排列問題的是（

）A．由1，2，3三個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)B．從40人中選5人組成籃球隊C．從100人中選2人抽樣調(diào)查D．從1，2，3，4，5中選2個數(shù)組成集合【答案】A【詳解】根據(jù)排列及排列數(shù)的定義，可得：對于A中，由1，2，3三個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，符合排列的定義，是排列問題；對于B中，從40人中選5人組成籃球隊，與順序無關(guān)的問題，不是排列問題；對于C中，從100人中選2人抽樣調(diào)查，與順序無關(guān)的問題，不是排列問題；對于D中，從1，2，3，4，5中選2個數(shù)組成集合，與順序無關(guān)的問題，不是排列問題.故選：A.【典例2】（2023·高二課時練習）給出下列問題：①有10位同學，每兩人互通一次電話，共通了多少次電話？②有10位同學，每兩人互寫一封信，共寫了多少封信？③有10位同學，每兩人互握一次手，共握了多少次手？以上問題中，屬于排列問題的是．（寫出所有滿足要求的問題序號）【答案】②【詳解】對于①，假設(shè)10位同學中含甲乙，甲與乙通一次電話，也就是乙與甲通一次電話，沒有順序區(qū)別，故不是排列問題；對于②，假設(shè)10位同學中含甲乙，甲給乙寫一封信，跟乙給甲寫一封信，是不一樣的，是有順序區(qū)別的，故屬于排列問題；對于③，假設(shè)10位同學中含甲乙，甲與乙握一次手，也就是乙與甲握一次手，沒有順序區(qū)別，故不是排列問題，故答案為：②【典例3】（2023·高二課時練習）下列問題屬于排列問題的是()①從10個人中選2人分別去種樹和掃地；②從10個人中選2人去掃地；③從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊；④從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個不同的數(shù)作冪運算．A．①④

B．①②

C．③④

D．①③④【答案】A【詳解】①從10個人中選2人分別去種樹和掃地，與順序有關(guān)，故是排列；②從10個人中選2人去掃地，與順序無關(guān)，故不是排列；③從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊，與順序無關(guān)，故不是排列；④從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個不同的數(shù)作冪運算，與順序有關(guān)，故是排列，故選：A.【變式1】（2023·全國·高二專題練習）判斷下列問題是否為排列問題：(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設(shè)來回的票價相同)；(2)選2個小組分別去植樹和種菜；(3)選2個小組去種菜；(4)選10人組成一個學習小組；(5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員；(6)某班40名學生在假期相互打電話．【答案】(1)不是(2)是(3)不是(4)不是(5)是(6)是【詳解】(1)票價只有三種，雖然機票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題．(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．(3)不存在順序問題，不屬于排列問題．(4)不存在順序問題，不屬于排列問題．(5)每個人的職務(wù)不同，例如甲當班長或當學習委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．(6)A給B打電話與B給A打電話是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題．所以在上述各題中(2)(5)(6)是排列問題，(1)(3)(4)不是排列問題．【變式2】（2022·高二課時練習）下列問題是排列問題嗎？(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格（假設(shè)來回的票價相同）；(2)某班40名學生在假期相互寫信；(3)會場有50個座位，要求選出3個座位，有多少種方法？若選出3個座位安排三位客人，又有多少種方法？(4)平面上有5個點，其中任意3個點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？可確定多少條射線？【答案】(1)不是排列問題.(2)是排列問題.(3)選3個座位不是排列問題；選3個座位安排三位客人是排列問題.(4)確定直線不是排列問題，確定射線是排列問題【詳解】（1）來回的票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題.（2）A給B寫信與B給A寫信是不同的兩件事，所以存在著順序，屬于排列問題.（3）任選3個座位，與順序無關(guān)，不是排列問題；選3個座位安排三位客人，與順序有關(guān)，故是排列問題.（4）直線與兩點的順序無關(guān)，故確定直線不是排列問題，射線與兩點的順序有關(guān)，故確定射線是排列問題.題型02排列的列舉問題【典例1】（2023·高二課時練習）北京、廣州、南京、天津4個城市相互通航，應(yīng)該有種機票．【答案】12【詳解】列出每一個起點和終點情況，如圖所示．故符合題意的機票種類有：北京→廣州，北京→南京，北京→天津，廣州→南京、廣州→天津、廣州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→廣州，天津→北京，天津→廣州，天津→南京，共12種,故答案為：12【典例2】（2023上·高二課時練習）寫出從a、b、c、d四個元素中任取兩個不同元素的所有排列．【答案】所有的排列是ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc．【詳解】先畫出下面的樹形圖：

于是可知，所有的排列是ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc．【典例3】（2023·高二課時練習）請列出下列排列：(1)從4個不同元素中任取3個元素的所有排列；(2)從7個不同元素中任取2個元素的所有排列．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【詳解】（1）根據(jù)題意，從4個不同元素中任取3個元素的所有排列共有如下種：.（2）從7個不同元素中任取2個元素的所有排列共有如下種：.【變式1】（2023·江蘇·高二專題練習）從0，1，2，3這四個數(shù)字中，每次取出三個不同的數(shù)字排成一個三位數(shù)，能組成多少個不同的三位數(shù)？并寫出這些三位數(shù)．【答案】18個，答案見解析.【詳解】畫出樹形圖，如圖：由樹形圖知，符合條件的三位數(shù)共有18個，它們是102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321.【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習）寫出下列問題的所有排列：(1)從1，2，3，4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個不同的兩位數(shù)？(2)由1，2，3，4四個數(shù)字能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？試全部列出.【答案】(1)12；(2)24個，答案見解析.【詳解】（1）所有兩位數(shù)是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12個不同的兩位數(shù).（2）畫出樹狀圖，如圖：由樹狀圖知，所有的四位數(shù)為：1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).題型03排列數(shù)的計算、化簡與證明【典例1】（2023下·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實驗中學?？茧A段練習）可表示為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】，故選：B.【典例2】（多選）（2023上·河南·高二校聯(lián)考階段練習）下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】，故A正確；由上述可知，因此，故B錯誤；，故C正確；由上述可知，故D錯誤.故選:AC.【典例3】（2023·江蘇·高二專題練習）求不等式的解集．【答案】【詳解】由題設(shè)，則，所以，又且，則且，所以且，則解集為.【變式1】（2023下·河北張家口·高二校聯(lián)考階段練習）可表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】中總共有個數(shù)連乘，故.故選：A【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習）.【答案】120【詳解】由.故答案為：【變式3】（2023·江蘇·高二專題練習）解不等式：【答案】6【詳解】由原不等式得且，所以，即，解得且，所以.題型04全排列問題【典例1】（2023上·高二課時練習）A，B，C三名同學照相留念，成“一”字形排隊，所有排列的方法種數(shù)為（

）A．3種 B．4種C．6種 D．12種【答案】C【詳解】由題意所有排列的方法種數(shù)為，故答案為：C【典例2】（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？计谀?名鄉(xiāng)村振興志愿者分配到科技助農(nóng)，文藝文化，科普宣傳和鄉(xiāng)村環(huán)境治理4個項目進行培訓（每個項目都有志愿者參加），每名志愿者只分配到1個項目，志愿者小王不去文藝文化項目，則不同的分配方案共有（

）A．12種 B．24種 C．18種 D．48種【答案】C【詳解】由題意，4名志愿者任意分配共有種分法，若志愿者小王去文藝文化項目，其它3名任意分配有種分法，所以志愿者小王不去文藝文化項目的分配方法有種.故選：C【典例3】（2023·上海閔行·統(tǒng)考一模）今年中秋和國慶共有連續(xù)天小長假，某單位安排甲、乙、丙三名員工值班，每天都需要有人值班．任選兩名員工各值天班，剩下的一名員工值天班，且每名員工值班的日期都是連續(xù)的，則不同的安排方法數(shù)為．【答案】【詳解】三人值班的天數(shù)分別為、、，先確定值班天的人，有種選擇，再將三個人全排即可，所以，不同的排法種數(shù)為種.故答案為：.【變式1】（2023下·云南曲靖·高二?？计谥校┤舭延⒄Z單詞“word”的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤共有（

）A．24種 B．23種 C．12種 D．11種【答案】B【詳解】“word”一共有個不同的字母，這個字母全排列有種方法，其中正確的有種，所以錯誤的有種.故選：B【變式2】（2023下·黑龍江雞西·高二雞西實驗中學校考期中）5月12日在雞西實驗中學報告廳開展了以“預(yù)防災(zāi)害風險，守護美好家園”為主題的消防安全知識專題講座，還要到3個學校開講，一個學校講一次，不同的次序種數(shù)為（

）A．3 B． C．9 D．6【答案】D【詳解】要到3個學校開講，一個學校講一次，不同的次序種數(shù)為，故選：D.【變式3】（2023下·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習）8個完全相同的球放入編號1，2，3的三個空盒中，要求放入后3個盒子不空且數(shù)量均不同，則有種放法.【答案】12【詳解】共兩類分組方法：將8個完全相同的小球分為1，2，5三堆或1，3，4三堆.每類都將三堆不同個數(shù)的球放入編號1，2，3的三個空盒中，有種方法，故共有種方法.故答案為：12.題型05元素（位置）有限制條件的排列問題【典例1】（2023上·全國·高三專題練習）4個人排成一排，則甲不站兩邊的站法有（）A．8 B．10C．12 D．24【答案】C【詳解】甲不站兩邊的有種方法，故選：C【典例2】（2023上·湖南邵陽·高三統(tǒng)考期中）某班派遣五位同學到甲，乙，丙三個街道進行打掃活動，每個街道至少有一位同學去，至多有兩位同學去，且兩位同學去同一個街道，則不同的派遣方法有種.【答案】18【詳解】由題意得，學生的分配人數(shù)分別為2，2，1，由于兩位同學去同一個街道，故先從3個街道中選擇1個安排，有種，再將剩余3人分別兩組，和兩個街道進行全排列，有故不同的派遣方法有種.故答案為：18【典例3】（2023·全國·高三專題練習）某生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案有種．【答案】36【詳解】由于甲、乙、丙比較特殊，因此可以將他們先安排，以他們照看第一、四道工序分類討論．①當甲照看第一道工序、丙照看第四道工序時，剩下4個人選擇2個照看中間兩道工序，于是有（種）；②當乙照看第一道工序、甲照看第四道工序時，剩下4個人選擇2個照看中間兩道工序，于是有（種）；③當乙照看第一道工序、丙照看第四道工序時，剩下4個人選擇2個照看中間兩道工序，于是有（種）．綜上所述，不同的安排方案一共有（種）．故答案為：36.【典例4】（2023上·陜西漢中·高二校聯(lián)考階段練習）從等7人中選5人排成一排.（以下問題的結(jié)果均用數(shù)字作答）(1)若必須在內(nèi)，有多少種排法？(2)若都在內(nèi)，且必須相鄰，與都不相鄰，有多少種排法？【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：根據(jù)題意，若必須在內(nèi)，在其余6人中選出4人，再與全排列，共有種排法.（2）解：根據(jù)題意，先在其他4人中選出2人，有種選法，將看成一個整體，與選出2人全排列，有種選法，排好后，有2個空位可用，在其中選出1個，安排，有種情況，所以，共有種不同的排法.【變式1】（2023上·江蘇·高三校聯(lián)考開學考試）甲、乙、丙等六人相約到電影院觀看電影《封神榜》，恰好買到了六張連號的電影票．若甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法種數(shù)為（

）A．360 B．480 C．600 D．720【答案】B【詳解】由題意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有種不同的排法，其中甲、乙、丙三人的全排列有種不同的排法，其中甲、乙在丙的同側(cè)有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共4種排法，所以甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法種數(shù)為種.故選：B.【變式2】（2023上·上海浦東新·高三上海市洋涇中學校考開學考試）電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中包含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告，要求首位必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）.【答案】240【詳解】因為首位必須播放公益廣告，所以共有種，故答案為：.【變式3】（2023上·高二單元測試）老師和學生共10人一起照相，其中1名老師、4名女生、5名男生，排成一行，要求男生、女生必須分性別站在一起，并且老師不站在兩端，那么不同站隊方式有種．【答案】【詳解】要求男生、女生必須分性別站在一起，可以考慮采用捆綁法，把男生和女生分別看成一個大元素進行處理．男生站在一起看成一個大元素，女生站在一起看成一個大元素，老師不站在兩端，共有種排列．但4名女生、5名男生本身還有排列順序要求．所以共有種站隊方式．故答案為：【變式4】（2023上·高二課時練習）從7名運動員中選4名組成接力隊參加4×100米接力賽．問：甲、乙兩人都不跑中間兩棒的排法有多少種？【答案】400【詳解】第一步中間位置除了甲乙還有5人，5個選2個全排列跑中間兩棒，有種；第二步確定首尾的人選，還剩下5個人，選2個全排列，有種．兩步相乘，共有種．題型06相鄰問題的排列問題【典例1】（2023上·黑龍江雞西·高三雞西市第一中學校?？计谀?023年杭州亞運會期間，甲?乙?丙3名運動員與4名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰?丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（

）A．720 B．960 C．1120 D．1440【答案】B【詳解】把甲乙捆綁成一個元素，則題設(shè)中的7個元素變?yōu)?個元素，先排除去丙的5個元素，共有種排法，再在中間的4個空隙中，插入丙，共有種插法，所以甲與乙相鄰?丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有種.故選：B.【典例2】（2023·山西臨汾·?？寄M預(yù)測）8名同學站成兩排參加文藝演出，要求兩排人數(shù)相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相鄰，則不同的排列方式共有（

）A．1152種 B．1728種 C．2304種 D．2880種【答案】C【詳解】由題意可知：D站在前排，A站在后排，若E和F站在前排，則不同的排列方式共有；若E和F站在后排，則不同的排列方式共有；所以不同的排列方式共有種.故選：C.【典例3】（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）現(xiàn)有，，，，五人排成一列，其中與相鄰，不排在兩邊，則共有種不同的排法（用具體數(shù)字作答）.【答案】24【詳解】法一：將捆綁，則除以外其他四人的排序有種，又不排在兩邊，所以可選的位置有兩種，所以共種排法；法二：將捆綁，若的位置任意，則五人的排序有種，其中排在兩邊的情況有種，所以不排在兩邊的情況有種；故答案為：.【變式1】（2023·廣西·模擬預(yù)測）一排有6個插座，只有三個通電，那么恰有兩個不通電的相鄰的情況有（

）A．10種 B．12種 C．72種 D．144種【答案】B【詳解】三個通電的放好，有四個空，兩個相鄰的不通電的捆綁在一起算一個元素，另一個不通電算一個元素，插入兩個空，有順序，所以種.故選：B【變式2】（2023·江蘇·統(tǒng)考三模）某人將斐波那契數(shù)列的前6項“1，1，2，3，5，8”進行排列設(shè)置數(shù)字密碼，其中兩個“1”必須相鄰，則可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有（

）A．120種 B．240種 C．360種 D．480種【答案】A【詳解】將兩個1捆綁在一起，則可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有種.故選：A【變式3】（2023下·重慶南岸·高二?？计谥校┟磕?月初，高三的同學們都要拍畢業(yè)照，留下高中生活的美好見證.某班同學集體合影后有4位同學邀請兩位老師合影留念.若6人站成一排，兩位老師站在中間位置，甲乙兩位同學站在一起，則不同的站位方法有種.（用數(shù)字作答）【答案】16【詳解】兩位老師站在中間位置，有種方法，甲乙兩位同學站在兩位老師的左側(cè)或右側(cè)，另兩位同學在另一側(cè)，有種方法，則不同的站位方法有種.故答案為：16.題型07不相鄰排列問題【典例1】（2023·貴州銅仁·校聯(lián)考模擬預(yù)測）2023年夏天貴州榕江的村超聯(lián)賽火爆全國，吸引了國內(nèi)眾多業(yè)余球隊參賽．現(xiàn)有六個參賽隊伍代表站成一排照相，如果貴陽折耳根隊與柳州螺螄粉隊必須相鄰，同時南昌拌粉隊與溫江烤肉隊不能相鄰，那么不同的站法共有（

）種．A．144 B．72 C．36 D．24【答案】A【詳解】先將不相鄰的兩隊排除，將貴陽折耳根隊與柳州螺螄粉隊看成一個整體，與余下兩隊先排，有種方法，再將不相鄰的兩隊插入他們的空隙中，有種方法，最后落實貴陽折耳根隊與柳州螺螄粉隊的具體排法有種方法，故不同的站法有種.故選：A.【典例2】（2023上·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學考試）已知來自甲、乙、丙三個學校的5名學生參加演講比賽，其中三個學校的學生人數(shù)分別為1、2、2.現(xiàn)要求相同學校的學生的演講順序不相鄰，則不同的演講順序的種數(shù)為（

）A．40 B．36 C．56 D．48【答案】D【詳解】設(shè)這5個人分別為：ABCDE，則要求B與C和D與E的演講順序都不能相鄰.第一類：A在BC中間，此時再把D與E插空到這3人中間，此時的不同的演講順序有第二類：A不在BC中間，此時先考慮B與C和D與E，分別將他們看成兩個人的整體，再將他們的順序應(yīng)相間排列，最后考慮A，此時的不同的演講順序有綜上可得：總共有48種不同的演講順序，故選：D.【典例3】（多選）（2023下·高二單元測試）甲、乙、丙、丁四名同學和一名老師站成一排合影留念．要求老師必須站在正中間，且甲同學不與老師相鄰，則不同的站法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】BCD【詳解】（方法1：間接法）：四名同學全排再去掉甲與老師相鄰的情況為．（方法2：直接法）：特殊元素優(yōu)先安排，先讓老師站在正中間，甲同學從兩端中任選一個位置，有種站法，其余三名學生任意排列有種排法，則不同站法共有N＝N1×N2＝2×6＝12（種）．或者，四名同學全排時，甲同學與老師相鄰與甲同學與老師不相鄰各占，故有．故選:BCD．【變式1】（多選）（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學校校考期中）5人并排站成一行，如果甲、乙兩個人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)可以是（

）A． B． C．84 D．【答案】AB【詳解】先除去甲、乙兩人，將剩下的3人全排，共種不同的排法，再將甲、乙兩人從產(chǎn)生的4個空中選2個插入共種不同的排法，所以5人并排站成一行，如果甲、乙兩個人不相鄰，不同的排法種數(shù)是；5人并排站成一行有種不同的排法，若甲、乙兩個人相鄰，利用捆綁法，有種不同的排法，所以5人并排站成一行，如果甲、乙兩個人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是.故選：AB．【變式2】（2023上·全國·高三專題練習），，，，五名學生按任意次序站成一排，其中和不相鄰，則不同的排法種數(shù)為（

）A．72 B．36 C．18 D．64【答案】A【詳解】解：先將其余三人全排列，共有種情況，再將和插空，共有種情況，所以共有種情況，故選：A.【變式3】（2023下·海南·高二?？计谥校┉傊兄袑W一條校道路邊有7盞路燈，為了節(jié)約用電，學校決定每天晩上點亮其中的3盞路燈，但要求點亮的3盞路燈都不相鄰，不同的點亮方式有（

）種A．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【詳解】因為不點亮的4盞燈形成5個空，將點亮的3盞燈插到這5個空中即可，所以不同的點亮方式有種.故選：B.【變式4】（2023·云南曲靖·?？既＃├蠋熍啪毠?jié)目需要4個男生和2個女生，將這六名學生隨機排成一排，2個女生不相鄰的排法為.【答案】【詳解】若2個女生不相鄰，先排4個男生有種排法，4個男生產(chǎn)生5個空，將2個女生插人5個空中有種排法，故有種排法，故答案為：題型08相鄰（不相鄰）排列綜合問題【典例1】（2023下·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學校?？计谥校╇娪啊堕L津湖》講述了在極寒嚴酷環(huán)境下，中國人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神為長津湖戰(zhàn)役勝利做出重要貢獻的故事，現(xiàn)有4名男生和3名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計算出結(jié)果）(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？(3)甲、乙兩位同學相鄰且都不與丙同學相鄰的坐法有多少種？【答案】(1)720種(2)1440種(3)960種．【詳解】（1）根據(jù)題意，先將3個女生排在一起，有種排法，將排好的女生視為一個整體，與4個男生進行排列，共有種排法，由分步乘法計數(shù)原理，共有種排法；（2）根據(jù)題意，先將4個男生排好，有種排法，再在這4個男生之間及兩頭的5個空位中插入3個女生有種方法，故符合條件的排法共有種；（3）根據(jù)題意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有種排法，由于甲、乙相鄰，故再把甲、乙排好，有種排法，最后把排好的甲、乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人的5個空擋中有種排法，故符合條件的排法共有種．【典例2】（2023下·山西晉中·高二校考期中）有甲、乙、丙、丁、戊5位同學，求：(1)5位同學站成一排，甲、戊不在兩端有多少種不同的排法？(2)5位同學站成一排，要求甲乙必須相鄰，丙丁不能相鄰，有多少種不同的排法？【答案】(1)36；(2)24；【詳解】（1）首先排兩端，從甲、戊以外的3人中選出2人站兩端，有種排法；中間3個位置全排列，有種排法，所以共有種排法．（2）首先將甲乙兩人捆綁，與戊一起排，有種排法，此時，共有3個空，丙丁兩人插空排列，共有種排法，所以共有種排法．【典例3】（2023下·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）有六位同學A，B，C，D，E，F(xiàn)站成一排照相，如果：(1)A，B兩人不排在一起，有幾種排法？(2)C，D兩人必須排在一起，有幾種排法？(3)E不在排頭，F(xiàn)不在排尾，有幾種排法？【答案】(1)種(2)種(3)種【詳解】（1）先排除A，B外的四個人，再將A，B插入到其余4人所形成的5個空中，因此，排法種數(shù)為；（2）將C，D兩人捆綁在一起看作一個復(fù)合元素和其他4人去安排，因此，排法種數(shù)為；（3）E不在排頭，F(xiàn)不在排尾，分以下兩種情況討論：①若E在排尾，則剩下的5人全排列，故有種排法；②若E不在排尾，則E有4個位置可選，B有4個位置可選，將剩下的4人全排列，安排在其它4個位置即可，此時，共有種排法．綜上所述，共有種不同的排法種數(shù)．【變式1】（2023上·高二課時練習）4名男生、3名女生站成一排，分別求滿足下列條件的站法種數(shù)．(1)男生和女生均相鄰；(2)男生均相鄰；(3)女生均不相鄰；(4)男生與男生、女生與女生均不相鄰；(5)至少有兩個女生相鄰．【答案】(1)288(2)576(3)1440(4)144(5)3600【詳解】（1）因為男生和女生均相鄰，將男生和女生分別看成一個整體，再進行全排，所以共有站法種數(shù)為種；（2）因為男生均相鄰，將男生看成一個整體，再和其余女生進行全排，所以共有站法種數(shù)為種；（3）因為女生均不相鄰，先將男生任意排列，再將女生插空，所以共有站法種數(shù)為種；（4）因為男生與男生、女生與女生均不相鄰，將男女生相間排列，所以共有站法種數(shù)為種；（5）當3個女生全相鄰，共有站法種數(shù)為種，恰有2個女生相鄰，共有站法種數(shù)為種，所以至少有兩個女生相鄰，共有站法種數(shù)為種.【變式2】（2023下·北京東城·高二景山學校?？计谥校┟猩兔ò?、乙）站成一排表演節(jié)目．(1)若這名女生不能相鄰，有多少種不同的排法？(2)甲乙必須相鄰，有多少種不同的排法？(3)若甲不能站在左端，乙不能站在右端，有多少種不同的排法？【答案】(1)2880(2)10080(3)30960【詳解】（1）要使這名女生不相鄰，可以先排名男生，再將名女生插入名男生產(chǎn)生的個空中，所以這名女生不相鄰的排法有種．（2）利用捆綁法，把甲和乙捆在一起，看作一個人，則不同的排法有種；（3）甲站在右端，其余人全排列，有種排法．甲不站在右端有種排法，乙有種排法，其余人全排，有種排法．故一共有種排法．【變式3】（2023下·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）有4名男生，3名女生，共7個人從左至右站成一排，在下列情況下，各有多少種不同的站法.(1)男生?女生各站在一起；(2)男生必須站在一起；(3)男生互不相鄰，且女生也互不相鄰.(4)最左端只能站某生甲或乙，最右端不能站某生甲，則有多少種不同的站法？【答案】(1)288(2)576(3)144(4)1320【詳解】（1）男生必須站在一起，即把4名男生全排列，有種排法，女生必須站在一起，即把3名女生全排列，有種排法，全體男生、女生各看作一個元素全排列有種排法，由分步乘法計數(shù)原理知共有（種）排法.（2）把所有男生看作一個元素，與3名女生組成4個元素全排列，故有（種）不同的排法.（3）先排男生有種排法，然后讓女生插空，有種排法，所以共有（種）不同的排法.（4）若最左端站某生甲，余下6名同學全排列共有種排法；若最左端站某生乙，則應(yīng)先排某生甲，有種排法，剩余5名同學全排列共有種排法，由分步計數(shù)原理知共有種排法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，共有種.題型09數(shù)字排列問題【典例1】（2023下·上海普陀·高二校考期末）用數(shù)字、、、、組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中能被整除的數(shù)共有個．（用數(shù)字作答）【答案】【詳解】由題意可知，個位數(shù)只能排或，其他數(shù)位沒有限制，因此，能被整除的五位數(shù)的個數(shù)為個.故答案為：.【典例2】（2023上·高二課時練習）用可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？其中能被5整除的五位數(shù)有多少個？【答案】可以組成個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)；能被5整除的五位數(shù)有個.【詳解】用可以組成個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).若五位數(shù)的個位為，這樣的五位數(shù)有個.若五位數(shù)的個位為，這樣的五位數(shù)有個.所以其中能被5整除的五位數(shù)有個.【典例3】（2023下·廣東肇慶·高二統(tǒng)考期末）用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)．(1)這個五位數(shù)為奇數(shù)，則不同的五位數(shù)有多少個？（結(jié)果用數(shù)值表示）(2)要求3和4相鄰，則不同的五位數(shù)有多少個？（結(jié)果用數(shù)值表示）【答案】(1)72(2)48【詳解】（1）從1，3，5中選一個填入個位，有種，剩余四個位置全排列，有種，故共有個．（2）3和4相鄰，可以在第1，2位或第2，3位或第3，4位或第4，5位這4個位置中選1個，然后3和4內(nèi)部全排列，有種，其他位置進行全排列，有種，故共有個．【變式1】（2023上·高二課時練習）用1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)共有多少個？【答案】360【詳解】偶數(shù)的個位數(shù)只能是2、4、6，有種排法，其他位上有種排法，由分步乘法計數(shù)原理，知共有四位偶數(shù)(個).【變式2】（2023上·高二課時練習）由數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有多少個？【答案】36【詳解】要組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，可以分成以下步驟來完成：第一步，排個位數(shù)，因為要求是偶數(shù)，所以只能排2或4，排法有種；第二步，排萬位數(shù)，小于50000的五位數(shù)，萬位數(shù)只能是1，3或排個位數(shù)時余下的2，4中的一個，排法有種；在首末兩位數(shù)排定后，第三步排中間3個數(shù)字時，排法有種．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所求偶數(shù)共有（個）．題型10排列的綜合應(yīng)用【典例1】（2023·全國·模擬預(yù)測）某中學進行數(shù)學競賽選拔考試，，，，，共5名同學參加比賽，決出第1名到第5名的名次.和去向教練詢問比賽結(jié)果，教練對說：“你和都沒有得到冠軍．”對說：“你不是最后一名.”從這兩個回答分析，5人的名次排列方式共有（

）A．54種 B．72種 C．96種 D．120種【答案】A【詳解】根據(jù)題意可知和都沒有得到冠軍，且不是最后一名，分兩種情況：①是最后一名，則可以為第二、三、四名，即有3種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況；②不是最后一名，，需要排在第二、三、四名，有種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況，則5人的名次排列方式共有種.故選A．【典例2】（2023上·上海·高二?？茧A段練習）分別求下列情形的方法數(shù)：（用數(shù)字作答）(1)從4名男生4名女生中選出2男2女組成一個隊伍；(2)8個人排成一排，其中甲乙二人必須站在一起；(3)8個人排成一排，甲乙丙三人互相不能相鄰．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）先從先從名男生中選出名，有種方法，再從名女生中選出名，有種方法，所以共有種方法.（2）先把甲乙捆綁看成一個整體有種方法，再和其他人一起排列有種方法，所以8個人排成一排，其中甲乙二人必須站在一起的方法為.（3）先把其他人排列共有種方法，再把甲乙丙三人插空有，所以個人排成一排，甲乙丙三人互相不能相鄰的方法為.【典例3】（2023上·高二課時練習）3名男生?4名女生排成一行.在下列要求下，分別求不同排列方法的種數(shù)：(1)甲不在最左邊，乙不在最右邊；(2)男生必須排在一起；(3)男生和女生相間排列；(4)在甲?乙兩人中間必須有3人.【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）依題意，先排最左邊，除去甲外，有種，余下的6個位置全排有種，但應(yīng)剔除其中乙在最右邊的排法數(shù)種，則符合條件的排法共有種.（2）將男生看成一個整體，進行全排列，有種排法，再與其他元素進行全排列，有種排法，故共有種.（3）先排好男生，然后將女生插入男生所形成的四個空位，共有種.（4）從除甲、乙以外的5人中選3人排在甲、乙中間的排法有種，將甲、乙看作一個整體，和其余2人排成一排的排法有種，最后再把選出的3人的排列插入到甲、乙之間即可，共有種.【變式1】（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）五名同學彝族新年期間去邛海濕地公園采風觀景，在觀鳥島濕地門口五名同學排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（

）A．12種 B．24種 C．48種 D．96種【答案】B【詳解】甲和乙相鄰，捆綁在一起有種，再與丙和丁外的1人排列有種，再排丙和丁有種，故共有種排法.故選：B.【變式2】（2023上·遼寧朝陽·高二建平縣實驗中學?？计谀?，1，2，3，4這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則：(1)可以組成多少個偶數(shù)？(2)可以組成多少個比13123大的數(shù)？【答案】(1)60；(2)82.【詳解】（1）當個位數(shù)字為0時，可以組成個偶數(shù)；當個位數(shù)字不為0時，可以組成個偶數(shù)；所以可以組成個偶數(shù).（2）所組成的比13123大的五位數(shù)，可以分為以下2類：第一類：形如，共有個，第二類：形如，共有個，所以可以組成個比13123大的數(shù).【變式3】（2023上·高二課時練習）（1）配制某種染色劑，需要加入種有機染料、種無機染料和種添加劑，其中有機染料的添加順序不可以相鄰．為研究所有不同的添加順序?qū)θ旧Ч挠绊?，總共要試驗多少次？?）某展覽館計劃展出幅不同的畫，其中水彩畫幅、油畫幅、國畫幅．現(xiàn)排成一排陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端．問：有多少種不同的陳列方式？【答案】（1）；（2）.【詳解】解：（1）先將種無機染料和種添加劑進行排序，然后將種有機染料插入種無機染料和種添加劑所形成的個空位中的個，由分步乘法計數(shù)原理可知，試驗次數(shù)為；（2）將幅油畫捆綁，將幅國畫捆綁，形成兩個大元素，將水彩畫放在“中間”，將油畫、國畫放在兩端，故不同的陳列方式種數(shù)為種.A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023下·北京通州·高二統(tǒng)考期中）計算：（

）A．30 B．60 C．90 D．120【答案】D【分析】根據(jù)排列數(shù)公式計算可得結(jié)果.【詳解】.故選：D2．（2023下·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高二?？茧A段練習）等于（）A．107 B．323C．320 D．348【答案】D【分析】根據(jù)排列數(shù)計算即可；【詳解】.故選：D.3．（2023下·廣東江門·高二?？计谥校┯脭?shù)字1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（

）A．120 B．86 C．72 D．60【答案】D【分析】根據(jù)排列數(shù)計算出正確答案.【詳解】依題意，組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為.故選：D4．（2023·四川樂山·統(tǒng)考一模）“數(shù)獨九宮格”原創(chuàng)者是18世紀的瑞士數(shù)學家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡單，將1到9這九個自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個空格里，每個空格填一個數(shù)，且9個空格的數(shù)字各不相同，若中間空格已填數(shù)字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從大到小排列的，則不同的填法種數(shù)為（

）4A．70 B．120 C．140 D．144【答案】B【分析】根據(jù)排列的知識求得正確答案.【詳解】比小的有，共個，從中選出個排在的左邊和上方，方法數(shù)有種，比大的有，共個，從中選出個排在的右邊和下方，方法數(shù)有種，所以不同的填法種數(shù)為種.故選：B5．（2023·全國·模擬預(yù)測）甲、乙，丙、丁，戊5名同學進行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問成績，裁判說：“很遺憾，你倆都沒有得到冠軍．但都不是最差的．”從回答分析，5人的名次排列的不同情況可能有（

）A．27種 B．72種 C．36種 D．54種【答案】C【分析】根據(jù)題意，先排甲乙，再排剩下三人，由排列數(shù)的計算，即可得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，甲、乙都沒有得到冠軍，也都不是最后一名，先排甲乙，再排剩下三人，則5人的名次排列種數(shù)為種.故選：C6．（2023·河南開封·統(tǒng)考一模）現(xiàn)要從6名學生中選4名代表班級參加學校的接力賽，已知甲確定參加比賽且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，則合適的選擇方法種數(shù)為（

）A．84 B．108 C．132 D．144【答案】B【分析】特殊位置優(yōu)先排，分類求解可得.【詳解】當甲跑第1棒時，則有種選擇方法；當甲跑第4棒時，乙參加比賽則有種選擇方法，乙不參加比賽則有種選擇方法．故合適的選擇方法種數(shù)為種．故選：B7．（2023上·甘肅白銀·高三甘肅省靖遠縣第一中學校聯(lián)考階段練習）甲?乙?丙?丁等7人站成一排，其中甲?乙相鄰，丁與甲?乙?丙都不相鄰的站法共有（

）A．576種 B．448種 C．288種 D．224種【答案】A【分析】分兩種情況討論，第一種情況為丙和甲?乙中的1人相鄰，優(yōu)先排列甲?乙?丙位置，再將三人捆綁，將除丁外三人先排列，再將捆綁的整體和丁用插空法排列即可；第二種情況為若丙和甲?乙不相鄰，先優(yōu)先排列甲?乙位置后捆綁，再將除甲?乙?丙、丁外的三人先排列，最后用插空法將捆綁整體和丙、丁插空排列即可.【詳解】若丙和甲?乙中的1人相鄰，則滿足條件的站法共有種，若丙和甲?乙不相鄰，則滿足條件的站法共有種，故總的站法共有576種.故選：A8．（2023下·廣西防城港·高二防城港市高級中學?？计谥校┯脭?shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若將組成的不重復(fù)的四位數(shù)按從小到大的順序排成一個數(shù)列則第85個數(shù)字為（

）A．2301 B．2304 C．2305 D．2310【答案】A【分析】依次計算首位為1、前兩位為20、前兩位為21的有多少個數(shù)，然后可得答案.【詳解】首位為1的有個，前兩位為20的有個，前兩位為21的有個，所以第85個數(shù)字是前兩位為23的最小數(shù)，即為2301.故選：A二、多選題9．（2023上·高二課時練習）(多選)用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的不同的所有四位數(shù)．下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．－【答案】CD【分析】可用直接法先排第一位數(shù)字，再排后三位；也可用間接法先進行全排列，再排除首位是的情況.【詳解】(直接法)先排第一位，有種方法，再排后三位有種方法，所以共有種排法；(間接法)先進行全排列共有種排法，首位是的排法為,所以共有－排法，故選：10．（2023下·江西·高一江西師大附中?？茧A段練習）A、B、C、D、E五個人并排站在一起，則下列說法正確的有（

）A．若A、B兩人站在一起有48種方法B．若A、B不相鄰共有12種方法C．若A在B左邊有60種排法D．若A不站在最左邊，B不站最右邊，有72種方法【答案】AC【分析】對于A：利用捆綁法，結(jié)合排列數(shù)運算求解；對于B：利用間接法，在總體中排除A、B兩人站在一起的情況；對于C：根據(jù)對稱性分析求解；對于D：利用間接法，結(jié)合組合數(shù)運算求解.【詳解】對于選項A：若A、B兩人站在一起，則有種方法，故A正確；對于選項B：A、B、C、D、E五個人并排站在一起，則有種方法，所以A、B不相鄰共有種方法，故B錯誤；對于選項C：根據(jù)對稱可知A在B左邊有種排法，故C正確；對于選項D：A站在最左邊，則有種方法，B站最右邊，則有種方法，A站在最左邊，B站最右邊，則有種方法，所以A不站在最左邊，B不站最右邊，有種方法，故D錯誤.故選：AC三、填空題11．（2023上·上海長寧·高三上海市延安中學校考期中）從甲?乙等5人中任選3人參加三個不同項目的比賽，要求每個項目都有人參加