山東省煙臺(tái)市招遠(yuǎn)市2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考（期中模擬）數(shù)學(xué)試題含答案

山東省煙臺(tái)市招遠(yuǎn)市2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考（期中模擬）數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線傾斜角的大小為（

）A． B． C． D．2．已知，點(diǎn)在軸上，且，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A． B． C．或2 D．或13．已知空間向量,若共面，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．34．在四面體中，為的重心，在上，且，則（

）A． B．C． D．5．已知為空間的一個(gè)基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（

）A． B．C． D．6．定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值.在棱長為1的正方體中，直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．7．在正方體中，是棱的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．8．已知正四面體的棱長為3，空間中一點(diǎn)滿足，其中，且.則的最小值為（

）A． B．2 C． D．3二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的有（

）A．直線過定點(diǎn)(2,3)B．若兩直線與平行，則實(shí)數(shù)的值為1C．若，則直線不經(jīng)過第二象限D(zhuǎn)．點(diǎn)，直線與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是10．如圖，在棱長為2的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．直線與所成的角不可能是C．若，則二面角平面角的正弦值為D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為11．設(shè)是空間內(nèi)正方向兩兩夾角為的三條數(shù)軸，向量分別與軸?軸?軸方向同向的單位向量，若空間向量滿足，則有序?qū)崝?shù)組稱為向量在斜坐標(biāo)系（為坐標(biāo)原點(diǎn)）下的坐標(biāo).記作，則下列說法正確的有（

）A．若，則B．若，則C．若，則向量D．若，則三棱錐的外接球體積三、填空題（本大題共3小題）12．已知點(diǎn)，若點(diǎn)在線段上，則的取值范圍為.13．已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1,-1,5)，則以AB，AC為邊的平行四邊形的面積是.14．已知矩形中，，沿對角線將折起，使得，則二面角的大小為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線過定點(diǎn)P.(1)求過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等的直線方程；(2)若直線過點(diǎn)且交軸正半軸于點(diǎn)，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，記的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值，并求此時(shí)直線的方程.16．如圖，在以為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，.(1)證明：平面平面；(2)若為線段上一點(diǎn)，且，求二面角的余弦值.17．在直三棱柱中，與交于點(diǎn)是的重心，點(diǎn)在線段（不包括兩個(gè)端點(diǎn)）上.(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若直線與平面所成的角正弦值為，求.18．如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，，點(diǎn)為的中點(diǎn).(1)已知點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求證：平面；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使四棱錐唯一確定，求：（?。┲本€到平面的距離；（ⅱ）二面角的余弦值.條件①：平面；條件②：；條件③：平面平面.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.19．如圖，在四棱錐中，，為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值的取值范圍.

參考答案1．【答案】A【分析】求出直線的斜率，進(jìn)而求出傾斜角.【詳解】，直線斜率為，設(shè)直線傾斜角為，，則，解得.故傾斜角為.故選A.2．【答案】C【分析】設(shè)，利用向量垂直關(guān)系得到方程，求出答案.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，解得?.故選C.3．【答案】D【分析】利用三個(gè)向量共面，即可列出方程求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)楣裁?，所以存在?shí)數(shù)對,使得,即，所以解得故選D.【思路導(dǎo)引】結(jié)合題目條件可得，存在實(shí)數(shù)對,使得,由此可得關(guān)于x，y，z的方程組，進(jìn)而求出x，y，z的值，即可得到答案.4．【答案】B【分析】作出輔助線，根據(jù)重心性質(zhì)得到，再根據(jù)為的中點(diǎn)，求出.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹匦?，所以，又，則，因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，故.故選B.5．【答案】B【分析】直接利用空間向量的基底概念判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，設(shè)，則，所以共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；對于B，設(shè)，則，無解，則不共面，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故B正確；對于C，設(shè)，則，則共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)，則，則共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤.故選B.6．【答案】B【分析】在上任取點(diǎn)，作，設(shè)，，根據(jù)得出和的關(guān)系，從而可得關(guān)于(或的函數(shù)關(guān)系，再求出此函數(shù)的最小值即可.【詳解】設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，過作，垂足為，可知此時(shí)到直線距離最短，設(shè)，，則，，，，即，，即，，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故直線與之間的距離是.故選B.7．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用線面角向量求解公式得到答案.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，設(shè)平面的法向量為，則令得，故，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.故選D.【思路導(dǎo)引】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，從而得到各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用線面角向量求解公式即可得到答案.8．【答案】C【分析】根據(jù)共面定理的推論判斷點(diǎn)的位置，然后求正四面體的高即可得解.【詳解】因?yàn)?，，所以四點(diǎn)共面，所以的最小值即為正四面體的高，記的中點(diǎn)為，作底面于點(diǎn)，由正四面體的性質(zhì)可知，為正三角形的重心，所以，所以，即的最小值為.故選C.【思路導(dǎo)引】根據(jù)題目條件可得四點(diǎn)共面，則正四面體的高是的最小值，再根據(jù)正三角形的重心以及勾股定理即可得到答案.9．【答案】AC【分析】A選項(xiàng)，將直線變形為點(diǎn)斜式，求出所過定點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)兩直線平行，得到方程，求出實(shí)數(shù)的值，檢驗(yàn)后得到答案；C選項(xiàng)，直線變形為斜截式，得到斜率與軸截距，得到C正確；D選項(xiàng)，求出過定點(diǎn)，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】A選項(xiàng)，，故直線恒過定點(diǎn)(2,3)，A正確；B選項(xiàng)，兩直線與平行，則，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線與滿足要求，當(dāng)時(shí)，兩直線與滿足要求，綜上，或，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，若，則直線變形為，直線斜率，與軸截距為，直線經(jīng)過一，三，四象限，不經(jīng)過第二象限，C正確；D選項(xiàng)，直線，直線經(jīng)過定點(diǎn)，畫出坐標(biāo)系，如下：

其中，，則要想直線與線段相交，則直線斜率或，解得或，D錯(cuò)誤.故選AC.10．【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出，，利用兩點(diǎn)間距離公式求出答案；B選項(xiàng)，設(shè)，，根據(jù)得到方程，求出，不滿足，故直線與所成的角不可能是；C選項(xiàng)，求出平面法向量，得到兩法向量的夾角余弦值，進(jìn)而求出二面角夾角正弦值；D選項(xiàng)，求出平面的法向量，從而利用點(diǎn)到平面的距離公式求出答案.【詳解】A選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，正方體棱長為2，，故，，，A正確；B選項(xiàng)，，設(shè)，，則，令，解得，不滿足，故直線與所成的角不可能是，B正確；C選項(xiàng)，，故，設(shè)平面的法向量為，則令，則，故，設(shè)平面的法向量為，則解得，令，則，故，，設(shè)二面角平面角的大小為，則，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，，設(shè)平面的法向量為，則令，則，故，點(diǎn)到平面的距離為，D正確.故選ABD.11．【答案】ACD【分析】根據(jù)定義將向量用向量表示，然后根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算和性質(zhì)求解可判斷AB；根據(jù)共線定理可判斷C；補(bǔ)形成正方體求解可判斷D.【詳解】由題知，，對A，若，則，所以，所以，A正確；對B，若，則，所以，B錯(cuò)誤；對C，若，則，則，所以，C正確；對D，因?yàn)?，所以，所以，所以三棱錐為棱長為1的正四面體，補(bǔ)形成正方體，如圖，因?yàn)椋哉襟w的棱長為，正方體的體對角線為，所以外接球的半徑為，體積，D正確.故選ACD.12．【答案】【分析】根據(jù)的幾何意義，作圖分析可知.【詳解】表示過點(diǎn)和點(diǎn)的直線斜率，如圖，因?yàn)?，結(jié)合圖形可知或，所以的取值范圍為.故答案為：.【思路導(dǎo)引】根據(jù)的幾何意義作出圖形，結(jié)合圖形可得或，即可得到答案.13．【答案】【分析】求出向量的坐標(biāo)，進(jìn)而可得模長及向量的夾角，由此可計(jì)算以AB，AC為邊的平行四邊形的面積．【詳解】∵A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1,-1,5)，∴=(-2,-1,3)，=(1,-3,2)，=，=，∴cos∠BAC==，∴∠BAC=60°，∴S=×sin60°=.故答案為：.【思路導(dǎo)引】根據(jù)各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算出向量模長及向量的夾角，再根據(jù)平行四邊形面積公式即可計(jì)算出答案.14．【答案】/60°【分析】作出輔助線，得到異面直線的夾角或其補(bǔ)角即為二面角的大小，求出各邊長，假如二面角為直角，求出，因?yàn)?，故二面角的大小為銳角，，兩邊平方求出，設(shè)二面角的大小為，則，求出二面角大小.【詳解】過點(diǎn)分別作⊥，⊥，垂足分別為，則異面直線的夾角或其補(bǔ)角即為二面角的大小，因?yàn)榫匦沃?，，由勾股定理得，所以，，故，假如二面角為直角，則，因?yàn)?，故二面角的大小為銳角，，兩邊平方得，又，所以，設(shè)二面角的大小為，則，故.故答案為：/60°.15．【答案】(1)或或；(2)24，.【分析】（1）求出直線過原點(diǎn)和直線不過原點(diǎn)兩種情況討論求解即可；（2）由題意可知，直線的斜率存在，且，設(shè)直線，求出直線交軸的正半軸的點(diǎn)，交軸的負(fù)半軸的點(diǎn)，求出面積，進(jìn)而根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】（1）直線，即，令即即，若直線過原點(diǎn)，且過點(diǎn)，所以直線的方程為，即.若直線不過原點(diǎn)，可設(shè)直線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，若，則，所以直線的方程為，若，則，所以直線的方程為，綜上所述，所求直線的方程為或或.（2）由題意可知，直線的斜率存在，且，設(shè)直線，令，則；令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號，故的最小值為24，此時(shí)，所以直線.16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：在平面內(nèi)，過作垂直于交于點(diǎn)，由為等腰梯形，且，則又，所以，連接，由，可知且，所以在三角形中，，從而，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面（2）由（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z則，即，取，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，所以，由圖可以看出二面角為銳角，故二面角的余弦值為.【方法總結(jié)】向量法求二面角的求法：首先求出兩個(gè)平面的法向量，再代入公式cosα＝±(其中分別是兩個(gè)平面的法向量，α是二面角的平面角)求解(注意通過觀察二面角的大小選擇“±”)．17．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）作出輔助線，證明出，，從而得到平面平面，證明出線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用線面角的正弦值列出方程，求出，得到答案.【詳解】（1）連接并延長，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉橹比庵云矫嫫矫?，又分別為的中點(diǎn)，所以，故四邊形為平行四邊形，故，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，同理可得平面，因?yàn)槠矫?，且，所以平面平面，又平面，所以平?（2）以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)則，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得，取，則，因?yàn)橹本€與平面所成的角正弦值為，所以，整理得，，解得或（不合題意舍），所以.18．【答案】(1)證明見解析；(2)（?。┻x擇見解析，；（ⅱ）.【分析】（1）利用平行四邊形的證明得線線平行關(guān)系，再由線面平行判定定理可得；（2）由條件①②，由線面垂直得，由勾股定理可得，再由可得，即，由此可建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量方法求線面距（即點(diǎn)面距）與二面角的大小即可；由條件①③，利用線面垂直與面面垂直的性質(zhì)可得線線垂直，求解相關(guān)長度并由此建系，其余同選擇條件①②；選擇條件②③，則四棱錐不能確定.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，

因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）選擇條件①②：連接，因?yàn)槠矫?，直線平面，則，即，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，四邊形是平行四邊形，所以，且，又，所以，所以，即所以，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，所以，（?。┮?yàn)?，平面，平面，所以平面，則直線到平面的距離為.（ⅱ）因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，，又由圖可知二面角是銳角，所以二面角的余弦值為；選擇條件①③：連接，因?yàn)槠矫?，平面，平面，則，，即，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，平面平面，所以平面，平面，所以，由四邊形是平行四邊形，則四邊形是矩形，因?yàn)?，所以?/p>

以下同選擇條件①②.若選擇條件②③，四棱錐不能唯一確定.舉例如下：由上述選擇①②與①③的求解可知，如上圖所示的兩兩垂直的四棱錐滿足題意；下面構(gòu)造一個(gè)不同的四棱錐：如圖，四棱錐中，平面平面，則向量空間中不共面的三個(gè)向量，，且，，則由三面角余弦定理知，，由四邊形為平行四邊形可知，，故，則，故也滿足條件.綜上所述，如圖所示的四棱錐也滿足題意，即滿足題意的四棱錐不能唯一確定.19．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過計(jì)算得出,取線段的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）證明平面平面即得；（2）依題建系，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，求兩平面的法向量，計(jì)算它們夾角的余弦值的表達(dá)