2024-2025學(xué)年湖北省黃岡市蘄春縣高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年湖北省黃岡市蘄春縣高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1.直線的傾斜角是（

）A．π4 B． C． D．2.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（

）A．至少有一個紅球與都是黑球 B．至少有一個黑球與都是黑球C．至少有一個黑球與至少有1個紅球 D．恰有1個黑球與恰有2個黑球3.已知點，，，若A，B，C三點共線，則a，b的值分別是（

）A．，3 B．，2 C．1，3 D．，24.下列命題中正確的是（

）A．點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是B．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C．若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為D．已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，若，則5.已知直線的傾斜角滿足，則的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．6.如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F(xiàn)為線段的中點．則直線到平面的距離為（）．A. B.C.D.7．袋子中有大小、形狀、質(zhì)地完全相同的4個小球，分別寫有“風(fēng)”、“展”、“紅”、“旗”四個字，若有放回地從袋子中任意摸出一個小球，直到寫有“紅”、“旗”的兩個球都摸到就停止摸球.利用電腦隨機產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，用1，2，3，4分別代表“風(fēng)”、“展”、“紅”、“旗”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下20組隨機數(shù)：411

231

324

412

112

443

213

144

331

123114

142

111

344

312

334

223

122

113

133由此可以估計，恰好在第三次就停止摸球的概率為（

）A． B． C． D．8.如圖，在三棱錐中，點為底面的重心，點是線段上靠近點的三等分點，過點的平面分別交棱，，于點，，，若，，，則（）A.B.C. D.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求．全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9．已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．向量與向量的夾角為π6B．C．向量在向量上的投影向量為D．向量與向量，共面10.甲罐中有3個紅球、2個白球，乙罐中有4個紅球、1個白球，先從甲罐中隨機取出1個球放入乙罐，分別以事件A1，A2表示由甲罐中取出的球是紅球、白球的事件，再從乙罐中隨機取出1個球，以事件B表示從乙罐中取出的球是紅球的事件，下列命題正確的是()A．事件A1，A2互斥B．事件B與事件A1相互獨立C．P(A1B)＝eq\f(1,2)D．P(B)＝eq\f(23,30)11.如圖，在正方體中，點P在線段上運動，則下列結(jié)論正確的是（）A直線平面B.三棱錐的體積為定值C.異面直線與所成角的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知A,B是相互獨立事件,且,,則.13.已知向量a=1,t,?1,b=2,1,1，若與的夾角為60°，則實數(shù)14.如圖，正方形ABCD，ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2))，則線段MN最短為________．解答題（本題共5小題，共77分）15．已知三角形ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為.(1)求邊所在直線的斜率和傾斜角；(2)求BC邊上的中線所在直線的方程.16.已知空間三點．（1）求以為鄰邊的平行四邊形的面積；（2）設(shè)，若四點共面，求的值．17.如圖，已知平面，底面為正方形，，M，N分別為，的中點.(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的正弦值.18．為普及消防安全知識，某學(xué)校組織相關(guān)知識競賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為，，甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.(1)甲在比賽中恰好贏一輪的概率；(2)從甲、乙兩人中選1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？(3)若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.19.如圖：在直三棱柱中，，，，M是的中點，N是的中點．(1)求證：∥平面；(2)求：平面BC1M與平面A1(3)在線段上是否存在點P，使得點P到平面MBC的距離為，若存在求此時的值，若不存在請說明理由．2024-2025學(xué)年湖北省黃岡市蘄春縣高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.直線的傾斜角是（

）A．π4 B． C． D．【正確答案】C2.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（

）A．至少有一個紅球與都是黑球 B．至少有一個黑球與都是黑球C．至少有一個黑球與至少有1個紅球 D．恰有1個黑球與恰有2個黑球【正確答案】D從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，可能為：1紅1黑、2紅、2黑，對于A：至少有一個紅球包括1紅1黑、2紅，與都是黑球是對立事件，不符合題意，故選項A不正確；對于B：至少有一個黑球包括1紅1黑、2黑，與都是黑球不是互斥事件，不符合題意，故選項B不正確；對于C：至少有一個黑球包括1紅1黑、2黑，至少有1個紅球包括1紅1黑、2紅，這兩個事件不是互斥事件，不符合題意，故選項C不正確；對于D：恰有1個黑球與恰有2個黑球是互斥事件而不是對立事件，符合題意，故選項D正確；故選：D.3．已知點，，，若A，B，C三點共線，則a，b的值分別是（

）A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2【正確答案】D【詳解】因為，，，所以，，因為A，B，C三點共線，所以存在實數(shù)，使，所以，所以，解得.故選：D4．下列命題中正確的是（

）A．點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是B．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C．若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為D．已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，若，則4．C【分析】由空間點關(guān)于平面的對稱點的特點可判斷A；由向量的數(shù)量積的性質(zhì)可判斷B；由線面角的定義可判斷C；由共面向量定理可判斷D.【詳解】對于A，點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是，A選項錯誤；對于B，若直線l的方向向量為，平面的法向量為，，有，則或，B選項錯誤；對于C，若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為，C選項正確；對于D，已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，若，則，解得，D選項錯誤.故選：C.5.已知直線的傾斜角滿足，則的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【正確答案】C函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，故的取值范圍是.故選：C6.如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F(xiàn)為線段的中點．直線到平面的距離為（）．A. B. C. D.【詳解】平面,平面,平面,因此直線到平面的距離等于點到平面的距離，如圖，以點為坐標(biāo)原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系.則設(shè)平面的法向量為，則，令，則設(shè)點到平面的距離為，則故直線到平面的距離為.7．袋子中有大小、形狀、質(zhì)地完全相同的4個小球，分別寫有“風(fēng)”、“展”、“紅”、“旗”四個字，若有放回地從袋子中任意摸出一個小球，直到寫有“紅”、“旗”的兩個球都摸到就停止摸球.利用電腦隨機產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，用1，2，3，4分別代表“風(fēng)”、“展”、“紅”、“旗”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下20組隨機數(shù)：411

231

324

412

112

443

213

144

331

123114

142

111

344

312

334

223

122

113

133由此可以估計，恰好在第三次就停止摸球的概率為（

）A． B． C． D．【正確答案】B由題得恰好在第三次就停止摸球的隨機數(shù)有：324，443，334，共有3個.由古典概型的概率公式得恰好在第三次就停止摸球的概率為.故選：B8.如圖，在三棱錐中，點為底面的重心，點是線段上靠近點的三等分點，過點的平面分別交棱，，于點，，，若，，，則（）A. B. C. D.【詳解】由題意可知，因為D，E，F(xiàn)，M四點共面，所以存在實數(shù)，使，所以，所以，所以，所以．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．向量與向量的夾角為π6B．C．向量在向量上的投影向量為D．向量與向量，共面9．BD【詳解】因為，所以，可得，則向量與向量的夾角為，故A錯誤；因為，所以，即B正確；根據(jù)投影向量的定義可知，向量在向量上的投影向量為，所以C錯誤；由向量，，，可知，向量與向量，共面，所以D正確.故選：ABD10.甲罐中有3個紅球、2個白球，乙罐中有4個紅球、1個白球，先從甲罐中隨機取出1個球放入乙罐，分別以事件A1，A2表示由甲罐中取出的球是紅球、白球的事件，再從乙罐中隨機取出1個球，以事件B表示從乙罐中取出的球是紅球的事件，下列命題正確的是()A．事件A1，A2互斥B．事件B與事件A1相互獨立C．P(A1B)＝eq\f(1,2)D．P(B)＝eq\f(23,30)【正確答案】ACD根據(jù)題意畫出樹狀圖，得到有關(guān)事件的樣本點數(shù)，所以事件A1，A2不可能同時發(fā)生，故彼此互斥，故A正確；P(A1)＝eq\f(18,30)＝eq\f(3,5)，P(A2)＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(15＋8,30)＝eq\f(23,30)，P(A1B)＝eq\f(15,30)＝eq\f(1,2)，故C正確，D正確；因為P(A1B)＝eq\f(1,2)，P(A1)P(B)＝eq\f(3,5)×eq\f(23,30)＝eq\f(23,50)，則P(A1B)≠P(A1)P(B)，事件B與事件A1不獨立，故B錯誤．11.如圖，在正方體中，點P在線段上運動，則下列結(jié)論正確的是（）A直線平面B.三棱錐的體積為定值C.異面直線與所成角的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為【詳解】對于A，連接，，，，平面，，同理，，，直線平面，故A正確；對于B，∥，平面，平面，∥平面，點在線段上運動，點到平面的距離為定值，又的面積為定值，利用等體積法知三棱錐的體積為定值，故B正確；對于C，∥，異面直線與所成的角即為與所成的角，當(dāng)點位于點時，與所成的角為，當(dāng)點位于的中點時，平面，，，此時，與所成的角為，異面直線與所成角的取值范圍是，故C錯誤；對于D，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，，則，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，得，所以，直線與平面所成角的正弦值為：，當(dāng)時，直線與平面所成角的正弦值取得最大值，最大值為，故D正確.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知A,B是相互獨立事件,且,,則.【正確答案】∵，，∴，.又∵A，B是相互獨立事件，∴和也為相互獨立事件，∴，故答案為.13.已知向量a=1,t,?1,b=2,1,1，若與的夾角為60°【正確答案】214.如圖，正方形ABCD，ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2))，則線段MN最短為________．14.eq\f(\r(2),2)解析建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則A(1,0,0)，F(xiàn)(1,1,0)，C(0,0,1)．因為CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2))，且四邊形ABCD，ABEF為正方形，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，1－\f(\r(2),2)a），Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a，0），所以eq\o(MN,\s\up6(→）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a－1）.所以|eq\o(MN,\s\up6(→）|＝eq\r(a2－\r(2)a＋1)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r(2),2）)2＋\f(1,2），即MN的長為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r(2),2）)2＋\f(1,2）.當(dāng)a＝eq\f(\r(2),2)時，|eq\o(MN,\s\up6(→）|min＝eq\f(\r(2),2)，即M，N分別為AC，BF的中點時，MN的長最小，最小值為eq\f(\r(2),2).解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知三角形ABC三個頂點坐標(biāo)分別為.(1)求直線的斜率和傾斜角；(2)求BC邊上的中線所在直線的方程.（1）由斜率公式得直線的斜率為，記傾斜角為，則，因為，所以直線的傾斜角為.（2）y=95x16.已知空間三點．（1）求以為鄰邊的平行四邊形的面積；（2）設(shè)，若四點共面，求的值．【詳解】（1）因為，所以，，，.．（2），四點共面，

存在唯一一對實數(shù)，使得，

，解得，．17.如圖，已知平面，底面為正方形，，M，N分別為，的中點.

(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的正弦值.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，空間向量法證明直線與法向量平行，即可證明結(jié)論成立；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方法向量，以及平面的一個法向量，計算向量夾角余弦值，即可得出結(jié)果；【詳解】（1）以為原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則,，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得，因為，所以平面；（2），，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角的正弦值為：．18．為普及消防安全知識，某學(xué)校組織相關(guān)知識競賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為，，甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.(1)甲在比賽中恰好贏一輪的概率；(2)從甲、乙兩人中選1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？(3)若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.【正確答案】(1)(2)派甲參賽獲勝的概率更大(3)【分析】（1）根據(jù)獨立事件的乘法公式計算即可；