山西省太原市2024-2025學(xué)年度高二聯(lián)考上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷含答案

2024-2025學(xué)年度高二聯(lián)考上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．如圖，已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線OB，AC，M，N分別是對(duì)邊OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且，現(xiàn)用向量，，表示向量，設(shè)，則x，y，z的值分別為（

）A． B．C． D．3．已知圓的圓心是直線與直線的交點(diǎn)，直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，則圓的方程為（

）A．B．C． D．4．已知點(diǎn)是圓外的一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．經(jīng)過點(diǎn)作直線l，若直線l與連接兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則l的傾斜角的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．已知直線過點(diǎn)，且為其一個(gè)方向向量，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．7．已知AC，BD為圓O：的兩條相互垂直的弦，垂足為，則四邊形ABCD的面積的最大值為()A．4 B． C．5 D．8．正四面體的棱長(zhǎng)為，是它內(nèi)切球的直徑，為正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知圓與直線，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．直線與圓必相交B．直線與圓不一定相交C．直線與圓相交且所截最短弦長(zhǎng)為D．直線與圓可以相切10．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．已知向量，，則在上的投影向量為B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面C．已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底D．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線11．已知圓C：，以下四個(gè)命題表述正確的是（

）A．若圓與圓C恰有3條公切線，則B．圓與圓C的公共弦所在直線為C．直線與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)D．點(diǎn)為軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為，且的中點(diǎn)為，若定點(diǎn)，則的最大值為6三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線：，：，若，則實(shí)數(shù).13．已知在正四棱臺(tái)中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為.14．在中，頂點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在軸上，則周長(zhǎng)的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知，.(1)若()∥()，求x，y的值；(2)若，且，求x的值.16．已知直線與直線的交點(diǎn)為．(1)求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；(2)求點(diǎn)到經(jīng)過點(diǎn)的直線距離的最大值，并求距離最大時(shí)的直線的方程．17．如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，M為中點(diǎn).(1)求點(diǎn)M到直線的距離；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值.18．已知圓，直線過點(diǎn)．(1)求圓的圓心坐標(biāo)和半徑；(2)若直線與圓相切，求直線的方程；(3)若直線與圓相交于兩點(diǎn)，求三角形的面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程.19．已知兩個(gè)非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量的夾角，記作．定義與的“向量積”為：是一個(gè)向量，它與向量都垂直，它的模．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，為線段上一點(diǎn).(1)求的值。(2)若為的中點(diǎn)，求二面角的正弦值；(3)若為線段上一點(diǎn)，且滿足，求．

參考答案1．【答案】D【詳解】由直線，可得直線的斜率，設(shè)其傾斜角為，可得，所以.故選：D.2．【答案】C【詳解】由題設(shè)，結(jié)合，得，故選：C3．【答案】A【詳解】直線與直線的交點(diǎn)為，所以圓心為，設(shè)半徑為，由題意得，即解得，故圓為.故選：A.4．【答案】D【詳解】由題意得且，解得.故選：D5．【答案】D【詳解】依題意，直線的斜率，直線的斜率，由直線l與線段總有公共點(diǎn)，得直線的斜率，即，當(dāng)時(shí)，而，則；當(dāng)，得，所以l的傾斜角的取值范圍為.故選：D6．【答案】B【解析】，則點(diǎn)到直線的距離為：.7．【答案】C【詳解】設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為、，則．四邊形ABCD的面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選C．8．【答案】D【詳解】設(shè)正四面體的內(nèi)切球球心為，為的中心，為的中點(diǎn)，連接，則在上，連接，則.因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為3，所以，所以，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，，解得，是它內(nèi)切球的直徑，此時(shí)，，，因?yàn)闉檎拿骟w表面上的動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)為正四體的頂點(diǎn)時(shí)，最長(zhǎng)，的最大值為，所以的最大值為.故選：D9．【答案】AC【分析】求出直線經(jīng)過定點(diǎn)，根據(jù)定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可判斷直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合幾何知識(shí)可知當(dāng)直線與過定點(diǎn)和圓心的直線垂直時(shí)，弦長(zhǎng)有最小值，由此可求出答案.【詳解】解：直線過定點(diǎn)，又，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓必相交，所以A正確，B，D錯(cuò)誤，因?yàn)閳A心與點(diǎn)間的距離為，圓半徑為2.所以最短弦長(zhǎng)為，故C正確，

故選：AC.10．【答案】ABC【詳解】A選項(xiàng)，向量，，則在上的投影向量為，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，因?yàn)椋运狞c(diǎn)共面，故正確；C選項(xiàng)，因?yàn)槭强臻g的一組基底，，所以兩向量之間也不共線，所以也是空間的一組基底，故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，直線的方向向量為，平面的法向量為，，則直線或，錯(cuò)誤.故選ABC.【方法總結(jié)】注意空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C,若OP→=xOA→+yOB→+zOC→(x,y,z∈R),則“x+y+z=1”是“P,A,B11．【答案】BCD【詳解】A：由題意得：的圓心為，半徑為，該圓與圓有3條公切線，則兩圓外切，所以，解得，故A錯(cuò)誤；B：兩圓的圓心分別為，半徑分別為和2，則，所以兩圓相交，與相減得：，故圓與圓C的公共弦所在直線為，故B正確；C：變形為，令，解得，即直線恒過點(diǎn)，由于，點(diǎn)在圓M內(nèi)，所以與圓M恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，故C正確；D：如圖，圓，半徑為2，則圓C與y軸相切，切點(diǎn)為原點(diǎn)，即為，易知直線恒過點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，則，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，圓心為，半徑為1，又，所以MN的最大值為，故D正確.故選：BCD12．【答案】3【詳解】故答案為：3.13．【答案】14．【答案】【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，與的交點(diǎn)即為，與軸的交點(diǎn)即為.如圖，兩點(diǎn)之間線段最短可知，的長(zhǎng)即為周長(zhǎng)的最小值.設(shè)，則解得即，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，故周長(zhǎng)的最小值為.故答案為：.15．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）∵，，∴，.又()∥()，∴，解得，.（2）由，得，∴，∴，即，∴，解得.16．【答案】(1)(2)，【詳解】（1）當(dāng)，時(shí)，有，.所以兩直線的交點(diǎn)為.由于關(guān)于直線對(duì)稱，故直線和直線垂直.而直線即的斜率為，從而直線的斜率為.再由知直線的方程為，即.將與聯(lián)立，得，.從而直線和直線的交點(diǎn)為，由于關(guān)于直線對(duì)稱，故是的中點(diǎn).最后由，即知.（2）若是一條經(jīng)過的直線，則由于，知到的距離不超過.若有一條經(jīng)過的直線，滿足到的距離為，則由，知和垂直.而直線的斜率，故的斜率為.再由經(jīng)過，即知的方程為，即.綜上，點(diǎn)到經(jīng)過點(diǎn)的直線距離的最大值為，當(dāng)距離最大時(shí)，直線的方程為.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以且，所以可建立如圖所示以B為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，則由題，所以，所以，所以，又，故點(diǎn)M到直線的距離為.（2）因?yàn)?，，，平面，所以平面，故是平面的一個(gè)法向量，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，所以，令，則，設(shè)平面與平面所成夾角為，所以，所以平面與平面所成夾角的余弦值為.18．【答案】(1)圓心為，半徑為2；(2)或；(3)，或【詳解】（1）由可得：所以圓心的圓心坐標(biāo)為，半徑為2；（2）①若直線的斜率不存在，則直線：，符合題意；②若直線斜率存在，設(shè)直線的方程為y=kx?1，即，由題意知，圓心到已知直線的距離等于半徑2，即，解得，所求直線的方程是或；（3）方法一：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，設(shè)直線方程為，則圓心到直的距離，又∵三角形CPQ面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，三角形CPQ的面積的最大值為2，由，有，或，此時(shí)直線方程為，或．方法二：，當(dāng)時(shí)，取最大值2，此時(shí)點(diǎn)到的距離為，設(shè)：，由，解得或，故所求直線的方程為或.19．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由