《數(shù)學(xué)實驗 第4版》課件 6.1 單因素方差分析

數(shù)學(xué)實驗國家“十二五”規(guī)劃教材山東省優(yōu)秀教材一等獎主編：李秀珍張曉平2第六章方差分析實驗6.1

單因素方差分析實驗6.2雙因素方差分析數(shù)學(xué)實驗3實驗6.1單因素方差分析數(shù)學(xué)實驗一、方差分析概述二、單因素方差分析4實驗6.1單因素方差分析方差分析(AnalysisOfVariance)是分析各類別自變量對數(shù)值因變量影響的一種統(tǒng)計方法.

方差分析是20世紀(jì)20年代由英國統(tǒng)計學(xué)家費雪（RonaldAylmerFisher）首先提出的，最初主要應(yīng)用于生物和農(nóng)業(yè)田間試驗，以后推廣到多個領(lǐng)域應(yīng)用.

它是對多個方差相等的正態(tài)分布總體的均值是否相等進(jìn)行檢驗，從而得出各個分布的均值是否有顯著性差異.這樣不但可以減少工作量，而且可以增加檢驗的穩(wěn)定性.一、方差分析概述5實驗6.1單因素方差分析例1某公司采用四種方式推銷其產(chǎn)品，為檢驗不同方式推銷產(chǎn)品的效果，隨機(jī)抽樣如下（見表6.1）.試分析銷售方式對銷售量是否有顯著影響(α=0.05).

序號銷售方式12345水平均值方式一778681888383方式二959278968990方式三717668817474方式四808479708279總均值81.56實驗6.1單因素方差分析1．方差分析中的常用術(shù)語

因素（Factor）是指影響試驗指標(biāo)的條件、原因等.在例1中銷售方式即是因素.試驗指標(biāo)是指試驗中所要考察的指標(biāo).在例1中產(chǎn)品的銷售量就是試驗指標(biāo).水平（Level）指因素的具體表現(xiàn).如銷售的四種方式就是四個水平.有時水平是人為劃分的，比如質(zhì)量被評定為好、中、差.如果方差分析只針對一個因素進(jìn)行，稱為單因素方差分析.如果同時針對多個因素進(jìn)行，稱為多因素方差分析.

如果一個單因素試驗設(shè)計中任一因素各水平的數(shù)據(jù)個數(shù)相同，則稱該試驗是為均衡（Balance），否則，就被稱為不均衡.7實驗6.1單因素方差分析2．方差分析任務(wù)方差分析中的基本假定：各水平的數(shù)據(jù)來至相互獨立且方差相等的各個正態(tài)分布的簡單樣本；

在實際應(yīng)用中能夠嚴(yán)格滿足這些假定條件的客觀現(xiàn)象是很少的，在社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中更是如此.但一般應(yīng)近似地符合上述要求.否則會影響到判斷結(jié)果.方差分析的任務(wù)是推斷出對試驗指標(biāo)影響顯著的因素.其方法是通過檢驗因素下不同水平的均值是否相等，從而推斷出該因素對試驗指標(biāo)的影響是否顯著.8實驗6.1單因素方差分析二、單因素方差分析1．單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型設(shè)因素A有r個水平A1，A2，…，Ar，在水平Ai下的總體在水平Ai下進(jìn)行ni次試驗，i=1,2,…,r；假定所有試驗都是相互獨立.水平樣本觀測值平均值9實驗6.1單因素方差分析1．單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型因此，要檢驗的是

備擇假設(shè)

原假設(shè)目的：根據(jù)這組樣本觀測值來檢驗因素A對試驗指標(biāo)的影響是否顯著.如果因素A對試驗結(jié)果的影響不顯著，則所有樣本就可以看作是來自同一個總體水平樣本觀測值平均值10實驗6.1單因素方差分析2．構(gòu)造檢驗F統(tǒng)計量設(shè)第i

組樣本均值為即總的樣本均值考察全體樣本對總體樣本均值的偏差的平方和，稱為總偏差平方和記為即11實驗6.1單因素方差分析12實驗6.1單因素方差分析

它反映了在每個水平下的樣本均值與樣本總均值的差異，它是由因素A取不同水平引起的，稱為組間(偏差)平方和，也稱為因素A的偏差平方和

它表示各水平下樣本值與該水平下的樣本均值之間的差異的總和，它是由隨機(jī)誤差引起的，稱為誤差(偏差)平方和，也稱為組內(nèi)(偏差)平方和.13實驗6.1單因素方差分析就各組樣本而言如果H0正確,所有樣本xij來自同一個正態(tài)分布,且相互獨立.14實驗6.1單因素方差分析方差來源平方和自由度

值臨界值顯著性組間誤差總計(3)當(dāng)時，我們認(rèn)為影響特別顯著，用記號“**”表示.(2)當(dāng)時，我們認(rèn)為影響顯著，用記號

“*”表示；(1)當(dāng)時，我們認(rèn)為影響不顯著；如果H0正確,所有樣本xij來自同一個正態(tài)分布,且相互獨立.15實驗6.1單因素方差分析例1某公司采用四種方式推銷其產(chǎn)品，為檢驗不同方式推銷產(chǎn)品的效果，隨機(jī)抽樣如下（見表6.1）.試分析銷售方式對銷售量是否有顯著影響(α=0.05).

序號銷售方式12345水平均值方式一778681888383方式二959278968990方式三717668817474方式四808479708279總均值81.516變差來源平方和自由度F值臨界值顯著性列間(因素)列內(nèi)(誤差)6854983167.34**總計118319實驗6.1單因素方差分析由于故應(yīng)拒絕原假設(shè)，不同推銷方式銷量有特別顯著差異，因此銷售方式對銷售量有特別顯著影響.17實驗6.1單因素方差分析3．單因素方差分析的MATLAB實現(xiàn)在MATLAB統(tǒng)計工具箱中單因素方差分析的命令是:anova是analysisofvariance(方差分析)的縮寫，數(shù)字1表示單因素分析.

x是n*p數(shù)據(jù)矩陣，g是用于標(biāo)識不同水平的數(shù)據(jù)的向量,均衡試驗可以缺省;輸出結(jié)果中，p是大于統(tǒng)計量F的觀測值的概率，當(dāng)p<α?xí)r，拒絕H0,

否則不能拒絕.[p,t,s]=anova1(x，g)t是方差分析表的文本數(shù)據(jù),s是進(jìn)行多重比較的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù).拒絕原假設(shè)后需要進(jìn)行多重比較，以判斷各水平之間差異的顯著性.c=multcompare(s)其中輸入變量s是anova1的輸出結(jié)果s;輸出結(jié)果c是兩兩顯著性差異的比較.18實驗6.1單因素方差分析如再解例1的程序：ｘ=[7786818883959278968971766881748084797082]'↙[p,t,s]=anova1(x);↙結(jié)果為：

由于p=0.0026<0.01，故應(yīng)拒絕原假設(shè)，推銷方式對銷售量有特別顯著影響.19實驗6.1單因素方差分析從箱體圖可知水平二的銷售量最大.但是它們之間的這種差異是顯著的嗎?通過多重比較才可以知道.在命令窗口接著輸入:c=multcompare(s)↙結(jié)果如下：c=1.00002.0000-17.0950-7.00003.09500.23471.00003.0000-1.09509.000019.09500.08941.00004.0000-6.09504.000014.09500.67492.00003.00005.905016.000026.09500.00172.00004.00000.905011.000021.09500.03043.00004.0000-15.0950-5.00005.09500.5073矩陣c中前兩列是對比的因素水平號,第三列和第五列是差異的置信區(qū)間,第四列是區(qū)間中值.第六列是相應(yīng)的兩個水平均值檢驗時所得p值.p<0.05時差異顯著.通過觀察p值可知銷售方式二和三,銷售方式二和四差異是顯著的.20也可以通過點擊交互圖，利用上面的提示來判斷結(jié)果.綜合判斷可知銷售方式二的銷售量顯著地不同于銷售方式三和四的.21實驗6.1單因素方差分析

例2

用四種不同的的工藝生產(chǎn)電燈泡，從各種工藝生產(chǎn)的電燈泡中分別抽取樣品，并測的樣品的使用壽命（單位：h）工藝A1A2A3A4樣本觀測值1620167017001750180015801600164017201460154016201500155016101680平均值1708163515401585檢驗這四種不同的工藝生產(chǎn)電燈泡的使用壽命是否有顯著的差異（顯著性水平0.05）.解其程序為x=[1620167017001750180015801600164017201460154016201500155016101680];g=[1111122223334444];anova1(x,g)↙22實驗6.1單因素方差分析輸出結(jié)果為：ans=0.0331

因為0.01<p=0.0331<0.05,所以幾種工藝制成的燈泡壽命有顯著的差異.進(jìn)一步進(jìn)行多重比較可知，A1工藝生產(chǎn)的燈泡的壽命最長.多重比較此處省略.23最后，說明一下關(guān)于水平數(shù)據(jù)正態(tài)性和方