人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修三講義)第20講8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用(8.2.1一元線性回歸模型+8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘法估計(jì))(學(xué)生版+解析)

第02講8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用（8.2.1一元線性回歸模型+8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘法估計(jì)）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解一元線性回歸模型的含義，理解兩個(gè)變量之間隨機(jī)關(guān)系的一元線性回歸模型的作用與意義。②了解殘差在線性回歸與非線性回歸問(wèn)題的作用及意義。③了解一元線性回歸模型參數(shù)與最小二乘估計(jì)的推導(dǎo)過(guò)程，理解最小二乘估計(jì)的原理。④會(huì)結(jié)合題意求一元線性回歸方程。⑤會(huì)用相關(guān)指數(shù)進(jìn)行分析模型擬合的效果情況.。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)求一元線性回歸方程，會(huì)進(jìn)行殘差分析，能判斷回歸模型的擬合效果，能利用樣本數(shù)據(jù)建立統(tǒng)計(jì)模型并能進(jìn)行預(yù)測(cè)知識(shí)點(diǎn)1：一元線性回歸模型（1）一元線性回歸模型我們稱為關(guān)于的一元線性回歸模型，其中稱為因變量或響應(yīng)變量，稱為自變量或解釋變量；和為模型的未知參數(shù)，稱為截距參數(shù)，稱為斜率參數(shù)；是與之間的隨機(jī)誤差.（2）隨機(jī)誤差在線性回歸模型中，和為模型的未知參數(shù)，是與之間的誤差,通常為隨機(jī)變量，稱為隨機(jī)誤差.它的均值，方程.線性回歸模型的完整表達(dá)式為,在此模型中，隨機(jī)誤差的方差越小，用預(yù)報(bào)真實(shí)值的精度越高.知識(shí)點(diǎn)2：一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘法（1）經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求解法：最小二乘法回歸直線方程過(guò)樣本點(diǎn)的中心，是回歸直線方程最常用的一個(gè)特征；我們將稱為關(guān)于的線性回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線。這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做，的最小二乘估計(jì),其中稱為回歸系數(shù)，它實(shí)際上也就是經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率，為截距.其中【即學(xué)即練1】（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某校數(shù)學(xué)建模學(xué)生社團(tuán)進(jìn)行了一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)研究，采集了的一組數(shù)據(jù)如下表所示：23456752.54540302517.5該社團(tuán)對(duì)上述數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關(guān)關(guān)系．(1)畫(huà)出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并指出與之間的相關(guān)系數(shù)是正還是負(fù)；(2)求出關(guān)于的線性回歸方程，并寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的值．附：在線性回歸方程中，，其中為樣本平均值．【答案】(1)散點(diǎn)圖見(jiàn)解析，負(fù)(2)，【詳解】（1）由題意得散點(diǎn)圖如圖所示：由圖可知與之間成負(fù)相關(guān)關(guān)系，所以是負(fù)．（2）因?yàn)?，，，，所以，，∴關(guān)于線性回歸方程為，所以當(dāng)時(shí)，．（2）求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟①作出散點(diǎn)圖，判斷兩變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可求其經(jīng)驗(yàn)回歸方程；②列表求出,的值；③利用公式先計(jì)算,再根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心計(jì)算；④寫(xiě)出經(jīng)驗(yàn)回歸方程.求經(jīng)驗(yàn)回歸方程，關(guān)鍵在于正確求出系數(shù),,由于計(jì)算量較大，所以計(jì)算時(shí)要仔細(xì)謹(jǐn)慎、分層進(jìn)行，避免因計(jì)算產(chǎn)生錯(cuò)誤要特別注意，只有兩個(gè)變量呈線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程才有意義.（3）經(jīng)驗(yàn)回歸方程的性質(zhì)①經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定過(guò)點(diǎn),點(diǎn)通常稱為樣本點(diǎn)的中心；②一次函數(shù)的單調(diào)性由的符號(hào)決定，函數(shù)遞增的充要條件是；函數(shù)遞減的充要條件是.這說(shuō)明：與正相關(guān)的充要條件是；與負(fù)相關(guān)的充要條件是.③在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，是經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率，是截距.一般地，當(dāng)回歸系數(shù)時(shí)，說(shuō)明兩個(gè)變量呈正相關(guān)關(guān)系，它的意義是當(dāng)每增大一個(gè)單位時(shí)，平均增大個(gè)單位；當(dāng)時(shí)，說(shuō)明兩個(gè)變量呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，它的意義是當(dāng)每增大一個(gè)單位時(shí)，平均減小個(gè)單位.知識(shí)點(diǎn)3：殘差（1）殘差對(duì)于響應(yīng)變量，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差.（2）殘差圖作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．若殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越窄，則說(shuō)明擬合效果越好.（3）殘差分析殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過(guò)殘差的分析可以判斷模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.其步驟為：計(jì)算殘差化殘差圖在殘差圖中分析殘差特性.【即學(xué)即練2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，其樣本中心為，回歸方程為，則相應(yīng)于樣本點(diǎn)的殘差為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)闅埐钍菍?shí)際觀察值與估計(jì)值（擬合值）之間的差，所以相應(yīng)于樣本點(diǎn)的殘差為，故選：C.知識(shí)點(diǎn)4：決定系數(shù)（1）殘差平方和殘差平方和，殘差平方和越小，模型擬合效果越好，殘差平方和越大，模型擬合效果越差.（2）決定系數(shù)決定系數(shù)是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)，在線性模型中，它代表解釋變量客戶預(yù)報(bào)變量的能力.，越大，即擬合效果越好，越小，模型擬合效果越差.【即學(xué)即練3】（2023下·青海西寧·高二?？茧A段練習(xí)）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x，y的回歸模型時(shí)，分別選擇了4種不同模型，計(jì)算可得它們的相關(guān)指數(shù)R2分別如下表：甲乙丙丁R20.980.780.500.85建立的回歸模型擬合效果最好的同學(xué)是.【答案】選甲相關(guān)指數(shù)R2越大，表示回歸模型擬合效果越好．【詳解】相關(guān)指數(shù)越大，相關(guān)性越強(qiáng)，回歸模型擬合效果越好，所以效果最好的是甲．（3）決定系數(shù)與相關(guān)系數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別①相關(guān)系數(shù)反映兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱及正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，決定系數(shù)反映回歸模型的擬合效果.②在含有一個(gè)解釋變量的線性模型中，決定系數(shù)的數(shù)值是相關(guān)系數(shù)的平方，其變化范圍為，而相關(guān)系數(shù)的變化范圍為.③當(dāng)相關(guān)系數(shù)接近于1時(shí)，說(shuō)明兩變量的相關(guān)性較強(qiáng)，當(dāng)接近于0時(shí)，說(shuō)明兩變量的相關(guān)性較弱；而當(dāng)接近于1時(shí)，說(shuō)明經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果較好.題型01由散點(diǎn)圖判斷是否線性相關(guān)【典例1】（2023下·河南南陽(yáng)·高二唐河縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2003年春季，我國(guó)部分地區(qū)SARS流行，黨和政府采取果斷措施，防治結(jié)合，很快使病情得到控制，下表是某同學(xué)記載的5月1日至5月12日每天北京市SARS治愈者數(shù)據(jù)，以及根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪制出的散點(diǎn)圖日期5.15.25.35.45.55.65.75.85.95.105.115.12人數(shù)100109115118121134141152168175186203下列說(shuō)法：①根據(jù)此散點(diǎn)圖，可以判斷日期與人數(shù)具有線性相關(guān)關(guān)系；②根據(jù)此散點(diǎn)圖，可以判斷日期與人數(shù)具有一次函數(shù)關(guān)系.其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．以上都不對(duì)【典例2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）某個(gè)男孩的年齡與身高的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：年齡x（歲）123456身高y（cm）788798108115120(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖；(2)判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如果相關(guān)，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)．【變式1】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）下列四個(gè)圖中，兩個(gè)變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系的是（

）A．①② B．①②④ C．②③④ D．②④題型02求回歸直線方程【典例1】（2024上·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）大氣污染物（直徑不大于2.5的顆粒物）的濃度超過(guò)一定限度會(huì)影響人的身體健康．為研究濃度y（單位：）與汽車流量x（單位：千輛）的線性關(guān)系，研究人員選定了10個(gè)城市，在每個(gè)城市建立交通監(jiān)測(cè)點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)了24h內(nèi)過(guò)往的汽車流量以及同時(shí)段空氣中的濃度，得到如下數(shù)據(jù)：城市編號(hào)12345678910總和x1.3001.4440.7861.6521.7561.7541.2001.5001.2000.90813.5y667621170156120721201001291030并計(jì)算得，，．(1)求變量關(guān)于的線性回歸方程；(2)根據(jù)內(nèi)濃度確定空氣質(zhì)量等級(jí)，濃度在0～35為優(yōu)，35～75為良，75～115為輕度污染，115～150為中度污染，150～250為重度污染，已知某城市內(nèi)過(guò)往的汽車流量為1360輛，判斷該城市的空氣質(zhì)量等級(jí)．參考公式：線性回歸方程為，其中以．【典例2】（2024上·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）在入室盜竊類案件中，出現(xiàn)頻率最高的痕跡物證之一就是足跡．負(fù)重行走對(duì)足跡步伐特征影響的規(guī)律強(qiáng)，而且較為穩(wěn)定．正在行走的人在負(fù)重的同時(shí)，步長(zhǎng)變短，步寬變大，步角變大．因此，以身高分別為170cm，175cm，180cm的人員各20名作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，讓他們采取雙手胸前持重物的負(fù)重方式行走，得到實(shí)驗(yàn)對(duì)象在負(fù)重0kg，5kg，10kg，15kg，20kg狀態(tài)下相對(duì)穩(wěn)定的步長(zhǎng)數(shù)據(jù)平均值．并在不同身高情況下，建立足跡步長(zhǎng)s(單位：cm)關(guān)于負(fù)重x(單位：kg)的三個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程．根據(jù)身高170cm組數(shù)據(jù)建立線性回歸方程①：；根據(jù)身高175cm組數(shù)據(jù)建立線性回歸方程②：根據(jù)身高180cm組數(shù)據(jù)建立線性回歸方程③：．(1)根據(jù)身高180cm組的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求，的值，并解釋參數(shù)的含義；身高180cm不同負(fù)重情況下的步長(zhǎng)數(shù)據(jù)平均值負(fù)重x/kg05101520足跡步長(zhǎng)s/cm74.3573.5071.8068.6065.75(2)在一起盜竊案中，被盜竊物品重為9kg，在現(xiàn)場(chǎng)勘查過(guò)程中，測(cè)量得犯罪嫌疑人往返時(shí)足跡步長(zhǎng)的差值為4.464cm，推測(cè)該名嫌疑人的身高，并說(shuō)明理由．附：．為回歸方程，，，，【典例3】（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x（單位：萬(wàn)元）與銷售額y（萬(wàn)元）之間有如下一組數(shù)據(jù)：廣告費(fèi)支出x24568銷售額y3040605070(1)求出樣本點(diǎn)中心(2)求回歸直線方程（其中，）【變式1】（2024上·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）近期，一些地方中小學(xué)生“課間10分鐘”問(wèn)題受到社會(huì)廣泛關(guān)注，國(guó)家號(hào)召中小學(xué)要增加學(xué)生的室外活動(dòng)時(shí)間．但是進(jìn)入12月后，天氣漸冷，很多學(xué)生因氣溫低而減少了外出活動(dòng)次數(shù)．為了解本班情況，一位同學(xué)統(tǒng)計(jì)了一周（5天）的氣溫變化和某一固定課間該班級(jí)的學(xué)生出樓人數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：溫度（零下）710111517出樓人數(shù)201617107(1)利用最小二乘法，求變量之間的線性回歸方程；附：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)：(2)預(yù)測(cè)當(dāng)溫度為時(shí)，該班級(jí)在本節(jié)課間的出樓人數(shù)（人數(shù)：四舍五入取整數(shù)）．(3)為了號(hào)召學(xué)生能夠增加室外活動(dòng)時(shí)間，學(xué)校舉行拔河比賽，采取3局2勝制（無(wú)平局）．在甲、乙兩班的較量中，甲班每局獲勝的概率均為，設(shè)隨機(jī)變量X表示甲班獲勝的局?jǐn)?shù)，求的分布列和期望．【變式2】（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下面給出了根據(jù)我國(guó)年年水果人均占有量（單位：）和年份代碼繪制的散點(diǎn)圖（年年的年份代碼分別為）．

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖分析與之間的相關(guān)關(guān)系；(2)根據(jù)散點(diǎn)圖相應(yīng)數(shù)據(jù)計(jì)算得，，求關(guān)于的線性回歸方程.（精確到）附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，【變式3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得個(gè)樣本點(diǎn)，得到下表及散點(diǎn)圖.

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個(gè)適宜作為關(guān)于的回歸方程；（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果試建立與的回歸方程；（計(jì)算結(jié)果保留整數(shù)）參考公式：題型03求樣本中心(根據(jù)樣本中心求參數(shù)）【典例1】（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)如下：x0123y-5-4.5-4.2-3.5其線性回歸直線方程為，則回歸直線經(jīng)過(guò)（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限【典例2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知取表中的數(shù)值，若具有線性相關(guān)關(guān)系，線性回歸方程為，則＝（

）0134a4.34.86.7A．2.2 B．2.4 C．2.5 D．2.6【典例3】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）某公司一種型號(hào)的產(chǎn)品近期銷售情況如表：月份23456銷售額（萬(wàn)元）15.116.317.017.218.4根據(jù)上表可得到回歸直線方程，據(jù)此估計(jì)，該公司7月份這種型號(hào)產(chǎn)品的銷售額為（

）A．18.85萬(wàn)元 B．19.3萬(wàn)元 C．19.25萬(wàn)元 D．19.05萬(wàn)元【典例4】（多選）（2024上·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）某電商平臺(tái)為了對(duì)某一產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，采用不同的單價(jià)在平臺(tái)試銷，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：?jiǎn)蝺r(jià)x/元88.599.510銷量y/萬(wàn)件8985807868根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到與具有較強(qiáng)的線性關(guān)系，若用最小二乘估計(jì)得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（

）A．相關(guān)系數(shù) B．點(diǎn)一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上C． D．時(shí)，對(duì)應(yīng)銷量的殘差為【變式1】（2024上·四川綿陽(yáng)·高二綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┮阎獂與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357則y與x的線性回歸方程為必過(guò)點(diǎn)（

）A．（2，2） B．（1.5，0）C．（1.5，4） D．（1，

2）【變式2】（2024上·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┮阎兞縳，γ呈線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為，且變量x，y的樣本數(shù)據(jù)如下表所示x-2-1012y54m21據(jù)此計(jì)算出在時(shí)，預(yù)測(cè)值為-0.2，則m的值為（

）A．3 B．2.8 C．2 D．1【變式3】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）變量x，y的數(shù)據(jù)如下所示：x54321y21.5110.5回歸直線恒過(guò)點(diǎn)．【變式4】（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某地建立了農(nóng)業(yè)科技圖書(shū)館，供農(nóng)民免費(fèi)借閱，收集了近5年的借閱數(shù)據(jù)如下表：年份20192020202120222023年份代碼12345年借閱量萬(wàn)冊(cè)4.95.15.55.75.8根據(jù)上表，可得關(guān)于的線性回歸方程為.則.題型04根據(jù)回歸直線方程估計(jì)數(shù)據(jù)【典例1】（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高三校聯(lián)考期末）已知在特定的時(shí)期內(nèi)某人在一個(gè)月內(nèi)每天投入的體育鍛煉時(shí)間（分鐘）與一個(gè)月內(nèi)減輕的體重（斤）的一組數(shù)據(jù)如表所示：3040506070一個(gè)月內(nèi)減輕的體重與每天投入的體育鍛煉時(shí)間之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是，據(jù)此模型估計(jì)當(dāng)此人在一個(gè)月內(nèi)每天投入的體育鍛煉時(shí)間為90分鐘時(shí)，該月內(nèi)減輕的體重約為（

）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤【典例2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）某科學(xué)興趣小組的同學(xué)認(rèn)為生物都是由蛋白質(zhì)構(gòu)成的，高溫可以使蛋白質(zhì)變性失活，于是想初步探究某微生物的成活率與溫度的關(guān)系，微生物數(shù)量（個(gè)）與溫度的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：溫度481018微生物數(shù)量（個(gè)）30221814由表中數(shù)據(jù)算得回歸方程為，預(yù)測(cè)當(dāng)溫度為時(shí)，微生物數(shù)量為個(gè).【變式1】（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如果在一次實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得的五組數(shù)值如下表所示，經(jīng)計(jì)算知，y對(duì)x的線性回歸方程是，預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)，（

）x01234y1015203035A．73.5 B．74 C．74.5 D．75【變式2】（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）牛膝是莧科多年生藥用草本植物，具有活血通經(jīng)、補(bǔ)肝腎、強(qiáng)筋骨等功效，可用于治療腰膝酸痛等癥狀．某農(nóng)戶種植牛膝的時(shí)間（單位：天）和牛膝的根部直徑（單位：）的統(tǒng)計(jì)表如下：20304050600.81.32.23.34.5由上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若此農(nóng)戶準(zhǔn)備在時(shí)采收牛膝，據(jù)此模型預(yù)測(cè)，此批牛滕采收時(shí)間預(yù)計(jì)是第天．題型05殘差計(jì)算【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，，根據(jù)這組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖分析與之間的線性相關(guān)關(guān)系，若求得其線性回歸方程為，則在樣本點(diǎn)處的殘差為（

）A．38.1 B．22.6 C． D．91.1【典例2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學(xué)?？家荒＃?duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)（），其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且，，則相應(yīng)于點(diǎn)的殘差為．【典例3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）隨機(jī)選取變量和變量的對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)，選取的第對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)記為，其數(shù)值對(duì)應(yīng)如下表所示：編號(hào)計(jì)算得：，，，，．(1)求變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)（小數(shù)點(diǎn)后保留位），判斷這兩個(gè)變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，并推斷它們的線性相關(guān)程度；(2)假設(shè)變量關(guān)于的一元線性回歸模型為.（?。┣箨P(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)的值；（ⅱ）設(shè)為時(shí)該回歸模型的殘差，求、、、、的方差．參考公式：，，．【變式1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，，，的散點(diǎn)圖分析x與y之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系，求得其線性回歸方程為，則在樣本點(diǎn)處的殘差為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高x（單位：cm）與體重y（單位：kg）數(shù)據(jù)如下表：x165165157170175165155170y4857505464614359若已知y與x的線性回歸方程為，設(shè)殘差記為觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值之間的差（即殘差）那么選取的女大學(xué)生身高為175cm時(shí)，相應(yīng)的殘差為.【變式3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）高中女學(xué)生的身高預(yù)報(bào)體重的回歸方程是（其中，的單位分別是cm，kg），則此方程在樣本點(diǎn)處的殘差是.題型06相關(guān)指數(shù)計(jì)算【典例1】（2024上·全國(guó)·高三期末）2021年6月17日9時(shí)22分，我國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征2F遙十二運(yùn)載火箭，成功將神舟十二號(hào)載人飛船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝?劉伯明?湯洪波3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功，這標(biāo)志著中國(guó)人首次進(jìn)入自己的空間站.某公司負(fù)責(zé)生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號(hào)的重要零件，該材料應(yīng)用前景十分廣泛.該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到應(yīng)用改造投入x（億元）與產(chǎn)品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：，模型②：；序號(hào)1234567x234681013y15222740485460(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，比較模型①，②的相關(guān)指數(shù)的大??；(2)據(jù)（2）選擇擬合精度更高?更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益.附：刻畫(huà)回歸效果的相關(guān)指數(shù)，且當(dāng)越大時(shí)，回歸方程的擬合效果越好..回歸模型模型①模型②79.3120.2【典例2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知與之間的數(shù)據(jù)如下表：（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（2）完成下面的殘差表：并判斷（1）中線性回歸方程的回歸效果是否良好（若，則認(rèn)為回歸效果良好）.附：，，，.【典例3】（2021下·山東青島·高二統(tǒng)考期中）現(xiàn)代物流成為繼勞動(dòng)力、自然資源外影響企業(yè)生產(chǎn)成本及利潤(rùn)的重要因素．某企業(yè)去年前八個(gè)月的物流成本和企業(yè)利潤(rùn)的數(shù)據(jù)（單位：萬(wàn)元）如下表所示：月份物流成本利潤(rùn)殘差根據(jù)最小二乘法公式求得線性回歸方程為．（1）求的值，并利用已知的線性回歸方程求出月份對(duì)應(yīng)的殘差值；（2）請(qǐng)先求出線性回歸模型的決定系數(shù)（精確到）；若根據(jù)非線性模型求得解釋變量（物流成本）對(duì)于響應(yīng)變量（利潤(rùn)）決定系數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明以上兩種模型哪種模型擬合效果更好？（3）通過(guò)殘差分析，懷疑殘差絕對(duì)值最大的那組數(shù)據(jù)有誤，經(jīng)再次核實(shí)后發(fā)現(xiàn)其真正利潤(rùn)應(yīng)該為萬(wàn)元．請(qǐng)重新根據(jù)最小二乘法的思想與公式，求出新的線性回歸方程．附1（修正前的參考數(shù)據(jù)）：，，，．附2：．附3：，．【變式1】（2022下·寧夏·高二六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）有一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和，根據(jù)數(shù)據(jù)建立了如下的兩個(gè)模型：①，②.通過(guò)殘差分析發(fā)現(xiàn)第①個(gè)線性模型比第②個(gè)線性模型擬合效果好.若分別是相關(guān)指數(shù)和殘差平方和，則下列結(jié)論正確的是.①＞，②＜，③＜，④＞.【變式2】（2023上·重慶·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）混凝土的抗壓強(qiáng)度x較容易測(cè)定，而抗剪強(qiáng)度y不易測(cè)定，工程中希望建立一種能由x推算y的經(jīng)驗(yàn)公式，下表列出了現(xiàn)有的9對(duì)數(shù)據(jù)，分別為，，…，．x141152168182195204223254277y23.124.227.227.828.731.432.534.836.2以成對(duì)數(shù)據(jù)的抗壓強(qiáng)度x為橫坐標(biāo)，抗剪強(qiáng)度y為縱坐標(biāo)作出散點(diǎn)圖，如圖所示．(1)從上表中任選2個(gè)成對(duì)數(shù)據(jù)，求該樣本量為2的樣本相關(guān)系數(shù)r．結(jié)合r值分析，由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)是否一定能確切地反映變量之間的線性相關(guān)關(guān)系？(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，我們選擇兩種不同的函數(shù)模型作為回歸曲線，根據(jù)一元線性回歸模型及最小二乘法，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程分別為：①，②．經(jīng)驗(yàn)回歸方程①和②的殘差計(jì)算公式分別為，，．（ⅰ）求；（ⅱ）經(jīng)計(jì)算得經(jīng)驗(yàn)回歸方程①和②的殘差平方和分別為，，經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的決定系數(shù)，求經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的決定系數(shù)．附：相關(guān)系數(shù)，決定系數(shù)，．【變式3】（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考二模）車胎凹槽深度是影響汽車剎車的因素，汽車行駛會(huì)導(dǎo)致輪胎胎面磨損.某實(shí)驗(yàn)室通過(guò)試驗(yàn)測(cè)得行駛里程與某品牌輪胎凹槽深度的數(shù)據(jù)如下：行駛里程/萬(wàn)km0.000.641.291.932.573.223.864.515.15輪胎凹槽深度/mm10.028.377.396.485.825.204.554.163.82以行駛里程為橫坐標(biāo)、輪胎凹槽深度為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖，如圖所示.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖，可認(rèn)為散點(diǎn)集中在直線附近，由此判斷行駛里程與輪胎凹槽深度線性相關(guān)，并計(jì)算得如下數(shù)據(jù)，請(qǐng)求出行駛里程與輪胎凹槽深度的相關(guān)系數(shù)（保留兩位有效數(shù)字），并推斷它們線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱；2.576.20115.1029.46附：相關(guān)系數(shù)(2)通過(guò)散點(diǎn)圖，也可認(rèn)為散點(diǎn)集中在曲線附近，考慮使用對(duì)數(shù)回歸模型，并求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程及該模型的決定系數(shù).已知（1）中的線性回歸模型為，在同一坐標(biāo)系作出這兩個(gè)模型，據(jù)圖直觀回答：哪個(gè)模型的擬合效果更好？并用決定系數(shù)驗(yàn)證你的觀察所得.附：線性回歸模型中，決定系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）已知變量x，y之間的線性回歸方程為，且變量x，y之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，x2468y58.213m則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．變量y與x是負(fù)相關(guān)關(guān)系C．該回歸直線必過(guò)點(diǎn)D．x增加1個(gè)單位，y一定增加2個(gè)單位2．（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）變量，之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：44.55.56121110已知變量對(duì)呈線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為，則的值是（）A．10 B．9 C．8 D．73．（2024上·全國(guó)·高三期末）某同學(xué)在研究變量之間的相關(guān)關(guān)系時(shí)，得到以下數(shù)據(jù)：并采用最小二乘法得到了線性回歸方程，則（

）4.85.878.39.12.84.17.29.111.8A． B． C． D．4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列四幅殘差分析圖中，與一元線性回歸模型擬合精度最高的是（

）A．

B．

C．

D．

5．（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）一組成對(duì)數(shù)據(jù)樣本中心點(diǎn)為，由這組數(shù)據(jù)擬合的線性回歸方程為，用最小二乘法求回歸方程是為了使（

）最小.A．總偏差平方和 B．殘差平方和C．回歸平方和 D．豎直距離和6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為研究每平方米平均建筑費(fèi)用與樓層數(shù)的關(guān)系，某開(kāi)發(fā)商收集了一棟住宅樓在建筑過(guò)程中，建筑費(fèi)用的相關(guān)信息，將總樓層數(shù)與每平米平均建筑成本（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)整理成如圖所示的散點(diǎn)圖：則下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費(fèi)用和樓層數(shù)的回歸方程類型的是（

）A． B．C． D．7．（2024上·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）某學(xué)校一同學(xué)研究溫差（單位：℃）與本校當(dāng)天新增感冒人數(shù)（單位：人）的關(guān)系，該同學(xué)記錄了5天的數(shù)據(jù)：5689121620252836由上表中數(shù)據(jù)求得溫差與新增感冒人數(shù)滿足經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．與有正相關(guān)關(guān)系 B．經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C． D．時(shí)，殘差為0.28．（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知一組成對(duì)數(shù)據(jù)中y關(guān)于x的一元非線性回歸方程，已知，則（

）A． B．1 C． D．二、多選題9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）下列有關(guān)回歸分析的結(jié)論中，正確的有（

）A．若回歸方程為，則變量y與x負(fù)相關(guān)B．運(yùn)用最小二乘法求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心C．若決定系數(shù)的值越接近于1，表示回歸模型的擬合效果越好D．若散點(diǎn)圖中所有點(diǎn)都在直線上，則相關(guān)系數(shù)10．（2024上·廣東揭陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）2023年入冬以來(lái)，流感高發(fā)，某醫(yī)院統(tǒng)計(jì)了一周中連續(xù)5天的流感就診人數(shù)y與第天的數(shù)據(jù)如表所示．x12345y2110a15a90109根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知x，y具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（

）A．樣本相關(guān)系數(shù)在內(nèi) B．當(dāng)時(shí)，殘差為-2C．點(diǎn)一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上 D．第6天到該醫(yī)院就診人數(shù)的預(yù)測(cè)值為130三、填空題11．（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）某同學(xué)收集了變量，的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：x0.5233.545y15為了研究，的相關(guān)關(guān)系，他由最小二乘法求得關(guān)于的線性回歸方程為，經(jīng)驗(yàn)證回歸直線正好經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)，則．12．（2023·高二單元測(cè)試）下列關(guān)于回歸分析的說(shuō)法正確的是（填上所有正確說(shuō)法的序號(hào)）①相關(guān)系數(shù)越小，兩個(gè)變量的相關(guān)程度越弱；②殘差平方和越大的模型，擬合效果越好；③用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫(huà)回歸效果時(shí)，越小，說(shuō)明模型的擬合效果越好；④用最小二乘法求回歸直線方程，是尋求使取最小值時(shí)的、的值；⑤在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說(shuō)明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，模型擬合精度越高.四、解答題13．（2023上·遼寧沈陽(yáng)·高二?？计谀┠嘲嗌鐣?huì)實(shí)踐小組在寒假去書(shū)店體驗(yàn)圖書(shū)銷售員工作，并對(duì)某圖書(shū)定價(jià)x(元)與當(dāng)天銷量y(本/天)之間的關(guān)系進(jìn)行調(diào)查，得到了一組數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)變量大致呈線性關(guān)系，數(shù)據(jù)如下表所示定價(jià)x（元）681012銷量y（本/天）141187參考數(shù)據(jù)：，參考公式：回歸方程中斜率的最小二乘估計(jì)值公式為(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸直線方程；(2)根據(jù)回歸直線方程，預(yù)測(cè)當(dāng)該圖書(shū)每天的銷量為4本時(shí)，該圖書(shū)的定價(jià)是多少元？14．（2023上·黑龍江雞西·高三雞西市第一中學(xué)校校考期末）直播帶貨是一種直播和電商相結(jié)合的銷售手段，目前已被廣大消費(fèi)者所接受.針對(duì)這種現(xiàn)狀，某公司決定逐月加大直播帶貨的投入，直播帶貨金額穩(wěn)步提升，以下是該公司2023年前5個(gè)月的帶貨金額：月份12345帶貨金額萬(wàn)元350440580700880(1)計(jì)算變量的相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）.(2)求變量之間的線性回歸方程，并據(jù)此預(yù)測(cè)2023年6月份該公司的直播帶貨金額.參考數(shù)據(jù)：，參考公式：相關(guān)系數(shù)，線性回歸方程的斜率，截距.B能力提升15．（2023上·河南焦作·高二博愛(ài)縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎呷硨W(xué)生為了迎接高考，參加了學(xué)校的5次模擬考試，其中5次的模擬考試成績(jī)?nèi)绫硭?，次?shù)（x）12345考試成績(jī)（y）498499497501505設(shè)變量x，y滿足回歸直線方程．(1)假如高考也符合上述的模擬考試的回歸直線方程，高考看作第10次模擬考試，預(yù)測(cè)2024年的高考的成績(jī)；(2)從上面的5次考試成績(jī)中隨機(jī)抽取3次，其中2次成績(jī)都大于500分的概率．參考公式：回歸直線方程中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．16．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）2015—2019年，中國(guó)社會(huì)消費(fèi)品零售額占GDP的比重超過(guò)4種，2020年后，中國(guó)社會(huì)消費(fèi)品零售額占GDP的比重逐年下降．下表為2018—2022年中國(guó)社會(huì)消費(fèi)品零售額（單位：萬(wàn)億元）及其占GDP的比重y（單位：%）的數(shù)據(jù)，其中2018—2022年對(duì)應(yīng)的年份代碼x依次為1~5．年份代碼x12345社會(huì)消費(fèi)品零售額37.840.839.244.144.0社會(huì)消費(fèi)品零售額占GDP的比重y/%41.341.539.038.636.7(1)由上表數(shù)據(jù)，是否可用一元線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明．(2)請(qǐng)建立y關(guān)于x的一元線性回歸方程．(3)從2018—2022年中國(guó)社會(huì)消費(fèi)品零售額這5個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2個(gè)數(shù)據(jù)．若抽取的2個(gè)數(shù)據(jù)中至少有1個(gè)數(shù)據(jù)大于40.0，求這2個(gè)數(shù)據(jù)恰好有1個(gè)數(shù)據(jù)不小于44.0的概率．附：，，，，相關(guān)系數(shù)．對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其一元線性回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．17．（2023上·云南昆明·高三校考階段練習(xí)）云南省統(tǒng)計(jì)局發(fā)布《全省旅游業(yè)發(fā)展情況（2015-2022年）》報(bào)告，其中2015年至2022年游客總?cè)藬?shù)y（單位：億人次）的數(shù)據(jù)如下表：年份20152016201720182019202020212022年份代號(hào)x12345678游客總?cè)藬?shù)y3.34.35.76.98.15.36.58.4為了預(yù)測(cè)2023年云南省游客總?cè)藬?shù)，根據(jù)2015年至2022年游客總?cè)藬?shù)y的數(shù)據(jù)建立線性回歸模型一，得到回歸方程：，但由于受到2020年疫情影響，估計(jì)預(yù)測(cè)不準(zhǔn)確，若用2015年至2019年數(shù)據(jù)建立線性回歸模型二，得到回歸方程：(1)根據(jù)和預(yù)測(cè)2023年云南省游客總?cè)藬?shù)（預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)精確到0.1）；(2)為了檢驗(yàn)兩種模型的預(yù)測(cè)效果，對(duì)兩種模型作殘差分析得到：模型一：總偏差平方和，殘差平方和；模型二：總偏差平方和，殘差平方和，用來(lái)比較模型一與模型二的擬合效果（精確到0.001）；(3)根據(jù)2020年至2022年游客總?cè)藬?shù)y的數(shù)據(jù)建立線性回歸模型三，求回歸方程，并根據(jù)預(yù)測(cè)2023年云南省游客總?cè)藬?shù)（預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)精確到0.1）.參考公式：，，，.第02講8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用（8.2.1一元線性回歸模型+8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘法估計(jì)）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解一元線性回歸模型的含義，理解兩個(gè)變量之間隨機(jī)關(guān)系的一元線性回歸模型的作用與意義。②了解殘差在線性回歸與非線性回歸問(wèn)題的作用及意義。③了解一元線性回歸模型參數(shù)與最小二乘估計(jì)的推導(dǎo)過(guò)程，理解最小二乘估計(jì)的原理。④會(huì)結(jié)合題意求一元線性回歸方程。⑤會(huì)用相關(guān)指數(shù)進(jìn)行分析模型擬合的效果情況.。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)求一元線性回歸方程，會(huì)進(jìn)行殘差分析，能判斷回歸模型的擬合效果，能利用樣本數(shù)據(jù)建立統(tǒng)計(jì)模型并能進(jìn)行預(yù)測(cè)知識(shí)點(diǎn)1：一元線性回歸模型（1）一元線性回歸模型我們稱為關(guān)于的一元線性回歸模型，其中稱為因變量或響應(yīng)變量，稱為自變量或解釋變量；和為模型的未知參數(shù)，稱為截距參數(shù)，稱為斜率參數(shù)；是與之間的隨機(jī)誤差.（2）隨機(jī)誤差在線性回歸模型中，和為模型的未知參數(shù)，是與之間的誤差,通常為隨機(jī)變量，稱為隨機(jī)誤差.它的均值，方程.線性回歸模型的完整表達(dá)式為,在此模型中，隨機(jī)誤差的方差越小，用預(yù)報(bào)真實(shí)值的精度越高.知識(shí)點(diǎn)2：一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘法（1）經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求解法：最小二乘法回歸直線方程過(guò)樣本點(diǎn)的中心，是回歸直線方程最常用的一個(gè)特征；我們將稱為關(guān)于的線性回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線。這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做，的最小二乘估計(jì),其中稱為回歸系數(shù)，它實(shí)際上也就是經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率，為截距.其中【即學(xué)即練1】（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某校數(shù)學(xué)建模學(xué)生社團(tuán)進(jìn)行了一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)研究，采集了的一組數(shù)據(jù)如下表所示：23456752.54540302517.5該社團(tuán)對(duì)上述數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關(guān)關(guān)系．(1)畫(huà)出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并指出與之間的相關(guān)系數(shù)是正還是負(fù)；(2)求出關(guān)于的線性回歸方程，并寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的值．附：在線性回歸方程中，，其中為樣本平均值．【答案】(1)散點(diǎn)圖見(jiàn)解析，負(fù)(2)，【詳解】（1）由題意得散點(diǎn)圖如圖所示：由圖可知與之間成負(fù)相關(guān)關(guān)系，所以是負(fù)．（2）因?yàn)?，，，，所以，，∴關(guān)于線性回歸方程為，所以當(dāng)時(shí)，．（2）求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟①作出散點(diǎn)圖，判斷兩變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可求其經(jīng)驗(yàn)回歸方程；②列表求出,的值；③利用公式先計(jì)算,再根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心計(jì)算；④寫(xiě)出經(jīng)驗(yàn)回歸方程.求經(jīng)驗(yàn)回歸方程，關(guān)鍵在于正確求出系數(shù),,由于計(jì)算量較大，所以計(jì)算時(shí)要仔細(xì)謹(jǐn)慎、分層進(jìn)行，避免因計(jì)算產(chǎn)生錯(cuò)誤要特別注意，只有兩個(gè)變量呈線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程才有意義.（3）經(jīng)驗(yàn)回歸方程的性質(zhì)①經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定過(guò)點(diǎn),點(diǎn)通常稱為樣本點(diǎn)的中心；②一次函數(shù)的單調(diào)性由的符號(hào)決定，函數(shù)遞增的充要條件是；函數(shù)遞減的充要條件是.這說(shuō)明：與正相關(guān)的充要條件是；與負(fù)相關(guān)的充要條件是.③在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，是經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率，是截距.一般地，當(dāng)回歸系數(shù)時(shí)，說(shuō)明兩個(gè)變量呈正相關(guān)關(guān)系，它的意義是當(dāng)每增大一個(gè)單位時(shí)，平均增大個(gè)單位；當(dāng)時(shí)，說(shuō)明兩個(gè)變量呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，它的意義是當(dāng)每增大一個(gè)單位時(shí)，平均減小個(gè)單位.知識(shí)點(diǎn)3：殘差（1）殘差對(duì)于響應(yīng)變量，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差.（2）殘差圖作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．若殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越窄，則說(shuō)明擬合效果越好.（3）殘差分析殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過(guò)殘差的分析可以判斷模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.其步驟為：計(jì)算殘差化殘差圖在殘差圖中分析殘差特性.【即學(xué)即練2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，其樣本中心為，回歸方程為，則相應(yīng)于樣本點(diǎn)的殘差為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)闅埐钍菍?shí)際觀察值與估計(jì)值（擬合值）之間的差，所以相應(yīng)于樣本點(diǎn)的殘差為，故選：C.知識(shí)點(diǎn)4：決定系數(shù)（1）殘差平方和殘差平方和，殘差平方和越小，模型擬合效果越好，殘差平方和越大，模型擬合效果越差.（2）決定系數(shù)決定系數(shù)是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)，在線性模型中，它代表解釋變量客戶預(yù)報(bào)變量的能力.，越大，即擬合效果越好，越小，模型擬合效果越差.【即學(xué)即練3】（2023下·青海西寧·高二?？茧A段練習(xí)）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x，y的回歸模型時(shí)，分別選擇了4種不同模型，計(jì)算可得它們的相關(guān)指數(shù)R2分別如下表：甲乙丙丁R20.980.780.500.85建立的回歸模型擬合效果最好的同學(xué)是.【答案】選甲相關(guān)指數(shù)R2越大，表示回歸模型擬合效果越好．【詳解】相關(guān)指數(shù)越大，相關(guān)性越強(qiáng)，回歸模型擬合效果越好，所以效果最好的是甲．（3）決定系數(shù)與相關(guān)系數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別①相關(guān)系數(shù)反映兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱及正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，決定系數(shù)反映回歸模型的擬合效果.②在含有一個(gè)解釋變量的線性模型中，決定系數(shù)的數(shù)值是相關(guān)系數(shù)的平方，其變化范圍為，而相關(guān)系數(shù)的變化范圍為.③當(dāng)相關(guān)系數(shù)接近于1時(shí)，說(shuō)明兩變量的相關(guān)性較強(qiáng)，當(dāng)接近于0時(shí)，說(shuō)明兩變量的相關(guān)性較弱；而當(dāng)接近于1時(shí)，說(shuō)明經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果較好.題型01由散點(diǎn)圖判斷是否線性相關(guān)【典例1】（2023下·河南南陽(yáng)·高二唐河縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2003年春季，我國(guó)部分地區(qū)SARS流行，黨和政府采取果斷措施，防治結(jié)合，很快使病情得到控制，下表是某同學(xué)記載的5月1日至5月12日每天北京市SARS治愈者數(shù)據(jù)，以及根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪制出的散點(diǎn)圖日期5.15.25.35.45.55.65.75.85.95.105.115.12人數(shù)100109115118121134141152168175186203下列說(shuō)法：①根據(jù)此散點(diǎn)圖，可以判斷日期與人數(shù)具有線性相關(guān)關(guān)系；②根據(jù)此散點(diǎn)圖，可以判斷日期與人數(shù)具有一次函數(shù)關(guān)系.其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．以上都不對(duì)【答案】B【詳解】由題意，做出散點(diǎn)圖如下圖所示，

由圖可知，日期與人數(shù)具有線性相關(guān)關(guān)系，但不是一次函數(shù)關(guān)系，①正確，②錯(cuò)誤，故選：B.【典例2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）某個(gè)男孩的年齡與身高的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：年齡x（歲）123456身高y（cm）788798108115120(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖；(2)判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如果相關(guān)，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān)關(guān)系．【詳解】（1）散點(diǎn)圖如圖所示：

（2）由圖知，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)接近一條直線排列，因此，認(rèn)為y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān)關(guān)系．【變式1】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）下列四個(gè)圖中，兩個(gè)變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系的是（

）A．①② B．①②④ C．②③④ D．②④【答案】D【詳解】由圖可知，②④中的點(diǎn)集中在一條直線的附近，所以圖②④中的兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，故選：D.題型02求回歸直線方程【典例1】（2024上·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）大氣污染物（直徑不大于2.5的顆粒物）的濃度超過(guò)一定限度會(huì)影響人的身體健康．為研究濃度y（單位：）與汽車流量x（單位：千輛）的線性關(guān)系，研究人員選定了10個(gè)城市，在每個(gè)城市建立交通監(jiān)測(cè)點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)了24h內(nèi)過(guò)往的汽車流量以及同時(shí)段空氣中的濃度，得到如下數(shù)據(jù)：城市編號(hào)12345678910總和x1.3001.4440.7861.6521.7561.7541.2001.5001.2000.90813.5y667621170156120721201001291030并計(jì)算得，，．(1)求變量關(guān)于的線性回歸方程；(2)根據(jù)內(nèi)濃度確定空氣質(zhì)量等級(jí)，濃度在0～35為優(yōu)，35～75為良，75～115為輕度污染，115～150為中度污染，150～250為重度污染，已知某城市內(nèi)過(guò)往的汽車流量為1360輛，判斷該城市的空氣質(zhì)量等級(jí)．參考公式：線性回歸方程為，其中以．【答案】(1)(2)輕度污染【詳解】（1）由題意得，又因?yàn)?，所以所以所以變量y關(guān)于x的線性回歸方程為．（2）當(dāng)輛千輛時(shí)，可得因?yàn)樗栽摮鞘械目諝赓|(zhì)量等級(jí)為輕度污染．【典例2】（2024上·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）在入室盜竊類案件中，出現(xiàn)頻率最高的痕跡物證之一就是足跡．負(fù)重行走對(duì)足跡步伐特征影響的規(guī)律強(qiáng)，而且較為穩(wěn)定．正在行走的人在負(fù)重的同時(shí)，步長(zhǎng)變短，步寬變大，步角變大．因此，以身高分別為170cm，175cm，180cm的人員各20名作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，讓他們采取雙手胸前持重物的負(fù)重方式行走，得到實(shí)驗(yàn)對(duì)象在負(fù)重0kg，5kg，10kg，15kg，20kg狀態(tài)下相對(duì)穩(wěn)定的步長(zhǎng)數(shù)據(jù)平均值．并在不同身高情況下，建立足跡步長(zhǎng)s(單位：cm)關(guān)于負(fù)重x(單位：kg)的三個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程．根據(jù)身高170cm組數(shù)據(jù)建立線性回歸方程①：；根據(jù)身高175cm組數(shù)據(jù)建立線性回歸方程②：根據(jù)身高180cm組數(shù)據(jù)建立線性回歸方程③：．(1)根據(jù)身高180cm組的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求，的值，并解釋參數(shù)的含義；身高180cm不同負(fù)重情況下的步長(zhǎng)數(shù)據(jù)平均值負(fù)重x/kg05101520足跡步長(zhǎng)s/cm74.3573.5071.8068.6065.75(2)在一起盜竊案中，被盜竊物品重為9kg，在現(xiàn)場(chǎng)勘查過(guò)程中，測(cè)量得犯罪嫌疑人往返時(shí)足跡步長(zhǎng)的差值為4.464cm，推測(cè)該名嫌疑人的身高，并說(shuō)明理由．附：．為回歸方程，，，，【答案】(1)，，參數(shù)的含義詳見(jiàn)解析(2)嫌疑人身高為175cm，理由詳見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意可知：，，，所以，；的含義表示，負(fù)重每增加足跡步長(zhǎng)減少.（2）設(shè)被盜竊物品重為9kg時(shí)，身高170cm的步長(zhǎng)誤差為，高175cm的步長(zhǎng)誤差為，高180cm的步長(zhǎng)誤差為，由題意可得，，，，因?yàn)榕c測(cè)量得犯罪嫌疑人往返時(shí)足跡步長(zhǎng)的差值最接近，所以犯罪嫌疑人身高為175cm.【典例3】（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x（單位：萬(wàn)元）與銷售額y（萬(wàn)元）之間有如下一組數(shù)據(jù)：廣告費(fèi)支出x24568銷售額y3040605070(1)求出樣本點(diǎn)中心(2)求回歸直線方程（其中，）【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可得：，，所以樣本點(diǎn)中心為.（2）由題意可得：，，所以，，所以回歸直線方程為.【變式1】（2024上·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）近期，一些地方中小學(xué)生“課間10分鐘”問(wèn)題受到社會(huì)廣泛關(guān)注，國(guó)家號(hào)召中小學(xué)要增加學(xué)生的室外活動(dòng)時(shí)間．但是進(jìn)入12月后，天氣漸冷，很多學(xué)生因氣溫低而減少了外出活動(dòng)次數(shù)．為了解本班情況，一位同學(xué)統(tǒng)計(jì)了一周（5天）的氣溫變化和某一固定課間該班級(jí)的學(xué)生出樓人數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：溫度（零下）710111517出樓人數(shù)201617107(1)利用最小二乘法，求變量之間的線性回歸方程；附：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)：(2)預(yù)測(cè)當(dāng)溫度為時(shí)，該班級(jí)在本節(jié)課間的出樓人數(shù)（人數(shù)：四舍五入取整數(shù)）．(3)為了號(hào)召學(xué)生能夠增加室外活動(dòng)時(shí)間，學(xué)校舉行拔河比賽，采取3局2勝制（無(wú)平局）．在甲、乙兩班的較量中，甲班每局獲勝的概率均為，設(shè)隨機(jī)變量X表示甲班獲勝的局?jǐn)?shù)，求的分布列和期望．【答案】(1)(2)19(3)分布列見(jiàn)解析；期望為【詳解】（1）,,,，,回歸直線方程為.（2）當(dāng)時(shí)，（人）,所以，預(yù)測(cè)當(dāng)溫度為時(shí)，該班級(jí)在本節(jié)課間的出樓人數(shù)為19人．（3）隨機(jī)變量可取0，1，2.,,,所以的分布列為：012p所以的數(shù)學(xué)期望為.【變式2】（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下面給出了根據(jù)我國(guó)年年水果人均占有量（單位：）和年份代碼繪制的散點(diǎn)圖（年年的年份代碼分別為）．

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖分析與之間的相關(guān)關(guān)系；(2)根據(jù)散點(diǎn)圖相應(yīng)數(shù)據(jù)計(jì)算得，，求關(guān)于的線性回歸方程.（精確到）附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，【答案】(1)與之間是正相關(guān)關(guān)系(2)【詳解】（1）由散點(diǎn)圖可以看出，散點(diǎn)大致分布在某一直線的附近，且當(dāng)由小變大時(shí)，也由小變大，與之間是正相關(guān)關(guān)系.（2）由表格數(shù)據(jù)得：，，，，關(guān)于的線性回歸方程為．【變式3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得個(gè)樣本點(diǎn)，得到下表及散點(diǎn)圖.

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個(gè)適宜作為關(guān)于的回歸方程；（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果試建立與的回歸方程；（計(jì)算結(jié)果保留整數(shù)）參考公式：【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題中散點(diǎn)圖可以判斷，適宜作為關(guān)于的回歸方程；（2）令，則，原數(shù)據(jù)變?yōu)橛杀砜芍c近似具有線性相關(guān)關(guān)系，計(jì)算得，，，所以，，則.所以關(guān)于的回歸方程是.題型03求樣本中心(根據(jù)樣本中心求參數(shù)）【典例1】（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)如下：x0123y-5-4.5-4.2-3.5其線性回歸直線方程為，則回歸直線經(jīng)過(guò)（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限【答案】D【詳解】解：由圖表中的數(shù)據(jù)知：x，y呈正相關(guān)，所以，又，則樣本中心為，在第四象限，所以回歸直線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，故選：D【典例2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知取表中的數(shù)值，若具有線性相關(guān)關(guān)系，線性回歸方程為，則＝（

）0134a4.34.86.7A．2.2 B．2.4 C．2.5 D．2.6【答案】A【詳解】由題意可知：，，所以樣本中心為，代入回歸方程有：，解得.故選：.【典例3】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）某公司一種型號(hào)的產(chǎn)品近期銷售情況如表：月份23456銷售額（萬(wàn)元）15.116.317.017.218.4根據(jù)上表可得到回歸直線方程，據(jù)此估計(jì)，該公司7月份這種型號(hào)產(chǎn)品的銷售額為（

）A．18.85萬(wàn)元 B．19.3萬(wàn)元 C．19.25萬(wàn)元 D．19.05萬(wàn)元【答案】D【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得，，因?yàn)榛貧w直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心，所以，解得，所以回歸直線方程為，則該公司7月份這種型號(hào)產(chǎn)品的銷售額為萬(wàn)元.故選：D【典例4】（多選）（2024上·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）某電商平臺(tái)為了對(duì)某一產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，采用不同的單價(jià)在平臺(tái)試銷，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：?jiǎn)蝺r(jià)x/元88.599.510銷量y/萬(wàn)件8985807868根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到與具有較強(qiáng)的線性關(guān)系，若用最小二乘估計(jì)得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（

）A．相關(guān)系數(shù) B．點(diǎn)一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上C． D．時(shí)，對(duì)應(yīng)銷量的殘差為【答案】BC【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得，所以樣本中心為，故在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上，B正確，由可得與具負(fù)相關(guān)，故A錯(cuò)誤，將代入可得，解得，C正確，當(dāng)時(shí)，，所以殘差為，D錯(cuò)誤，故選：BC【變式1】（2024上·四川綿陽(yáng)·高二綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357則y與x的線性回歸方程為必過(guò)點(diǎn)（

）A．（2，2） B．（1.5，0）C．（1.5，4） D．（1，

2）【答案】C【詳解】由已知，，所以回歸直線一定過(guò)中心點(diǎn)．故選：C．【變式2】（2024上·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┮阎兞縳，γ呈線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為，且變量x，y的樣本數(shù)據(jù)如下表所示x-2-1012y54m21據(jù)此計(jì)算出在時(shí)，預(yù)測(cè)值為-0.2，則m的值為（

）A．3 B．2.8 C．2 D．1【答案】C【詳解】由題意知回歸方程為過(guò)點(diǎn)，則，即；又，，由于回歸方程為必過(guò)樣本中心點(diǎn)，故，故選：C【變式3】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）變量x，y的數(shù)據(jù)如下所示：x54321y21.5110.5回歸直線恒過(guò)點(diǎn)．【答案】【詳解】變量的平均值為，變量的平均值為，故回歸直線恒過(guò)點(diǎn).故答案為：.【變式4】（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某地建立了農(nóng)業(yè)科技圖書(shū)館，供農(nóng)民免費(fèi)借閱，收集了近5年的借閱數(shù)據(jù)如下表：年份20192020202120222023年份代碼12345年借閱量萬(wàn)冊(cè)4.95.15.55.75.8根據(jù)上表，可得關(guān)于的線性回歸方程為.則.【答案】【詳解】根據(jù)表格可知，，，代入，可得.故答案為：題型04根據(jù)回歸直線方程估計(jì)數(shù)據(jù)【典例1】（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高三校聯(lián)考期末）已知在特定的時(shí)期內(nèi)某人在一個(gè)月內(nèi)每天投入的體育鍛煉時(shí)間（分鐘）與一個(gè)月內(nèi)減輕的體重（斤）的一組數(shù)據(jù)如表所示：3040506070一個(gè)月內(nèi)減輕的體重與每天投入的體育鍛煉時(shí)間之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是，據(jù)此模型估計(jì)當(dāng)此人在一個(gè)月內(nèi)每天投入的體育鍛煉時(shí)間為90分鐘時(shí)，該月內(nèi)減輕的體重約為（

）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤【答案】A【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得，，將代入得，解得，即，則當(dāng)時(shí)，.故選：A.【典例2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）某科學(xué)興趣小組的同學(xué)認(rèn)為生物都是由蛋白質(zhì)構(gòu)成的，高溫可以使蛋白質(zhì)變性失活，于是想初步探究某微生物的成活率與溫度的關(guān)系，微生物數(shù)量（個(gè)）與溫度的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：溫度481018微生物數(shù)量（個(gè)）30221814由表中數(shù)據(jù)算得回歸方程為，預(yù)測(cè)當(dāng)溫度為時(shí)，微生物數(shù)量為個(gè).【答案】9【詳解】由表格數(shù)據(jù)可知，，，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，即，故當(dāng)時(shí)，，即預(yù)測(cè)當(dāng)溫度為時(shí)，微生物數(shù)量為9個(gè).故答案為：9【變式1】（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如果在一次實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得的五組數(shù)值如下表所示，經(jīng)計(jì)算知，y對(duì)x的線性回歸方程是，預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)，（

）x01234y1015203035A．73.5 B．74 C．74.5 D．75【答案】B【詳解】由題意可得：，即樣本中心點(diǎn)為，則，解得，所以，令時(shí)，，預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)，.故選：B【變式2】（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）牛膝是莧科多年生藥用草本植物，具有活血通經(jīng)、補(bǔ)肝腎、強(qiáng)筋骨等功效，可用于治療腰膝酸痛等癥狀．某農(nóng)戶種植牛膝的時(shí)間（單位：天）和牛膝的根部直徑（單位：）的統(tǒng)計(jì)表如下：20304050600.81.32.23.34.5由上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若此農(nóng)戶準(zhǔn)備在時(shí)采收牛膝，據(jù)此模型預(yù)測(cè)，此批牛滕采收時(shí)間預(yù)計(jì)是第天．【答案】110【詳解】，，又過(guò)點(diǎn)，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以此批牛膝采收時(shí)間預(yù)計(jì)是第110天．故答案為：110題型05殘差計(jì)算【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，，根據(jù)這組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖分析與之間的線性相關(guān)關(guān)系，若求得其線性回歸方程為，則在樣本點(diǎn)處的殘差為（

）A．38.1 B．22.6 C． D．91.1【答案】C【詳解】因?yàn)橛^測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差，所以當(dāng)時(shí)，，所以殘差為.故選：C.【典例2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學(xué)?？家荒＃?duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)（），其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且，，則相應(yīng)于點(diǎn)的殘差為．【答案】/【詳解】經(jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心，，，經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．當(dāng)時(shí)，，殘差為．故答案為：.【典例3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）隨機(jī)選取變量和變量的對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)，選取的第對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)記為，其數(shù)值對(duì)應(yīng)如下表所示：編號(hào)計(jì)算得：，，，，．(1)求變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)（小數(shù)點(diǎn)后保留位），判斷這兩個(gè)變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，并推斷它們的線性相關(guān)程度；(2)假設(shè)變量關(guān)于的一元線性回歸模型為.（?。┣箨P(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)的值；（ⅱ）設(shè)為時(shí)該回歸模型的殘差，求、、、、的方差．參考公式：，，．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)①答案見(jiàn)解析；②【詳解】（1）解：，所以，這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，且具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性.（2）解：①，則，所以，關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，當(dāng)時(shí)，則，所以，當(dāng)時(shí)，的預(yù)測(cè)值為；②由，計(jì)算得該回歸模型的殘差如下表所示：所以，殘差的方差為.【變式1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，，，的散點(diǎn)圖分析x與y之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系，求得其線性回歸方程為，則在樣本點(diǎn)處的殘差為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】把代入，得，所以在樣本點(diǎn)處的殘差.故選：B.【變式2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高x（單位：cm）與體重y（單位：kg）數(shù)據(jù)如下表：x165165157170175165155170y4857505464614359若已知y與x的線性回歸方程為，設(shè)殘差記為觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值之間的差（即殘差）那么選取的女大學(xué)生身高為175cm時(shí)，相應(yīng)的殘差為.【答案】4【詳解】已知y與x的線性同歸方程為當(dāng)時(shí)：，相應(yīng)的殘差為：故答案為：4【變式3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）高中女學(xué)生的身高預(yù)報(bào)體重的回歸方程是（其中，的單位分別是cm，kg），則此方程在樣本點(diǎn)處的殘差是.【答案】1.5【詳解】由樣本數(shù)據(jù)得到，女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)體重的回歸方程是，當(dāng)時(shí)，，此方程在樣本處殘差為：.故答案為：1.5.題型06相關(guān)指數(shù)計(jì)算【典例1】（2024上·全國(guó)·高三期末）2021年6月17日9時(shí)22分，我國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征2F遙十二運(yùn)載火箭，成功將神舟十二號(hào)載人飛船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝?劉伯明?湯洪波3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功，這標(biāo)志著中國(guó)人首次進(jìn)入自己的空間站.某公司負(fù)責(zé)生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號(hào)的重要零件，該材料應(yīng)用前景十分廣泛.該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到應(yīng)用改造投入x（億元）與產(chǎn)品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：，模型②：；序號(hào)1234567x234681013y15222740485460(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，比較模型①，②的相關(guān)指數(shù)的大??；(2)據(jù)（2）選擇擬合精度更高?更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益.附：刻畫(huà)回歸效果的相關(guān)指數(shù)，且當(dāng)越大時(shí)，回歸方程的擬合效果越好..回歸模型模型①模型②79.3120.2【答案】(1)(2)收益為【詳解】（1）對(duì)于模型①，對(duì)應(yīng)的，故對(duì)應(yīng)的，故對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，對(duì)于模型②，同理對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，.（2）故模型②擬合精度更高?更可靠.故對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益為.【典例2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知與之間的數(shù)據(jù)如下表：（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（2）完成下面的殘差表：并判斷（1）中線性回歸方程的回歸效果是否良好（若，則認(rèn)為回歸效果良好）.附：，，，.【答案】（1）；（2）表格見(jiàn)解析，良好.【詳解】（1）由已知圖表可得，，，，則，，故.（2）∵，∴，，，，，則殘差表如下表所示，∵，∴，∴該線性回歸方程的回歸效果良好.【典例3】（2021下·山東青島·高二統(tǒng)考期中）現(xiàn)代物流成為繼勞動(dòng)力、自然資源外影響企業(yè)生產(chǎn)成本及利潤(rùn)的重要因素．某企業(yè)去年前八個(gè)月的物流成本和企業(yè)利潤(rùn)的數(shù)據(jù)（單位：萬(wàn)元）如下表所示：月份物流成本利潤(rùn)殘差根據(jù)最小二乘法公式求得線性回歸方程為．（1）求的值，并利用已知的線性回歸方程求出月份對(duì)應(yīng)的殘差值；（2）請(qǐng)先求出線性回歸模型的決定系數(shù)（精確到）；若根據(jù)非線性模型求得解釋變量（物流成本）對(duì)于響應(yīng)變量（利潤(rùn)）決定系數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明以上兩種模型哪種模型擬合效果更好？（3）通過(guò)殘差分析，懷疑殘差絕對(duì)值最大的那組數(shù)據(jù)有誤，經(jīng)再次核實(shí)后發(fā)現(xiàn)其真正利潤(rùn)應(yīng)該為萬(wàn)元．請(qǐng)重新根據(jù)最小二乘法的思想與公式，求出新的線性回歸方程．附1（修正前的參考數(shù)據(jù)）：，，，．附2：．附3：，．【答案】（1），；（2）；線性回歸模型擬合程度更好；（3）．【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，解得，所以月份?duì)應(yīng)的殘差值；（2）由已知公式得，，所以線性回歸模型擬合程度更好；（3）由（1）可知，第八組數(shù)據(jù)的利潤(rùn)應(yīng)為（萬(wàn)元）此時(shí)，又，，，所以，所以，所以重新采集數(shù)據(jù)后，線性回歸方程為.【變式1】（2022下·寧夏·高二六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）有一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和，根據(jù)數(shù)據(jù)建立了如下的兩個(gè)模型：①，②.通過(guò)殘差分析發(fā)現(xiàn)第①個(gè)線性模型比第②個(gè)線性模型擬合效果好.若分別是相關(guān)指數(shù)和殘差平方和，則下列結(jié)論正確的是.①＞，②＜，③＜，④＞.【答案】①③【詳解】解：用相關(guān)指數(shù)的值判斷模型的擬合效果，越大，說(shuō)明殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，因?yàn)榈冖賯€(gè)線性模型比第②個(gè)線性模型擬合效果好，所以，；故答案為：①③【變式2】（2023上·重慶·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）混凝土的抗壓強(qiáng)度x較容易測(cè)定，而抗剪強(qiáng)度y不易測(cè)定，工程中希望建立一種能由x推算y的經(jīng)驗(yàn)公式，下表列出了現(xiàn)有的9對(duì)數(shù)據(jù)，分別為，，…，．x141152168182195204223254277y23.124.227.227.828.731.432.534.836.2以成對(duì)數(shù)據(jù)的抗壓強(qiáng)度x為橫坐標(biāo)，抗剪強(qiáng)度y為縱坐標(biāo)作出散點(diǎn)圖，如圖所示．(1)從上表中任選2個(gè)成對(duì)數(shù)據(jù)，求該樣本量為2的樣本相關(guān)系數(shù)r．結(jié)合r值分析，由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)是否一定能確切地反映變量之間的線性相關(guān)關(guān)系？(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，我們選擇兩種不同的函數(shù)模型作為回歸曲線，根據(jù)一元線性回歸模型及最小二乘法，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程分別為：①，②．經(jīng)驗(yàn)回歸方程①和②的殘差計(jì)算公式分別為，，．（?。┣?；（ⅱ）經(jīng)計(jì)算得經(jīng)驗(yàn)回歸方程①和②的殘差平方和分別為，，經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的決定系數(shù)，求經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的決定系數(shù)．附：相關(guān)系數(shù)，決定系數(shù)，．【答案】(1)，答案見(jiàn)解析(2)（ⅰ）0；（ⅱ）0.9847【詳解】（1）不妨設(shè)選擇的成對(duì)數(shù)據(jù)分別為，，則．又由表格數(shù)據(jù)得，當(dāng)時(shí)，，則．因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)樣本點(diǎn)都在一條直線上，則樣本量為2的樣本相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值都是1（在樣本相關(guān)系數(shù)存在的情況下），顯然據(jù)此推斷兩個(gè)變量完全線性相關(guān)是不合理的．樣本相關(guān)系數(shù)可以反映變量之間相關(guān)的正負(fù)性及線性相關(guān)的程度，但由于樣本數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，樣本相關(guān)系數(shù)往往不能確切地反映變量之間的相關(guān)關(guān)系．一般來(lái)說(shuō)，樣本量越大，根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)推新變量之間相關(guān)的正負(fù)性及線性相關(guān)的程度越可靠，而樣本量越小，則越不可靠．（2）（?。ㄖ本€經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)的中心）．（ⅱ）∵，∴，則，越大，越接近于1，則模型的擬合效果越好，因此經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的擬合效果更好，為最優(yōu)模型．【變式3】（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考二模）車胎凹槽深度是影響汽車剎車的因素，汽車行駛會(huì)導(dǎo)致輪胎胎面磨損.某實(shí)驗(yàn)室通過(guò)試驗(yàn)測(cè)得行駛里程與某品牌輪胎凹槽深度的數(shù)據(jù)如下：行駛里程/萬(wàn)km0.000.641.291.932.573.223.864.515.15輪胎凹槽深度/mm10.028.377.396.485.825.204.554.163.82以行駛里程為橫坐標(biāo)、輪胎凹槽深度為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖，如圖所示.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖，可認(rèn)為散點(diǎn)集中在直線附近，由此判斷行駛里程與輪胎凹槽深度線性相關(guān)，并計(jì)算得如下數(shù)據(jù)，請(qǐng)求出行駛里程與輪胎凹槽深度的相關(guān)系數(shù)（保留兩位有效數(shù)字），并推斷它們線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱；2.576.20115.1029.46附：相關(guān)系數(shù)(2)通過(guò)散點(diǎn)圖，也可認(rèn)為散點(diǎn)集中在曲線附近，考慮使用對(duì)數(shù)回歸模型，并求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程及該模型的決定系數(shù).已知（1）中的線性回歸模型為，在同一坐標(biāo)系作出這兩個(gè)模型，據(jù)圖直觀回答：哪個(gè)模型的擬合效果更好？并用決定系數(shù)驗(yàn)證你的觀察所得.附：線性回歸模型中，決定系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即.【答案】(1)，相關(guān)性較強(qiáng)(2)答案見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意，，∵，∴，∴行駛里程與輪胎凹楳深度成負(fù)相關(guān)，且相關(guān)性較強(qiáng).（2）由圖像可知，車胎凹槽深度與對(duì)數(shù)回歸預(yù)報(bào)值殘差、偏離更小，擬合度更高，線性回歸預(yù)報(bào)值偏美較大.由題（1）得線性回歸模型的相關(guān)系數(shù)，決定系數(shù)，由題意，對(duì)數(shù)回歸模型的決定系數(shù)，∵，∴對(duì)數(shù)回歸模型的擬合度更高.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）已知變量x，y之間的線性回歸方程為，且變量x，y之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，x2468y58.213m則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．變量y與x是負(fù)相關(guān)關(guān)系C．該回歸直線必過(guò)點(diǎn)D．x增加1個(gè)單位，y一定增加2個(gè)單位【答案】C【分析】根據(jù)給定數(shù)據(jù)及回歸方程求出樣本中心點(diǎn)，再逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】依題意，，由，解得，A錯(cuò)誤；回歸方程中，，則變量y與x是正相關(guān)關(guān)系，B錯(cuò)誤；由于樣本中心點(diǎn)為，因此該回歸直線必過(guò)點(diǎn)，C正確；由回歸方程知，x增加1個(gè)單位，y大約增加2個(gè)單位，D錯(cuò)誤.故選：C2．（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）變量，之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：44.55.56121110已知變量對(duì)呈線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為，則的值是（）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】計(jì)算出，代入回歸方程，求出的值.【詳解】，則有，解得故選：B.3．（2024上·全國(guó)·高三期末）某同學(xué)在研究變量之間的相關(guān)關(guān)系時(shí)，得到以下數(shù)據(jù)：并采用最小二乘法得到了線性回歸方程，則（

）4.85.878.39.12.84.17.29.111.8A． B． C． D．【答案】D【分析】畫(huà)出散點(diǎn)圖，數(shù)形結(jié)合得到答案.【詳解】畫(huà)出散點(diǎn)圖如下：

從而可以看出中，.故選：D4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列四幅殘差分析圖中，與一元線性回歸模型擬合精度最高的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)殘差的特點(diǎn)，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明這樣的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高．即可得到答案．【詳解】用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明這樣的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高，顯然D選項(xiàng)的擬合精度最高.故選：D.5．（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）一組成對(duì)數(shù)據(jù)樣本中心點(diǎn)為，由這組數(shù)據(jù)擬合的線性回歸方程為，用最小二乘法求回歸方程是為了使（

）最小.A．總偏差平方和 B．殘差平方和C．回歸平方和 D．豎直距離和【答案】B【分析】使用最小二乘法的定義進(jìn)行求解.【詳解】最小二乘法求回歸方程，是為了使殘差平方和最小，B正確；其他選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為研究每平方米平均建筑費(fèi)用與樓層數(shù)的關(guān)系，某開(kāi)發(fā)商收集了一棟住宅樓在建筑過(guò)程中，建筑費(fèi)用的相關(guān)信息，將總樓層數(shù)與每平米平均建筑成本（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)整理成如圖所示的散點(diǎn)圖：則下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費(fèi)用和樓層數(shù)的回歸方程類型的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】通過(guò)觀察散點(diǎn)圖并結(jié)合選項(xiàng)函數(shù)的類型得出結(jié)果.【詳解】觀察散點(diǎn)圖，可知是一個(gè)單調(diào)遞減的曲線圖，結(jié)合選項(xiàng)函數(shù)的類型可得回歸方程類型是反比例類型，故C正確.故選：C.7．（2024上·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）某學(xué)校一同學(xué)研究溫差（單位：℃）與本校當(dāng)天新增感冒人數(shù)（單位：人）的關(guān)系，該同學(xué)記錄了5天的數(shù)據(jù)：5689121620252836由上表中數(shù)據(jù)求得溫差與新增感冒人數(shù)滿足經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．與有正相關(guān)關(guān)系 B．經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C． D．時(shí)，殘差為0.2【答案】C【分析】根據(jù)和的變化規(guī)律，即可判斷A；計(jì)算，即可判斷B；將樣本點(diǎn)中心代入回歸直線方程，即可求，即可判斷C；根據(jù)回歸直線方程計(jì)算時(shí)的，計(jì)算，即可判斷D.【詳解】由表格可知，越大，越大，所以與有正相關(guān)關(guān)系，故A正確；，，樣本點(diǎn)中心為，經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故B正確；將樣本點(diǎn)中心代入直線方程，得，所以，故C錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，，，故D正確.故選：C8．（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知一組成對(duì)數(shù)據(jù)中y關(guān)于x的一元非線性回歸方程，已知，則（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，求得和的平均數(shù)，根據(jù)樣本中心滿足回歸方程，即可求解.【詳解】因?yàn)閥關(guān)于x的一元非線性回歸方程，設(shè)，則回歸直線方程，又因?yàn)?，可得，即樣本中心為，將樣本中心代入回歸直線方程，可得，解得，即.故選：B.二、多選題9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）下列有關(guān)回歸分析的結(jié)論中，正確的有（

）A．若回歸方程為，則變量y與x負(fù)相關(guān)B．運(yùn)用最小二乘法求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心C．若決定系數(shù)的值越接近于1，表示回歸模型的擬合效果越好D．若散點(diǎn)圖中所有點(diǎn)都在直線上，則相關(guān)系數(shù)【答案】ABC【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)案例相關(guān)知識(shí)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)榛貧w方程為，可知，所以變量y與x負(fù)相關(guān)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由線性回歸方程的性質(zhì)可知：回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：決定系數(shù)的值越接近于1，表示回歸模型的擬合效果越好，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：散點(diǎn)圖中所有點(diǎn)都在直線上，則，且，所以變量y與x正相關(guān)，即，可知，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．10．（2024上·廣東揭陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）2023年入冬以來(lái)，流感高發(fā)，某醫(yī)院統(tǒng)計(jì)了一周中連續(xù)5天的流感就診人數(shù)y與第天的數(shù)據(jù)如表所示．x12345y2110a15a90109根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知x，y具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（

）A．樣本相關(guān)系數(shù)在內(nèi) B．當(dāng)時(shí)，殘差為-2C．點(diǎn)一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上 D．第6天到該醫(yī)院就診人數(shù)的預(yù)測(cè)值為130【答案】AD【分析】x，y具有較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系，可判斷相關(guān)系數(shù)的范圍，判斷A；計(jì)算x，y的平均值，代入回歸直線方程求出a的值，即可求出時(shí)的預(yù)測(cè)值，求得殘差，判斷B；看是否適合回歸直線方程，判斷C；將代入回歸直線方程，求出預(yù)測(cè)值，判斷D.【詳解】由題意可知x，y具有較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系，故樣本相關(guān)系數(shù)在內(nèi)，A正確；根據(jù)題意得，故，解得，故當(dāng)時(shí)，，殘差為，B錯(cuò)誤；點(diǎn)即點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)不在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，即第6天到該醫(yī)院就診人數(shù)的預(yù)測(cè)值為130，D正確，故選：AD三、填空題11．（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）某同學(xué)收集了變量，的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：x0.5233.545y15為了研究，的相關(guān)關(guān)系，他由最小二乘法求得關(guān)于的線性回歸方程為，經(jīng)驗(yàn)證回歸直線正好經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)，則．【答案】69【分析】結(jié)合線性回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)求解.【詳解】因?yàn)榫€性回歸方程經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)，所以.因?yàn)椋?，所?所以：.故答案為：6912．（2023·高二單元測(cè)試）下列關(guān)于回歸分析的說(shuō)法正確的是（填上所有正確說(shuō)法的序號(hào)）①相關(guān)系數(shù)越小，兩個(gè)變量的相關(guān)程度越弱；②殘差平方和越大的模型，擬合效果越好；③用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫(huà)回歸效果時(shí)，越小，說(shuō)明模型的擬合效果越好；④用最小二乘法求回歸直線方程，是尋求使取最小值時(shí)的、的值；⑤在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說(shuō)明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，模型擬合精度越高.【答案】④⑤【分析】利用相關(guān)系數(shù)與兩個(gè)變量的相關(guān)程度的關(guān)系可判斷①；利用殘差的定義可判斷②；利用相關(guān)指數(shù)與模型的擬