2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列專題81 二元一次方程組及其解法【九大題型】（舉一反三）（人教版）含解析

2023.2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列專題8.1二元一次方程

組及其解法【九大題型】

【人教版】

【題型?二元一次方程（組）的概念】............................................................1

【題型2已知二元一次方程（組）的解求參數(shù)】...................................................2

【題型3二元一次方程（組）的解的情況】.......................................................2

【題型4二元一次方程組的一般解法】............................................................3

【題型5整體換元求解二元一次方程組的解】.....................................................3

【題型6構(gòu)建二元一次方程組】.................................................................4

【題型7二元一次方程組與二元一次方程的綜合求值】.............................................5

【題型8根據(jù)兩個(gè)二元一次方程組解的情況求值】.................................................5

【題型9二元一次方程組的錯(cuò)解復(fù)原問(wèn)題】.......................................................6

”片聲*三

【知識(shí)點(diǎn)1二元一次方程（組）的概念】

1、二元一次方程

含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程組

含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。

【題型1二元一次方程（組）的概念】

【例1】（2022?山東?膠州市第七中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）下列萬(wàn)程中，是二元一次方程組的是1）

①汽”②叱③產(chǎn)…）-2「④

ly+2z=7―x—y=5?2%+3y

A.①②③B.②③C.③④D.①②

【變式1-1]（2022?黑龍江?哈爾濱市松雷中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）關(guān)于工、），的方程（…2）"盧」|=2是

二元一次方程，則〃?的值為.

【變式1-2]（2022?四川?仁壽縣文宮鎮(zhèn)古佛九年制學(xué)校七年級(jí)期中）下列方程：

①2%-5=1；②5+。=3；@x2-y2=4：④5（%+y）=7（%-y）；⑤2/=3；⑥x+；=l,其中

32yy

是二元一次方程的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【知識(shí)點(diǎn)2二元一次方程（組）的解】

3、二元一次方程的解

適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解。

4、二元一次方程組的解

二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)二元一次方程組的解。

5、二元一次方程組的解法

（1）代入（消元）法（2）加減（消元）法

【題型2已知二元一次方程（蛆）的解求參數(shù)】

【例2】（2022?黑龍江?齊齊哈爾市第二十八中學(xué)七年級(jí)期中）關(guān)于x和.V的二元一次方程，2x+3y=20的正

整數(shù)解有（）組.

A.1B.2C.3D.4

【變式2/】（2022?新疆塔城?七年級(jí)期末）已知:方是二元一次方程2丸-十y=14的解，則k的值是（）

A.2B.-2C.3D.-3

【變式2-2］（2022?全國(guó)?七年級(jí)單元測(cè)試）已知方程］+by=-l的兩組解是C二二;和后二：，求（a+b）（a4

-2a2b2+b2）的值.

【變式2-3］（2022?浙江杭州?七年級(jí)期中）在關(guān)于x,y的二元一次方程組的下列說(shuō)法中，

錯(cuò)誤的是（）

A.當(dāng)a=2時(shí)，方程的兩根互為相反數(shù)B.當(dāng)且僅當(dāng)a=-5時(shí)解得％為y的2倍

C.x,y滿足關(guān)系式x—5y=6D.不存在自然數(shù)a使得，y均為正整數(shù)

【題型3二元一次方程（組）的解的情況】

【例3】（2022?四川省琪縣巡場(chǎng)中學(xué)校七年級(jí)期中）關(guān)于x,y的方程組二:的解是整數(shù)，則整數(shù)a的

個(gè)數(shù)為（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【變式3-1］（2022?浙江杭州?七年級(jí)期中）若二元一次方程組｛二：二黃=J無(wú)解，則血為（）

A.9B.6C.-6D.-9

【變式3-2］（2022?全國(guó)?八年級(jí)單元測(cè)試）下列說(shuō)法中正確的是（）

A.方程3x-4y=l可能無(wú)解

B.方程3x-4y=l有無(wú)數(shù)組解，即xy可以取任何數(shù)值

X—1(Y——1

C.方程3x-4y=l只有兩組解，兩組解是y=；：=_；

D.x=3,y=2是方程3x-4y=l的一組解

【變式3-3](2022?河南商丘?七年級(jí)階段練習(xí))二元一次方程2x+y=13的非負(fù)整數(shù)解有()

A.5個(gè)B.6個(gè)C.7個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

【題型4二元一次方程組的一般解法】

【例4】(2022?云南?普洱巾寧洱縣勤先鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中)解方程組：

⑴[y=2%①

|3y+2%=8②

(2x+3y=12?

1)U-2y=-l@

【變式4-1](2022?甘肅?金昌市金川區(qū)寧遠(yuǎn)中學(xué)七年級(jí)期中)用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探M：

⑵卜二短工

(3)用代入法解J二；o

⑷用加減法解償二沈二：

【變式4-2](2022?湖南?郴州市五雅高級(jí)中學(xué)有限公司七年級(jí)階段練習(xí))解方程組

+3y=7

-3y=1;

mn

--------=2

(4)52

l2(m+n+5)—(-m+n)=23

【變式4-3](2022?河南商丘?七年級(jí)期末)解下列方程組：

(1)|3x-y=S

卬回-1=3工+10

x+7y=2

(2)-x-+--y-----.x..-.y..._----I

26

【題型5整體換元求解二元一次方程組的解】

【例5】(2022?全國(guó)?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))己知關(guān)于X、)，的二元一次方程組朦:[二;的解為仁，那么

關(guān)于…的二元一次方程組露胃:黑二工的解為一?

2a+b,例如103=2x1+3=5.

（1）求4區(qū)）（-3）的值；

（2）若％⑤（-y）=-2,（2y）0%=-1,求為+y的值.

【變式6-3]（2022?山東聊城?七年級(jí)期中）已知a、b都是有理數(shù)，觀察表中的運(yùn)算，則〃尸

〃、〃的運(yùn)算a+ba-b（a+2/？）3

運(yùn)算的結(jié)果59in

【題型7二元一次方程組與二元一次方程的綜合求值】

【例7】（2022?廣東揭陽(yáng)?八年級(jí)期末）若關(guān)于的二元一次方程組｛:二j二能）:的解滿足x+y=7,

則A的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【變式7-1]（2022?全國(guó)?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）關(guān)于x,y的方程組[丫=一的解也是二元一次方

程x+3y+7m=20的解，則m的值是（）

A.2B.1C.0D.-

2

【變式7?2】（2022?湖南株洲?七年級(jí)期末）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組底），的解滿足二元

一次方程/,'=4,求〃?的值.

【變式7-3]（2022?四川?天府四中七年級(jí)期中）已知方程組:27的解是二元一次方程;c—y=l的

十5y一/

一個(gè)解，則a=.

【題型8根據(jù)兩個(gè)二元一次方程組解的情況求值】

【例8X2022?浙江嚀波市鎮(zhèn)海蛟川書(shū)院七年級(jí)期中）關(guān)于x、y的方程組J：：/二26與『匯3短才

有相同的解，則Q+b=.

【變式8-1]（2019?四川成都?中考模擬）數(shù)學(xué)學(xué)霸甲、乙兩人在一次解方程組比賽中，甲求關(guān)于“、y的方

程組宿二的正確解與乙求關(guān)于小y的方程組晨二；二20的正確的解相同.則*18+（-揮產(chǎn)18

的值為.

【變式8-2]（2022?福建省永春烏石中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）已知方程組｛￡｝為；；的解也是方程組

優(yōu)二5一二的解求的值?

【變式8-3］（2022?山東濰坊?七年級(jí)期中）若關(guān)于，丫的二元一次方程組｛晨與

吃％=m2q有相同的解，則這個(gè)解是_________.

（（c+3）x+（d+4）y=n+5--------------

【題型9二元一次方程組的錯(cuò)解復(fù)原問(wèn)題】

【例9】（2022?四川?射洪中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）小明和小文解一個(gè)二元一次方程組廣：二3七=7,小明正

確解得［:二，1，小文抄錯(cuò)了c，解得『二二’己知小文抄錯(cuò)了c外沒(méi)有發(fā)生其他借取，則a~b~c-.

【變式9.1】（2019?全國(guó)?八年級(jí)單元測(cè)試）甲、乙二人解同一個(gè)方程組1干+?二尸皆甲因看錯(cuò)①中的

bx-3y=9.［2）

a得解為t：5'乙因看錯(cuò)了②中的b解得「=1'求。，力的值.

U-/，｛y=5,

【變式9-2】（2019?江蘇徐州?七年級(jí)期末）甲、乙二人同時(shí)解一個(gè)方程組=$以，甲解得匕：產(chǎn)，

乙解得｛；二:?甲僅因?yàn)榭村e(cuò)了萬(wàn)程⑴中y的系數(shù)。，乙僅因?yàn)榭村e(cuò)了方程（2）中工的系數(shù)b,求方程組止確的解.

【變式9-3］（2019?全國(guó)?八年級(jí)單元測(cè)試）小敏不小心將墨水濺在同桌小娟的作業(yè)本上，結(jié)果二元一次方

程組Z1?中第一個(gè)方程y的系數(shù)和第二個(gè)方程x的系數(shù)看不到了，現(xiàn)在已知方程組的解是匕Z\

（□X十zy——L-L,

則原來(lái)的方程組為.

專題8.1二元一次方程組及其解法【九大題型】

【人教版】

【題型?二元一次方程（組）的概念】............................................................1

【題型2已知二元一次方程（組）的解求參數(shù)】...................................................2

【題型3二元一次方程（組）的解的情況】.......................................................2

【題型4二元一次方程組的一般解法】............................................................3

【題型5整體換元求解二元一次方程組的解】.....................................................3

【題型6構(gòu)建二元一次方程組】.................................................................4

【題型7二元一次方程組與二元一次方程的綜合求值】.............................................5

【題型8根據(jù)兩個(gè)二元一次方程組解的情況求值】.................................................5

【題型9二元一次方程組的錯(cuò)解復(fù)原問(wèn)題】.......................................................6

手，?三

【知識(shí)點(diǎn)1二元一次方程（組）的概念】

1、二元一次方程

含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程組

含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。

【題型1二元一次方程（組）的概念】

【例1】（2022?山東?膠州市第七中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）下列萬(wàn)程中，是二元一次方程組的是〔）

1,_.

-2y=3⑸；+y=4_4)-2x=1

+2z=7②y，=_i③ix-y=5④

2%+3y=1

<x

A.①②③B.②③C.③④D.①②

【答案】C

【分析】根據(jù)二元次方程組的定義：方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，含有每個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,并且

共有兩個(gè)方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組，據(jù)此即可判定.

【詳解】解：①是三元一次方程組，故不符合題意：

f-+y=4

②X2各方程不是整式方程，故不是二元一次方程組，故不符合題意;

。一片-1

③=1是二元一次方程組，故符合題意；

f_y_1

④23-i是二元一次方程經(jīng)，故符合題意；

2x+3y=；

故是二元一次方程組是③④，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的定義，理解和掌握二元一次方程組的定義是解決本題的關(guān)鍵.

【變式M]（2022黑龍江?哈爾濱市松雷中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）關(guān)于?。姆匠?。〃-2）A盧」1=2是

二元一次方程，則機(jī)的值為.

【答案】0

【分析】根據(jù)二元?次方程的定義：有2個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)為1的整式方程，得出租的等量關(guān)系,

解出答案即可.

【詳解】解：由題意得，

m-2H0,|m—1|=1,

0znH2,m=2或0,

Em=0,

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的定義，熟練掌握并理解二元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵.

【變式1-2]（2022?四川?仁壽縣文宮鎮(zhèn)占佛九年制學(xué)校七年級(jí)期中）下列方程：

①2%-馬=1；（2）^4--=3；（3）x2-y2=4：（4）5（x+y）=7（x-y）；（5）2x2=3；@x4-7=1,其中

32yy

是二元一次方程的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)二元一次方程的定義作答.含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,像這樣的整

式方程叫做一元一次方程.

【詳解】解：①"一；=1屬于二元一次方程，故符合題意；

②:+；=3中分母含有未知數(shù)，不屬于二元一次方程，故不符合題意；

③/-y2=4中的未知數(shù)的次數(shù)為2,不屬于二元一次方程，故不符合題意：

④5（x+y）=7（%-y）屬于二元一次方程，故符合題意：

⑤2-=3中的未知數(shù)的次數(shù)為2,不屬于二元一次方程，故不符合題意；

⑥x+；=1中分母含有未知數(shù)，不屬于二元一次方程，故不符合題意：

故其中二元一次方程有2個(gè).

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特點(diǎn)：含有2個(gè)未知數(shù)，

未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1的整式方程.

【變式1?3】（2022春?開(kāi)福區(qū)月考）已知方程組產(chǎn)一夕〃一呼"一2二2二1是二元一次方程組，求加的值.

（（m+l）x=-2

【答案】⑴9+3迎；（2）zn=5

【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義得|m-2|-2=1且m-3H0,m+1H0即可求解；

【詳解】解：團(tuán)方程組一夕1-2”小一2二2=1是二元一次方程組，

（（m+l）x=-2

—2|-2=1,且m—3H0,m+1工0,

0m=5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的定義，掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵.

【知識(shí)點(diǎn)2二元一次方程（組）的解】

3、二元一次方程的解

適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解。

4、二元一次方程組的解

二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)二元一次方程組的解。

5、二元一次方程組的解法

（1）代入（消元）法（2）加減（消元）法

【題型2已知二元一次方程（蛆）的解求參數(shù)】

【例2】（2022?黑龍江?齊齊哈爾市第二十八中學(xué)七年級(jí)期中）關(guān)于x和y的二元一次方程，2x+3），=20的正

整數(shù)解有（）組.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】將y看作已知數(shù)，求出人即可確定出方程的正整數(shù)解.

【詳解】解：2x+3y=20

1

x=-（20-3y）

乙

當(dāng)y=2時(shí)，x=7；當(dāng)y=4時(shí)，x=4；當(dāng)y=6時(shí)，x=l

則方程的正整數(shù)解有3對(duì).

故選:C

【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是將），看作已知數(shù)，表示出工

【變式2-1］（2022?新疆塔城?七年級(jí)期末）已知:北是二元一次方程2%+y=14的解，則k的值是（）

A.2B.-2C.3D.-3

【答案】A

【分析】把憂案代入二元一次方程2%+y=14求解即可得到答案；

【詳解】把代入二元一次方程2%+y=14得到：

2x2k+3k=14,

即：7k=14,k=2,

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元??次方程解的定義，掌握二元?次方程的解使該方程等號(hào)兩邊成立是解題的

關(guān)鍵.

【變式2-2］（2022?全國(guó)?七年級(jí)單元測(cè)試）已知方程》+by=-l的兩組解是C二二;和后二：，求（a+b）（a4

-2a2b2+b2）的值.

【答案】-23

【分析】根據(jù)題意把兩組解代入組成一個(gè)新的二元一次方程組，然后求出a、b的值，代入含有a、b的代

數(shù)式求解即可

【詳解】解：將和｛：：：代入?+by=-l,

得9（-2）+八（-=

^x4+bx3=-l'

解得｛/1?

0（a+b）（a4-2a2b2+b2）=（4-3）x［44-2x42x（-3）2+（-3）2］=-23.

【點(diǎn)睛】二元一次方程組的解法是本題的考點(diǎn)，熟練掌握其知識(shí)根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)換成二元一次方程組是解

題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2022?浙江杭州?七年級(jí)期中）在關(guān)于，y的二元一次方程組，（夕建13的下列說(shuō)法中，

錯(cuò)誤的是O

A.當(dāng)a=2時(shí)，方程的兩根互為相反數(shù)B.當(dāng)且僅當(dāng)a=-5時(shí)解得“為y的2倍

C.x,y滿足關(guān)系式％-5y=6D.不存在自然數(shù)a使得％,y均為正整數(shù)

【答案】D

【分析】A.當(dāng)a=2時(shí)，方程組變形得到結(jié)果，即可判斷;

B.將x=2y代入方程，解出a即可判斷:

C.用含a是代數(shù)式表示x和y,再將x、y代入x-5y進(jìn)行計(jì)算即可判斷;

D.用含a是代數(shù)式表示x和y,當(dāng)a=16時(shí)，x=ll,y=l,即可判斷.

【詳解】解：A、當(dāng)a=2時(shí)，方程組為

x-f-2y=-l@

t3x-y=4@，

①+②x2得：7x=7,

解得：x=l,

把x=l代入①得：y=-l,

貝I」xIy=l-l=O,

即方程的兩根互為相反數(shù),

0A選項(xiàng)不符合題意;

B.當(dāng)x=2y時(shí),原方程組可變?yōu)椋海?二為？

解得：Q=-5,

(3當(dāng)且僅當(dāng)Q=?5,時(shí)解得x為y的2倍;

團(tuán)B選項(xiàng)不符合題意.

產(chǎn)-2y=a-3①

3x—y=2a@'

①+②x2得：7x=5a-3,

解樂(lè)x=手，y=-

la-942

0x-5y=^-5X——=一y=6,正確,

7

0C選項(xiàng)不符合題意;

D、由C可知：x=歲，丫=學(xué)

要使x為自然數(shù)，可得5a-3=7,14,21,...；同理a-9=7,14,21,

當(dāng)a=16時(shí)，x=ll,y=l,

所以存在自然數(shù)a,使得x,y均為正整數(shù),

團(tuán)D選項(xiàng)符合題意;

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解.、二元一次方程的解.、解二元-一次方程組，解決本題的關(guān)鍵是掌

握二元一次方程的相關(guān)知識(shí).

【題型3二元一次方程（組）的解的情況】

【例3】（2022?四川省歐縣巡場(chǎng)中學(xué)校七年級(jí)期中）關(guān)于％,y的方程組|雪］?二二的解是整數(shù)，則整數(shù)a的

個(gè)數(shù)為（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】C

【分析】先解方程組求出小y的值，根據(jù)y和Q都是整數(shù)求出1+2。=一1或1+2。=5或1+2。=1或1+

2a=-5,求出a的值，再代入》求出入,再逐個(gè)判斷即可;

2x-ay=6(1)

【詳解】

4x+y=7@

①x2-②得：(—2a—l)y=5

解得：y=

把'=系代入②得：軌一羔=7

解得「二篝

v方程組的解為整數(shù)

均為整數(shù)

：?l+2a=-1或1+2Q=5或1+2a=1或1+2a=-5

解得:。=-1,2,0,—3,

當(dāng)a=—l時(shí)，x=1,不是整數(shù)，舍去;

當(dāng)a=2時(shí)，x=2,是整數(shù)，符合;

當(dāng)a=0時(shí)，x=3,是整數(shù)，符合;

當(dāng)a=-3時(shí)，x=l，不是整數(shù)，舍去;

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的含參問(wèn)題，準(zhǔn)確的解四方程組并且列出整數(shù)解的情況是求解本題

的關(guān)鍵.

【變式3-1］（2022?浙江杭州?七年級(jí)期中）若二元一次方程組{：二院19無(wú)解，則皿為（）

A.9B.6C.-6D.-9

【答案】B

【分析】根據(jù)二元一次方程組無(wú)解的問(wèn)題可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：由仲-3y=才可得:

2x-y=l（2）

①-②x3得：（m—6）x=6>

團(tuán)二元一次方程組無(wú)解，

回TH—6=0,解得：7H=6;

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的解法，熟練掌握二元i次方程組的解法是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2022?全國(guó)?八年級(jí)單元測(cè)試）下列說(shuō)法中正確的是（）

A.方程3x-4y=l可能無(wú)解

B.方程3x-4y=l有無(wú)數(shù)組解，即xy可以取任何數(shù)值

X=1（Y—

{y2（y-

D.x=3,y=2是方程3x.4y=l的一組解

【答案】D

【分析】根據(jù)二元一次方程是不定方程，有無(wú)數(shù)組解：能使方程成立的x,y的數(shù)值即是方程的解.反之，

則不是方程的解.

【詳解】解：A、方程3x-4y=l有無(wú)數(shù)組解，錯(cuò)誤；

B、方程3x-4y=l有無(wú)數(shù)組解，即x,y的取值代入方程，使方程左右相等的解是方程的解，錯(cuò)發(fā)；

C、方程3x-4y=l有無(wú)數(shù)組解，即x,y的取值代入方程，使方程左右相等的解是方程的解，錯(cuò)誤；

D、x=3,y=2代入方程3x-4y=l,左邊=1=右邊，即x=3,y=2是方程3x-4y=l的一組解，正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】根據(jù)方程的解的定義，一組數(shù)是方程的解，那么它一定滿足這個(gè)方程；若不滿足，則不是方程的

解.關(guān)鍵是會(huì)把x,y的值代入原方程驗(yàn)證二元一次方程的解.

【變式3-3］（2022?河南商丘?七年級(jí)階段練習(xí)）二元一次方程2x+y=13的非負(fù)整數(shù)解有（）

A.5個(gè)B.6個(gè)C.7個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

【答案】C

【分析】將x=0,1,2,分別代入2計(jì)產(chǎn)13,求出二元一次方程2x+產(chǎn)13的非負(fù)整數(shù)解有多少組即可.

［詳解］當(dāng)A-0時(shí),y=13；

當(dāng)工=1時(shí)，產(chǎn)11；

當(dāng)x=2時(shí)，>'=9：

當(dāng)工=3時(shí)，>=7；

當(dāng)x=4時(shí)，了5；

當(dāng)x=5時(shí)，尸3；

當(dāng)1=6時(shí)，尸1；

當(dāng)x=7時(shí),>'=-1<0；

團(tuán)二元一次方程2x+y=13的非負(fù)整數(shù)解有1言弋二1,上;代"書(shū)M,｛二羽；二

共7組.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的解，要熟練掌握，注意解中x與），必須為非負(fù)整數(shù).

【題型4二元一次方程組的一般解法】

【例4】（2022?云南?普洱市寧洱縣勤先鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）解方程組：

（i）ly=2x?

13y+2x=8@

J2x+3y=12ffi

（&-2y=-1②

【答案】布：;

<=2

【分析】（1）利用代入消元法，將方程①代入②，得6%+2x=8,解得％的值，進(jìn)而求得y的值即可

（2）利用加減消元法，將方程②x2,得2x-4y=-2③，然后與方程①相減即可求得），的值進(jìn)而將），的

值代入方程②求得x的值即可.

（1）

（y=2x?

腑.（3y+2x=8@

將①代入②，得6%+2%=8,

解得x=1，

將x=1代入①，得y=2,

團(tuán)原方程組的解為甘；

（2）

[2%+3y=12①

眸卜_2y…②

②x2,得2%-4y=-2③

①一③，得7y=14,

解得y=2,

將y=2代入②，得％-4=一1,

解得％=3,

團(tuán)原方程組的解為[JZ2?

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一?次方程組的解法，根據(jù)方程的特點(diǎn)選取適當(dāng)消元方法是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1]（2022?甘肅?金昌市金川區(qū)寧遠(yuǎn)中學(xué)匕年級(jí)期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探M：

唱芯慧8

（3）用代入法解

⑷用加減法解償二沈二；

【答案】⑴7

⑵I

⑶仁

【分析】（1）根據(jù)加減消元法求解即可；

（2）根據(jù)加減消元法求解即可；

（3）根據(jù)代入消元法的步驟求解即可；

（4）根據(jù)加減消元法的步驟求解即可；

（1）

①

"+y=20，

解：U+y=38@

由②-①，得：%=18,

將％=18代入①，得：18+y=20,

解得：y=2,

故原方程組的解為：

(2)

解.[工一，=3①

腫.(3x_8y=14②

由3x(J)-②，得：5y=—5,

解得：y=-1?

將y=-l代入①，得：x-(-1)=3?

解得：x=2,

故原方程如的解為：

(3)

[3%+4y=9①

*卜_3y=_10②

由②得：x=3y-10@.

將③代入①，得：3(3y-10)+4y=9,

解得：y=3,

將y=3代入③，得：x=3x3-10=—1,

故原方程組的解為：｛；

(4)

(7x-2y=-40@

眸[Sx_3y=-50?

由3x①-2x②，得：5x=-20,

解得：x=-4,

將《二-4代入①，得：7x(-4)-2y=-40,

解得：y=6,

故原方程組的解為：

【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組，掌握加減消元法和代入消元法解方程組的步驟是解題關(guān)鍵.

【變式4-2](2022?湖南?郴州市五雅高級(jí)中學(xué)有限公司七年級(jí)階段練習(xí))解方程組

=2x

(12%=8;

+3y=7

-3y=15

3y=-2

+y=3；

mn-

-------=2

(4)52

2(m+n+5)-(一m+n)=23

【答案】哨二;

=4

=1

=1

=1

⑷仁2

【分析】（1）利用代入法解方程組；

（2）利用加減法解方程組；

（3）利用代入法解方程組；

（4）先將方程組化簡(jiǎn)，再利用加減法解方程組.

（1）

fy=2x0

解.13y+2x=8②

將①代入②，得6x+2x=8,

解得x=l，

將1=1代入①，得盧2,

團(tuán)方程組的解為［二:；

（2）

x+3y=7①

x-3y=1@T

①+②得，2V=8,

解得x=4,

將1=4代入①,得4+3盧7,

解得尸1,

回方程組的解為t二:;

(3)

x-3y=-2①

.2x+y=3②’

由①得，x=3y-2③，

將③代入②得，2(3y-2)+尸3,

解得y=l,

將y=l代入③，得x=3-2=l,

團(tuán)方程組的解為tz:；

(4)

將原方程組化簡(jiǎn)為12加-5n=2°?,

3m+n=13(2)

①+②x5,得17加=85,

解得〃?=5,

將加=5代入②，得15+/?=13,

解得n=-2,

回方程組的解為｛Mg.

【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組，正確掌握解二元一次方程組的解法：代入法和加減注，并能根據(jù)

每個(gè)方程組的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)慕夥ㄊ墙忸}的關(guān)鍵.

【變式4-3](2022?河南商丘?七年級(jí)期末)解下列方程組：

3x-y=5

，-1=3%+10

x+7y=2

(2)x+y_x-y

【答案】⑴；“

【分析】(1)先整理方程組，再用加減消元法進(jìn)行求解:

(2)先整理方程，再用加減消元法進(jìn)行求解.

(1)

3x-y=5①

解：整理得:

-3x4-5y=11(2)

①+②得：4v=16,

把產(chǎn)4代入①得：3.v-4=5

回原方程組的解為：1I：.

x+7y=2①

解：整理得:

x+2y=-3②

①?②得：5產(chǎn)5

產(chǎn)1

把廣1代入①得：A+7-2

x=-5

回原方程組的解為"1s.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程，正確地將方程組進(jìn)行整理以及熟練掌握消元的思想是解題的關(guān)

鍵.

【題型5整體換元求解二元一次方程組的解】

【例5】（2022?全國(guó)?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于X、），的二元一次方程組二;的解為那么

a(771+九)+b(m—n)=7

關(guān)干〃?、〃的二元一次方程組

b(ni+n)+a(m-n)=9

m=-

【答案】1

【分析】首先利用整體代值的數(shù)學(xué)思想可以得到〃，+〃與“L〃的值，然后解關(guān)于根、〃的方程組即可求解.

【洋解】解：聯(lián)于X、丁的二元一次方程組｛晨:［二;的解為3鷲，

a(jn+72)4-b(m-n)=7,cm+n=2

團(tuán)關(guān)于〃?、〃的二元一次方程組b(m+n)+a(m-n)=9tm-n=3

m=7

團(tuán)解這個(gè)關(guān)于〃?、〃的方程組得:

n=——1

\m=-

故答案為|

（n=-5

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是掌握整體代值的數(shù)學(xué)思想，對(duì)于學(xué)生的能力

要求比較高.

【變式5-1]（2022?河北石家莊?七年級(jí)期中）甲、乙、丙在探討問(wèn)題“已知x,y滿足x+2y=5,且

產(chǎn)以5rlp求加的值."的解題思路時(shí),甲同學(xué)說(shuō)；"可以先解關(guān)于4,y的方程組產(chǎn)

再求m的值.”乙、丙同學(xué)聽(tīng)了甲同學(xué)的說(shuō)法后，都認(rèn)為自己的解題思路比甲同學(xué)的簡(jiǎn)單，乙、因同學(xué)的解

題思路如下.

乙同學(xué)：先將方程組產(chǎn)5T3中的兩個(gè)方程相加，再求加的值；

（LX十5y=o

丙同學(xué)：先解方程組,再求m的值.

十jy一0

你最欣賞乙、丙哪位同學(xué)的解題思路？先根據(jù)你最欣賞的思路解答此題，再簡(jiǎn)要說(shuō)明你選擇這種思路的理

由.

【答案】我最欣賞乙同學(xué)的解法，m=4,理由見(jiàn)解析

【分析】我最欣賞乙同學(xué)的解法，根據(jù)乙的思路求出m的值，分析簡(jiǎn)便的原因.

【詳解】解：我最欣賞乙同學(xué)的解法，

3x+7y=5m-3①

2x+3y=8@

①+②得：5x+10y=5m+5,

整理得：x+2y=m+1,

代入％+2y=5得：m+1=5,

解得：m=4,

這樣解題采用了整體代入的思想，利用簡(jiǎn)化運(yùn)算.

【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，能觀察方程特點(diǎn)并運(yùn)用整體代入的方法是解

題的關(guān)鍵.消元的方法有：代人消元法與加減消元法.

【變式5-2]（2022?重慶?巴川初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)期中）已知關(guān)于x,），的方程組卜-2y=8-9：的解滿

（2x-y=4-5k

足%-y=10,則〃的值為.

【答案】-3

【分析】把二元一次方程組中的兩個(gè)方程相加即可求得x一），的值，然后利用x-y=10即可得出答案.

x-2y=8-k(\)

【詳解】

2x—y=4-Sk②

由①+②得3%-3y=12-6k,

x-y=4-2k,

0x-y=10,

04-2/c=10,

解得k=-3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程組解法中的加減消元思想，熟練掌握一元二次方程組的解法是解題的

關(guān)鍵.

【變式5-3］（2022?全國(guó)?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）先閱讀材料，然后解方程組.

'x-y-l=0①

材料：解方程組

4(x-y)-y=5@.

由①，得x-y=l.③

把③代入②，得4x1—y=5,解得y=-l.

把￥=—1代入③，得x=0.

團(tuán)原方程組的解為真:

這種方法稱為“整體代入法〃.你若留心觀察，有很多方程組可采用此方法解答，請(qǐng)用這種方法解方程組:

（2x-3y-2=0?

㈣』2y=9②.

【答案】仁：

【詳解】試題分析：由第一個(gè)方程求出〃-3），的值，代入第二個(gè)方程求出y的值，進(jìn)而求出x的值，即可確

定出方程組的解.

試題解析：解:由①，得：2x-3y=2.（3）

把③代入②，得：卓+2y=9,解得：y=4.

把y=4代入③，得2x—3x4=2,解得：x=7.

團(tuán)原方程組的解為后二\.

點(diǎn)睛：本題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法.

【題型6構(gòu)建二元一次方程組】

【例6】（2019?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?七年級(jí)期中）如果（x+y-5）2與|3y-2x+10|互為相反數(shù)，那么x、y的值為

()

A.x=3,y=2B.x=2,y=3C.x=0,y=5D.x=5,y=0

【答案】D

【分析】根據(jù)相反數(shù)的意義可得關(guān)于x、y的二元一次方程，繼而根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得關(guān)于x、y的二元一

次方程組，解方程組即可.

【詳解】(3(x+v-5)2與|3v-2x+10|互為相反數(shù)，

0(x4-y-5)2+|3y-2x+lO|=O,

(x+y-5=0

0(3y-2x+10=0*

解獻(xiàn);藍(lán)，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的意義，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解二元一次方程組等知識(shí)，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)

知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1](2022?吉林松原?七年級(jí)期中)已知y=kx+b,當(dāng)x=2時(shí)，，y=-3；當(dāng)％=—1時(shí)，y=3.

(1)求匕b的值;

(2)當(dāng)不取何值時(shí)，y的值為一4?

【答案】(1)k=-2,b=l；(2)x=1.

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法計(jì)算即可；

(2)根據(jù)已知條件列出等式計(jì)算即可;

【詳解】(1)由題意可得，f2/c??,=7?>

I-/c+D=3

可得：y=二2；

Ib=1

(2)由(1)得y=-2x+1,

(3y的值為-4,

0—4=—2x+1,

既=|;

【點(diǎn)睛】本題主要考杳了二元一次方程組與一次函數(shù)的綜合，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)健.

【變式6-2](2022?浙江?蘭溪市實(shí)臉中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí))對(duì)于實(shí)數(shù)a、b,定義關(guān)于"九〃的一種運(yùn)算：a⑥b=

2a+b,例如103=2x1+3=5.

（1）求48（-3）的值;

（2）若比（8）（-、）=-2,（2y）0x=-1,求x+y的值.

【答案】（1）5；（2）x+y=-1

【分析】（1）利用題目中的新定義進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）根據(jù)新定義，對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)后得到二元一次方程，求解該方程組即可.

【詳解】解：（1）根據(jù)題中的新定義得：

原式=2X4+（-3）=8-3=5；

故答案為：5.

（2）根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)得：

兩式相加得：3%+3y=-3,

則%+y=-1.

故答案為：一1.

【點(diǎn)睛】本題借助新定義題型考查了二元一次方程組的解法，新定義題型就按照題FI的意思來(lái)進(jìn)行計(jì)算即

可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程的解法.

【變式6-3]（2022?山東聊城?七年級(jí)期中）已知〃、人都是有理數(shù)，觀察表中的運(yùn)算，則〃?=.

。、〃的運(yùn)算a~\~ba-b(a+2A)3

運(yùn)算的結(jié)果59m

【答案】27

【分析】先根據(jù)表格得出方程組{:}:二g，求出方程組的解，再代入m=（a+2b＞求出〃?即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得:(a+b=5

—A=9'

解得仁

0m=(a+2b)3=[7+2x(-2)肚=27；

故答案為：27.

【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組和代數(shù)式求值，理解題意并列出二元一次方程組求出。、〃的值是解

此題的關(guān)鍵.

【題型7二元一次方程組與二元一次方程的綜合求值】

【例7】（2022?廣東揭陽(yáng)?八年級(jí)期末）若關(guān)于的二元一次方程組二蒙」:的解滿足x+y=7,

則A的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用加減法，先用含k的代數(shù)式表示出x+y,根據(jù)x+y=7,得到關(guān)于k的一元一次方程，求解即可.

%+2y=5k+1(I)

【詳解】解:

,x-y=2k—5(2)

(1)x2+(2),得3x+3y=12k-3,

0x+y=4k-l,

04k-l=7,解得k=2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解法，解決本題的關(guān)鍵是用含k的代數(shù)式表示出方程組中的x+y.

【變式7?1】（2022?全國(guó)?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）關(guān)于x,y的方程組［丫=一的解也是二元一次方

3x+2y=21—5m

程x+3y+7m=20的解，則m的值是（）

2

A.2B.1C.0D.

2

【答案】A

【分析】先解方程組用含機(jī)的代數(shù)式表示出％,y后，代入二元一次方程x+3y+7陽(yáng)=20,可得到關(guān)于小的

一元一次方程，求解即可.

(_85-23m

2x-3y=11-4m得「?

【詳解】解方程組

18V-4m

.3x+2y=21-5m\y=—^

把y代入二元一次方程x