八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)講練課件：18.2.3-正方形（人教版）

人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第18章平行四邊形18.2.3正方形1學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解正方形的概念.2.掌握正方形的性質(zhì)和判定，并能運(yùn)用它們進(jìn)行證明和計(jì)算.3.理解正方形、菱形、矩形、平行四邊形之間的關(guān)系．2正方形是我們熟悉的幾何圖形，在生活中無(wú)處不在，下面圖片中是否包含正方形，如果有請(qǐng)找出來(lái).在你的周?chē)隳苷业秸叫螁幔恳胄抡n3

矩形〃〃思考1：矩形具有怎樣的條件才能是正方形呢？正方形合作探究4思考2：菱形具有怎樣的條件才能是正方形呢？正方形合作探究5鄰邊相等

矩形〃〃正方形〃〃

菱形一個(gè)角是直角正方形∟正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫正方形.菱形矩形正方形既是，又是.歸納總結(jié)6思考：正方形是不是軸對(duì)稱(chēng)圖形？如果是，那么對(duì)稱(chēng)軸有幾條？對(duì)稱(chēng)性：

.對(duì)稱(chēng)軸：

.軸對(duì)稱(chēng)圖形4條ABCD提示：同學(xué)們可以拿一張正方形紙片，折一折來(lái)驗(yàn)證.一、正方形的性質(zhì)探究新知7矩形菱形正方形平行四邊形正方形既是特殊的平行四邊形，又是特殊的矩形，也是特殊的菱形.平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關(guān)系如何表述呢？性質(zhì)：1.角的方面：四個(gè)角都是直角2.邊的方面：對(duì)邊平行，四條邊都相等3.對(duì)角線方面：對(duì)角線互相垂直平分且相等，平分每組對(duì)角你能說(shuō)出正方形具有哪些性質(zhì)嗎？

正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì).8例1：求證:正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.ADCBO已知:如圖，四邊形ABCD是正方形,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.

求證:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.典例分析91.正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是()A.四個(gè)角相等B.對(duì)角線互相垂直平分

C.對(duì)角互補(bǔ)D.對(duì)角線相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)（）

A.四條邊相等B.對(duì)角線互相垂直平分C.對(duì)角線平分一組對(duì)角D.對(duì)角線相等BD針對(duì)訓(xùn)練104.一個(gè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2cm，則它的面積是（）A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2A3.平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．對(duì)角線互相平分B．對(duì)角線互相垂直C．對(duì)角線相等D．對(duì)角線互相垂直且相等A11例2：如圖，在正方形ABCD中，△BEC是等邊三角形，求∠EAD和∠EDA的度數(shù).解：∵

△BEC是等邊三角形，∴BE=CE=BC，∠EBC=∠ECB=60°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴AB=BE，∠ABE=∠ABC-∠EBC=30°，∴△ABE是等腰三角形，∴∠BAE=∠BEA=75°，∴∠EAD=90°-75°=15°.同理可得∠EDA=15°30°75°60°典例分析12變式：四邊形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一邊作等邊△ADE，求∠BEC的大?。猓寒?dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD外部時(shí)，如圖①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；13當(dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD內(nèi)部時(shí)，如圖②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.綜上所述，∠BEC的大小為30°或150°.因?yàn)榈冗叀鰽DE與正方形ABCD有一條公共邊，所以邊相等．本題分兩種情況：等邊△ADE在正方形的外部或在正方形的內(nèi)部．14思考：把一張矩形的紙片，按照下圖折疊，然后展開(kāi)，折疊部分得到是一個(gè)正方形，為什么？正方形猜想：滿(mǎn)足怎樣條件的矩形是正方形？矩形正方形一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直探究新知二、正方形的判定15已知：如圖，在矩形ABCD中，兩條對(duì)角線AC

，

DB交于點(diǎn)O，且AC⊥DB.求證：矩形ABCD是正方形.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=CO=BO=DO

∵AC⊥DB∴AB=BC∴矩形ABCD是正方形.

ABCDO合作探究16思考：把可以活動(dòng)的菱形框架的一個(gè)角變?yōu)橹苯牵@時(shí)菱形框架的形狀是正方形，為什么？正方形菱形猜想：滿(mǎn)足怎樣條件的菱形是正方形？正方形一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等17已知：如圖，在菱形ABCD中，兩條對(duì)角線AC

，

DB交于點(diǎn)O，AC=DB.求證：菱形ABCD是正方形.對(duì)角線相等的菱形是正方形.證明：∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.∵AC=DB，∴AO=BO=CO=DO，∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∴菱形ABCD是正方形.ABCDO合作探究18正方形判定的常用方法：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形條件(二選一)菱形條件(二選一)一個(gè)角是直角一組鄰邊相等，或?qū)蔷€相等或?qū)蔷€垂直歸納小結(jié)195種判定方法三個(gè)角是直角四條邊相等一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等一個(gè)角是直角且一組鄰邊相等平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定總結(jié)四邊形平行四邊形矩形菱形正方形201.在四邊形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，能判定這個(gè)四邊形是正方形的是（）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠DAB=∠DCBC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BCCABCDO當(dāng)堂鞏固212.下列命題正確的是（）A.四個(gè)角都相等的四邊形是正方形B.四條邊都相等的四邊形是正方形C.對(duì)角線相等的平行四邊形是正方形D.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形D223.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（）A．當(dāng)AB=BC時(shí)，四邊形ABCD是菱形B．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD是菱形C．當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，四邊形ABCD是矩形D．當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形ABCD是正方形D23在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．求證：四邊形EFMN是正方形證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.分析：由已知可證△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四邊形EFMN是菱形，再證有一個(gè)角是直角即可.能力提升24在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，

AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,

AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四邊形EFMN是菱形，∴∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）=180°－（∠AEN+∠ANE）

=180°－90°=90°.∴四邊形EFMN是正方形.251.（4分）（2021?重慶B卷9/26）如圖，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN=30°，直角頂點(diǎn)P在正方形ABCD的對(duì)角線BD上，點(diǎn)M，N分別在AB和CD邊上，MN與BD交于點(diǎn)O，且點(diǎn)O為MN的中點(diǎn)，則∠AMP的度數(shù)為（

）A．60°

B．65°

C．75°

D．80°感受中考26【解答】解：在Rt△PMN中，∠MPN=90°，∵O為MN的中點(diǎn)，∴

，∵∠PMN=30°，∴∠MPO=30°，∴∠DPM=150°，在四邊形ADPM中，∵∠A=90°，∠ADB=45°，∠DPM=150°，∴∠AMP=360°-∠A-∠ADB-∠DPM=360°-90°-45°-150°=75°故選：C．272.（2分）（2021?青海19/25）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)M在DC上且DM＝2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值是

．【考點(diǎn)】勾股定理；正方形的性質(zhì)；軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題．【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考慮通過(guò)作輔助線轉(zhuǎn)化DN，MN的值，從而找出其最小值求解．感受中考28【解答】解：∵正方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，點(diǎn)B與點(diǎn)D是關(guān)于直線AC為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴連接BN，∴BN＝ND，∴DN+MN＝BN+MN，連接BM交AC于點(diǎn)P，∵點(diǎn)N為AC上的動(dòng)點(diǎn)，由三角形兩邊和大于第三邊，知當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)，BN+MN＝BP+PM＝BM，BN+MN的最小值為BM的長(zhǎng)度，∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，BCM＝90°，∴BM10，∴DN+MN的最小值是10．故答案為：10．293.（6分）（2021?呼倫貝爾?興安盟20/26）如圖，AD是△ABC