七年級數(shù)學“線段與角”經(jīng)典題型詳解

七年級數(shù)學〃線段與角〃經(jīng)典題型詳

解

一、《線段、射線、直線》與《角》

例1線段中點與角平分線

線段的中點〃角平分線。

J???月

AC

A

*

如圖，若0C為ZAOB的平分線,

如圖，若點c為線段AB的中點，

貝％NAOC=NBOC=工NAOB，或/

貝ij:AC=BC=-AB,或AB=2AC=2BC.2

2AOB=2ZAOC=2ZBOC."

①若一條線段上有n個點，則這n個點可組成n/2(n+l)條線段;

4_----------―

'———??

、3―-

ACDEB

ACDEB

訣竅：按一個方向數(shù)，不回頭,

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：4+3+2+1

②從一個點出發(fā)引出n條射線，則這n條射線可組成n/2(n+1)個角。

G

訣竅：按一個方向數(shù)，不回頭,

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：4+3+2+1

例2線段類與角類多解問題

*線段類多解問題「角類多解問題

已知，點A、B、C在同一

已知/A0B=80。,Z

題目一條直線上，目AB=8,BC=2,貝1]

B0C=20°,則NAOC=________

AC=________

A

/???C

情形UB

AC=AB+BC=8+2=1(P

ZAOC=ZAOB+ZBOC=IOO0^

A

A???6

C

情形2P

AC=AB-BC=8-2=6^

oL；B

d

ZA0C=ZA0B-ZB0C=60oP

例3雙中點問題與雙角平分線問題（1）

雙中點問題（D-雙角平分線問題（D，

已知線段AB=8,點C為直已知/A0B=80。，0M為/

題目有線AB上一點，M是M中點，AOC角平分線，ON為/BOC角

N是BC中點，求MN的長度.?平分線L，求/M0N的度數(shù).〃

“CN

d

11

MN=MC+NC=-AC+-BC-

情形W22oB

=^(AC+BCH

ZMON=ZMOC+ZNOC*-'

1/1/

1=-ZAOC+-ZBOC^'

=—AB=4/22

2

=-/AOB=400c

2

A

A????

MBN

d

MN=MC-NCP

11

情形2"二一AC——BO

22匕

=^(AC-BCH

ZMON=ZMOC-ZNOC-'

1/1y

1=-ZAOC--ZBOC^

=—AB=4v22

2

=-ZAOB=40°^

2

例4雙中點問題與雙角平分線問題（2）

雙中點問題C），雙角平分線問題（2）一

已知線段AB=6,點C為已知/AOB=60。，其角平

直線AB上一點，M是AB中分線為OM,ZBOC=20°,其

題目召

點，BC=2,N是BC中點，求角平分線為ON,則NMON

MN的長度*的大小為________。

MBN

11

情形「MN=MB+NB=-ABf-BC*-'

22d

11

=—x6+—x2=4^1ZMON=ZMOB+ZNOB^'

22

=1-Z/AOB+1-Z/BOC^

22

=-X6O0+-X2O0=4O°"

22

情形2-MN=MB-NB二一AB——Bl

22

ZMON=ZMOB-ZNOB4-'

11

=_x6-—X2=2~11,

22=-ZyAOB--ZBOC-'

22

=IX60O--X20O-20°^

22

例5數(shù)線段條數(shù)與角的個數(shù)

數(shù)線段的條數(shù)數(shù)角的個數(shù)+

如圖，一條線段上有n如圖，從點0引出n

旃仝點,則此圖中共有______條射線，則此圖中共有

條線段,一念角？

A

圖形。444?

*

--------------小

??

〃(-1)*雙〃-1).

結(jié)論戶

22

二、行程問題與鐘面角問題

例6追擊類問題（1）

行程追擊問題（1）?鐘面角問題（1）,

已知，甲、乙兩車分別如圖，在一個圓形時鐘

從相距180km的A、B兩地的表面上，OA表示時針，

出發(fā)，甲車速度為36km/h,OB表示分針，下午3點時，

乙車速度為24km/h,兩車同OA與OB成直角，從3點開

時出發(fā)，同向而行（乙車在始，經(jīng)過多少分鐘，時針與

前，甲車在后），______h分針第一次重合？〃

后兩車相遇？一

題目一

正不

AB

例7追擊類問題（2）

行程追擊問題（2），鐘面角問題（2）/

已知，甲、乙兩車分別從相如圖，在一個圓形時鐘的表

距180km的A、B兩地出發(fā)，面上，OA表示時針，OB表

甲車速度為36km/h,乙車速示分針，下午3點時，OA

度為24km/h,兩車同時出與08成直角，從3點開始，

發(fā)，同向而行（乙車在前，經(jīng)過多少分鐘，時針與分針

甲車在后），_____h后兩成60。角？/

車相距120km?。

題目C

甲車不

AB

*

二.六道題突破〃線段與角〃所有難題

1、方程思想

例1:

已知/AOB=160°,zCOE=80°zOF平分NAOE.

(1)如圖1,若NCOF=n。，則NBOE=°,zBOE與NCOF的數(shù)量關(guān)系為

；(2)當射線OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，(1)中/BOE

與NCOF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由；(3)在(2)的條件下,如

圖3,在/BOE的內(nèi)部是否存在一^射線0D,使得NBOD為直角，且/DOF=

3zDOE?若存在，請求出NCOF的度數(shù);若不存在，請說明理由.

分析：

⑴(2)根據(jù)NEOC和NCOF的度數(shù)，可以求出/FOE的度數(shù)，從而可求/AOE的

度數(shù)，從而將/AOB的度數(shù)減去NAOE的度數(shù)，就是NBOE的度數(shù)，若將/EOF

的度數(shù)用n來表示，或?qū)⑽恢酶淖?，方法也是不變?(3)要求/COF的度數(shù)，

只需求出40F的度數(shù)，fflzCOE的度數(shù)相減即可.而要求/EOF的度數(shù)，我們

可以借助/DOF=3zDOE的條彳牛,最后，利用NAOD+zBOD=160°,建立方

程.

解答：

(1)設(shè)NCOF=n°,zFOE=zCOE-zCOF=(80-n)°/.OF平分NAOE,/.ZAOE

=2zFOE=(160-2n)°/.zBOE=zAOB-zAOE=160°-(160-2n)0=2n。,

」.NBOE=2NCOF.(2)結(jié)論仍然成立，方法同Q).(3)/OD±OB,/.zBOD=90°,

設(shè)。平分

/DOE=x，../DOF=3x°zzFOE=zDOF-zDOE=2x°,/OFNAOE,

/.zAOE=2zFOE=4x°^-.zAOE+zDOE+zBOD=zAOB,4x+x+90=160,

x=14,..NEOF=2x°=28°,zCOF=zCOE-zEOF=80°?28°=52°

2、分類討論

例2:

在同一條直線上有/、B、C、。四點，（乂、B、C三點依次從左到右排列）,

3

已知，AD=3/5BD.AC=3BC,"=/，旦CD=①

求HR的長.三老幽奴字加厚

分析：

顯然，點4,B,C的位置已經(jīng)確定，因此，點。的位置可能有幾種，

根據(jù)月。=|①），可知，。在線段4延長線上，或在線段以的延長線上.

同時，別忘了，本題既然涉及到比例問題，設(shè)x列方程比較合理.

解答：

①當點。在線段上,

ADBC

設(shè)5D=5xcm,ZD=3xcm,.\AB=AD-^-BD=8xcm,

\'AC=3BC,.\AB+BC=AC=3BC,：.AB=2BC,BC=4xcm,

,16

..CD—CB4"SD—ftxcni9x=6,x—-45—8x—"j-cni.

②當點。在線段弱的延長線上，

-DABC~

設(shè)3D=5xcm,月。=3xcm,.\AB=BD-AD=2xcm,

\'AB=2BC,：.BC=xcm,

：.CD=CB+BD=6xcm,6x=6,x=l,AB=2x=2cm.

綜上，45=￥cm或2cm.

3、旋轉(zhuǎn)相關(guān)

例3:

已知直線AB和CD交于點OzAOC的度數(shù)為x/BOE=90。QF平分NAOD.

(1)當x=19。48',求NEOC與NFOD的度數(shù).(2)當x=60°,射線OE、OF分

別以10%，4%的速度同時繞點。順時針轉(zhuǎn)動，求當射線0E與射線OF重

合時至少需要多少時間?(3)當x=60°,射線0E以107s的速度繞點O順時針

轉(zhuǎn)動，同時射線OF也以中/s的速度繞點。逆時針轉(zhuǎn)動，當射線0￡轉(zhuǎn)動一

周時射線OF也停止轉(zhuǎn)動.射線OE在轉(zhuǎn)動一周的過程中當/EOF=90。時，求

射線0E轉(zhuǎn)動的時間.

分析：

(1)問非常簡單，不再贅述.(2)這是一個追及問題，射線0E的速度快，顯然是

0E在后追OF,追及的度數(shù)是用360。減去/EOF的度數(shù).⑶由于方向變化，問

題又變成了一個相遇問題，相遇前，兩射線的夾角與第(2)問相同，要使夾角為

90。，則轉(zhuǎn)過的度數(shù)之和分3種.相遇之前，夾角為90。，即轉(zhuǎn)過的度數(shù)之和為

(2)中的度數(shù)減去90°.相遇之后,夾角為90°,即轉(zhuǎn)過的度數(shù)之和為(2)中的度

數(shù)加上90°.相遇之后，夾角為(360-90)。，即轉(zhuǎn)過的度數(shù)之和為(2)中的度數(shù)加

上(360-90)°.

解答：

(l)/zBOE=90。，..NAOE=zAOB-zBOE=180°-90°=90°,/.zEOC=z

AOE-zAOC=90°-19。48'=70。12,zAOD=zCOD-zAOC=180°-

19°48'=160°12\OF平分NAOD,「.NFOD=l/2zAOD=80°6'(2)「NAOC=

60°,/.zAOD=120°zzAOF=60。，zEOF=zAOF+zAOE=150。，解設(shè)

t秒后重合，(10?4)t=360-150,t=35.(3)

(10-4)r=360-150-90,r=y

(10-4)/=360-1504-90,f=早

(10-4^=360-1504-(360-90),1=芹

綜上，轉(zhuǎn)動的時間為第九早秒，半秒.

4、定值探究

例4:

如圖，在射線。河上有三點小B、C,滿足Q4=20cm,43=60cm,BC=10cm(如圖所示)，點

P從點。出發(fā)，沿0M方向認Icms的速度勻速運動，點Q從點C出發(fā)在2鍛C0上向點。勻速

運動(點。運動到點。時停止運動"兩點同時出發(fā).

(1)當我=2%時，點。運延”的位置恰好是線段.43的三等分點，求點。的運動速度.

(2)若點。運動速度為3cms,經(jīng)過多長時間尸、。兩點相距70cm.

(3)當點尸運動到線段AS上時，分別取OP和.45的中點E、F,求笑聲的值.

6AB~C"

分析：

(1)根據(jù)Ri=2PB,我們知道，點P可以在線段劉上，也可以在線段.四的延長線上，根據(jù)點。

是線段45的三等分點，可知點2可以在靠近點5的三等分點，也可以在靠近點H的三等分點，

因此，本小題共有4種情況.

(2)兩點相距70cm,則要分相遇之前和相遇之后2種情況，但在相遇之后，則要注意，點Q的速度

較快，在列式后計算得到的時間之前，就已到達終點。，因此，接下來的時間都只有點P繼續(xù)向

右，因此相距的70cm就是點P走過的70cm,時間也是點尸走過70cm的時間.

(3)本題無需考慮點尸的位置，分別表示出XP,所的長度即可，而W的長度，應該用OF-OE

的長度，OF=OA+AF=OA+^AB,OE=^OP.

解答：

(1)0P在線段彳5上，。在靠近點3的三等分點.

設(shè)7^4=2x011,PB=xcm,2x+x=60,x=20,OP=20+2x=60cm

t=Y=60s,2S=；/B=20cm,QC=QB4-BC=30cm,Jzg=1^=1cms

②P在線段相上，。在靠近點幺的三等分點.

OP—60cmf=60s,QB—~y,4B—20cmQC—QB+BC—50cm,，0=^^=，cni's

@P在線段AB延長線上，O在靠近點B的三等分點.

設(shè)以=2xcm,PB=xcm,2x-x=60,x=60,(?P=604-2x=140cm

￡="j-=140s,2c=30011,140=14cnis

④P在線段々延長線上，。在靠近點月的三等分點.

。尸=140cm,/=140s,2c=50cm,。=爵=^cms

(2)設(shè)運動時間為f秒.

①(l+3)f=90-70

1=5

②(l+3)f=90+70

/=40

—kit-八lii20+604-10

當點Q到點。停止時，3==30s,

點P繼續(xù)向右運動

tp*=70s,綜上t=5s或70s

(3)設(shè)運動了x秒，OP=xcm,0.4=20cm,OB-AP=80-(x-20)=100—x,

石尸=0尸一OE=(Q4+%3)-。=(20+30)-5=50一全

.OB-AP100-x、

?F^=R=2.

50—2

5、雙角平分線

例5:

如圖，兩個形狀、大小完全相同的含有30。，60。角的三角尺如圖①放置，PA,

PB與直線MN重合且三角尺PAC三角尺PBD均可以繞點P逆時針旋轉(zhuǎn).(1)

試說明：zDPC=90°;(2)如圖②，若三角尺PAC的邊PA從PN處開始繞點P

逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度,PF平分NAPD,PE平分NCPD,求/EPF;(3)如圖③，

若三角尺PAC的邊PA從PN處開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為3。儂，同時三

角尺PBD的邊PB從PM處開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn),轉(zhuǎn)速為2。/秒,在兩個三

角尺旋轉(zhuǎn)過程中(PC轉(zhuǎn)到與PM重合時，兩三角尺都停止轉(zhuǎn)動)，試說明：NBPN

=2zCPD.

圖1圖2圖3

分析：

(1)問簡單，不再贅述.(2)典型的雙角平分線問題，先找出現(xiàn)兩次的邊,即公共

邊，PD,則組成/EPF的兩條邊，PE,PF,必然與PD形成2個角，NFPD,z

EPD,則/EPF必為這兩個角的差或和,然后利用一半減一半，或一半加一半解

決.⑶分別用含t的代數(shù)式表示/BPN,NCPD,注意NCPD在表示時，要考慮

至I」PD旋轉(zhuǎn)至IJMN下方的情況，因此,用平角NMPN+zMPN-zBPD-zAPC

-zAPN最合適.

解答：

(1)/PA,PB與直線MN重合，../APB=180。又?.?NCPA=60。，/DPB=30°,

/.zDPC=zAPB-zCPA-zDPB=180°-30°-60°=90°;

(2)??/尸平分4PD,，/FPD=；ZAPD

PE平分/CPD,,NEPD=；/CPD

Z_EPF=Z.FPD-Z_EPD=^ZAPD-；/CPD

=1Z^PC=3O0

(3)設(shè)運動時間為f秒，則N5PM=2r°,

???N6PJV=(180-2?！?&PN=3t。.

/CPD=4MPN+Z.MPN-ZBPD-ZAPC-^APN

=(180+2/-30-60-3/)°=(90-/)°，

：.ZBPN=2ZCPD.

6、動點綜合

例6:

已知數(shù)軸上有A,B,C三點，分別表示數(shù)-24,-10,10.兩只電子螞蟻甲、

乙分別從A,C兩點同時相向而行,甲的速度為4個單位/秒,乙的速度為6個

單位/秒.（1）問甲、乙在數(shù)軸上的哪個點相遇？（2）問多少秒后甲到A,B,

C三點的距離之和為40個單位？若此時甲調(diào)頭往回走，問甲、乙還能在數(shù)軸上

相遇嗎？若能，求出相遇點；若不能，請說明理由.（3）若甲、乙兩只電子螞

蟻