人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊重點(diǎn)壓軸題專項(xiàng)講練24.3坐標(biāo)系中圓的綜合(壓軸題專項(xiàng)講練)(學(xué)生版+解析)

專題24.3坐標(biāo)系中圓的綜合【典例1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)P和線段AB，若線段PA或PB的垂直平分線與線段AB有公共點(diǎn)，則稱點(diǎn)P為線段AB的融合點(diǎn)．（1）已知A3，0①在點(diǎn)P16，0，P2②若直線y=t上存在線段AB的融合點(diǎn)，求t的取值范圍；（2）已知⊙O的半徑為4，Aa,0，Ba+1,0，直線l過點(diǎn)T0,?1，記線段AB關(guān)于l的對稱線段為A'B'．若對于實(shí)數(shù)a，存在直線l，使得【思路點(diǎn)撥】（1）①畫出對應(yīng)線段的垂直平分線，再根據(jù)融合點(diǎn)的定義進(jìn)行判斷即可；②先確定線段AB融合點(diǎn)的軌跡為分別以點(diǎn)A，B為圓心，AB長為半徑的圓及兩圓內(nèi)區(qū)域，則當(dāng)直線y=t與兩圓相切時(shí)是臨界點(diǎn)，據(jù)此求解即可；（2）先推理出A'B'的融合點(diǎn)的軌跡即為以T為圓心，TA?1的長為半徑的圓和以T為圓心，以TB+1的長為半徑的圓的組成的圓環(huán)上（包括兩個(gè)圓上），再求出兩個(gè)圓分別與⊙O【解題過程】（1）解：①如圖所示，根據(jù)題意可知P1，P3是線段故答案為；P1，P②如圖1所示，設(shè)PA的垂直平分線與線段AB的交點(diǎn)為Q，∵點(diǎn)Q在線段PA的垂直平分線上，∴PQ=AQ，∴當(dāng)點(diǎn)Q固定時(shí)，則點(diǎn)P在以Q為圓心，AQ的長為半徑的圓上，∴當(dāng)點(diǎn)Q在AB上移動(dòng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡即線段AB的融合點(diǎn)的軌跡為分別以點(diǎn)A，B為圓心，AB長為半徑的圓及兩圓內(nèi)區(qū)域．當(dāng)直線y=t與兩圓相切時(shí)，記為l1，l∵A3，0∴AB=2,∴t=2或t=?2．∴當(dāng)?2≤t≤2時(shí)，直線y=t上存在線段AB的融合點(diǎn)．（2）解：如圖3-1所示，假設(shè)線段AB位置確定，由軸對稱的性質(zhì)可知TA=TA∴點(diǎn)A'在以T為圓心，TA的長為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B'在以T為圓心，以∴A'B'的融合點(diǎn)的軌跡即為以T為圓心，TA?1的長為半徑的圓和以T當(dāng)TA<TB時(shí)，如圖3-2所示，當(dāng)以T為圓心，TA?1為半徑的圓與⊙O外切時(shí)，∴TA?1=4+1，∴0?a2∴a2∴a=35如圖3-3所示，當(dāng)以T為圓心，TB+1為半徑的圓與⊙O內(nèi)切時(shí)，∴TB+1=3，∴0?a?12∴a2∴a=3∴3?1≤a≤35時(shí)，存在直線l，使得⊙O上有同理當(dāng)TA>TB時(shí)，當(dāng)以T為圓心，TB?1為半徑的圓與⊙O外切時(shí)，∴TB?1=4+1，∴0?a?12∴a2∴a=?35當(dāng)以T為圓心，TA+1為半徑的圓與⊙O內(nèi)切時(shí)，∴TA+1=3，∴0?a2∴a2∴a=?3∴?35?1≤a≤?3時(shí)，存在直線l，使得⊙O綜上所述，當(dāng)3?1≤a≤35或?35?1≤a≤?3時(shí)存在直線l1．（2022·寧夏固原·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)Px0,y0到直線Ax+By+c=0A2+B2≠0的距離公式為：d=Ax0+By0+CA（1）求點(diǎn)P11,?1到直線（2）已知：⊙C是以點(diǎn)C2,1為圓心，1為半徑的圓，⊙C與直線y=?34（3）如圖，設(shè)點(diǎn)P為問題2中⊙C上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)A，B為直線3x+4y+5=0上的兩點(diǎn)，且AB=2，請求出△ABP面積的最大值和最小值．2．（2022·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校?？级＃c(diǎn)P是平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)且不在坐標(biāo)軸上，過點(diǎn)P向x軸，y軸作垂線段，若垂線段的長度的和為4，則點(diǎn)P叫做“垂距點(diǎn)”．例如：下圖中的P1（1）在點(diǎn)A2，2，B32（2）求函數(shù)y=2x+3的圖象上的“垂距點(diǎn)”的坐標(biāo)；（3）⊙T的圓心T的坐標(biāo)為1，0，半徑為r．若⊙T上存在“垂距點(diǎn)”，則r3．（2022秋·北京豐臺(tái)·九年級(jí)北京市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙C,給出如下定義:連接PC交⊙C于點(diǎn)N,若點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)Q在⊙C的內(nèi)部，則稱點(diǎn)P是⊙C的外稱點(diǎn).（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，①在點(diǎn)D?1,?1，E2,0，F(xiàn)0,4②若點(diǎn)Mm,n為⊙O的外稱點(diǎn)，且線段MO交⊙O于點(diǎn)G22（2）直線y=?x+b過點(diǎn)A1,1，與x軸交于點(diǎn)B.⊙T的圓心為Tt,0,半徑為1若線段AB上的所有點(diǎn)都是⊙T的外稱點(diǎn)，請直接寫出4．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形P，Q，給出如下定義：M為圖形P上任意一點(diǎn)，N為圖形Q上任意一點(diǎn)，如果M，N兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱這個(gè)最小值為圖形P，Q間的“非常距離”，記作dP,Q．已知點(diǎn)A?2,2，B2,2（1）d（點(diǎn)O，AB）＝；（2）⊙O半徑為r，若d⊙O,AB=0，直接寫出（3）⊙O半徑為r，若將點(diǎn)A繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°0°<α<180°，得到點(diǎn)A①當(dāng)α=30°時(shí)d⊙O,A'②對于取定的r值，若存在兩個(gè)α使d⊙O,A'5．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)?？计谥校τ谄矫鎯?nèi)的⊙C和⊙C外一點(diǎn)Q，給出如下定義：若過點(diǎn)Q的直線與⊙C存在公共點(diǎn)，記為點(diǎn)A，B，設(shè)k=AQ+BQCQ，則稱點(diǎn)A（或點(diǎn)B）是⊙C的“K相關(guān)依附點(diǎn)”，特別地，當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B重合時(shí)，規(guī)定AQ=BQ，k=2AQ已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中，Q(-1,0)，C(1,0)，⊙C的半徑為r．（1）如圖1，當(dāng)r=2①若A1(0,1)是⊙C的“k相關(guān)依附點(diǎn)”，求k的值．②A2(1+2，0)是否為⊙C的“2相關(guān)依附點(diǎn)”．（2）若⊙C上存在“k相關(guān)依附點(diǎn)”點(diǎn)M，①當(dāng)r=1，直線QM與⊙C相切時(shí)，求k的值．②當(dāng)k=3（3）若存在r的值使得直線y=?3x+b與⊙C有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)時(shí)⊙C的“6．（2022秋·北京·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P，給出如下定義：記點(diǎn)P到x軸的距離為d1，到y(tǒng)軸的距離為d2，若d1≤d2，則稱d1為點(diǎn)P的“引力值”；若d1＞d2，則稱d2為點(diǎn)P的“引力值”．特別地，若點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，則點(diǎn)P的“引力值”為0．例如，點(diǎn)P（﹣2，3）到x軸的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為2，因?yàn)?＜3，所以點(diǎn)P的“引力值”為2．（1）①點(diǎn)A（﹣1，4）的“引力值”為；②若點(diǎn)B（a，3）的“引力值”為2，則a的值為；（2）若點(diǎn)C在直線y＝﹣2x+4上，且點(diǎn)C的“引力值”為2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)M是以（3，4）為圓心，半徑為2的圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)M的“引力值”d的取值范圍是．7．（2022·浙江溫州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）M（﹣1，?12），N（1，?12）是平面直角坐標(biāo)系xOy中的兩點(diǎn)，若平面內(nèi)直線MN上方的點(diǎn)P滿足：45°≤∠MPN≤90°，則稱點(diǎn)（1）在點(diǎn)A1(0，12)，A2(12，0)（2）若點(diǎn)B是直線y＝x+12上線段MN的可視點(diǎn)，求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)（3）直線y＝x+b（b≠0）與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，若線段CD上存在線段MN的可視點(diǎn)，直接寫出b的取值范圍．8．（2022·北京密云·統(tǒng)考二模）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P2,3與圖形T，給出如下定義：在點(diǎn)P與圖形T上各點(diǎn)連接的所有線段中，線段長度的最大值與最小值的差，稱為圖形T關(guān)于點(diǎn)P（1）如圖，⊙O的半徑為2，且與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)．①線段AB關(guān)于點(diǎn)P的“寬距”為______；⊙O關(guān)于點(diǎn)P的“寬距”為______．②點(diǎn)Mm,0為x軸正半軸上的一點(diǎn)，當(dāng)線段AM關(guān)于點(diǎn)P的“寬距”為2時(shí)，求m（2）已知一次函數(shù)y=x+1的圖象分別與x軸、y軸交于D、E兩點(diǎn)，⊙C的圓心在x軸上，且⊙C的半徑為1．若線段DE上的任意一點(diǎn)K都能使得⊙C關(guān)于點(diǎn)K的“寬距”為2，直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)xC9．（2023·北京海淀·九年級(jí)期末）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形G和點(diǎn)P給出如下定義；Q為圖形G上任意一點(diǎn)，若P，Q兩點(diǎn)間距離的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的k倍，則稱點(diǎn)P為圖形G的“k分點(diǎn)”．已知點(diǎn)N3，0，A1，（1）①在點(diǎn)A，B，C中，線段ON的“2分點(diǎn)”是______；②點(diǎn)Da，0，若點(diǎn)C為線段OD（2）以點(diǎn)O為圓心，r為半徑畫圖，若線段AN上存在⊙O的“二分點(diǎn)”，直接寫出r的取值范圍．10．（2023秋·北京·九年級(jí)北京市師達(dá)中學(xué)校考階段練習(xí)）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)M，N和圖形W，給出如下定義：若圖形W上存在一點(diǎn)P，使得∠PMN=90°，且MP=MN，則稱點(diǎn)M為點(diǎn)N關(guān)于圖形W的一個(gè)“旋垂點(diǎn)”（1）已知點(diǎn)A0，4①在點(diǎn)M1(?2，2)，②若點(diǎn)Mm，n是點(diǎn)O關(guān)于線段AB（2）直線y=?x+2與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)，⊙T的半徑為10，圓心為Tt，0，若在⊙T上存在點(diǎn)P，線段CD上存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于⊙T的一個(gè)“旋垂點(diǎn)”，且PQ=11．（2023春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）對于點(diǎn)P和圖形G，若在圖形G上存在不重合的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得點(diǎn)P關(guān)于線段MN中點(diǎn)的對稱點(diǎn)在圖形G上，則稱點(diǎn)P是圖形的G的“中稱點(diǎn)”．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A1,0，B1,1，（1）在點(diǎn)P112,0，P212（2）⊙T的圓心在x軸上，半徑為1．①當(dāng)圓心T與原點(diǎn)O重合時(shí)，若直線y=x+m上存在⊙T的“中稱點(diǎn)”，求m的取值范圍；②若正方形OABC的“中稱點(diǎn)”都是⊙T的“中稱點(diǎn)”，直接寫出圓心T的橫坐標(biāo)t的取值范圍．12．（2023春·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)高郵市城北中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，A為任意一點(diǎn)，B為⊙O上一點(diǎn)．給出如下定義：記A、B兩點(diǎn)間的距離的最小值為p（規(guī)定：點(diǎn)A在⊙O上時(shí)，p=0），最大值為q，那么把p+q2的值稱為點(diǎn)A與⊙O的“關(guān)聯(lián)距離”，記作d（1）如圖，點(diǎn)D、E、F的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．①dD,⊙O②若點(diǎn)M在線段EF上，求dM,⊙O（2）若點(diǎn)N在直線y=3x+23（3）正方形的邊長為m，若點(diǎn)P在該正方形的邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足dP,⊙O的最小值為1，最大值為10，直接寫出m13．（2022秋·北京海淀·九年級(jí)清華附中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于圖形M和點(diǎn)P，若圖形M上存在兩個(gè)點(diǎn)E、F，使得EP+FP＝2，則稱點(diǎn)P為圖形M的“距2點(diǎn)”．設(shè)A（﹣4，0），B（4，0），⊙O的半徑為r．（1）①點(diǎn)P1（1，0），P2（0，1），P3（﹣1，﹣12）中，是線段AB的“距2點(diǎn)”的是②若P4（3，4）是⊙O的“距2點(diǎn)”，求r的取值范圍；（2）設(shè)⊙M的半徑為2，圓心M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，C（﹣4，8）．若折線段AC﹣CB上存在點(diǎn)⊙M的“距2點(diǎn)”，直接寫出圓心M橫坐標(biāo)的取值范圍．14．（2023·北京·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于兩個(gè)點(diǎn)P，Q和圖形W，如果在圖形W上存在點(diǎn)M，N（M，N可以重合）使得PM=QN，那么稱點(diǎn)P與點(diǎn)Q是圖形W的一對平衡點(diǎn)．（1）已知⊙O的半徑為1，點(diǎn)D的坐標(biāo)為5,0．若點(diǎn)Ex,2在第一象限，且點(diǎn)D與點(diǎn)E是⊙O的一對平衡點(diǎn)，求x（2）已知點(diǎn)H?3,0，以點(diǎn)O為圓心，OH長為半徑畫弧交x的正半軸于點(diǎn)K．點(diǎn)Ca,b（其中b≥0）是坐標(biāo)平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OC=5，⊙C是以點(diǎn)C為圓心，半徑為2的圓，若HK上的任意兩個(gè)點(diǎn)都是⊙C的一對平衡點(diǎn)，直接寫出

15．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，對于△PMN的頂點(diǎn)P及其對邊MN上的一點(diǎn)Q，給出如下定義：以P為圓心，PQ長為半徑的圓與直線MN的公共點(diǎn)都在線段MN上，則稱點(diǎn)Q為△PMN關(guān)于點(diǎn)P的內(nèi)聯(lián)點(diǎn)．在平面直角坐標(biāo)系xOy中：（1）如圖2，已知點(diǎn)A(6,0)，點(diǎn)B在直線y=?1①若點(diǎn)B(4,2)，點(diǎn)C(4,0)，則在點(diǎn)O，C，A中，點(diǎn)______是△AOB關(guān)于點(diǎn)B的內(nèi)聯(lián)點(diǎn)；②若△AOB關(guān)于點(diǎn)B的內(nèi)聯(lián)點(diǎn)存在，求點(diǎn)B橫坐標(biāo)m的取值范圍；（2）已知點(diǎn)D(3,0)，點(diǎn)E(6,3)，將點(diǎn)D繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，若△EOF關(guān)于點(diǎn)E的內(nèi)聯(lián)點(diǎn)存在，直接寫出點(diǎn)F橫坐標(biāo)n的取值范圍．16．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）對于半徑為r的⊙P及一個(gè)正方形給出如下定義：若⊙P上存在到此正方形四條邊距離都相等的點(diǎn)，則稱⊙P是該正方形的“等距圓”．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），頂點(diǎn)C、D在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)．（1）當(dāng)r=42①在P1（0，-3），P2（4，6），P3（42，2）中可以成為正方形ABCD②若點(diǎn)P在直線y=?x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圓”，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_______________；（2）如圖2，在正方形ABCD所在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形EFGH的頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（6，2），頂點(diǎn)E、H在y軸上，且點(diǎn)H在點(diǎn)E的上方．①若⊙P同時(shí)為上述兩個(gè)正方形的“等距圓”，且與BC所在直線相切，求⊙P在y軸上截得的弦長；②將正方形ABCD繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，線段HF上沒有一個(gè)點(diǎn)能成為它的“等距圓”的圓心，則r的取值范圍是_______________．

17．（2022·北京海淀·中關(guān)村中學(xué)?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，對于線段AB，給出如下定義：若將線段AB沿著某條直線l對稱可以得到⊙O的弦A'B'（A'，B'分別為A，B的對應(yīng)點(diǎn)），則稱線段AB是⊙O（1）如圖1，線段CD、EF、GH中是⊙O的以直線l為對稱軸的“反射線段”有___________；（2）已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，①如圖2，若線段AB是⊙O的以直線l為對稱軸的“反射線段”，畫出圖形，反射軸l與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)是___________．②若將“反射線段”AB沿直線y=x的方向向上平移一段距離S，其反射軸l與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)yM的取值范圍為1（3）已知點(diǎn)M、N是在以(2,0)為圓心，半徑為13的圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足MN=2，若MN是⊙O的以直線l為對稱軸的“反射線段”，當(dāng)M點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，反射軸l與y18．（2022·北京房山·統(tǒng)考一模）對于平面內(nèi)的點(diǎn)P和圖形M，給出如下定義：以點(diǎn)P為圓心，r為半徑作圓，若⊙P與圖形M有交點(diǎn)，且半徑r存在最大值與最小值，則將半徑r的最大值與最小值的差稱為點(diǎn)P視角下圖形M的“寬度dM（1）如圖1.點(diǎn)A(4,3)，B(0,3)．①在點(diǎn)O視角下，則線段AB的“寬度dAB②若⊙B半徑為1.5，在點(diǎn)A視角下，⊙B的“寬度d⊙B（2）如圖2，⊙O半徑為2，點(diǎn)P為直線y=?x+1上一點(diǎn)．求點(diǎn)P視角下⊙O“寬度d⊙O（3）已知點(diǎn)C(m,0),CK=1，直線y=33x+3與x軸，y軸分別交于點(diǎn)D若隨著點(diǎn)C位置的變化，使得在所有點(diǎn)K的視角下，線段DE的“寬度”均滿足0<dDE<619．（2022秋·北京·九年級(jí)?？计谥校τ谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中的點(diǎn)C及圖形W，有如下定義：若圖形W上存在A、B兩點(diǎn)，使△ABC為等腰直角三角形，且∠ABC=90°，我們則稱點(diǎn)C為圖形W的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．（1）已知點(diǎn)O(0,0)，M(4,0)，在點(diǎn)C1(0,4)，C2(2,1)，（2）直線y=x+b分別交x軸、y軸于P、Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)C(?2,1)為線段PQ的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求b的取值范圍；（3）已知直線y=?x+m(m>0)分別交x軸、y軸于E、F兩點(diǎn)，若線段EF上的所有點(diǎn)都是半徑為1的⊙O的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出m的取值范圍．20．（2023·北京·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定圖形W和點(diǎn)P，若圖形W上存在兩個(gè)點(diǎn)M，N滿足PM=3PN且∠MPN=90°，則稱點(diǎn)P是圖形W的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．已知點(diǎn)A?2（1）在點(diǎn)P1?3,?1，P2（2）⊙T是以點(diǎn)Tt,0為圓心，r①當(dāng)t=0時(shí)，若線段AB上任一點(diǎn)均為⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求r的取值范圍；②記線段AB與線段AO組成折線G，若存在t≥4，使折線G的關(guān)聯(lián)點(diǎn)都是⊙T的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直接寫出r的最小值．

專題24.3坐標(biāo)系中圓的綜合【典例1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)P和線段AB，若線段PA或PB的垂直平分線與線段AB有公共點(diǎn)，則稱點(diǎn)P為線段AB的融合點(diǎn)．（1）已知A3，0①在點(diǎn)P16，0，P2②若直線y=t上存在線段AB的融合點(diǎn)，求t的取值范圍；（2）已知⊙O的半徑為4，Aa,0，Ba+1,0，直線l過點(diǎn)T0,?1，記線段AB關(guān)于l的對稱線段為A'B'．若對于實(shí)數(shù)a，存在直線l，使得【思路點(diǎn)撥】（1）①畫出對應(yīng)線段的垂直平分線，再根據(jù)融合點(diǎn)的定義進(jìn)行判斷即可；②先確定線段AB融合點(diǎn)的軌跡為分別以點(diǎn)A，B為圓心，AB長為半徑的圓及兩圓內(nèi)區(qū)域，則當(dāng)直線y=t與兩圓相切時(shí)是臨界點(diǎn)，據(jù)此求解即可；（2）先推理出A'B'的融合點(diǎn)的軌跡即為以T為圓心，TA?1的長為半徑的圓和以T為圓心，以TB+1的長為半徑的圓的組成的圓環(huán)上（包括兩個(gè)圓上），再求出兩個(gè)圓分別與⊙O【解題過程】（1）解：①如圖所示，根據(jù)題意可知P1，P3是線段故答案為；P1，P②如圖1所示，設(shè)PA的垂直平分線與線段AB的交點(diǎn)為Q，∵點(diǎn)Q在線段PA的垂直平分線上，∴PQ=AQ，∴當(dāng)點(diǎn)Q固定時(shí)，則點(diǎn)P在以Q為圓心，AQ的長為半徑的圓上，∴當(dāng)點(diǎn)Q在AB上移動(dòng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡即線段AB的融合點(diǎn)的軌跡為分別以點(diǎn)A，B為圓心，AB長為半徑的圓及兩圓內(nèi)區(qū)域．當(dāng)直線y=t與兩圓相切時(shí)，記為l1，l∵A3，0∴AB=2,∴t=2或t=?2．∴當(dāng)?2≤t≤2時(shí)，直線y=t上存在線段AB的融合點(diǎn)．（2）解：如圖3-1所示，假設(shè)線段AB位置確定，由軸對稱的性質(zhì)可知TA=TA∴點(diǎn)A'在以T為圓心，TA的長為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B'在以T為圓心，以∴A'B'的融合點(diǎn)的軌跡即為以T為圓心，TA?1的長為半徑的圓和以T當(dāng)TA<TB時(shí)，如圖3-2所示，當(dāng)以T為圓心，TA?1為半徑的圓與⊙O外切時(shí)，∴TA?1=4+1，∴0?a2∴a2∴a=35如圖3-3所示，當(dāng)以T為圓心，TB+1為半徑的圓與⊙O內(nèi)切時(shí)，∴TB+1=3，∴0?a?12∴a2∴a=3∴3?1≤a≤35時(shí)，存在直線l，使得⊙O上有同理當(dāng)TA>TB時(shí)，當(dāng)以T為圓心，TB?1為半徑的圓與⊙O外切時(shí)，∴TB?1=4+1，∴0?a?12∴a2∴a=?35當(dāng)以T為圓心，TA+1為半徑的圓與⊙O內(nèi)切時(shí)，∴TA+1=3，∴0?a2∴a2∴a=?3∴?35?1≤a≤?3時(shí)，存在直線l，使得⊙O綜上所述，當(dāng)3?1≤a≤35或?35?1≤a≤?3時(shí)存在直線l1．（2022·寧夏固原·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)Px0,y0到直線Ax+By+c=0A2+B2≠0的距離公式為：d=Ax0+By0+CA（1）求點(diǎn)P11,?1到直線（2）已知：⊙C是以點(diǎn)C2,1為圓心，1為半徑的圓，⊙C與直線y=?34（3）如圖，設(shè)點(diǎn)P為問題2中⊙C上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)A，B為直線3x+4y+5=0上的兩點(diǎn)，且AB=2，請求出△ABP面積的最大值和最小值．【思路點(diǎn)撥】（1）直接利用距離公式代入計(jì)算即可得到答案；（2）把直線y=?34x+b（3）先求圓心C(2,1)到直線AB的距離，判斷出P到AB的最大距離與最短距離可得答案．【解題過程】（1）解：3x-4y-5=0，其中A=3,B=-4，C=-5，∴d=|Ax0∴d=|3+4?5|∴距離為25（2）直線y=?34x+b故a=3，b=4，c=?4b．∵⊙C與直線相切，∴點(diǎn)C到直線的距離等于半徑，即|3×2+4×1?4b|3整理得|10?4b|=5，解得b=54或（3）如解圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D．∵在3x+4y+5=0中，a=3，b=4，c=5，∴圓心C(2,1)到直線AB的距離CD=|3×2+4×1+5|∴⊙C上的點(diǎn)到直線AB的最大距離為3+1=4，最小距離為3?1=2，∴SΔABP的最大值為最小值為122．（2022·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校?？级＃c(diǎn)P是平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)且不在坐標(biāo)軸上，過點(diǎn)P向x軸，y軸作垂線段，若垂線段的長度的和為4，則點(diǎn)P叫做“垂距點(diǎn)”．例如：下圖中的P1（1）在點(diǎn)A2，2，B32（2）求函數(shù)y=2x+3的圖象上的“垂距點(diǎn)”的坐標(biāo)；（3）⊙T的圓心T的坐標(biāo)為1，0，半徑為r．若⊙T上存在“垂距點(diǎn)”，則r【思路點(diǎn)撥】（1）由題意利用“垂距點(diǎn)”的定義垂線段的長度的和為4，對點(diǎn)A2,2，B32（2）由題意可知點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的絕對值的和為4，依次列式求出“垂距點(diǎn)”的坐標(biāo)；（3）設(shè)“垂距點(diǎn)”的坐標(biāo)為x,y，則x+【解題過程】（1）解：由題意得，垂線段的長度的和為4．A:2+2=4，B:32故答案為：A，（2）解：設(shè)函數(shù)y=2x+3的圖像上的“垂距點(diǎn)”的坐標(biāo)a,2a+3．由題意得a+①當(dāng)a≥0時(shí)，a+2a+3∴a=1②當(dāng)?32≤a∴a=1（不合題意，舍）．③當(dāng)a<?32時(shí)，∴a=?7∴

綜上所述，函數(shù)y＝2x＋3的圖像上的“垂距點(diǎn)”的坐標(biāo)是13,11（3）解：設(shè)“垂距點(diǎn)”的坐標(biāo)為x,y，則x當(dāng)x>0,y>0時(shí)，x+y=4，即y=?x+40<x<4當(dāng)x<0,y>0時(shí)，?x+y=4，即y=x+4?4<x<0當(dāng)x<0,y<0時(shí)，?x?y=4，即y=?x?4?4<x<0當(dāng)x>0,y<0時(shí)，x?y=4，即y=x?40<x<4當(dāng)⊙T與DE相切時(shí)，過點(diǎn)T作TN⊥直線DE于點(diǎn)N，則△DNT為等腰直角三角形，∴TN=當(dāng)⊙T過點(diǎn)F?4,0時(shí)，⊙T此時(shí)r=FT=∴若存在“垂距點(diǎn)”，則r的取值范圍是32故答案為：323．（2022秋·北京豐臺(tái)·九年級(jí)北京市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙C,給出如下定義:連接PC交⊙C于點(diǎn)N,若點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)Q在⊙C的內(nèi)部，則稱點(diǎn)P是⊙C的外稱點(diǎn).（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，①在點(diǎn)D?1,?1，E2,0，F(xiàn)0,4②若點(diǎn)Mm,n為⊙O的外稱點(diǎn)，且線段MO交⊙O于點(diǎn)G22（2）直線y=?x+b過點(diǎn)A1,1，與x軸交于點(diǎn)B.⊙T的圓心為Tt,0,半徑為1若線段AB上的所有點(diǎn)都是⊙T的外稱點(diǎn)，請直接寫出【思路點(diǎn)撥】（1）①由外稱點(diǎn)的定義可知：P到圓心的距離小于3且大于1，點(diǎn)P才是⊙O的外稱點(diǎn)，據(jù)此可求得答案；②由點(diǎn)G22,22知，點(diǎn)G在一、三象限角平分線上，則點(diǎn)Mm,n也在一、三象限角平分線上，根據(jù)外稱點(diǎn)的定義，（2）根據(jù)外稱點(diǎn)的定義，分點(diǎn)T(t，0)在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)和右側(cè)兩種情況，線段AB上的點(diǎn)離⊙T最遠(yuǎn)的點(diǎn)要小于3，離⊙T最近的點(diǎn)要大于1，畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想，即可解答.【解題過程】（1）①由外稱點(diǎn)的定義可知：P到圓心的距離小于3且大于1，點(diǎn)P才是⊙O的外稱點(diǎn)，點(diǎn)D(-1，-1)，DO=2<3,點(diǎn)D是點(diǎn)E(2，0)，EO=2<3,點(diǎn)E是⊙O的外稱點(diǎn)，點(diǎn)F(0，4)，F(xiàn)O=4>3,點(diǎn)F不是⊙O的外稱點(diǎn)，故答案是：D,E②由點(diǎn)G22,∴m=n，OM=由外稱點(diǎn)的定義可知：OM<3,即2m<3,解得：又OM>1，則m>∴m的取值范圍是：22（2）∵直線y=?x+b過點(diǎn)A1,1，代入求得：b=2∴直線的解析式是：y=?x+2，則與x軸交于點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2，0)，與y軸交于點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，2)，∴⊿COB為等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)T(t，0)在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，如圖1，離⊙T最遠(yuǎn)的點(diǎn)為點(diǎn)B，依題意：TB<3，∴t>?1，當(dāng)⊙T與線段AB相切時(shí)，切點(diǎn)離⊙T為最近，如圖2：作TD⊥AB于D，∴⊿TDB為等腰直角三角形，TD=1∴TB=2，則OT=2?2故當(dāng)點(diǎn)T(t，0)在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，?1<t<2?2當(dāng)點(diǎn)T(t，0)在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，如圖3，離⊙T最近的點(diǎn)為點(diǎn)B，依題意：TB>1，∴t>3，離⊙T最遠(yuǎn)的點(diǎn)為點(diǎn)A，如圖4，依題意：TA<3，由兩點(diǎn)之間距離公式：TA2解得：t<22+1(因?yàn)門在Ｂ右側(cè)，故當(dāng)點(diǎn)T(t，0)在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，3<t<?2綜上所述，答案是：?1<t<2?2或4．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形P，Q，給出如下定義：M為圖形P上任意一點(diǎn)，N為圖形Q上任意一點(diǎn)，如果M，N兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱這個(gè)最小值為圖形P，Q間的“非常距離”，記作dP,Q．已知點(diǎn)A?2,2，B2,2（1）d（點(diǎn)O，AB）＝；（2）⊙O半徑為r，若d⊙O,AB=0，直接寫出（3）⊙O半徑為r，若將點(diǎn)A繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°0°<α<180°，得到點(diǎn)A①當(dāng)α=30°時(shí)d⊙O,A'②對于取定的r值，若存在兩個(gè)α使d⊙O,A'【思路點(diǎn)撥】（1）理解題意后直接利用垂線段最短即可求解．（2）先理解當(dāng)⊙O與線段有交點(diǎn)時(shí)，d⊙O,AB=0，利用⊙O與線段相切和⊙O經(jīng)過（3）①先確定A'位于x軸上，再求出OA'的長即可求解；②先確定A'的軌跡，再利用存在兩個(gè)α使d(⊙【解題過程】（1）解：∵O點(diǎn)到AB的距離為2，∴d（點(diǎn)O，AB）＝2，故答案為2．（2）當(dāng)⊙O與線段有交點(diǎn)時(shí)，d⊙O,AB∵OA=OB=2∴2≤r≤22（3）①如圖，作A'N⊥AB于點(diǎn)∴∠A由旋轉(zhuǎn)知BA∵∠ABA∴A'∴A'位于x軸上，BN=∴A'∴A'∵d⊙O,∴⊙O經(jīng)過A'∴r=23②如圖所示，連接OB，∵對于取定的r值，若存在兩個(gè)α使d(⊙O,A')=0，∴⊙O與以AH為直徑的半圓有兩個(gè)交點(diǎn)（A點(diǎn)和H點(diǎn)除外），此時(shí)有兩個(gè)界點(diǎn)值，分別是⊙O與該半圓內(nèi)切時(shí)和⊙O經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，由B2,2，得OB=當(dāng)⊙O與該半圓內(nèi)切時(shí)，r=4?22當(dāng)⊙O經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，r=22∴4?225．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)?？计谥校τ谄矫鎯?nèi)的⊙C和⊙C外一點(diǎn)Q，給出如下定義：若過點(diǎn)Q的直線與⊙C存在公共點(diǎn)，記為點(diǎn)A，B，設(shè)k=AQ+BQCQ，則稱點(diǎn)A（或點(diǎn)B）是⊙C的“K相關(guān)依附點(diǎn)”，特別地，當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B重合時(shí)，規(guī)定AQ=BQ，k=2AQ已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中，Q(-1,0)，C(1,0)，⊙C的半徑為r．（1）如圖1，當(dāng)r=2①若A1(0,1)是⊙C的“k相關(guān)依附點(diǎn)”，求k的值．②A2(1+2，0)是否為⊙C的“2相關(guān)依附點(diǎn)”．（2）若⊙C上存在“k相關(guān)依附點(diǎn)”點(diǎn)M，①當(dāng)r=1，直線QM與⊙C相切時(shí)，求k的值．②當(dāng)k=3（3）若存在r的值使得直線y=?3x+b與⊙C有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)時(shí)⊙C的“【思路點(diǎn)撥】（1）①如圖1中，連接AC、QA1．首先證明QA②根據(jù)定義求出k的值即可判斷；（2）①如圖，當(dāng)r=1時(shí)，不妨設(shè)直線QM與⊙C相切的切點(diǎn)M在x軸上方（切點(diǎn)M在x軸下方時(shí)同理），連接CM，則QM⊥CM，根據(jù)定義計(jì)算即可；②如圖3中，若直線QM與⊙C不相切，設(shè)直線QM與⊙C的另一個(gè)交點(diǎn)為N（不妨設(shè)QN<QM，點(diǎn)N，M在x軸下方時(shí)同理），作CD⊥QM于點(diǎn)D，則MD=ND，可得MQ+NQ=(MN+NQ)+NQ=2ND+2NQ=2DQ，CQ=2，推出k=MQ+NQCQ=2DQCQ=DQ，可得當(dāng)k=3時(shí)，DQ=3，此時(shí)CD=CQ2?DQ2=1（3）如圖4中，由（2）可知：當(dāng)k=3時(shí)，1?r<2．當(dāng)r=2時(shí)，⊙C經(jīng)過點(diǎn)Q(?1,0)或E(3,0)，當(dāng)直線y=?3x+b經(jīng)過點(diǎn)Q時(shí)，b=?3，當(dāng)直線y=?3x+b經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，【解題過程】（1）①如圖1中，連接AC、QA由題意：OC=OQ=OA1，∴△QA1C是直角三角形，∴∠CA1Q=90°，即②∵A2(1+2,0)在⊙C上，∴k=2?故答案為2，是；（2）①如圖2，當(dāng)r=1時(shí)，不妨設(shè)直線QM與⊙C相切的切點(diǎn)M在x軸上方（切點(diǎn)M在x軸下方時(shí)同理），連接CM，則QM⊥CM．∵Q(?1,0)，C(1,0)，r=1，∴CQ=2，CM=1，∴MQ=3，此時(shí)k=②如圖3中，若直線QM與⊙C不相切，設(shè)直線QM與⊙C的另一個(gè)交點(diǎn)為N（不妨設(shè)QN<QM，點(diǎn)N，M在x軸下方時(shí)同理），作CD⊥QM于點(diǎn)D，則MD=ND，∴MQ+NQ=(MN+NQ)+NQ=2ND+2NQ=2DQ，∵CQ=2，∴k=MQ+NQ∴當(dāng)k=3時(shí)，DQ=3，此時(shí)假設(shè)⊙C經(jīng)過點(diǎn)Q，此時(shí)r=2，∵點(diǎn)Q早⊙C外，∴r的取值范圍是1?r<2．（3）如圖4中，由（2）可知：當(dāng)k=3時(shí)，1?r<2當(dāng)r=2時(shí)，⊙C經(jīng)過點(diǎn)Q(?1,0)或E(3,0)，當(dāng)直線y=?3x+b經(jīng)過點(diǎn)Q時(shí)，b=?3，當(dāng)直線y=?3x+b經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，b=33，6．（2022秋·北京·九年級(jí)校考階段練習(xí)）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P，給出如下定義：記點(diǎn)P到x軸的距離為d1，到y(tǒng)軸的距離為d2，若d1≤d2，則稱d1為點(diǎn)P的“引力值”；若d1＞d2，則稱d2為點(diǎn)P的“引力值”．特別地，若點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，則點(diǎn)P的“引力值”為0．例如，點(diǎn)P（﹣2，3）到x軸的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為2，因?yàn)?＜3，所以點(diǎn)P的“引力值”為2．（1）①點(diǎn)A（﹣1，4）的“引力值”為；②若點(diǎn)B（a，3）的“引力值”為2，則a的值為；（2）若點(diǎn)C在直線y＝﹣2x+4上，且點(diǎn)C的“引力值”為2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)M是以（3，4）為圓心，半徑為2的圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)M的“引力值”d的取值范圍是．【思路點(diǎn)撥】（1）①直接根據(jù)“引力值”的定義，其最小距離為“引力值”；②點(diǎn)B(a,3)到x軸的距離為3，且其“引力值”為2，所以a=±2；（2）根據(jù)點(diǎn)C的“引力值”為2，可得x=±2或y=±2，代入可得結(jié)果；（3）M在點(diǎn)C處時(shí)，其“引力值”最小為1，在第一象限角平分線上時(shí)，其“引力值”最大，根據(jù)勾股定理求出d的值．【解題過程】解：（1）①∵點(diǎn)A(?1,4)到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為1，∵1<4，∴點(diǎn)A的“引力值”為1．②∵點(diǎn)B(a,3)的“引力值”為2，∴a=±2；（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)(x,y)，∵點(diǎn)C的“引力值”為2，∴x=±2或y=±2，當(dāng)x=2時(shí)，y=?2×2+4=0，此時(shí)點(diǎn)C的“引力值”為0，不符合題意，舍去，當(dāng)x=?2時(shí)，y=?2×(?2)+4=8，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(?2,8)，當(dāng)y=2時(shí)，?2x+4=2，x=1，此時(shí)點(diǎn)C的“引力值”為1，不符合題意，舍去，當(dāng)y=?2時(shí)，?2x+4=?2，x=3，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,?2)，綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(?2,8)或(3,?2)；（3）如圖，過A分別作x、y軸的垂線，分別交⊙A于B和C，交y軸于D，∵A(3,4)，AC=AB=2∴C(1,4)，B(3,2)∴點(diǎn)M的“引力值”d最小為1，設(shè)M(x,y)，過M作MN⊥AC于N，當(dāng)x=y時(shí)，點(diǎn)M的“引力值”d最大，∴MN=x?4，AN=x?3，AM=2，由勾股定理得：AM222xx=14±∴M(7?72，7?72∴點(diǎn)M的“引力值”d的取值范圍是：1?d?7+故答案為：1?d?7+7．（2022·浙江溫州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）M（﹣1，?12），N（1，?12）是平面直角坐標(biāo)系xOy中的兩點(diǎn)，若平面內(nèi)直線MN上方的點(diǎn)P滿足：45°≤∠MPN≤90°，則稱點(diǎn)（1）在點(diǎn)A1(0，12)，A2(12，0)（2）若點(diǎn)B是直線y＝x+12上線段MN的可視點(diǎn)，求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)（3）直線y＝x+b（b≠0）與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，若線段CD上存在線段MN的可視點(diǎn)，直接寫出b的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)“直徑所對的圓周角是直角”可知線段MN的可視點(diǎn)在以MN為直徑的圓的外部或圓上，根據(jù)“同弧所對的圓周角等于圓心角的一半”可知線段MN的可視點(diǎn)在以E為圓心，EM長為半徑的⊙E的內(nèi)部或⊙E上，根據(jù)坐標(biāo)可以判斷哪些點(diǎn)符合要求．（2）點(diǎn)B既要在直線y＝x＋12上，又要⊙E的內(nèi)部或圓上，且在⊙G的外部或圓上，故應(yīng)該在直線y＝x＋1（3）分b＜0，b＞0兩種情況進(jìn)行討論．【解題過程】解：（1）如圖1，以MN為直徑的半圓交y軸于點(diǎn)E，以E為圓心，EM長為半徑的⊙E交y軸于點(diǎn)F，∵M(jìn)N是⊙G的直徑，∴∠MA1N＝90°，∵M(jìn)（﹣1，?12），N（1，∴MN⊥EG，EG＝1，MN＝2∴EM＝EF=2∴∠MFN=12∠∵45°≤∠MPN≤90°，∴點(diǎn)P應(yīng)落在⊙E內(nèi)部，且落在⊙G外部∴線段MN的可視點(diǎn)為A1，A3；故答案為A1，A3；（2）如圖，以（0，?12）為圓心，1為半徑作圓，以（0，12）為圓心，2為半徑作圓，兩圓在直線MN上方的部分與直線y=x+12過點(diǎn)F作FH⊥x軸，過點(diǎn)E作EH⊥FH于點(diǎn)H，∵FH⊥x軸，∴FH∥y軸，∴∠EFH＝∠MEG＝45°，∵∠EHF＝90°，EF=2∴EH＝FH＝1，∴E（0，12），F(xiàn)（1，3只有當(dāng)點(diǎn)B在線段EF上時(shí)，滿足45°≤∠MBN≤90°，點(diǎn)B是線段MN的可視點(diǎn)．∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)t的取值范圍是0≤t≤1．（3）如圖，⊙G與x軸交于H，與y軸交于E，連接GH，OG=12，∴OH=G∴H（32，0）．E（0，1當(dāng)直線y＝x+b（b≠0）與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，若線段CD上存在線段MN的可視點(diǎn)，①直線y＝x+b與y軸交點(diǎn)在y負(fù)半軸上將H（32，0）代入y＝x+b得32+b＝0，解得b將N（1，?12）代入y＝x+b得1+b=?12∴?32②直線y＝x+b與y軸交點(diǎn)在y正半軸上將E（0，12）代入得b=當(dāng)直線y＝x+b與⊙E相切于T時(shí)交y軸于Q，連接ET，則ET⊥TQ，∵∠EQT＝45°，∴TQ＝ET＝EM=2∴EQ=E∴OQ＝OE+EQ=12∴1綜上所述：12≤b≤58．（2022·北京密云·統(tǒng)考二模）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P2,3與圖形T，給出如下定義：在點(diǎn)P與圖形T上各點(diǎn)連接的所有線段中，線段長度的最大值與最小值的差，稱為圖形T關(guān)于點(diǎn)P（1）如圖，⊙O的半徑為2，且與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)．①線段AB關(guān)于點(diǎn)P的“寬距”為______；⊙O關(guān)于點(diǎn)P的“寬距”為______．②點(diǎn)Mm,0為x軸正半軸上的一點(diǎn)，當(dāng)線段AM關(guān)于點(diǎn)P的“寬距”為2時(shí)，求m（2）已知一次函數(shù)y=x+1的圖象分別與x軸、y軸交于D、E兩點(diǎn)，⊙C的圓心在x軸上，且⊙C的半徑為1．若線段DE上的任意一點(diǎn)K都能使得⊙C關(guān)于點(diǎn)K的“寬距”為2，直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)xC【思路點(diǎn)撥】（1）①連接PA，PB，求出PA=5，PB=4，證PB⊥x軸，則PA是最大值，PB是最小值，即可由“寬距”定義求解第一空；作直線OP交⊙O于G、H，線段PH長度最大，PG長度最小，即可由“寬距”定義求解第二空；②當(dāng)0<m<2時(shí)，PA長度是最大值，PM長度是最小值，“寬距”=PA-PM<2，不符合題意，當(dāng)m≥2時(shí)，則點(diǎn)P到x軸的最短距離為3,即點(diǎn)P到AM的最短距離為3，所當(dāng)PM長度是最大時(shí)，最大值為2+3=5，則求得m=6，即可得出答案；（2）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)C(xC，0）在點(diǎn)D的左側(cè)，且⊙C經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C(xC，0）在點(diǎn)D的右側(cè)，且⊙C與直線y=x+1相切于點(diǎn)N時(shí)，分別求解即可．【解題過程】（1）解：①如圖1，連接PA，PB，由圖可知：A（-2，0），B（2，0），∴AB=4，∵P（2，3），∴PB⊥x軸，∴PB=3，PA=2+22∴線段AB關(guān)于點(diǎn)P的“寬距”為5-3=2；作直線OP交⊙O于G、H，則點(diǎn)這與⊙O上各點(diǎn)連接的所有線段中，線段PH長度最大，PG長度最小，∴⊙O關(guān)于點(diǎn)P的“寬距”為PH-PG=GH=4；故答案為：2，4；②∵點(diǎn)Mm,0為x∴m>0，當(dāng)0<m<2時(shí)，PA長度是最大值，PM長度是最小值，“寬距”=PA-PM<2，不符合題意，當(dāng)m≥2時(shí)，∵P（2，3），∴點(diǎn)P到x軸的最短距離為3,即點(diǎn)P到AM的最短距離為3，又∵線段AM關(guān)于點(diǎn)P的“寬距”為2，∴當(dāng)PM長度是最大時(shí)，最大值為2+3=5，∴PM最大=m?22解得m=6或m=-2，∴2≤m≤6．（2）解：如圖2，在直線y=x+1中，令x=0，則y=1，令y=0，則x=-1，∴D（-1，0），E（0，1），∴OD=OE=1，∴∠ODE=45°，當(dāng)點(diǎn)C(xC，0）在點(diǎn)D的左側(cè)，且⊙C經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，∵⊙C半徑為1，∴xC=-2，由（1）①第二空可知，當(dāng)xC≤-2時(shí)，線段DE上任意一點(diǎn)K都能使得⊙C關(guān)于K的“寬距”為2；當(dāng)點(diǎn)C(xC，0）在點(diǎn)D的右側(cè)，且⊙C與直線y=x+1相切于點(diǎn)N時(shí)，則CN⊥DE，∴CN=1，∵∠ODE=45°，∴∠DCN=90°-∠ODE=45°，∴DN=CN=1，∴CD=DN2+C∴OC=CD-OD=2-1，由（1）①第二空可知，當(dāng)xC≥2-1時(shí)，線段DE上任意一點(diǎn)K都能使得⊙C關(guān)于K的“寬距”為2；綜上，圓心C的橫坐標(biāo)xC的取值范圍為xC≤-2或xC≥29．（2023·北京海淀·九年級(jí)期末）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形G和點(diǎn)P給出如下定義；Q為圖形G上任意一點(diǎn)，若P，Q兩點(diǎn)間距離的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的k倍，則稱點(diǎn)P為圖形G的“k分點(diǎn)”．已知點(diǎn)N3，0，A1，（1）①在點(diǎn)A，B，C中，線段ON的“2分點(diǎn)”是______；②點(diǎn)Da，0，若點(diǎn)C為線段OD（2）以點(diǎn)O為圓心，r為半徑畫圖，若線段AN上存在⊙O的“二分點(diǎn)”，直接寫出r的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）①分別找出點(diǎn)A、B、C到線段ON的最小值和最大值，是否滿足“2分點(diǎn)”定義即可，②對a的取值分情況討論：0<a≤1，1<a≤2，a>2和a<（2）設(shè)線段AN上存在⊙O的“二分點(diǎn)”為Mm，01≤m≤3．對r的取值分情況討論0<r≤1，1<r<3且m<r，1<r<3且【解題過程】（1）解：①∵點(diǎn)A在ON上，故最小值為0，不符合題意，點(diǎn)B到ON的最小值為OB=3，最大值為BN=3∴點(diǎn)B是線段ON的“2分點(diǎn)”，點(diǎn)C到ON的最小值為1，最大值為CN=2∴點(diǎn)C不是線段ON的“2分點(diǎn)”，故答案為：點(diǎn)B；②當(dāng)0<a≤1時(shí)，點(diǎn)C到OD的最小值為CD=1?a點(diǎn)C到OD的最大值為CO=1∵點(diǎn)C為線段OD的“二分點(diǎn)”，∴2=2即2a∵Δ<0故無解，舍去；當(dāng)1<a≤2時(shí)，點(diǎn)C到OD的最小值為1，點(diǎn)C到OD的最大值為CO=1當(dāng)a>2時(shí)，點(diǎn)C到OD的最小值為1，點(diǎn)C到OD的最大值為CD=a?1∵點(diǎn)C為線段OD的“二分點(diǎn)”，∴a2?2a+2=2×1當(dāng)a<0時(shí)，點(diǎn)C到OD的最小值為點(diǎn)C到OD的最大值為CD=1?a∵點(diǎn)C為線段OD的“二分點(diǎn)”，同0<a≤1時(shí)，無解，舍去；綜上a=1+3（2）如圖所示，設(shè)線段AN上存在⊙O的“二分點(diǎn)”為Mm當(dāng)0<r≤1時(shí)，最小值為：m?r，最大值為：m+r，∴2m?r=m+r，即∵1≤m≤3，∴13當(dāng)1<r<3且m<r時(shí)，最小值為：r?m，最大值為r+m，∴2r?m=r+m，即∵1≤m≤3，∴3≤r≤9，∵1<r<3，∴r不存在，當(dāng)1<r<3且m>r時(shí)，最小值為：m?r，最大值為：m+r，∴2m?r=r+m，即∵13∵1<r<3，∴r不存在．當(dāng)r≥3時(shí)，最小值為：r?m，最大值為：m+r，∴2r?m=r+m，即∴3≤r≤9．∵r≥3，∴3≤r≤9，綜上所述，r的取值范圍為13≤r≤1或10．（2023秋·北京·九年級(jí)北京市師達(dá)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)M，N和圖形W，給出如下定義：若圖形W上存在一點(diǎn)P，使得∠PMN=90°，且MP=MN，則稱點(diǎn)M為點(diǎn)N關(guān)于圖形W的一個(gè)“旋垂點(diǎn)”（1）已知點(diǎn)A0，4①在點(diǎn)M1(?2，2)，②若點(diǎn)Mm，n是點(diǎn)O關(guān)于線段AB（2）直線y=?x+2與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)，⊙T的半徑為10，圓心為Tt，0，若在⊙T上存在點(diǎn)P，線段CD上存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于⊙T的一個(gè)“旋垂點(diǎn)”，且PQ=【思路點(diǎn)撥】（1）①根據(jù)“旋垂點(diǎn)”的定義，逐個(gè)判斷即可；②當(dāng)∠OM1A=90°，M1A=OM1時(shí)，m=?2，當(dāng)∠BM2O＝90°，BM2＝M（2）由題意可知，Q點(diǎn)在以T為圓心、半徑為2或4的圓上，畫出圖形，分別求出兩種情況下對應(yīng)t的取值，即可求解．【解題過程】（1）解：①由題意可得，O0，根據(jù)“旋垂點(diǎn)”的定義，可知∠OMA=90°，MA=MO當(dāng)M1?2，2時(shí)，∴M1A=OM∴∠OM1A=90°，即M1是點(diǎn)當(dāng)M2(0，2)時(shí)，O、M2、A∴∠OM2A=180°，即M2不是點(diǎn)當(dāng)M3(2，2)時(shí)，∴M3A=OM∴∠OM3A=90°，即M3是點(diǎn)故答案為：M1、M②∵點(diǎn)A（0，4），B（4，4），∴AB//x軸，當(dāng)∠AM1O=90°，M當(dāng)P點(diǎn)從A到B移動(dòng)時(shí)，?2≤m≤0；當(dāng)∠BM2O=90°，B當(dāng)P點(diǎn)從A到B移動(dòng)時(shí)，2≤m≤4；∴當(dāng)?2≤m≤0或2≤m≤4，點(diǎn)Mm，n是點(diǎn)O（2）解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，∴D（0，2），當(dāng)y＝0時(shí)，x＝2，∴C（2，0），∵PQ=2，∠PQN＝90°∴PN=2，∵⊙T的半徑為10，∴TQ=2或TQ=4，∴Q點(diǎn)在以T為圓心、半徑為2或4的圓上，如圖；當(dāng)D點(diǎn)與Q'點(diǎn)重合時(shí)，TD=4，∴TO=23∴t=?23當(dāng)Q'點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，OT=2，∴t=?2，∴?23當(dāng)Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，OT=6，∴t=6；當(dāng)Q在CD上且TQ⊥CD時(shí)，TQ=2，∴OT=22∴t=2?22∴2?22∴t的取值范圍為：?23≤t≤?2或11．（2023春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）對于點(diǎn)P和圖形G，若在圖形G上存在不重合的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得點(diǎn)P關(guān)于線段MN中點(diǎn)的對稱點(diǎn)在圖形G上，則稱點(diǎn)P是圖形的G的“中稱點(diǎn)”．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A1,0，B1,1，（1）在點(diǎn)P112,0，P212（2）⊙T的圓心在x軸上，半徑為1．①當(dāng)圓心T與原點(diǎn)O重合時(shí)，若直線y=x+m上存在⊙T的“中稱點(diǎn)”，求m的取值范圍；②若正方形OABC的“中稱點(diǎn)”都是⊙T的“中稱點(diǎn)”，直接寫出圓心T的橫坐標(biāo)t的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）由題意可知，正方形OABC的“中稱點(diǎn)”是以D2,2，E?1,2，F(xiàn)?1,?1，G2,?2為頂點(diǎn)的正方形內(nèi)部，如圖可知P112（2）①由題意得：⊙T的“中稱點(diǎn)”在以O(shè)為圓心，3為半徑的圓內(nèi)，當(dāng)直線y=x+m與此圓相切于點(diǎn)D時(shí)，求得直線與y軸交于點(diǎn)E0,32；同理，相切于點(diǎn)F時(shí)，直線與y軸交于點(diǎn)G0,?3②如圖，由由題意可知，正方形DEFG在⊙T內(nèi)部，當(dāng)⊙T經(jīng)過?1,2時(shí)，解得t=5?1；當(dāng)⊙T經(jīng)過2,2時(shí)，解得t=2?5【解題過程】（1）解：由題意可知，正方形OABC的“中稱點(diǎn)”是以D2,2，E?1,2，F(xiàn)?1,?1P112,0，P31,?2在正方形DEFG外，P4故答案為：P1，P（2）①由題意得：⊙T的“中稱點(diǎn)”在以O(shè)為圓心，3為半徑的圓內(nèi)，當(dāng)直線y=x+m與此圓相切于點(diǎn)D時(shí)，設(shè)在Dx,yx<0,y>0則∠DAO=∠DOA=45°，∴x=y，∵x∴x=?322∴3∴m=32故直線與y軸交于點(diǎn)E0,3同理，相切于點(diǎn)F時(shí)，直線與y軸交于點(diǎn)G0,?3∵直線y=x+m上存在⊙T的“中稱點(diǎn)”，∴?32②如圖，由由題意可知，正方形DEFG在⊙T內(nèi)部，當(dāng)⊙T經(jīng)過?1,2時(shí)，t>0，t??1解得：t=5?1或當(dāng)⊙T經(jīng)過2,2時(shí)，t<0，t?22解得：t=2?5或t=綜上所述，∴2?512．（2023春·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)高郵市城北中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，A為任意一點(diǎn)，B為⊙O上一點(diǎn)．給出如下定義：記A、B兩點(diǎn)間的距離的最小值為p（規(guī)定：點(diǎn)A在⊙O上時(shí)，p=0），最大值為q，那么把p+q2的值稱為點(diǎn)A與⊙O的“關(guān)聯(lián)距離”，記作d（1）如圖，點(diǎn)D、E、F的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．①dD,⊙O②若點(diǎn)M在線段EF上，求dM,⊙O（2）若點(diǎn)N在直線y=3x+23（3）正方形的邊長為m，若點(diǎn)P在該正方形的邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足dP,⊙O的最小值為1，最大值為10，直接寫出m【思路點(diǎn)撥】（1）①運(yùn)用新定義“關(guān)聯(lián)距離”，即可求得答案；②根據(jù)新定義“關(guān)聯(lián)距離”，分別求出d(E,⊙O)=2，d(F,⊙O)=3，即可得出答案；（2）設(shè)ON=d，可得p=d?1，q=d+1，運(yùn)用新定義“關(guān)聯(lián)距離”，可得d(N,⊙O)=d，再利用S△AOB（3）如圖2，找出特殊位置，分別畫出圖形，即可得出答案．【解題過程】（1）解：①∵D(0,2)到⊙O的距離的最小值p=1，最大值q=3，∴d(D,⊙O)=1+3故答案為：2；②當(dāng)M在點(diǎn)E處，d(E,⊙O)=2，當(dāng)M在點(diǎn)F處，d(F,⊙O)=2+4∴2≤d(M,⊙O)≤3；（2）設(shè)ON=d，∴p=d?r=d?1，q=d+r=d+1，∴d(N,⊙O)=p+q∵點(diǎn)N在直線y=3設(shè)直線交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)A，如圖1，則x=0時(shí)，y=23，y=0時(shí)，x=?2∴A(0，23)，∴OA=23，OB=2∴AB=O當(dāng)ON⊥AB時(shí)，d(N,⊙O)最小，∴S△AOB=∴ON=3∵ON無最大值，∴d(N,⊙O)≥3（3）如圖2，∵d(P,⊙O)的最小值為1，最大值為10，∴兩個(gè)同心圓中，小圓的半徑為1，大圓的半徑為10，∵KL=10∴m的最小值是10?1在Rt△OMH中，OM=10，OH=m?1，∴(m?1)解得：m=?2（舍去）或m=18∴m的最小值為5?2213．（2022秋·北京海淀·九年級(jí)清華附中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于圖形M和點(diǎn)P，若圖形M上存在兩個(gè)點(diǎn)E、F，使得EP+FP＝2，則稱點(diǎn)P為圖形M的“距2點(diǎn)”．設(shè)A（﹣4，0），B（4，0），⊙O的半徑為r．（1）①點(diǎn)P1（1，0），P2（0，1），P3（﹣1，﹣12）中，是線段AB的“距2點(diǎn)”的是②若P4（3，4）是⊙O的“距2點(diǎn)”，求r的取值范圍；（2）設(shè)⊙M的半徑為2，圓心M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，C（﹣4，8）．若折線段AC﹣CB上存在點(diǎn)⊙M的“距2點(diǎn)”，直接寫出圓心M橫坐標(biāo)的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）①P1到(0,0)和(2,0)的距離之和是2，2OP2=2，P3②從OP（2）2AM1=2，2AM2=2，BM=32【解題過程】解：（1）①如圖，∴P1到(0,0)和∴P1是線段∵2OP∴P2不是線段∵P3到x軸的距離是∴P3是線段故答案是P1和P②如圖2，∵OP∴5?1<r<5+1，即4<r<6；（2）如圖3，設(shè)圓心M的橫坐標(biāo)為x，∵2AM1=2∴?7<x<?1，∵CM=3，∴BM=32∴M(4?32，0)∵M(jìn)∴4?32綜上所述：圓心M橫坐標(biāo)的取值范圍是?7<x<?1或4?3214．（2023·北京·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于兩個(gè)點(diǎn)P，Q和圖形W，如果在圖形W上存在點(diǎn)M，N（M，N可以重合）使得PM=QN，那么稱點(diǎn)P與點(diǎn)Q是圖形W的一對平衡點(diǎn)．（1）已知⊙O的半徑為1，點(diǎn)D的坐標(biāo)為5,0．若點(diǎn)Ex,2在第一象限，且點(diǎn)D與點(diǎn)E是⊙O的一對平衡點(diǎn)，求x（2）已知點(diǎn)H?3,0，以點(diǎn)O為圓心，OH長為半徑畫弧交x的正半軸于點(diǎn)K．點(diǎn)Ca,b（其中b≥0）是坐標(biāo)平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OC=5，⊙C是以點(diǎn)C為圓心，半徑為2的圓，若HK上的任意兩個(gè)點(diǎn)都是⊙C的一對平衡點(diǎn)，直接寫出【思路點(diǎn)撥】（1）如圖，可得OE1=3，解得此時(shí)x=5，（2）由點(diǎn)C在以O(shè)為圓心5為半徑的上半圓上運(yùn)動(dòng)，推出以C為圓心2為半徑的圓剛好與HK相切，此時(shí)要想HK上任意兩點(diǎn)都是圓C的平衡點(diǎn)，需要滿足CK≤6，CH≤6，分兩種情形分別求出b的值即可判斷．【解題過程】（1）解：∵⊙O的半徑為1，點(diǎn)D的坐標(biāo)為5,0，∴點(diǎn)D到⊙O的最近距離是4，最遠(yuǎn)距離是6，∵點(diǎn)D與點(diǎn)E是⊙O的一對平衡點(diǎn)，此時(shí)需要滿足E1到⊙O的最大距離是4，即O可得x=32同理：當(dāng)E2到⊙O的最小距離為是6時(shí)，O此時(shí)x=7綜上所述，滿足條件的x的值為5≤x≤3

（2）∵點(diǎn)C在以O(shè)為圓心5為半徑的上半圓上運(yùn)動(dòng)，∴以C為圓心2為半徑的圓剛好與HK相切，此時(shí)要想HK上任意兩點(diǎn)都是圓C的平衡點(diǎn)需要滿足CK≤6，CH≤6，如圖1中，當(dāng)CK=6時(shí)，作CM⊥HK于M，則a2解得：a=?13b=如圖2中，當(dāng)CH=6時(shí)，同法可得a=13，綜上所述，滿足條件的b的值為414

15．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，對于△PMN的頂點(diǎn)P及其對邊MN上的一點(diǎn)Q，給出如下定義：以P為圓心，PQ長為半徑的圓與直線MN的公共點(diǎn)都在線段MN上，則稱點(diǎn)Q為△PMN關(guān)于點(diǎn)P的內(nèi)聯(lián)點(diǎn)．在平面直角坐標(biāo)系xOy中：（1）如圖2，已知點(diǎn)A(6,0)，點(diǎn)B在直線y=?1①若點(diǎn)B(4,2)，點(diǎn)C(4,0)，則在點(diǎn)O，C，A中，點(diǎn)______是△AOB關(guān)于點(diǎn)B的內(nèi)聯(lián)點(diǎn)；②若△AOB關(guān)于點(diǎn)B的內(nèi)聯(lián)點(diǎn)存在，求點(diǎn)B橫坐標(biāo)m的取值范圍；（2）已知點(diǎn)D(3,0)，點(diǎn)E(6,3)，將點(diǎn)D繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，若△EOF關(guān)于點(diǎn)E的內(nèi)聯(lián)點(diǎn)存在，直接寫出點(diǎn)F橫坐標(biāo)n的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）①由內(nèi)聯(lián)點(diǎn)的定義可知C，A滿足條件②結(jié)合圖象可知當(dāng)點(diǎn)B為圓心的圓與AO線段相切時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)，且符合內(nèi)聯(lián)點(diǎn)定義，故0≤m≤6時(shí)均符合題意．（2）由（1）問可知，當(dāng)OE與OF，或OF與EF垂直時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)且滿足內(nèi)聯(lián)點(diǎn)的定義，故由此可作圖，作圖見解析，即可由勾股定理、斜率的性質(zhì)，解得?35【解題過程】（1）①如圖所示，由圖像可知C，A點(diǎn)是△AOB關(guān)于點(diǎn)B的內(nèi)聯(lián)點(diǎn)②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)B為圓心的圓與AO線段相切時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)，符合內(nèi)聯(lián)點(diǎn)定義故0≤m≤6．（2）如圖所示，以O(shè)為圓心的圓O為點(diǎn)F點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，由（1）問可知當(dāng)∠EFO或∠FOE為90°時(shí)，△EOF關(guān)于點(diǎn)E的內(nèi)聯(lián)點(diǎn)存在且只有一個(gè)，故當(dāng)F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到F1F2和F3F設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則x2當(dāng)F點(diǎn)在F1點(diǎn)時(shí)，OF1xF1當(dāng)F點(diǎn)在F2點(diǎn)時(shí)，OF2O即(當(dāng)F點(diǎn)在F3點(diǎn)時(shí)，OF3O即(解得x=35故xF3當(dāng)F點(diǎn)在F4點(diǎn)時(shí)，OO即(化簡得x且OE⊥即k即3化簡得y=?2x+3聯(lián)立x解得x=125或故x綜上所述，F(xiàn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)n取值范圍為?35516．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）對于半徑為r的⊙P及一個(gè)正方形給出如下定義：若⊙P上存在到此正方形四條邊距離都相等的點(diǎn)，則稱⊙P是該正方形的“等距圓”．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），頂點(diǎn)C、D在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)．（1）當(dāng)r=42①在P1（0，-3），P2（4，6），P3（42，2）中可以成為正方形ABCD②若點(diǎn)P在直線y=?x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圓”，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_______________；（2）如圖2，在正方形ABCD所在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形EFGH的頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（6，2），頂點(diǎn)E、H在y軸上，且點(diǎn)H在點(diǎn)E的上方．①若⊙P同時(shí)為上述兩個(gè)正方形的“等距圓”，且與BC所在直線相切，求⊙P在y軸上截得的弦長；②將正方形ABCD繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，線段HF上沒有一個(gè)點(diǎn)能成為它的“等距圓”的圓心，則r的取值范圍是_______________．

【思路點(diǎn)撥】（1）①連接AC和BD，交于點(diǎn)M，設(shè)⊙P的圓心坐標(biāo)是(x,y)，列出圓心到M的關(guān)系式，把P1(0,?3)，P2(4,6)，P3(42，2)代入，看是否成立來逆定，②把y=?x+2（2）①先求出△LIE為等腰直角三角形，得到L(0,5)，進(jìn)而得出△LOM為等腰直角三角形，設(shè)P(p,?p+5)據(jù)關(guān)系列出方程求了圓心的坐標(biāo)，最后得出弦長．②連接DH，作DT⊥HF，以D為圓心，DE為半徑作圓，交DT于點(diǎn)E1，交HD于E2，當(dāng)0<r<DT?DE1時(shí)，線段HF上沒有一個(gè)點(diǎn)能成為它的“等距圓”的圓心．當(dāng)【解題過程】解：（1）①連接AC和BD，交于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD是正方形，∴M到正方形ABCD四條邊距離都相等∴⊙P一定通過點(diǎn)M，∵A(2,4)∴M(0,2)設(shè)⊙P的圓心坐標(biāo)是(x,y)，∴r=42∴x即，x2把P1(0,?3)，P2(4,6)，P3(42∴可以成為正方形ABCD的“等距圓”的圓心的是P2，P故答案為：P2，P②∵點(diǎn)P在直線y=?x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圓”，∴把y=?x+2代入x2+(y?2)解得x=±4，∴y=?2或6，∴P(4,?2)或P(?4,6)．故答案為：(4,?2)或P(?4,6)．（2）如下圖：①∵⊙P同時(shí)為正方形ABCD與正方形EFGH的“等距圓”，∴⊙P同時(shí)過正方形ABCD的對稱中心E和正方形EFGH的對稱中心I．∴點(diǎn)P在線段EI的中垂線上．∵A(2,4)，正方形ABCD的邊CD在x軸上；F(6,2)，正方形EFGH的邊HE在y軸上，∴E(0,2)，I(3,5)∴∠IEH=45°，設(shè)線段EI的中垂線與y軸交于點(diǎn)L，與x軸交于點(diǎn)M，∴△LIE為等腰直角三角形，LI⊥y軸，∴L(0,5)，∴△LOM為等腰直角三角形，LO=OM∴M(5,0)，∴P在直線y=?x+5上，∴設(shè)P(p,?p+5)過P作PQ⊥直線BC于Q，連接PE，∵⊙P與BC所在直線相切，∴PE=PQ，∴p解得：P1=5+25∴P1(5+25，?25∵⊙P過點(diǎn)E，且E點(diǎn)在y軸上，∴⊙P在y軸上截得的弦長為2|?25?2|=45②如圖2，連接DH，作DT⊥HF，以D為圓心，DE為半徑作圓，交DT于點(diǎn)E1，交HD于E當(dāng)0<r<DT?DE1時(shí)，線段∵HF所在的直線為：y=?x+8，DT所在的直線為：y=x?2，∴T(5,3)，∵D(2,0)，∴DT=3∵DE=D∴DT?DE∴當(dāng)0<r<2時(shí)，線段HF當(dāng)r>HE2時(shí)，線段∵HE2=HD+D∴HE∴當(dāng)r>217+22綜上可知當(dāng)0<r<2或r>217+2故答案為：0<r<2或r>217．（2022·北京海淀·中關(guān)村中學(xué)?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，對于線段AB，給出如下定義：若將線段AB沿著某條直線l對稱可以得到⊙O的弦A'B'（A'，B'分別為A，B的對應(yīng)點(diǎn)），則稱線段AB是⊙O（1）如圖1，線段CD、EF、GH中是⊙O的以直線l為對稱軸的“反射線段”有___________；（2）已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，①如圖2，若線段AB是⊙O的以直線l為對稱軸的“反射線段”，畫出圖形，反射軸l與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)是___________．②若將“反射線段”AB沿直線y=x的方向向上平移一段距離S，其反射軸l與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)yM的取值范圍為1（3）已知點(diǎn)M、N是在以(2,0)為圓心，半徑為13的圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足MN=2，若MN是⊙O的以直線l為對稱軸的“反射線段”，當(dāng)M點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，反射軸l與y【思路點(diǎn)撥】（1）在圓中找出對應(yīng)的弦，其中GH大于圓的直徑，故否定；（2）①畫出AB的反射弦，找出對應(yīng)點(diǎn)的垂直平分線；②以AB為斜邊作等腰直角三角形AO'B，連接OO'，交⊙O于A'，作BB'∥AA'，交⊙O于B'（3）根據(jù)（2）的方法找到MN所在的圓心O3，當(dāng)M點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，如圖，取OO3的中點(diǎn)A1，OT的中點(diǎn)S，即OO3的中點(diǎn)A1在以S為圓心，半徑為2【解題過程】（1）解：∵E'F'是∴EF是⊙O的以直線l為對稱軸的“反射線段”，∵C'E'是∴線段CD是⊙O的以直線l為對稱軸的“反射線段”，∵GH=5，⊙O的直徑C'E∴線段GH不是⊙O的以直線l為對稱軸的“反射線段”，故答案是：CD、EF；（2）①如圖2，AB關(guān)于直線l的對稱弦是A'直線l與y軸交點(diǎn)M(0,1故答案為：(0,1②如圖3，以AB為斜邊作等腰直角三角形AO'B，連接OO'，交⊙O于A'，作則A'B'是AB的反射弦，對稱軸是O∵A(22S，2+22∴O'(設(shè)l交y軸于C(0,a)，由CO=CO'得，當(dāng)a=136時(shí)，S1∴0≤S≤5（3）如圖，根據(jù)（2）的方法找到MN所在的圓心O3設(shè)T(2,0)，則TM=13∵M(jìn)N=2，△∴O∴TL=T∴TO當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，如圖，取OO3的中點(diǎn)A1，OT∴SA1是∴SA1=即OO3的中點(diǎn)A1．在以S∴若MN是⊙O的以直線l為對稱軸的反射線段，則l為⊙S的切線．設(shè)⊙S與y軸交于點(diǎn)C，D，∵OS=12OT=1∴OC=1，OD=1，∴反射軸l與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)y的取值范圍為y>1或y<?1．18．（2022·北京房山·統(tǒng)考一模）對于平面內(nèi)的點(diǎn)P和圖形M，給出如下定義：以點(diǎn)P為圓心，r為半徑作圓，若⊙P與圖形M有交點(diǎn)，且半徑r存在最大值與最小值，則將半徑r的最大值與最小值的差稱為點(diǎn)P視角下圖形M的“寬度dM（1）如圖1.點(diǎn)A(4,3)，B(0,3)．①在點(diǎn)O視角下，則線段AB的“寬度dAB②若⊙B半徑為1.5，在點(diǎn)A視角下，⊙B的“寬度d⊙B（2）如圖2，⊙O半徑為2，點(diǎn)P為直線y=?x+1上一點(diǎn)．求點(diǎn)P視角下⊙O“寬度d⊙O（3）已知點(diǎn)C(m,0),CK=1，直線y=33x+3與x軸，y軸分別交于點(diǎn)D若隨著點(diǎn)C位置的變化，使得在所有點(diǎn)K的視角下，線段DE的“寬度”均滿足0<dDE<6【思路點(diǎn)撥】（1）①根據(jù)題意易得當(dāng)線段AB與以點(diǎn)O為圓心的圓相切時(shí)半徑最小，經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)半徑最大，由此問題可得解；②由題意可得當(dāng)以點(diǎn)A為圓心的圓與⊙B外切時(shí)半徑最小，內(nèi)切時(shí)半徑最大，由此問題可得解；（2）設(shè)直線y=?x+1與⊙O的交點(diǎn)分別為M和N，與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，由題意易得點(diǎn)A1,0,B0,1，即OA=1，OB=1，則可分當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M上方、點(diǎn)N下方時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P（3）由直線y=33x+3可得OD=33,OE=3，則DE=6，∠EDO=30°，由Cm,0,CK=1可知點(diǎn)K在以點(diǎn)C為圓心，半徑為1的圓上，進(jìn)而可分當(dāng)⊙C經(jīng)過點(diǎn)D【解題過程】解：（1）①由題意得：當(dāng)以點(diǎn)O為圓心的圓與線段AB相切于點(diǎn)B時(shí)，半徑為最小，經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)半徑最大，連接OA，如圖所示：∵A4,3，B∴OB=3，OA=4?0∴在點(diǎn)O視角下，則線段AB的“寬度dAB”為5?3=2故答案為2；②由題意得：以點(diǎn)A為圓心的圓與⊙B外切時(shí)半徑最小，內(nèi)切時(shí)半徑最大，如圖所示：∵⊙B半徑為1.5，∴半徑最大為1.5+4=5.5，半徑最小為4?1.5=2.5，∴在點(diǎn)A視角下，⊙B的“寬度d⊙B故答案為3；（2）設(shè)直線y=?x+1與⊙O的交點(diǎn)分別為M和N，與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，如圖所示：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M上方時(shí)，則以點(diǎn)P為圓心的圓與⊙O內(nèi)切時(shí)半徑最大，外切時(shí)半徑最小，如圖，設(shè)⊙P的半徑最小為r，由圓與圓的位置關(guān)系可得半徑最大時(shí)為r+4，∴在點(diǎn)P視角下⊙O“寬度d⊙O”為r+4?r=4同理可得當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N下方時(shí)，與點(diǎn)P在點(diǎn)M外時(shí)相同；當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上時(shí)，則根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短可得當(dāng)點(diǎn)P在AB的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)在點(diǎn)P視角下⊙O“寬度d⊙O”取最小，即：以點(diǎn)P為圓心的圓與⊙O∴由直線y=?x+1可得點(diǎn)A1,0,B0,1，即OA∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB=2∵點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，∴OP=2∴⊙P的半徑最小為2?22，半徑最大為∴在點(diǎn)P視角下⊙O“寬度d⊙O”為2+綜上所述：在點(diǎn)P