山東省滕州市2024−2025學年高二上學期10月單元過關考試 數學試題含答案

山東省滕州市2024?2025學年高二上學期10月單元過關考試數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．若原點在直線l上的射影是點P(－2,1)，則直線l的方程為（

）A．x＋2y＝0 B．y－1＝－2(x－2) C．y＝2x＋5 D．y＝2x＋32．如圖,在四面體中,是的中點,是的中點,則等于（

）A． B．C． D．3．已知直線，若，則的值為（

）A． B．－4 C．4 D．4．已知空間向量兩兩夾角均為60°，其模均為1，則＝（

）A．5 B．6 C． D．5．對于空間任意一點和不共線的三點，，，且有，則，，是，，，四點共面的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件6．在一直角坐標系中，已知，現沿軸將坐標平面折成的二面角，則折疊后兩點間的距離為（

）A． B． C． D．27．已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），則點A到直線BC的距離為（

）A． B．1 C． D．8．分別為異面直線上的點，若且，則稱為異面直線的公垂線段，其長定義為兩異面直線間的距離，則在邊長為1的正方體中，與的距離是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法錯誤的是（

）A．若直線與直線互相垂直，則B．直線的傾斜角的取值范圍是C．過，兩點的所有直線的方程為D．經過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為10．若點為點在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長為的正方體中，記平面為，平面為，點是棱上一動點（與、不重合），.給出下列三個結論：①線段長度的取值范圍是；②存在點使得平面；③存在點使得.其中，正確的是（

）

A．① B．②C．③ D．均不正確11．在棱長為1的正方體中，點滿足，，，則以下說法正確的是（

）A．當時，平面B．當時，存在唯一的點，使得與直線的夾角為C．當時，長度的最小值為D．當時，與平面所成的角不可能為三、填空題（本大題共3小題）12．已知，，，若，，三向量共面，則．13．已知，直線與線段AB有公共點，則直線的斜率取值范圍為14．在空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點P的坐標為，點在直線OP上的射影M點的坐標為.四、解答題（本大題共5小題）15．根據下列條件，求直線的一般方程：(1)過點且與直線平行的直線方程；(2)若，的角平分線所在直線方程.16．把直線看作是動點的軌跡（集合），利用坐標法描述動點P的特征，其中為直線的法向量，使直線有了代數表達形式，即直線的方程.(1)類比此思想與方法，在空間直角坐標系下，若、、，求平面的方程.(2)求點到平面的距離.17．如圖所示，是梯形的高，OA=OB=BC=1，OD=3OA=3OF，E為AB的中點，將梯形沿折起得到如圖所示的四棱錐，使得．在棱CD上是否存在一點Q，使得PQ//平面CEF？若存在，指出點Q的位置，若不存在，請說明理由.

18．如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面，.

(1)若點為EF的中點，求平面APB與BFC的交線與平面ABCD所成的角正弦值(2)點在線段上運動，設平面與平面所成銳二面角為，試求的最小值.19．請根據如下準備知識，解決相應的問題.①向量的數乘:規(guī)定實數與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：.當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，.特別地，是一個與方向相同的單位向量.②向量的內積：，其中為兩向量的夾角.對于平面向量，若，則.特別地，，即向量的模等于它同與它同方向的單位向量的內積.③平面內直線的法向量為，如圖1所示.④平面內點關于直線對稱的基本特征：若點關于直線的對稱點為，有兩點連線與直線垂直，且點到直線的距離相等，即，如圖2所示.(1)平面內，求點Px0,y0關于直線對稱點(2)請你用上面所得的結論解決如下兩個問題:①求點關于直線的對稱點坐標.②，直線過點，為直線上的動點，若的最小值為，求直線的方程.

參考答案1．【答案】C【詳解】∵直線的斜率為，又，∴直線的斜率為2，∴直線的點斜式方程為，化簡，得，故選C.2．【答案】C【詳解】在四面體中,是的中點,是的中點故選:C.3．【答案】B【解析】由可得解得，然后再檢驗,得出答案.【詳解】因為，所以.當時，兩直線重合，所以舍去.當時，符合題意.所以.故選：B4．【答案】C【詳解】解：由題得.故選：C5．【答案】B【詳解】解：空間任意一點和不共線的三點，，，且則,,,四點共面等價于若x=2，，，則，所以,,,四點共面若,,,四點共面，則，不能得到x=2，，所以x=2，，是,,,四點共面的充分不必要條件故選B.6．【答案】D【解析】畫出圖形，作，則，可得，沿軸將坐標平面折成的二面角，故兩異面直線所成的角為，結合已知，即可求得答案.【詳解】如圖為折疊后的圖形，其中作則，沿軸將坐標平面折成的二面角兩異面直線所成的角為．可得：故由得故選：D.7．【答案】A【分析】利用向量的模，向量的夾角及三角函數即可求出點到直線的距離.【詳解】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2），∴點A到直線BC的距離為：d＝＝1×＝．故選A.【方法總結】本題主要考查了向量坐標的運算，向量的模，向量的夾角.8．【答案】C【詳解】解：以為坐標原點，的方向為軸，的方向為軸，的方向為軸，如圖所示：

設為異面直線與的公垂線段，則，所以設異面直線與的公垂線的方向向量為，則有，則有，取，則則異面直線與的距離.故選：C.9．【答案】ACD【解析】．根據直線垂直的等價條件進行判斷，．根據直線斜率以及正切函數的圖象和性質進行判斷，．當直線和坐標軸平行時，不滿足條件．．過原點的直線也滿足條件．【詳解】解：．當，兩直線方程分別為和，此時也滿足直線垂直，故錯誤，．直線的斜率，則，即，則，故正確，．當，或，時直線方程為，或，此時直線方程不成立，故錯誤，．若直線過原點，則直線方程為，此時也滿足條件，故錯誤，故選：．10．【答案】AB【詳解】

如圖：取的中點為，過點在平面內作，再過點在平面內作，垂足為點，由正方體中平面，平面，所以，又因為，，所以平面，即，所以，同理可證，則，，以點為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設，則，對于，，由，則，則，所以，所以正確；對于，因為，則平面的一個法向量為，又有，令，即，即存在點，使得平面，所以正確；對于，，令，整理得：，該方程無實數解，所以不存在點，使得，所以錯誤.故選：AB.11．【答案】ACD【詳解】A選項：當時，的軌跡為線段，由正方體的結構特征，可知平面平面，而平面，∴平面，故A正確；B選項：當時，點的軌跡為線段，直線直線，當與重合時，與直線所成角最大，即與直線所成角最大，最大為，故B錯誤；C選項：當時，點軌跡為線段，到線段的距離為，長度的最小值為．故C正確；D選項：當時，點軌跡為線段，過點做垂直平面于點，則在線段上，為直線與平面所成角，若，則，又點到線段上點的最小距離為，不存在，所以與平面所成角不可能為，故D正確．故選：ACD．12．【答案】5【解析】利用共面向量基本定理列坐標關系，求解即可.【詳解】，，三向量共面，則存在，使得，則，即，解得.故答案為：5.13．【答案】【詳解】由直線的方程可得，所以直線l過定點如圖所示，，過點P且與x軸垂直的直線PC與線段AB相交，但此時直線l的斜率不存在，當直線l從直線PA轉到與y軸平行的直線PC位置時（轉動時以點P為定點），直線l的斜率從1開始趨向于正無窮，即；當直線l再由直線PC轉到直線PB位置時（轉動時以點P為定點），直線l的斜率從負無窮開始趨向于，并在PB位置時達到，即，所以直線l的斜率k的取值范圍為，故答案為：14．【答案】【詳解】點關于軸的對稱點P的坐標為.因為在直線OP上，設，所以，所以，所以，所以，，又，所以，解得：.所以.故答案為：；.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設與直線平行的直線方程為，把點代入，得，解得，∴所求直線方程為.（2）∵，∴，，設的角平分線所在直線的斜率為，則，解得或，由圖可知，所以.∵的角平分線所在直線過點，∴直線方程為，即，∴的角平分線所在直線方程為.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1），，設為平面的法向量，則有，令，則有，，即，則平面的方程為：，即；（2）由題可得，平面的法向量為，且過點，則有，則點到平面的距離.17．【答案】存在Q，點Q是CD的中點【詳解】存在Q，點Q是CD的中點，其理由如下：因為是梯形，所以且,所以四邊形是正方形，所以,而，，所以，所以，因為是梯形的高，所以由，，在平面內相交于點，所以平面，如圖，以O為坐標原點，OB，OD，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系.，B1,0,0，，，因為E為PB的中點，所以E1設平面的法向量為，所以，所以，令，則，所以，由三點共線，設，，又PQ//平面CEF，所以，即在棱CD上是存在一點Q，使得PQ//平面CEF，此時Q是CD的中點.

18．【答案】(1)(2)求的最小值為.【詳解】（1）在梯形中，∵，，∴，∴，∴，∴，又因為平面，建立分別以直線為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標系，如圖所示，則,平面ABCD的法向量為，，將圖形放入如圖所示的直四棱柱中，過點作的平行線與交于點，連接，因為，所以五點共面，平面即為平面，所以平面APB與BFC的交線即為，，，，，設交線與平面ABCD所成的角為，.平面APB與BFC的交線與平面ABCD所成的角正弦值為.

（2）由（1）可令，則,∴,,設為平面的一個法向量，由得，取則，∵是平面的一個法向量,∴∵,∴當時，有最大值．∴的最小值為

19．【答案】(1)(2)①；②或.【詳解】（1）由準備知識③，直線的法向量為，其中.由準備知識①，是一個與方向相同的單位向量.（i）當時，直線斜率為.設點Px0,y0關于直線是線段的中點，由預備知識④，則．如圖3，當點Px0,由，且與方向相同，設.由點到直線的距離公式，得，由準備知識②，可得,所以.如圖，由點在直線上方，設直線上與點橫坐標相同的點，則，因為，所以，故，由，又，所以則，將式代入可得．如圖4，當點在直線的下方時，取直線的一個法向量，則，且與也方向相同，設.同理可得，如圖，由點在直線下方，設直線上與點橫坐標相同的點，則，因為，所以，故，由又，所以則，將式代入可得.當在直線上時，則，則點關于直線的對稱點即點本身，即，也滿足.綜上，當時，點Px0,y0關于直線的對稱點.（ii）當時，同理可證，上述公式也成立．（iii）當時，直線方程為，直線與軸垂直，此時點關于直線的對稱點坐標為也適合公式．（iv）當時，則方程即方程，.則由以上分析可應