人教A版數學(選擇性必修一講義)第32講拓展一：中點弦問題(學生版+解析)

第07講拓展一：中點弦問題一、知識點歸納知識點01：相交弦中點（點差法）：直線與曲線相交，涉及到交線中點的題型，多數用點差法。按下面方法整理出式子，然后根據實際情況處理該式子。主要有以下幾種問題：（1）求中點坐標；（2）求中點軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；中點，，知識點02：點差法：設直線和曲線的兩個交點，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點差法，式子可以整理成：設直線和曲線的兩個交點，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：二、題型精講題型01求直線方程【典例1】（2023春·寧夏吳忠·高二吳忠中學?？计谥校┻^點的直線與橢圓交于兩點，且點M平分弦，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校考期末）（1）求過點，與雙曲線離心率相等的雙曲線的標準方程.（2）已知雙曲線，求過點且被點平分的弦所在直線的方程.【典例3】（2023春·四川·高二統(tǒng)考期末）已知直線與拋物線相交于、兩點.(1)若直線過點，且傾斜角為，求的值；(2)若直線過點，且弦恰被平分，求所在直線的方程.【變式1】（2023·全國·高三專題練習）過點的直線與雙曲線相交于兩點，若是線段的中點，則直線的方程是（

）A． B．C． D．【變式2】（2023春·河南·高二臨潁縣第一高級中學校聯(lián)考開學考試）已知橢圓的長軸比短軸長2，橢圓的離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于兩點，且線段的中點為，求的方程．【變式3】（2023春·內蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習）已知拋物線的焦點為是拋物線上的點，且．(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，求直線的方程．題型02處理存在性問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線：的焦點為為上的動點，垂直于動直線，垂足為，當為等邊三角形時，其面積為.(1)求的方程；(2)設為原點，過點的直線與相切，且與橢圓交于兩點，直線與交于點，試問：是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【典例2】（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線的右焦點為，且C的一條漸近線經過點.(1)求C的標準方程；(2)是否存在過點的直線l與C交于不同的A，B兩點，且線段AB的中點為P.若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓：，A為橢圓的下頂點，設橢圓與直線相交于不同的兩點、，為弦的中點，當時，求的取值范圍.【典例2】（2022·遼寧沈陽·東北育才學校?？寄M預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，直線和橢圓交于兩點，且的周長為．(1)求的方程；(2)設點為線段的中點，為坐標原點，求線段長度的取值范圍．【變式1】（2023·天津·?？寄M預測）已知曲線的方程為，曲線是以、為焦點的橢圓，點為曲線與曲線在第一象限的交點，且．(1)求曲線的標準方程；(2)直線與橢圓相交于A、B兩點，若AB的中點在曲線上，求直線的斜率的取值范圍．【變式2】（2023春·內蒙古赤峰·高二?？茧A段練習）已知橢圓的中心在原點，焦點為，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）直線（與坐標軸不平行）與橢圓交于不同的兩點，且線段中點的橫坐標為，求直線傾斜角的取值范圍.題型05定值問題【典例1】（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長為.（1）求橢圓的方程；（2）設過橢圓的右焦點與坐標軸不垂直的直線交于點，，交軸于點，為線段的中點，且為垂足.問：是否存在定點，使得的長為定值？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由.【典例2】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考開學考試）已知雙曲線（，）的漸近線方程為，焦點到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)設，是雙曲線右支上不同的兩點，線段AB的垂直平分線交AB于，點的橫坐標為2，則是否存在半徑為1的定圓，使得被圓截得的弦長為定值，若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由.【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線：的焦點是，若過焦點的直線與相交于，兩點，所得弦長的最小值為2．(1)求實數的值；(2)設，是拋物線上不同于坐標原點的兩個不同的動點，且以線段為直徑的圓經過點，作，為垂足，試探究是否存在定點，使得為定值，若存在，則求出該定點的坐標及定值，若不存在，請說明理由．

第07講拓展一：中點弦問題一、知識點歸納知識點01：相交弦中點（點差法）：直線與曲線相交，涉及到交線中點的題型，多數用點差法。按下面方法整理出式子，然后根據實際情況處理該式子。主要有以下幾種問題：（1）求中點坐標；（2）求中點軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；中點，，知識點02：點差法：設直線和曲線的兩個交點，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點差法，式子可以整理成：設直線和曲線的兩個交點，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：二、題型精講題型01求直線方程【典例1】（2023春·寧夏吳忠·高二吳忠中學校考期中）過點的直線與橢圓交于兩點，且點M平分弦，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設，直線斜率為，則有，①-②得，因為點為中點，則，所以，即，所以直線的方程為，整理得故選：B【典例2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二?？计谀?）求過點，與雙曲線離心率相等的雙曲線的標準方程.（2）已知雙曲線，求過點且被點平分的弦所在直線的方程.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）雙曲線過點，所求雙曲線的焦點在軸上，又所求雙曲線離心率與雙曲線離心率相同，可設其方程為：，將代入雙曲線方程得：，則所求雙曲線標準方程為：.（2）方法一：由題意知：所求直線的斜率存在，可設其方程為：，即，由得：，設，，，又為中點，，解得：，當時，滿足，符合題意；所求直線的方程為：，即；方法二：設，，均在雙曲線上，，兩式作差得：，直線的斜率，又為中點，，，，經檢驗：該直線存在，所求直線的方程為：，即.【典例3】（2023春·四川·高二統(tǒng)考期末）已知直線與拋物線相交于、兩點.(1)若直線過點，且傾斜角為，求的值；(2)若直線過點，且弦恰被平分，求所在直線的方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因直線的傾斜角為，所以直線的斜率，又因直線過點，所以直線的方程為：，即，聯(lián)立得，設，，所以，，所以（2）因、在拋物線上，所以，，兩式相減得：，得，故直線的斜率為4，所以直線的方程為：，即【變式1】（2023·全國·高三專題練習）過點的直線與雙曲線相交于兩點，若是線段的中點，則直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：設，則，兩式相減得直線的斜率為，又直線過點，所以直線的方程為，經檢驗此時與雙曲線有兩個交點.故選：A【變式2】（2023春·河南·高二臨潁縣第一高級中學校聯(lián)考開學考試）已知橢圓的長軸比短軸長2，橢圓的離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于兩點，且線段的中點為，求的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為橢圓的離心率為，所以，解得．．又橢圓的長軸比短軸長2，所以，聯(lián)立方程組，解得所以橢圓的方程為．（2）顯然點在橢圓內，設，因為在橢圓上，所以，兩個方程相減得，即，因為線段的中點為，所以，，所以．所以的方程為，即．【變式3】（2023春·內蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習）已知拋物線的焦點為是拋物線上的點，且．(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，求直線的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，故拋物線的方程為．（2）

易知直線的斜率存在，設直線的斜率為，則兩式相減得，整理得．因為的中點為，所以，所以直線的方程為，即.題型02處理存在性問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線：的焦點為為上的動點，垂直于動直線，垂足為，當為等邊三角形時，其面積為.(1)求的方程；(2)設為原點，過點的直線與相切，且與橢圓交于兩點，直線與交于點，試問：是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）∵為等邊三角形時，其面積為，∴，解得，根據和拋物線的定義可知，落在準線上，即，設準線和軸交點為，易證，于是，∴的方程為；（2）假設存在，使得，則線為段的中點，設，依題意得，則，由可得，所以切線的斜率為，設，，線段的中點，由，可得，所以，整理可得：，即，所以，可得，又因為，所以當時，，此時三點共線，滿足為的中點，綜上，存在，使得點為的中點恒成立，.【典例2】（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線的右焦點為，且C的一條漸近線經過點.(1)求C的標準方程；(2)是否存在過點的直線l與C交于不同的A，B兩點，且線段AB的中點為P.若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）解：因為雙曲線C的右焦點為，所以，可得，又因為雙曲線C的一條漸近線經過點，可得，即，聯(lián)立方程組，解得，所以雙曲線C的標準方程為.（2）解：假設存在符合條件的直線，易知直線l的斜率存在，設直線的斜率為，且，則，兩式相減得，所以，因為的中點為，所以，所以，解得，直線的方程為，即，把直線代入，整理得，可得，該方程沒有實根，所以假設不成立，即不存在過點的直線與C交于兩點，使得線段的中點為.【變式1】（2023秋·重慶北碚·高二西南大學附中?？茧A段練習）雙曲線的漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為2．(1)求C的方程；(2)是否存在直線l，經過點且與雙曲線C于A，B兩點，M為線段AB的中點，若存在，求l的方程：若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在；.【詳解】（1）雙曲線的漸近線為，因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以，又焦點到直線的距離，所以，又，所以，，所以雙曲線方程為（2）假設存在，由題意知：直線的斜率存在，設，，直線的斜率為，則，，所以，，兩式相減得，即即，所以，解得，所以直線的方程為，即，經檢驗直線與雙曲線有兩個交點，滿足條件，所以直線的方程為.題型03求弦中點的軌跡方程【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知曲線上一動點到兩定點，的距離之和為，過點的直線與曲線相交于點，．(1)求曲線的方程；(2)動弦滿足：，求點的軌跡方程；【答案】(1)(2)；【詳解】（1）因為動點到兩定點，的距離之和為，所以曲線是以，為焦點的橢圓，，，所以，，所以曲線的方程為；（2）因為，所以為中點，設，當的斜率存在且不為0時，將，代入橢圓方程中得：兩式相減得，即，所以，即，，整理得；當的斜率不存在或為0時，有或，也滿足；所以點的軌跡方程是；綜上，曲線的方程為，點的軌跡方程是.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線，過點作一條直線交拋物線于，兩點，試求弦的中點軌跡方程.【答案】.【詳解】方法1：設，，弦的中點為，則，當直線的斜率存在時，.因為兩式相減，得.所以，即，即.當直線斜率不存在，即軸時，的中點為，適合上式，故所求軌跡方程為.方法2：當直線的斜率存在時，設直線的方程為（），由得.所以所以.設，，的中點為，則，.所以.所以消去參數，得.當直線的斜率不存在時，即軸時，的中點為，適合上式，故所求軌跡方程為.【變式1】（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的弦所在直線過點，求弦中點的軌跡方程.【答案】【詳解】設，弦的中點，則，將代入橢圓方程得，兩式相減得，所以，當時，，因為，所以，則，整理得；當時，則直線方程為，代入橢圓方程解得所以滿足上述方程，故點的軌跡方程.【變式2】（2022·全國·高三專題練習）橢圓，則該橢圓所有斜率為的弦的中點的軌跡方程為．【答案】【詳解】設斜率為的直線方程為，與橢圓的交點為，設中點坐標為，則，所以，兩式相減可得，，即，由于在橢圓內部，由得，所以時，即直線與橢圓相切，此時由解得或，所以，所求得軌跡方程為．故答案為：．題型04確定參數的取值范圍【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓：，A為橢圓的下頂點，設橢圓與直線相交于不同的兩點、，為弦的中點，當時，求的取值范圍.【答案】【詳解】由題設，聯(lián)立，得，由題設知，即①，設，則，因為為弦的中點，∴，從而，又由題意知,，∴，∵，則，即②，把②代入①得，解得，又，故的取值范圍是.【典例2】（2022·遼寧沈陽·東北育才學校校考模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，直線和橢圓交于兩點，且的周長為．(1)求的方程；(2)設點為線段的中點，為坐標原點，求線段長度的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由橢圓的定義知，的周長為，所以，由離心率，解得，所以的方程為．（2）設，的坐標分別為，，，則有①，②，，由①?②可得：，即，將條件及，帶入上式可得點的軌跡方程為，所以，，所以，所以線段長度的取值范圍為．【變式1】（2023·天津·?？寄M預測）已知曲線的方程為，曲線是以、為焦點的橢圓，點為曲線與曲線在第一象限的交點，且．(1)求曲線的標準方程；(2)直線與橢圓相交于A、B兩點，若AB的中點在曲線上，求直線的斜率的取值范圍．【答案】(1)(2)且【詳解】（1）設橢圓方程為，依題意，，，利用拋物線的定義可得，解得，點的坐標為，所以，由橢圓定義，得．，所以曲線的標準方程為；（2）設直線與橢圓的交點，，，，，的中點的坐標為，，設直線的方程為，(當時,弦中點為原點,但原點并不在上,同樣弦中點為原點，不適合題意)與聯(lián)立，得，由得①，由韋達定理得，，，則，，將中點，代入曲線的方程為，整理，得，②將②代入①得，令，則，解得，．所以直線的斜率的取值范圍為且．【變式2】（2023春·內蒙古赤峰·高二?？茧A段練習）已知橢圓的中心在原點，焦點為，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）直線（與坐標軸不平行）與橢圓交于不同的兩點，且線段中點的橫坐標為，求直線傾斜角的取值范圍.【答案】（1）；（2）直線傾斜角的取值范圍為，，.【詳解】（1）設橢圓方程為，由題意得，，所以，，所以橢圓的方程為；（2）設直線的方程為，由得，則，即①，設，，，，則，因為線段中點的橫坐標為，所以，